近年中考数学压轴题大集合二

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近年中考数学压轴题大集合二

近年中考数学压轴题大集合(二)‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D 点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得 AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由; ‎ ‎(3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.‎ ‎[解] (1) C(5,-4); ‎ ‎(2)能。连结AE ,∵BE是⊙O的直径, ∴∠BAE=90°. ‎ 在△ABE与△PBA中,AB2=BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,‎ ‎∴△ABE∽△PBA . ‎ ‎∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . ‎ ‎(3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:‎ ‎①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;‎ ‎②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;‎ ‎③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. ‎ 解题过程:‎ ‎① 当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12=BQ1· EQ1 ,‎ ‎∴Q1(5, -4)符合题意; ‎ ‎② 当Q2点在线段EB上, ∵△ABE中,∠BAE=90°‎ ‎∴点Q2为AQ2在BE上的垂足, ‎ ‎∴AQ2== 4.8(或).‎ ‎∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,‎ 又由AQ2·∠BAQ2=2.88,‎ ‎∴点Q2(5.84,-2.88), ‎ ‎③方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,‎ 则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.‎ 由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,‎ 故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, ‎ 由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得, ‎ 即得t=,‎ ‎〖注:此处也可由列得方程; 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗‎ ‎∴Q3点的横坐标为8+3t=, Q3点的纵坐标为,‎ 即Q3(,). ‎ 方法二:如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), ‎ ‎∴直线BE的解析式是 . ‎ 设Q3(,),过点Q3作Q3R⊥x轴于点R, ‎ ‎∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB, ‎ ‎∴ , 即 ,‎ ‎∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为,∴Q3(,). ‎ 方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q‎3A并延长交轴于F,‎ ‎∴∠Q3AB =∠Q3EA,,‎ 在R t△OAF中有OF=2×=,点F的坐标为(0,),‎ ‎∴可得直线AF的解析式为 , ‎ 又直线BE的解析式是 ,‎ ‎∴可得交点Q3(,). ‎ ‎18.如图1,抛物线关于y轴对称,顶点C坐标为(0,h )(h>0), 交x轴于点A(d,0)、B(-d,0)(d>0)。‎ ‎(1)求抛物线解析式(用h、d表示);‎ ‎(2)如图2,将ABC视为抛物线形拱桥,①~⑤拉杆均垂直x轴,垂足依次在线段AB的6等分点上。h=‎9米。‎ ‎(i )求拉杆⑤DE的长度;‎ F G x y C B O A 图4‎ ‎(ii)若d值增大,其他都不变,如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗?(只需写结论)‎ ‎(3)如图4,点G在线段OA上,OG=kd(比例系数k是常数,0≤k≤1),GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时,‎ tg∠FOG= tg∠CAO?此时点G与OA线段有什么关系?‎ ‎[解] (1)用顶点式,据题意设y=ax2+h 代入A(d,0)得a=‎ ‎∴y=x2+h ‎(2)(i)h=9,代入(1)中解析式得y=x2+9‎ 据题意OE=d,设D(d,yD)‎ 点D在抛物线上,yD=(d)2+9=5,∴DE=‎5米。‎ ‎(ii) 拉杆⑤DE的长度不变。‎ ‎(3)OG=kd,∴点F坐标可设(kd,yF)代入y=x2+h ,得:‎ yF= h(1-k2) ‎ tg∠FOG= tg∠CAO , =‎ ‎ 解得 (∵00‎ ‎ 设的两根为,‎ ‎ 则+,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.已知:二次函数图象的顶点在x轴上.‎ ‎(1)试判断这个二次函数图象的开口方向,并说明你的理由;‎ ‎(2)求证:函数的图象与x轴必有两个不同的交点;‎ ‎(3)如果函数的图象与x轴相交于点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴相交于点C,且△ABC的面积等于2.求这个函数的解析式.‎ ‎[解] (1)∵二次函数图象的顶点在x轴上,‎ ‎∴,. ‎ ‎∴.‎ 又∵,∴. ‎ ‎∴这个函数图象的开口方向向上. ‎ ‎(另解:∵这个二次函数图象的顶点在x轴上,且与y轴的正半轴相交, ‎ ‎∴这个函数图象的开口方向向上. ‎ ‎(2)∵,∴这个函数是二次函数. ‎ ‎.‎ ‎∵,∴,. ‎ ‎∴Δ>0.‎ ‎∴函数的图象与x轴必有两个不同的交点. ‎ ‎(3)由题意,得,. ‎ ‎∵,∴. ‎ 而,点C的坐标为(0,-1).‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎∴所求的函数解析式为. ‎ ‎4.已知二次函数.‎ ‎(1)若a =2,c = -3,且二次函数的图像经过点(-1,-2),求b的值;‎ ‎(2)若a =2,b + c = -2,b > c,且二次函数的图像经过点(p , -2),求证:b≥0;‎ ‎(3)若a + b + c = 0,a > b > c,且二次函数的图像经过点(q , - a),试问当自变量x = q +4时,二次函数所对应的函数值y是否大于0?请证明你的结论.‎ ‎[解](1)当a = 2,c = -3时,二次函数为,‎ ‎∵该函数的图像经过点(-1,-2),‎ ‎∴,解得b=1. ‎ ‎(2)当a = 2,b + c = -2时,二次函数为 ‎∵该函数的图像经过点(p,-2),‎ ‎∴,即 于是,p为方程的根,‎ ‎∴判别式△=‎ 又∵b + c = -2,b > c,‎ ‎∴b > -b -2,即b > -1,有b + 8 > 0‎ ‎∴.‎ ‎(3)∵二次函数的图像经过点(q,-a),‎ ‎∴.‎ ‎∴q为方程的根,‎ 于是,判别式△=‎ 又∵‎ ‎∴△=‎ 又, 且a > b > c,知a > 0,c < 0‎ ‎∴‎3a -c > 0‎ ‎∴‎ ‎∴q为方程的根,‎ ‎∴或.‎ 当时, ‎ 若,则 ‎.‎ ‎∵a > b ≥ 0,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴‎ 若,则 ‎.‎ ‎∴当时,二次函数所对应的函数值大于0. ‎ ‎5.已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB ,过B作BC⊥AB,交AE于点C. ‎(1)当B点的横坐标为时,求线段AC的长; ‎(2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合); (3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x22-6(x1+x2)=8,求直线l的解析式. [解] (1)方法一:在Rt△AOB中,可求得AB=‎ y A O B x C D G H ‎∵∠OAB=∠BAC,∠AOB=∠ABC=Rt∠,‎ ‎∴△ABO∽△ABC,∴,由此可求得:AC=‎ ‎ 方法二:由题意知:tan∠OAB=‎ ‎ (2)方法一:当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,BD=‎ ‎ ∵AO⊥OB,AB⊥BD,∴△ABO∽△BDO,则OB2=AO×OD,即 化简得:y=,当O、B、C三点重合时,y=x=0,∴y与x的函数关系式为:y=‎ 方法二:过点C作CG⊥x轴,交AB的延长线于点H,则AC2=(1-y)2+x2=(1+y)2,化简即可得。‎ ‎(3)设直线的解析式为y=kx+b,则由题意可得:,消去y得:x2-4kx-4b=0,则有,由题设知:‎ x12+x22-6(x1+x2)=8,即(4k)2+8b-24k=8,且b=-1,则16k2-24k -16=0,解之得:k1=2,k2=,当k1=2、b=-1时,‎ ‎△=16k2+16b=64-16>0,符合题意;当k2=,b=-1时,△=16k2+16b=4-16<0,不合题意(舍去),‎ ‎∴所求的直线l的解析式为:y=2x-1‎ ‎6.已知抛物线y =x2+mx‎-2m2‎(m≠0).‎ ‎ (1)求证:该抛物线与x轴有两个不同的交点;‎ ‎ (2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是 ‎ 否存在实数m、n,使得AP=2PB?若存在,则求出m、n 满足的条件;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)△‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴△‎ ‎ ∴该抛物线与轴有两个不同的交点。‎ ‎ (2)由题意易知点、的坐标满足方程:‎ ‎,即 由于方程有两个不相等的实数根,因此△,即 ‎………………….①‎ 由求根公式可知两根为:‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 分两种情况讨论:‎ 第一种:点在点左边,点在点的右边 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………….②‎ ‎∴……………………….③‎ 由②式可解得 ‎ ‎…………………………..④‎ 第二种:点、都在点左边 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………….⑤‎ ‎∴……………………….⑥‎ 由⑤式可解得 ‎……….⑦‎ 综合①③④⑥⑦可知,满足条件的点存在,此时、应满足条件:‎ ‎,或。‎ 三、动态几何型压轴题 ‎1.已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=‎4cm,AB=‎8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点.若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y.‎ ‎(1)如图,当AP=‎3cm时,求y的值;‎ ‎(2)设AP=xcm,试用含x的代表式表示y(cm)2;‎ ‎(3)当y=‎2cm2时,试确定点P的位置.‎ ‎[解](1) ∵ PQ∥BC,∴ .∵ BC=4,AB=8,AP=3,∴ PQ=.∵ D为AB的中点,∴ AD=AB=4,PD=AD-AP=1.‎ ‎∵ PQMN为正方形,DN=PN-PD=PQ-PD=,∴ y=MN·DN=cm2.‎ ‎(2)∵ AP=x,∴ AN=x.‎ 当o≤x<时,y=0;‎ 当≤x<4时,;‎ 当4≤x<时,y=x;‎ 当≤x≤8时,y=2(8-x)=-2x+16.‎ ‎(3)将y=2代入y=—2x+16(≤x≤8)时,得x=7,即P点距A点‎7cm;‎ 将y=2代入时,得,即P点距A点cm.‎ ‎2.操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.‎ 图5图6图7‎ 探究:设A、P两点间的距离为x.‎ ‎(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论;‎ ‎(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.(图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用)‎ ‎[解] ‎ 图1 图2 图3‎ ‎(1)解:PQ=PB 证明如下:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰直角三角形(如图1).‎ ‎∴ NP=NC=MB. ‎ ‎∵ ∠BPQ=90°,∴ ∠QPN+∠BPM=90°.‎ ‎ 而∠BPM+∠PBM=90°,∴ ∠QPN=∠PBM. ‎ 又∵ ∠QNP=∠PMB=90°,∴ △QNP≌△PMB. ‎ ‎∴ PQ=PB.‎ ‎(2)解法一 由(1)△QNP≌△PMB.得NQ=MP.‎ ‎∵AP=x,∴ AM=MP=NQ=DN=,BM=PN=CN=1-,‎ ‎∴CQ=CD-DQ=1-2·=1-.‎ 得S△PBC=BC·BM=×1×(1-)=-x. ‎ S△PCQ=CQ·PN=×(1-)(1-)=-+x2‎ S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=x2-+1.‎ 即 y=x2-+1(0≤x<).‎ 解法二 作PT⊥BC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCN为正方形.‎ ‎∴ PT=CB=PN.‎ 又∠PNQ=∠PTB=90°,PB=PQ,∴△PBT≌△PQN.‎ S四边形PBCQ=S△四边形PBT+S四边形PTCQ=S四边形PTCQ+S△PQN=S正方形PTCN ‎  =CN2=(1-)2=x2-+1‎ ‎∴ y=x2-+1(0≤x<). ‎ ‎(3)△PCQ可能成为等腰三角形 ‎①当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△PCQ是等腰三角形,‎ ‎  此时x=0 ‎ ‎②当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图3)‎ 解法一: 此时,QN=PM=,CP=-x,CN=CP=1-.‎ ‎∴ CQ=QN-CN=-(1-)=-1.‎ 当-x=-1时,得x=1. ‎ 解法二: 此时∠CPQ=∠PCN=22.5°,∠APB=90°-22.5°=67.5°,‎ ‎∠ABP=180°-(45°+67.5°)=67.5°,得∠APB=∠ABP,‎ ‎∴ AP=AB=1,∴ x=1. ‎ O N P Q M C C1‎ B1‎ A1‎ A B 图1‎ ‎3.如图1和2,在20×20的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长)中,Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始,以每秒1个单位长的速 度先向下平移,当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右 平移,当点C与点P重合时,Rt△ABC停止移动.设运动时间 为x秒,△QAC的面积为y.‎ ‎(1)如图1,当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B‎1C1的位置时,‎ 请你在网格中画出Rt△A1B‎1C1关于直线QN成轴对称的图形;‎ ‎(2)如图2,在Rt△ABC向下平移的过程中,请你求出y与 O N P Q M C A B 图2‎ x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和 最小值?最大值和最小值分别是多少?‎ ‎(3)在Rt△ABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y 取得最大值和最小值?最大值和最值分别是多少?为什么?‎ ‎[解] (1)如图1,△A2B‎2C2是△A1B‎1C1关于直线QN成轴对称的图形. …………2分 O N P Q M C A B C A B 图2‎ O N P Q M C1‎ C2‎ B1‎ A1‎ A2‎ B2‎ 图1‎ ‎(2)当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如图2),则有:‎ ‎ MA=x,MB=x+4,MQ=20,‎ ‎ y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC ‎ =‎ ‎ =2x+40(0≤x≤16).‎ 由一次函数的性质可知:‎ 当x=0时,y取得最小值,且y最小=40;‎ 当x=16时,y取得最大值,且y最大=2×16+40=72. ‎ ‎(3)解法一:‎ ‎ 当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16≤x≤32,PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x,‎ ‎ ∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC ‎ ‎ ‎ =-2x+104(16≤x≤32). ‎ ‎ 由一次函数的性质可知:‎ ‎ 当x=32时,y取得最小值,且y最小=-2×32+104=40;‎ ‎ 当x=16时,y取得最大值,且y最大=-2×16+104=72. ‎ 解法二:‎ ‎ 在△ABC自左向右平移的过程中,△QAC在每一时刻的位置都对应着(2)中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.‎ 因此,根据轴对称的性质,只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况,便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况. ‎ 当x=16时,y取得最大值,且y最大=72;‎ 当x=32时,y取得最小值,且y最小=40. ‎ ‎4.如图,在△ABC中,AB=17,AC=5,∠CAB=45°,点O在BA上移动,以O为圆心作⊙O,使⊙O与边BC相切,切点为D,设⊙O的半径为x,四边形AODC的面积为y.‎ A B O D C ‎ (1)求 y与x的函数关系式;‎ ‎ (2)求x的取值范围;‎ ‎ (3)当x为何值时,⊙O与BC、AC都相切?‎ ‎[解](1)如图①,过点C作CE⊥AB,垂足为E.‎ 在Rt△ACE中,AC=5,∠CAB=45°,‎ ‎∴ AE=CE= AC·sin45°=.‎ ‎∴ BE=AB-AE=17-5=12,‎ ‎. ‎ ‎∴ tanB=.‎ ‎∵ CB切⊙O于点D, ‎ ‎∴ OD⊥BC.‎ 又 =tanB=,‎ ‎∴ BD=. ‎ ‎∵ S四边形AODC= S△ABC-S△BOD,‎ ‎∴ -‎ ‎. ‎ A B C D E F O ‎①‎ A B C D O G ‎②‎ ‎(2)过点C作CF⊥CB交AB于F.‎ 在Rt△BCF中, CF=BC·tanB=13×.‎ ‎∴ x的取值范围是0<x≤. ‎ ‎(3)当⊙O与BC、AC都相切时,设⊙O与AC的切点为G,连结OG、OC(如图②),则OG=OD=x.‎ ‎∵ S△AOC+S△BOC= S△ABC,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎5.已知是半圆的直径,AB=16,P点是AB上的一动点(不与A、B重合) ,PQ⊥AB, 垂足为P,交半圆O于Q;PB是半圆O1的直径,⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切,切点分别为M、N、C.‎ ‎ (1)当P点与O点重合时(如图1) ,求⊙O2的半径r;‎ 图⑵‎ 图⑴‎ A O ‎(P)‎ N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q B P ‎·‎ A O N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q B ‎ (2)当P点在AB上移动时(如图2) ,设PQ=x,⊙O2的半径r.求R与x的函数关系式,并求出r取值范围.‎ ‎[解] (1)连结OO2、O1O2、O‎2C,作O2D⊥AB于D.‎ ‎ ∵⊙O2与⊙O、⊙O1、PQ相切,‎ ‎ ∴OO2=8-r,‎ O1O2=4+r. ‎ ‎ ∵四边形ODO‎2C是矩形,‎ ‎ ∴OD=r,O1D=4-r ‎ ‎ 根据勾股定理得: ,‎ ‎ 即: ,‎ ‎ ∴r=2. ‎ ‎ (2) ∵AB是⊙O直径,PQ⊥AB.‎ ‎ ∴PQ2=AP·PB.‎ 设⊙O1半径是a,‎ 则x2=‎2a(16-‎2a)=4(8a-a2).‎ ‎ 连结OO2、O1O2、O‎2C,作O2D⊥AB于D ‎ ‎ ∴=,=,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 根据勾股定理得:,‎ ‎ 即: ,‎ ‎ 化简得:.‎ ‎ ∴ , 即.‎ ‎ ∵为0≤x≤8,‎ ‎ ∴0≤r≤8. ‎ A Q B 图⑴‎ O ‎(P)‎ N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C B D 图⑵‎ P ‎·‎ A O N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q D ‎6.如图12,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。‎ ‎(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;‎ ‎(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?‎ ‎(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时,求∠BQP的正切值;‎ ‎(4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎(1)如图3,过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12‎ ‎[解]A B M C D P Q 图3‎ ∵QB=16-t,∴S=×12×(16-t)=96-t ‎(2)由图可知:CM=PD=2t,CQ=t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:‎ ‎①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中,,由PQ2=BQ2 得 ,解得t=;‎ A ‎②若BP=BQ。在Rt△PMB中,。由BP2=BQ2 得:‎ ‎ 即。‎ 由于Δ=-704<0‎ ‎∴无解,∴PB≠BQ ‎③若PB=PQ。由PB2=PQ2,得 整理,得。解得(不合题意,舍去)‎ 综合上面的讨论可知:当t=秒时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。‎ P A E E D C Q B O 图4‎ ‎(3)如图4,由△OAP∽△OBQ,得 ‎∵AP=2t-21,BQ=16-t,∴2(2t-21)=16-t。‎ ‎∴t=。‎ 过点Q作QE⊥AD,垂足为E,‎ ‎∵PD=2t,ED=QC=t,∴PE=t。‎ 在RT△PEQ中,tan∠QPE=‎ P A E E D C Q B O 图5‎ ‎(4)设存在时刻t,使得PQ⊥BD。如图5,过点Q作QE⊥ADS,垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE,得 ‎,即。解得t=9‎ 所以,当t=9秒时,PQ⊥BD。‎ ‎7.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,DC=2,点P在边BC上运动(与B、C不重合),设PC=x,四边形ABPD的面积为y。‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)若以D为圆心、为半径作⊙D,以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P,当x为何值时,⊙D与⊙P相切?并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。‎ ‎[解](1)过点D作DE⊥BC于E,‎ ‎∵∠ABC=900,∴DE=AB=2,‎ 又∵DC=2,∴EC==2‎ ‎∴BC=BE+EC=AD+EC=2+1=3‎ ‎∴S四边形ABPD==4-x,‎ 即 y=-x+4 (0<x<3)‎ ‎(2)当P与E重合时,⊙P与⊙D相交,不合题意;‎ 当点P与点E不重合时,在Rt△DEP中,‎ DP2=DE2+EP2=22+|2-x|2=x2-4x+8‎ ‎∵⊙P的半径为x,⊙D的半径为,‎ ‎∴①当⊙P与⊙D外切时,‎ ‎(x+)2=x2-4x+8,解得  x= 此时四边形ABPD的面积y=4-= ‎②当⊙P与⊙D内切时,‎ ‎(x+)2=x2-4x+8,解得  x= 此时四边形ABPD的面积y=4-= ‎∴⊙P与⊙D相切时,四边形ABPD的面积为或 ‎8.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AC=‎3厘米,CB=‎4厘米.两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时,P、Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为‎1厘米/秒、‎2厘米/秒,设点P运动时间为(秒). ‎ ‎(1)当时间为何值时,以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于‎2厘米2;‎ ‎(2)当点P、Q运动时,阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(厘米2),求出S与时间的函数关系式,并指出自变量的取值范围;‎ ‎(3)点P、Q在运动的过程中,阴影部分面积S有最大值吗?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.‎ ‎[解] (1)S△PCQ=PC·CQ===2, ‎ 解得 =1,=2 ‎ ‎∴当时间为1秒或2秒时,S△PCQ=2厘米2; ‎ ‎(2)①当0<≤2时,S==;‎ ‎  ②当2<≤3时, S==; ‎ ‎  ③当3<≤4.5时,S==; ‎ ‎(3)有; ‎ ‎①在0<≤2时,当=,S有最大值,S1=; ‎ ‎  ②在2<≤3时,当=3,S有最大值,S2=; ‎ ‎ ③在3<≤4.5时,当=,S有最大值,S3=; ‎ ‎∵S1<S2<S3 ∴=时,S有最大值,S最大值=. ‎ ‎9.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合).‎ ‎(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);‎ 探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论. ‎ ‎(2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3);‎ 探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围. ‎ ‎(3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠AC C′=α(30°<α<90°=(图4);‎ E′‎ D′‎ 图2‎ 图3‎ D′‎ E′‎ 图4‎ C/‎ ‎(C/)‎ ‎(C/)‎ 探究:在图4中,线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N·E′M的值,如果有变化,请你说明理由. ‎ ‎[解] (1)BE=AD ‎ ‎ 证明:∵△ABC与△DCE是等边三角形 ‎∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB,CE=CD ‎ ‎∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ‎ ‎ ∴ BE=AD ‎ T S ‎(也可用旋转方法证明BE=AD)‎ ‎(2)如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°‎ ‎∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ‎ ∴QT=QC=x ‎∴ RT=3-x ‎ ‎∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90°‎ ‎∴y=×32 -(3-x)2=-(3-x)2+(0≤x≤3) ‎ ‎(3)C′N·E′M的值不变 ‎ 证明:∵∠ACC′=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°‎ ‎ ∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ‎ ‎ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN ‎ ∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×= ‎ ‎10.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-10,0),B(-8,6),O为坐标原点,△OAB沿AB翻折得到△PAB.将四边形OAPB先向下平移3个单位长度,再向右平移m(m>0)‎ 个单位长度,得到四边形O‎1A1P1B1.设四边形O‎1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l.‎ ‎(1)求A1、P1两点的坐标(用含m的式子表示);‎ ‎(2)求周长l与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.‎ ‎[解] (1)过点B作BQ⊥OA于点Q.(如图1)‎ O ‎-3‎ y B x A P Q α 图1‎ ‎∵ 点A坐标是(-10,0),‎ ‎∴点A1坐标为(-10+m,-3),OA=10.‎ 又∵ 点B坐标是(-8,6), ‎ ‎∴BQ=6,OQ=8.‎ 在Rt△OQB中,‎ ‎. ‎ ‎∴OA=OB=10,. ‎ 由翻折的性质可知,PA=OA=10,PB=OB=10, ∴四边形OAPB是菱形,‎ ‎∴PB∥AO,∴P点坐标为(-18,6), ‎ ‎∴P1点坐标为(-18+m,3). ‎ ‎(2)①当0<m≤4时,(如图2), 过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1,则B1 Q1=6-3=3,‎ x O y B A P1‎ A1‎ O1‎ B1‎ Q1‎ F α Q β 图2‎ P 设O1B1 交x轴于点F,∵O1B1∥BO,∴∠α=∠β,‎ 在Rt△FQ1B1中,,‎ ‎∴,∴Q‎1F=4,‎ ‎∴B‎1F==5,‎ ‎∵AQ=OA-OQ=10-8=2,‎ x O B A P1‎ A1‎ O1‎ B1‎ 图3‎ P S H F y ‎∴AF=AQ+QQ1+ Q‎1F=2+m+4=6+m,‎ ‎∴周长l=2(B‎1F+AF)‎ ‎=2(5+6+m)‎ ‎=‎2 m+22; ‎ ‎ ②当4<m<14时,(如图3)‎ 设P‎1A1交x轴于点S,P1B1交OB 于点H,‎ OS y B S x A 由平移性质,得 OH=B‎1F=5,‎ 此时AS=m-4,‎ ‎∴OS=OA-AS ‎=10-(m-4)=14-m,‎ ‎∴周长l=2(OH+OS)‎ ‎=2(5+14-m)‎ ‎=-‎2 m+38. ‎ ‎11.四边形OABC是等腰梯形,OA∥BC。在建立如图的平面直角坐标系中,A(4,0),B(3,2),点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动;同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动,过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q,连结MQ。‎ ‎(1)写出C点的坐标;‎ ‎(2)若动点N运动t秒,求Q点的坐标(用含t的式子表示 ‎(3)其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围。‎ ‎(4)当t取何值时,△AMQ的面积最大;‎ ‎(5)当t为何值时,△AMQ为等腰三角形。‎ ‎[解] (1)C(1,2)‎ ‎(2)过C作CEx轴于E,则CE=2‎ 当动点N运动t秒时,NB=t ‎∴点Q的横坐标为3—t 设Q点的纵坐标为yQ 由PQ∥CE得 ‎ ‎∴‎ ‎∴点Q()‎ ‎(3)点M以每秒2个单位运动,∴OM=2t,AM=4—2t S△AMQ=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 当t=2时,M运动到A点,AMQ存在,∴t2‎ ‎∴t的取值范围是0≤t<2‎ ‎(4)由S△AMQ=。‎ 当 ‎(5)、①若QM=QA ‎∵QP⊥OA∴MP=AP 而MP=4—(1+t+2t)=3—3t 即1+t=3—3t t=‎ ‎∴当t=时,△QMA为等腰三角形。‎ ②若AQ=AM AQ2=AP2+PQ2=‎ AQ=‎ AM=4—2t ‎=4—2t ‎∴当t=时,△QMA为等腰三角形。‎ ③若MQ=MA MQ2=MP2+PQ2‎ ‎=‎ ‎∴=‎ 解得t=或t=—1(舍去)‎ ‎∵0<<2‎ ‎∴当t=时,△QMA为等腰三角形。‎ 综上所述:当t= 、t=或 t=△QMA都为等腰三角形。‎ ‎12.如图,在Rt△ABC中,已知AB=BC=CA=‎4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为‎1cm/s;点P沿CA、AB向终点B运动,速度为‎2cm/s,设它们运动的时间为x(s)。‎ ‎⑴ 求x为何值时,PQ⊥AC;‎ ‎⑵ 设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<2时,求y与x的函数关系式;‎ ‎⑶ 当0<x<2时,求证:AD平分△PQD的面积;‎ ‎⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)‎ ‎[解] (1)∵当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC。‎ 当,由题意得:BP=x,CQ=2x,PC=4-x,‎ ‎∴AB=BC=CA=4,∠C=600,‎ 若PQ⊥AC,则有∠QPC=300,∴PC=2CQ ‎∴4-x=2×2x,∴x=,‎ ‎∴当x=(Q在AC上)时,PQ⊥AC;‎ ‎(2)当0<x<2时,P在BD上,Q在AC上,过点Q作QH⊥BC于H,‎ ‎∵∠C=600,QC=2x,∴QH=QC×sin600=x ‎∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=2‎ ‎∴DP=2-x,∴y=PD·QH=(2-x)·x=- ‎(3)当0<x<2时,在Rt△QHC中,QC=2x,∠C=600,‎ ‎∴HC=x,∴BP=HC ‎∵BD=CD,∴DP=DH,‎ ‎∵AD⊥BC,QH⊥BC,∴AD∥QH,‎ ‎∴OP=OQ ‎∴S△PDO=S△DQO,‎ ‎∴AD平分△PQD的面积;‎ ‎(4)显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离 当x=或时,以PQ为直径的圆与AC相切。‎ 当0≤x<或<x<或<x≤4时,以PQ为直径的圆与AC相交。‎ ‎13.如图4,已知⊙O的半径OA=,弦AB=4,点C在弦AB上,以点C为圆心,CO为半径的圆与线段OA相交于点E.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设AC=,OE=,求与之间的函数解析式,并写出定义域;‎ ‎(3)当点C在AB上运动时,⊙C是否可能与⊙O相切?如果可能,请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长;如果不可能,请说明理由.‎ ‎[解] (1)过点O作OD⊥AB,垂足为D, ‎ ‎ ∵AB是⊙O的弦,∴AD=AB=2,∴. ‎ ‎ (2)过点C作CF⊥OE,垂足为F,∵OE是⊙C的弦,,‎ ‎ 在Rt△ACF中,AF=AC·=, ‎ ‎ ∵AF+OF=OA,∴.‎ ‎∴函数解析式为.函数定义域为 ‎ (3)⊙C可能与⊙O相切. 在Rt△AOD中,OD=. ‎ ‎ 当⊙C与⊙O相切时,OC=, ‎ ‎ ∵CD==,,∴. ‎ ‎∴ ⊙C与OA相于点O,不符合题意. ‎ ‎∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为 ‎14.已知:如图,在梯形ABCD中,,,,.‎ 点E在AD边上,且,连结CE.点P是AB边上的一个动点,过 点P作,交BC于点Q.设,.‎ A B C D P E Q ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3) 当时,求x的值.‎ ‎[解] (1) 过点A作,垂足是点F.‎ ‎ ∵,,,,‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 在Rt△ABF中,,∴. ‎ ‎ (2) 分别延长BA、CE,交于点G.‎ ‎ ∵,,∴. ‎ ‎ ∵,∴, ‎ ‎ ∵,∴,即得. ‎ ‎ ∵,,∴,‎ ‎ 即,.‎ ‎ 由,,得. ‎ ‎ 所以,y与x的函数解析式是,. ‎ ‎(3) 当时,得,解得.‎ ‎ 所以,当时,. ‎ ‎15. ‎ ‎16.如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.‎ ‎ (1)求点B的坐标;‎ ‎ (2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;‎ ‎(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标。‎ ‎[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.‎ ‎∵ 四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴∠BAQ=∠COA=60°‎ 在RtΔBQA中,BA=4,‎ ‎∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=‎ AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,‎ ‎∴OQ=OA-AQ=7-2=5‎ ‎∵点B在第一象限内,‎ ‎∴点B的的坐标为(5, )‎ ‎(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,‎ 此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)‎ 若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4‎ ‎∴点P的坐标为(-4,0)‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)‎ ‎(2)若∠CPD=∠OAB ‎∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°,‎ ‎∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ AD=AB-BD=4-=‎ AP=OA-OP=7-OP ‎∴‎ 得OP=1或6‎ ‎∴点P坐标为(1,0)或(6,0).‎ ‎17.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为1,AB与小圆相切于点A,与大圆相交于B,大圆的弦BC⊥AB,过点C作大圆的切线交AB的延长线于D,OC交小圆于E.‎ (1) 求证:△AOB∽△BDC;‎ (2) 设大圆的半径为,CD的长为,求与之间的函数解析式,并写出定义域.‎ (3) ‎△BCE能否成为等腰三角形?如果可能,求出大圆半径;如果不可能,请说明理由.‎ ‎[解] (1)∵大⊙O与CD相切于点C,∴∠DCO=90°.‎ ‎∴∠BCD+∠OBC=90º,‎ ‎∵CB⊥AD,∴∠ABO+∠OCB=90º,‎ ‎∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ‎ ‎∴∠BCD=∠ABO.‎ ‎∵小⊙O与AB相切于点A,∴∠BAO=90°. ∴∠CBD=∠BAO. ‎ ‎∴△AOB∽△BDC. ‎ (2) 过点O作OH⊥BC,垂足为H. ‎ ‎∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90º,∴四边形OABH是矩形. ‎ ‎∵BC是大⊙O的弦,∴BC=2BH =2OA=2, ‎ 在Rt△OAB中,AB=. ‎ ‎∵△AOB∽△BDC,∴, ‎ ‎∴,∴函数解析式为, ‎ 定义域为. ‎ (2) 当EB=EC时,∠ECB=∠EBC,而∠ECB=∠OBC,∴EBEC.‎ 当CE=CB时,OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3. ‎ 当BC=BE时,∠BEC=∠ECB=∠OBC,则△BCE∽△OCB. ‎ 则设OC = x,则CE=,,(负值舍去).‎ ‎∴OC=.‎ 综上所述,△BCE能成为等腰三角形,这时大圆半径为3或.‎ ‎18.如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=‎8cm,BC=‎6cm,∠C=90°,EG=‎4cm,∠EGF=90°,O 是△EFG斜边上的中点.‎ 如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以‎1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以‎1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).‎ ‎(1)当x为何值时,OP∥AC ?‎ ‎(2)求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.‎ ‎(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(参考数据:1142 =12996,1152 =13225,1162 =13456‎ 或4.42 =19.36,4.52 =20.25,4.62 =21.16)‎ ‎[解] (1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC ,‎ ‎∴,.‎ ‎∴FG==‎3cm. ‎ ‎∵当P为FG的中点时,OP∥EG ,EG∥AC ,‎ ‎∴OP∥AC.‎ ‎∴ x ==×3=1.5(s).‎ ‎∴当x为1.5s时,OP∥AC .‎ ‎(2)在Rt△EFG 中,由勾股定理得:EF =‎5cm.‎ ‎∵EG∥AH ,‎ ‎∴△EFG∽△AFH .‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴ AH=( x +5),FH=(x+5).‎ 过点O作OD⊥FP ,垂足为 D .‎ ‎∵点O为EF中点,‎ ‎∴OD=EG=‎2cm.‎ ‎∵FP=3-x ,‎ ‎∴S四边形OAHP =S△AFH -S△OFP ‎=·AH·FH-·OD·FP ‎=·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x )‎ ‎=x2+x+3(0<x<3.‎ ‎(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.‎ 则S四边形OAHP=×S△ABC ‎∴x2+x+3=××6×8‎ ‎∴6x2+85x-250=0‎ 解得 x1=, x2= -(舍去).‎ ‎∵0<x<3,‎ ‎∴当x=(s)时,四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24. ‎ ‎19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).‎ ‎(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;‎ ‎(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形?‎ ‎(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;‎ A P C Q B D ‎(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在,请简要说明理由. ‎ ‎[解] (1)由题意知 CQ=4t,PC=12-3t,‎ ‎∴S△PCQ =.‎ ‎∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称,‎ ‎∴y=2S△PCQ . ‎ ‎(2)当时,有PQ∥AB,而AP与BQ不平行,这时四边形PQBA是梯形,‎ ‎  ∵CA=12,CB=16,CQ=4t, CP=12-3t,‎ ‎  ∴ ,解得t=2.‎ ‎  ∴当t=2秒时,四边形PQBA是梯形. ‎ ‎(3)设存在时刻t,使得PD∥AB,延长PD交BC于点M,如图2,‎ 若PD∥AB,则∠QMD=∠B,又∵∠QDM=∠C=90°,‎ ‎∴图2‎ A P C Q B D M Rt△QMD∽Rt△ABC,‎ 从而,‎ ‎∵QD=CQ=4t,AC=12,‎ AB=20,‎ ‎∴QM=. ‎ 若PD∥AB,则,得,‎ 解得t=.‎ ‎∴当t=秒时,PD∥AB. ‎ ‎(4)存在时刻t,使得PD⊥AB. ‎ 时间段为:2<t≤3. ‎ 四、几何探究型压轴题 ‎1.已知:如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA=m , PB=n .‎ ‎(1)当n=4时,求m的值;‎ ‎(2)⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由; ‎ ‎(3)当m为何值时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形?并直接答出:此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个?(图②、图③供解题时选用)‎ A B 图①‎ P ‎·‎ O A ‎·‎ O A ‎·‎ O 图②‎ 图③‎ ‎[解] (1)解法一:连结OB ‎ ‎∵PB切⊙O于B ‎∴∠OBP=90O ‎∴ ‎ ‎∵PO=2+m,PB=n,OB=2‎ ‎∴ ‎ 当n=4时,解得(舍去),‎ ‎∴ m的值为 ‎ 解法二:延长PO交⊙O于Q,PAQ为⊙O割线 又∵PB切⊙O于B ‎∴分 ‎∵PB=n,PA=m,PO=m+4‎ ‎∴‎ 当n=4时,解得(舍去),‎ ‎∴ m的值为分 ‎ (2)存在点C,使△PBC为等边三角形 当∠OPB=30O时,过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点.‎ ‎∴PB = PC ,∠OPB =∠OPC ‎ ‎∴∠BPC=60O, ∴△PBC为等边三角形 连结OB,∠OBP=90O ,OB=2,得OP=4‎ ‎∴m=PA=OP-OA=22 ‎ ‎(3)如图,设EF为线段PB的垂直平分线,垂足为D ,当EF与⊙O相切于点M时,M符合要求 连结OB、OM,易得四边形OMDB为正方形.‎ ‎∴BD=DP=OM=2 ‎ ‎∴n=PB=4 ‎ 由(l)得n=4时,m= ‎ ‎∴当m=时⊙O上存在唯气点M和PB构成以PB为底的等腰三角形…13分 此时⊙O上共有3个点能与PB 构成等腰三角形 ‎(这3点分别是M,M1 ,M2 其中M是PB中垂线与⊙O的切点,M1是延长BO与⊙O 的交点,M2是点B关于OP的对称点)‎ A B P ‎·‎ O M D E F ‎2.定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形.‎ 探究:‎ ‎(1)如图甲,已知△ABC中∠C=900,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的 小直角三角形吗?若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由.‎ ‎(2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连结三角形各边中点,‎ B C A 图甲 则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF ‎(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图1);‎ 把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分 割,称为2阶分割(如图2)…依次规则操作下去.‎ n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时 小三角形的面积为SN.‎ ‎①若△DEF的面积为10000,当n为何值时,21时,请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式(不必证明)‎ ‎[解](1) 正确画出分割线CD ‎ ‎(如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD即是满足要求的 ‎ 分割线,若画成直线不扣分)‎ 理由:∵ ∠B = ∠B,∠CDB=∠ACB=90°‎ ‎∴△BCD ∽△ACB ‎(2)① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为 ‎ ‎ ∴ S = ‎ ‎ 当 n =5时,S = ≈ 9.77‎ ‎ 当 n = 6 时, S = ≈ 2.44 ‎ ‎ 当 n=7 时,S= ≈ 0.61 ‎ ‎∴当 n= 6时,2 <S < 3 ‎ S = S × S ② S = 4 S, S= 4 S ‎ ‎3.如图(1),AB是⊙O的直径,射线AT⊥AB,点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合),PC与⊙O相切于C,过C作CE⊥AB于E,连结BC并延长BC交AT于点D,连结PB交CE于F.‎ ‎ (1)请你写出PA、PD之间的关系式,并说明理由;‎ ‎ (2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分,并加以证明; ‎ ‎ (3)设过A、C、D三点的圆的半径是R,当CF=R时,求∠APC的度数,并在图(2)中作出点P(要求尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹).‎ ‎[解] (1)连结AC.‎ ‎ 因为AT⊥AB,AB是⊙O的直径,‎ ‎ 所以A T是⊙O的切线.‎ ‎ 又PC是⊙O的切线,‎ ‎ 所以PA=PC. ‎ ‎ 所以∠PAC=∠PCA. ‎ ‎ 因为AB是⊙O的直径,‎ ‎ 所以∠ACB=90°.‎ ‎ 所以∠PAC+∠ADC=90°,∠PCA+∠PCD=90°.‎ ‎ 所以∠ADC=∠PCD. ‎ ‎ 所以PD=PC=PA.‎ ‎(2)由(1)知,PD=PA,且同高,可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形. ‎ ‎ 因为AT⊥AB,CE⊥AB,‎ ‎ 所以AT∥CE.‎ 所以CF/PD=BF/BP,EF/PA=BF/BP.‎ 所以CF/PD=EF/PA.‎ 所以CF=EF. (6分)‎ 可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形.(7分)‎ ‎(3)由(1)知,PA=PCPD,‎ ‎ 所以PA是△ACD的外接圆的半径,即PA=R.‎ ‎ 由(2)知,CF=EF,而CF=1/4 R,‎ ‎ 所以EF=1/4 PA.‎ ‎ 所以EF/PA=1/4.‎ ‎ 因为EF∥AT,所以BE/AB=EF/PA=1/4‎ 所以CE== BE 在Rt△ACE中,‎ 因为tan∠CAE=/3.‎ 所以∠CAE=30°.‎ 所以∠PAC=90°-∠CAE=60°.‎ 而PA=PC,所以△PAC是等边三角形.‎ 所以∠APC=60° ‎ P点的作图方法见图.‎ ‎4.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,⊙O的割线PDE垂直AB于点F,交BC于点G,连结PC,∠BAC=∠BCP,求解下列问题:‎ F P D E ‎(1)求证:CP是⊙O的切线。‎ B ‎(2)当∠ABC=30°,BG=,CG=时,求以PD、PE的长为两根的一元二次方程。‎ ‎(3)若(1)的条件不变,当点C在劣弧AD上运动时,应再具备什么条件可使结论BG2=BF·BO成立?试写出你的猜想,并说明理由。‎ ‎[解] (1) 连结OC,证∠OCP=90°即可 ‎ (2)∵∠B=30° ∴∠A=∠BGP=60°‎ ‎∴∠BCP=∠BGP=60°‎ ‎∴ΔCPG是正三角形.‎ ‎∴PG=CP=‎ ‎ ∵PC切⊙O于C ‎∴PC2=PD·PE=‎ 又∵BC= ∴AB=6 FD= EG=‎ ‎ ∴PD=2‎ ‎ ∴PD+PE=‎ ‎ ∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+10=0‎ ‎(3)当G为BC中点,OG⊥BC,OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时,结论BG2=BF·BO成立。要让此结论成立,只要证明ΔBFG∽ΔBGO即可,凡是能使ΔBFG∽ΔBGO的条件都可以。‎ ‎5.已知:直线a∥b,P、Q是直线a上的两点,M、N是直线b上两点。‎ P Q M N a b 图①‎ (1) 如图①,线段PM、QN夹在平行 直线a和b之间,四边形PMNQ 为等腰梯形,其两腰PM=QN。‎ 请你参照图①,在图②中画出异 于图①的一种图形,使夹在平行 直线a和b之间的两条线段相等。‎ (2) 我们继续探究,发现用两条平行直 a b 图②‎ 线a、b去截一些我们学过的图形,‎ 会有两条“曲线段相等”(曲线上两 点和它们之间的部分叫做“曲线段”。‎ 把经过全等变换后能重合的两条曲线 段叫做“曲线段相等”)。‎ 请你在图③中画出一种图形,使夹在 P Q M N a b 图④‎ S1‎ S2‎ S3‎ S4‎ n m 平行直线a和b之间的两条曲线段相等。‎ a b 图③‎ (3) 如图④,若梯形PMNQ是一块绿化地,梯形的上底PQ=m,下底MN=n,且m<n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里,使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用,园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草?请说明理由。‎ ‎[解]P Q M N a b 图例:‎ (1)‎ P ‎(Q)‎ M N a b ‎ 或 ‎ ‎(2)‎ P Q M N a b 图例:‎ P Q M N a b ‎ 或 ‎ ‎(3)∵△PMN和△QMN同底等高。‎ ‎ ∴S△PMN=S△QMN。∴S3+S2=S4+S2.∴S3=S4‎ ‎∵△POQ∽△NOM, ∴‎ ‎∴S2=‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∵m>n,‎ ‎∴ ∴S1+S2>S3+S4‎ 故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草,因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。‎ ‎6. 已知四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P作MN∥AD,EF∥CD,分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F,设=PM·PE,=PN·PF,解答下列问题:‎ ‎(1)当四边形ABCD是矩形时,见图1,请判断与的大小关系,并说明理由;‎ ‎(2)当四边形ABCD是平行四边形,且∠A为锐角时,见图2,(1)中的结论是否成立?并说明理由;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设,是否存在这样的实数,使得?若存在,请求出满足条件的所有的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎[解] (1)∵ABCD是矩形,MN∥AD,EF∥CD ‎∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形 ‎∴=PM·PE=,=PN·PF=‎ 又∵BD是对角线 ‎ ∴△PMB≌△BFP,△PDE≌△DPN,△DBA≌△DBC ‎ ∵,‎ ‎ ∴=‎ ‎ ∴‎ ‎(2)成立,理由如下:‎ ‎ ∵ABCD是平行四边形,MN∥AD,EF∥CD ‎ ∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形 ‎ 仿(1)可证 过E作EH⊥MN于点H,则 ‎∴‎ 同理可得 ‎ 又∵∠MPE=∠FPN=∠A ‎∴‎ ‎∴PM·PE=PN·PF,即 ‎(3)方法1:存在,理由如下:‎ ‎ 由(2)可知,‎ ‎ ∴‎ 又∵,即,‎ 而,‎ ‎∴‎ 即 ‎∴,‎ 故存在实数或,使得 方法2:存在,理由如下:‎ 连结AP,设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为、、、,即,‎ 即 ∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴∴,‎ 故存在实数或,使得 ‎7.问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:‎ ① 如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 60°,则BM = CN. ‎ ② 如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 90°,则BM = CN.‎ 然后运用类比的思想提出了如下的命题:‎ ③ 如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 108°,则BM = CN.‎ 任务要求 ‎ ‎(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对的得4分,选②做对的得3分,选③做对的得5分)‎ ‎(2)请你继续完成下面的探索:‎ ① 如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM = CN成立?(不要求证明)‎ ② 如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON = 108°时,请问结论BM = CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎[解] (1)选命题①‎ 证明:在图1中,∵ ∠BON = 60°, ∴ ∠CBM +∠BCN = 60°. ‎ ‎∵ ∠BCN +∠ACN = 60°, ∴ ∠CBM =∠ACN. ‎ 又∵ BC = CA, ∠BCM =∠CAN = 60°, ‎ ‎∴ △BCM ≌ △CAN. ‎ ‎∴ BM = CN. ‎ 选命题②‎ 证明:在图2中,∵ ∠BON = 90°, ∴ ∠CBM +∠BCN = 90°.‎ ‎∵ ∠BCN +∠DCN = 90°, ∴ ∠CBM =∠DCN. ‎ 又∵ BC = CD, ∠BCM =∠CDN = 90°,‎ ‎∴ △BCM ≌ △CDN. ‎ ‎∴ BM = CN. ‎ 选命题③‎ 证明:在图3中,∵ ∠BON = 108°, ∴ ∠CBM +∠BCN = 108° ‎ ‎∵ ∠BCN +∠DCN = 108°, ∴ ∠CBM =∠DCN. ‎ 又∵ BC = CD, ∠BCM =∠CDN = 108°,‎ ‎∴ △BCM ≌ △CDN. ‎ ‎∴ BM = CN. ‎ ‎ (2)① 当∠BON = 时,结论BM = CN成立. ‎ ‎② BM = CN成立.‎ 证明:如图5,连结BD、CE.‎ 在△BCD和△CDE中,‎ ‎∵ BC = CD,∠BCD =∠CDE = 108°,CD = DE,‎ ‎∴ △BCD ≌ △CDE.‎ ‎∴ BD = CE,∠BDC =∠CED,∠DBC =∠ECD. ‎ ‎∵ ∠OBC +∠OCB = 108°,∠OCB +∠OCD = 108°,‎ ‎∴ ∠MBC =∠NCD.‎ 又∵ ∠DBC =∠ECD = 36°,∴ ∠DBM =∠ECN. ‎ ‎∴ △BDM ≌ △ECN. ‎ ‎8.阅读下面的材料:‎ 如图(1),在以AB为直径的半圆O内有一点P,AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D.求证:AP·AC+BP·BD=AB2.‎ 证明:连结AD、BC,过P作PM⊥AB,则∠ADB=∠AMP=90o,‎ ‎∴点D、M在以AP为直径的圆上;同理:M、C在以BP为直径的圆上.‎ 由割线定理得: AP·AC=AM·AB,BP·BD=BM·BA,‎ 所以,AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·(AM+BM)=AB2.‎ 当点P在半圆周上时,也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立,那么: ‎ ‎(1)如图(2)当点P在半圆周外时,结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立?为什么?‎ ‎(2)如图(3)当点P在切线BE外侧时,你能得到什么结论?将你得到的结论写出来.‎ ‎[解](1)AP·AC+BP·BD=AB2还成立. ‎ ‎ 证明:如图(2),∵∠PCM=∠PDM=900,‎ ‎∴点C、D在以PM为直径的圆上, ‎ ‎∴AC·AP=AM·MD,BD·BP=BM·BC,‎ ‎∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC,‎ ‎ 由已知,AM·MD+BM·BC=AB2,‎ ‎ ∴AP·AC+BP·BD=AB2. ‎ ‎(2)如图(3),过P作PM⊥AB,交AB的延长线于M,连结AD、BC,‎ 则C、M在以PB为直径的圆上,∴AP·AC=AB·AM,①‎ D、M在以PA为直径的圆上,∴BP·BD=AB·BM,②‎ 由图象可知:AB=AM-BM,③‎ 由①②③可得:AP·AC-BP·BD=AB·(AM-BM)=AB2. ‎ ‎9.设边长为‎2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d.‎ ‎(1)如图①,当r<a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:‎ d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r 图①‎ d=a+r a-r<d<a+r d=a-r d<a-r 所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有         个;‎ ‎(2)如图②,当r=a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:‎ d、a、r之间关系 图②‎ 公共点的个数 d>a+r d=a+r a≤d<a+r d<a 所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有        个;‎ 图③‎ ‎(3)如图③,当⊙O与正方形有5个公共点时,试说明r=a;‎ ‎(4)就r>a的情形,请你仿照“当……时,⊙O与正方形的公共点个数可能有 ‎    个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.‎ ‎[解] 图①‎ (1)‎ d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r ‎0‎ d=a+r ‎1‎ a-r<d<a+r ‎2‎ d=a-r ‎1‎ d<a-r ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个; ‎ 图②‎ ‎(2)‎ B C D F E d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r ‎0‎ d=a+r ‎1‎ a≤d<a+r ‎2‎ d<a ‎4‎ 所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个; ‎ ‎(3)方法一:如图所示,连结OC.‎ 则OE=OC=r ,OF=EF-OE=‎2a-r. ‎ ‎ 在Rt△OCF中,由勾股定理得:‎ ‎ OF2+FC2=OC2‎ 即(‎2a-r)2+a2=r2 ‎ ‎ ‎4a2-4ar+r2+a2=r2‎ ‎ ‎5a2=4ar ‎5a‎=4r ‎ ‎∴r =a. ‎ B N E 方法二:如图,连结BD、OE、BE、DE. ‎ ‎∵四边形BCMN为正方形 ‎∴∠C=∠M=∠N=90°‎ ‎∴BD为⊙O的直径,∠BED=90°‎ M D ‎∴∠BEN+∠DEM =90°‎ C ‎∵∠BEN+∠EBN=90°‎ ‎∴∠DEM=∠EBN ‎∴△BNE∽△EMD ‎ ‎∴‎ ‎∴DM=a ‎ 由OE是梯形BDMN的中位线 得OE=(BN+MD)=a.‎ ‎(4)①当a<r<时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个;‎ ‎②当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个;‎ ‎③当时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个;‎ ‎④当时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个;‎ ‎⑤当时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个.‎
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