2020-2021初二数学上册同步练习：角平分线的性质

2020-2021初二数学上册同步练习：角平分线的性质

专题 12.3 角平分线的性质 典例体系 一、知识点 1.角的平分线的作法； 2.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 3.证明一个几何中的命题，一般步骤： ①明确命题中的已知和求证； ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程； 4.性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上； 二、考点点拨与训练 考点 1：角平分线性质定理及其应用 典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与点 B，C 重合），连结 AD （1）如图 1,当点 D 是 BC 边上的中点时，则 S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案） （2）如图 2，当 AD 是∠BAC 的平分线时，若 AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含 m,n 的代数式 表示)． （3）如图 3，AD 平分∠BAC，延长 AD 到 E，使得 AD=DE,连结 BE，如果 AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC 的面积． 【答案】（1）1：1；（ 2）m∶n；（ 3）9 【解析】 解：（1）过 A 作 AE⊥BC 于 E， ∵点 D 是 BC 边上的中点， ∴BD=DC， ∴SABD：S△ACD=（ 1 2 ×BD×AE）：（ ×CD×AE）=1：1， 故答案为：1：1； （2）过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∵AD 为∠BAC 的角平分线， ∴DE=DF， ∵AB=m，AC=n， ∴SABD：S△ACD=（ ×AB×DE）：（ ×AC×DF）=m：n； （3）∵AD=DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1， ∵S△BDE=6， ∴S△ABD=6， ∵AC=2，AB=4，AD 平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1， ∴S△ACD=3， ∴S△ABC=3+6=9， 故答案为：9． 方法或规律点拨 本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（ 2）得出规律是解此题的关键． 巩固练习 1．（ 2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为（ ） A． 15 2 B． 20 3 C．3 D． 12 5 【答案】D 【解析】解：在 AB 上取一点 G，使 AG＝AF ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝FG ∴CE+EF＝CE+EG 则最小值时 CG 垂直 AB 时，CG 的长度 CG＝ 故选 D． 2．（ 2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用 A、 B．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA＝PE B．PO 平分∠APB C．AB 垂直平分 OP D．OA＝OB 【答案】C 【解析】解：∵OP 平分 A O B ， P A O A ， P B O B ∴ PA PB ，选项 A 正确； 在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中， P O P O P A P B    ， ∴Rt△AOP  Rt△BOP ∴ APOBPO  ，OA=OB，选项 D 正确； ∴PO 平分∠APB，选项 B 正确； 由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分 AB，AB 不一定垂直平分 OP，选项 C 错误． 故选：C． 3．（ 2020·辽宁省初三其他）如图，在 RtABC 中， 90C ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分 别交 AC ， AB 于点 M ， N ，再分别以点 ， 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ， 作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 4CD  ， 15AB  ，则 ABD 的面积是 （ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解析】解：作 DE⊥AB 于 E， 由基本尺规作图可知，AD 是△ABC 的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4， ∴△ABD 的面积＝ 1 2 AB×DE＝ ×15×4＝30， 故选：B． 4．（ 2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c 三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之 间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α 的平分线上 D．∠α 和∠β 的平分线的交点处 【答案】D 【解析】∵如图，要建一超市到 a、b、c 三条公路的距离相等， ∴该超市是△ABC 的内心， ∴超市应该建在∠α 和∠β 的平分线的交点处． 故选：D． 5．（ 2020·河南省初三二模）如图，在 RtABC 中， 90B ∠ ，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别 交 ABAC、 于点 ,DE，再分别以点 DE、 为圆心，大于 1 2 DE 为半径画弧，两弧交于点 F ，作射线 AF 交 边 BC 于点 1, 4BG AC，则 ACG 的面积是（ ） A．1 B． 3 2 C． 2 D． 5 2 【答案】C 【解析】解：由作法得 AG 平分 BAC ， G 点到 AC 的距离等于 BG 的长，即 G 点到 的距离为1， 所以 A C G 的面积 1 4 1 22    ． 故选：C． 6．（ 2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于点 D，如 果 AC=3cm，那么 AE+DE 等于（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【解析】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于点 D， ∴EC=DE， ∴AE+DE=AE+EC=3cm． 故选：B． 7．（ 2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【解析】作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC， ∵DE=DG， ∴DM=DE， ∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB， ∴DE=DN， ∴△DEF≌△DNM， ∵△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11， S△DNM=S△DEF= S△MDG= 1 112  =5.5 8．（ 2019·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC 中，E 为 AC 的中点，AD 平分∠BAC，BA：CA=2： 3，AD 与 BE 相交于点 O，若△OAE 的面积比△BOD 的面积大 1，则△ABC 的面积是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】解：作 DM⊥AC 于 M，DN⊥AB 于 N． ∵AD 平分∠BAC，DM⊥AC 于 M，DN⊥AB 于 N， ∴DM=DN， ∴S△ABD：S△ADC=BD：DC= 1 2 •AB•DN： •AC•DM=AB：AC=2：3， 设△ABC 的面积为 S．则 S△ADC= 3 5 S，S△BEC= 1 2 S， ∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大 1， ∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大 1， ∴ 3 5 S- 1 2 S=1， ∴S=10， 故选 C． 9．（ 2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点 I 为△ABC 三条角平分线的交点，则点 I 到边 AB 的距离为__________ 【答案】2 【解析】∵在△ABC 中，∠C=90°，BC=8，CA=6，AB=10， ∵点 I 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴IE=IF=ID， 设 IE=x， ∵S△ABC=S△IAB+S△IAC+S△ICB， ∴ 1 2 ×6×8= IF×10+ IE×6+ ID×8， ∴5x+3x+4x=24， ∴x=2， ∴点 I 到 AB 的距离等于 2． 故答案为：2. 10．（ 2019·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM 平分∠ADC，AM 平分∠DAB，CB=8，则点 M 到 BC 的距离_______． 【答案】4 【解析】如图，过点 M 作 ME⊥AD 于 E， ∵AM 平分∠DAB，DM 平分∠ADC，∠B=∠C=90°， ∴BM=ME，CM=EM， ∴BM=CM， ∵BC=8， ∴ 1 842BM  ， ∴ME=4， 即点 M 到 AD 的距离为 4． 故答案为：4． 11．（ 2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图， ABC 的三边 ABBCCA、 、 的长分别为 405060、 、 ， 其三条角平分线交于点 O ，则 ::ABO BCO CAOS S S =______． 【答案】 4:5: 6 【解析】解：过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，作 OE⊥AC 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F， ∵OA，OB，OC 是△ABC 的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ 1 2 AB•OD）：（ BC•OF）：（ AC•OE） =AB：BC：AC=40：50：60= 4:5: 6 ． 故答案为： ． 12．（ 2019·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，AB＝6，BC ＝8.若 S△ABC＝21，则 DE＝________． 【答案】3 【解析】∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF， ∵S△ABC=21，AB=6，BC=8， ∴ 1 2 ×6×DE+ ×8×DF=21， 即 7DE=21， ∴DE=3. 故答案为：3. 13．（ 2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD=DF. （1）求证：CF=EB． （2）若 AF=2,EB=1,求 AB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）4 【解析】（1）证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴ DC=DE， ∵ BD=DF， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF=EB； （2）由（1）知 CF=EB=1， ∴AC=AF+FC=3， 又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD， ∴△ACD≌△AED(AAS) ∴AC=AE=3， ∴AB=AE+EB=3+1=4． 14．（ 2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知OM 是 AOB 的平分线，点 P 是射线 上一点，点 C、 D 分别在射线OA 、OB 上，连接 PC、PD． （1）发现问题 如图①，当 PC OA ， P D O B 时，则 PC 与 PD 的数量关系是________． （2）探究问题 如图②，点 C、D 在射线 OA、OB 上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 P C P D 时，PC 与 PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】（1）PC=PD；（ 2）PC=PD 仍然成立．理由见解析． 【解析】解：（1）∵OM 是∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD， 故答案为：PC=PD； （2）PC=PD 仍然成立．理由如下： 过 P 分别作 PE⊥OB 于 E，PF⊥OA 于 F， ∴∠CFP=∠DEP=90°， ∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE=PF． ∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°， ∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE， 在△CFP 和△DEP 中， CFP DEP FCP PDE PF PE         ， ∴△CFP≌△DEP（AAS）， ∴PC=PD． 考点 2：角平分线性质定理的逆定理及其应用 典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线与 BC 的中垂线 DE 交于点 E，过点 E 作 AC 边的垂线，垂足为 N，过点 E 作 AB 延长线的垂线，垂足为 M. (1)求证：BM=CN； (2)若，AB=2，AC=8，求 BM 的长. 【答案】(1)证明见解析；（2）3. 【解析】证明：连接 BE，CE，如图， ∴DE 是 BC 的垂直平分线， ∴BE=CE， ∵AE 是∠BAC 的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴EM=EN， 在 Rt△BME 和 Rt△CNE 中， {퐵퐸＝퐶퐸 퐸푀＝퐸푁 ， ∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）， ∴BM=CN (2)由（1）得：EM=EN， 在 Rt△AME 和 Rt△ANE 中， {퐴퐸＝퐴퐸 퐸푀＝퐸푁 ， ∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL）， ∴AM=AN，又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN ∴AB+BM=AC-CN ∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN ∴BM=CN =3 方法或规律点拨 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用． 巩固练习 1．（ 2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全 相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并 且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( ) A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【解析】如图所示：过两把直尺的交点 C 作 CF⊥BO 与点 F，由题意得 CE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴CE=CF， ∴OP 平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选 A． 2．（ 2020·湖北省中考真题）如图，已知 ABC 和 ADE 都是等腰三角形， 90BACDAE ， ,B D C E 交于点 F，连接 AF ，下列结论：① B D C E ；② B F C F ；③ 平分 CAD ；④ 45AFE   ．其 中正确结论的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD 和△CAE 中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠BGA=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确； 分别过 A 作 AM⊥BD、AN⊥CE 垂足分别为 M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ 11 22BDAMCEAN ∵BD=CE ∴AM=AN ∴ AF 平分∠BFE，无法证明 AF 平分∠CAD． 故③错误； ∵ 平分∠BFE， BFCF ∴ 45AFE   故④正确． 故答案为 C． 3．（ 2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图， ABC 中， 90C   ，点 O 为 的三条角平分 线的交点，OD 垂直 BC ，O E A C ，O F A B ，点 D 、E 、F 分别是垂足，且 1 0 c mAB  ， 8 c mBC  ， 6 c mCA  ，则 OF  __________． 【答案】2cm 【解析】解：连接 OA 、 OB 、 OC ，如图， 点 为 ABC 的三条角平分线的交点， 垂直 ， ， ， ODOEOF ， 设 O F x ，则ODOEx， AOCBOCAOBACBSSSS  ，  1 1 1 16 8 10 6 82 2 2 2x x x     ，解得 2x  ， 即 OF 的长为 2cm ． 故答案为： ． 4．（ 2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，点 D 为斜边 BC 上一点，且 BD=BA， 过点 D 作 BC 的垂线交 AC 于点 E．求证：点 E 在∠ABC 的角平分线上． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：连接 BE， ∵ED⊥BC， ∴∠BDE=∠A=90°． 在 Rt△ABE 和 Rt△DBE 中 ∵ B E B E{B A B D ＝ ＝ ， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）． ∴∠ABE=∠DBE． ∴点 E 在∠ABC 的角平分线上． 5．（ 2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知 AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，且 BC=CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：AB+AD=2AE. 【答案】详见解析 【解析】（1）证明：∵AC 是角平分线，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F， ∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°， 在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中， BC DC CE CF    ∴△BCE≌△DCF； （2）解：∵CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F， ∴∠F=∠CEA=90°， 在 Rt△FAC 和 Rt△EAC 中， AC AC CE CF    ， ∴Rt△FAC≌Rt△EAC， ∴AF=AE， ∵△BCE≌△DCF， ∴BE=DF， ∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE. 6．（ 2019·云龙县第三中学初二期中）如图，BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F，BE 与 CF 交于点 D，DE=DF， 连接 AD． 求证：（1）∠FAD=∠EAD； （2）BD=CD． 【答案】（1）证明见解析；证明见解析. 【解析】证明：(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF， ∴AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠FAD=∠EAD； (2)∵△ADF 与△ADE 是直角三角形，DE=DF，AD=AD， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE， ∴∠ADF=∠ADE， ∵∠BDF=∠CDE， ∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE， 即∠ADB=∠ADC， 在△ABD≌△ACD 中， { FAD EAD AD AD ADB ADC        ， ∴△ABD≌△ACD， ∴BD=CD. 7．（ 2018·江苏省初二期中）已知：如图 BAC 中， B F A C ， C E A B ，垂足分别为 F、E，BF 交 CE 于点 D， B D C D ，求证：D 点在 的平分线上． 【答案】证明见解析 【解析】 证明：连接 AD， ∵ ， ， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE 与△CDF 中， BED CFD BDE CDF BD CD         ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE=DF， ∴AD 是∠BAC 的角平分线， ∴D 点在 的平分线上． 考点 3：与角平分线有关的尺规作图 典例：（2020·河北省中考真题）如图 1，已知 ABC ，用尺规作它的角平分线． 如图 2，步骤如下， 第一步：以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BA ， BC 于点 D ， E ； 第二步：分别以 D ， E 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在 ABC 内部交于点 P ； 第三步：画射线 BP ．射线 即为所求． 下列正确的是（ ） A． a ， 均无限制 B． 0a  ， 1 2b D E 的长 C． 有最小限制， 无限制 D． 0a  ， 1 2b DE 的长 【答案】B 【解析】第一步：以 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 BA ， BC 于点 ， ； ∴ 0a  ； 第二步：分别以 ， 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 ； ∴ 1 2b DE 的长； 第三步：画射线 ．射线 即为所求． 综上，答案为： ； 的长， 故选：B． 方法或规律点拨 本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法． 巩固练习 1．（ 2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业， OC 为 AOB 的平分线，这样的作法依据是( ) A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS 【答案】A 【解析】连接 CE、CD， 在△OEC 和△ODC 中， CE CD OC OC OE OD      ， ∴△OEC≌△ODC（SSS）， 故选：A． 2．（ 2020·河南省初二月考）如图，△ABC 中，点 E，F，G 分别在 BC，AC，AB 上，AE 与 BF 交于点 O， 且点 O 在 CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ） A．AE，BF 是△ABC 的角平分线 B．点 O 到△ABC 三边的距离相等 C．CG 也是△ABC 的一条角平分线 D．AO＝BO＝CO 【答案】D 【解析】A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF 是△ABC 的内角平分线，正确； B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点 O 到△ABC 三边的距离相等，正确； C、根据三角形三条角平分线交于一点，且点 O 在 CG 上，所以 CG 也是△ABC 的一条内角平分线，正确 D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项 D 不正确； 故选 D． 3．（ 2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在 AOB 中，尺规作图如下：在射线 OA 、 OB 上，分别截 取 OD 、OE ，使ODOE ；分别以点 D 和点 E 为圆心、大于 1 2 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 C ； 作射线 OC ，连结CE 、CD .下列结论不一定．．．成立的是( ) A． O E E C B． C E C D C． O E C O D C   D． E C O D C O   【答案】A 【解析】解：根据题意，得：OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△OEC≌△ODC（SSS）， ∴ ， ，∴B、C、D 三项是正确的，而 不一定成立． 故选 ：A． 4．（ 2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD=OE； ②分别以 D，E 为圆心，以大于 1 2 DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C； ③作射线 OC． 则∠AOC 的大小为_________． 【答案】20°． 【解析】根据画图的方法可知：OC 是∠AOB 的角平分线， ∴∠AOC=40°÷2=20°． 故答案是：20°． 5．（ 2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧， 分别交 AC、AB 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点 O，作射线 AO 交 BC 于点 D，若 CD＝3，P 为 AB 上一动点，则 PD 的最小值为_____． 【答案】3 【解析】根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得 PD 最小=CD=3. 故答案为:3. 6．（ 2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线的方 法： 已知： A O B 求作： 的平分线 做法：（1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N， （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 C （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求． 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)． ① SSS ② SAS ③ AAS ④ ASA （2）请你证明 OC 为 的平分线． 【答案】（1）①；（ 2）证明见解析 【解析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理 SSS 可以 证得△EOC≌△DOC，从而得到 OC 为 的平分线； 故答案为：①； （2）如图， 连接 MC、NC． 根据作图的过程知， 在△MOC 与△NOC 中， O M O N O C O C CM CN    ＝ ＝ ＝ ， ∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∠AOC=∠BOC， ∴OC 为 A O B 的平分线． 7．（ 2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作 弧，分别交 BA、BC 于点 M、N；再以点 N 为圆心，MN 长为半径作弧交前面的弧于点 F，作射线 BF 交 AC 的延长线于点 E． ②以点 B 为圆心，BA 长为半径作弧交 BE 于点 D，连接 CD． 请你观察图形，解答下列问题： （1）求证：△ABC≌△DBC； （2）若∠A=100°，∠E=50°，求∠ACB 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=65°． 【解析】（1）如图所示，连接 MN，NF， 由作图可得，BM=BF，MN=FN，BN=BN， ∴△BMN≌△BFN（SSS）， ∴∠ABC=∠DBC， 又∵AB=DB，BC=BC， ∴△ABC≌△DBC（SAS）； （2）∵∠A=100°，∠E=50°， ∴∠ABE=30°， ∴∠ABC= 1 2 ∠ABD=15°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°． 8．（ 2019·广西壮族自治区初一期末）如图，平面内有 A ， B ， C ， D 四点，请按要求完成： （1）尺规作图：连接 AB ，作射线CD ，交 于点 E ，作射线 EF 平分 CEB ．须保留作图痕迹，且用 黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明． （2）在（1）的条件下，若 100AEC ，求 CEF 的度数． 【答案】（1）作图见解析；（2） 40 .CEF   【解析】解：（1）作线段 ，作射线 ， 如图，即为所做图形； （2） 100AEC   ，射线 EF 平分 C E B ， 11(180)(180100)22CEFAEC    40 9．（ 2020·佛山市南海外国语学校初三月考）如图，已知在 ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 AB AD ． （1）用尺规作图法，作 BAC 的平分线 AP ，交 BC 于点 P ；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接 PD ．求证： PDPB ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）如图，射线 AP 为所求作的图形； （2）∵CP 是∠ACB 的平分线，如图： ∴∠1=∠2， 在△ABP 和△ADP 中， 12 AB AD AP AP        ， ∴△ABP  △ADP（SAS）， ∴PD=PB．