真题哈尔滨市中考数学试卷含答案解析Word

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2017 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣7 的倒数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 2．下列运算正确的是（　　） A．a6÷a3=a2 B．2a3+3a3=5a6 C．（﹣a3）2=a6 D．（a+b）2=a2+b2 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C ． D． 4．抛物线 y=﹣ （x+ ）2﹣3 的顶点坐标是（　　） A．（ ，﹣3） B．（﹣ ，﹣3） C．（ ，3） D．（﹣ ，3） 5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　） A． B． C ． D． 6．方程 = 的解为（　　） A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5 7．如图，⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B 的 大小是（　　） A．43° B．35° C．34° D．44° 8．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则 cosB 的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，点 F 为 BC 边上一点，连接 AF 交 DE 于点 G，则下列结论中一定正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 10．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他 按原路返回家中，小涛离家的距离 y（单位：m）与他所用的时间 t（单位：min） 之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．小涛家离报亭的距离是 900m B．小涛从家去报亭的平均速度是 60m/min C．小涛从报亭返回家中的平均速度是 80m/min D．小涛在报亭看报用了 15min 　 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．将 57600000 用科学记数法表示为　 　． 12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　 　． 13．把多项式 4ax2﹣9ay2 分解因式的结果是　 　． 14．计算 ﹣6 的结果是　 　． 15 ． 已 知 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 （ 1 ， 2 ） ， 则 k 的 值 为　 　． 16．不等式组 的解集是　 　． 17．一个不透明的袋子中装有 17 个小球，其中 6 个红球、11 个绿球，这些小球 除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率 为　 　．【来源：21cnj*y.co*m】 18．已知扇形的弧长为 4π，半径为 8，则此扇形的圆心角为　 　． 19．四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 点 E 在 AC 上，若 OE= ，则 CE 的长为　 　．【出处：21 教育名师】 20．如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 边上一点，连接 AM，过点 D 作 DE⊥ AM，垂足为 E．若 DE=DC=1，AE=2EM，则 BM 的长为　 　． 　 三、解答题（本大题共 60 分） 21．先化简，再求代数式 ÷ ﹣ 的值，其中 x=4sin60°﹣2． 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正 方形的顶点上． （1）在图中画出以 AB 为底、面积为 12 的等腰△ABC，且点 C 在小正方形的顶 点上； （2）在图中画出平行四边形 ABDE，且点 D 和点 E 均在小正方形的顶点上，tan ∠EAB= ，连接 CD，请直接写出线段 CD 的长． 23．随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生 活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰 山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一 个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整 理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若洪祥中学共有 1350 名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少 名． 24．已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接 AE，BD 交于点 O，AE 与 DC 交于点 M，BD 与 AC 交于点 N． （1）如图 1，求证：AE=BD； （2）如图 2，若 AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四 对全等的直角三角形． 25．威丽商场销售 A，B 两种商品，售出 1 件 A 种商品和 4 件 B 种商品所得利 润为 600 元，售出 3 件 A 种商品和 5 件 B 种商品所得利润为 1100 元． （1）求每件 A 种商品和每件 B 种商品售出后所得利润分别为多少元； （2）由于需求量大，A、B 两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进 A、B 两种商品共 34 件．如果将这 34 件商品全部售完后所得利润不低于 4000 元，那 么威丽商场至少需购进多少件 A 种商品？ 26．已知：AB 是⊙O 的弦，点 C 是 的中点，连接 OB、OC，OC 交 AB 于 点 D． （1）如图 1，求证：AD=BD； （2）如图 2，过点 B 作⊙O 的切线交 OC 的延长线于点 M，点 P 是 上一点， 连接 AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 DP、MP，延长 MP 交⊙O 于点 Q，若 MQ=6DP， sin∠ABO= ，求 的值． 27．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 y=x﹣3 经过 B、C 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 C 作直线 CD⊥y 轴交抛物线于另一点 D，点 P 是直线 CD 下方抛物线 上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PE 交 CD 于点 F，交 BC 于点 M，连接 AC，过点 M 作 MN⊥AC 于点 N，设点 P 的横坐 标为 t，线段 MN 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的 取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 PC，过点 B 作 BQ⊥PC 于点 Q（点 Q 在线段 PC 上），BQ 交 CD 于点 T，连接 OQ 交 CD 于点 S，当 ST=TD 时，求线段 MN 的 长． 　 2017 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣7 的倒数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 【考点】17：倒数． 【分析】根据乘积是 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【解答】解：﹣7 的倒数是﹣ ， 故选：D． 　 2．下列运算正确的是（　　） A．a6÷a3=a2 B．2a3+3a3=5a6 C．（﹣a3）2=a6 D．（a+b）2=a2+b2 【考点】4I：整式的混合运算． 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a3，不符合题意； B、原式=5a3，不符合题意； C、原式=a6，符合题意； D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意， 故选 C 　 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C ． D． 【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 　 4．抛物线 y=﹣ （x+ ）2﹣3 的顶点坐标是（　　） A．（ ，﹣3） B．（﹣ ，﹣3） C．（ ，3） D．（﹣ ，3） 【考点】H3：二次函数的性质． 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：y=﹣ （x+ ）2﹣3 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）． 故选 B． 　 5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　） A． B． C ． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形， 故选：C． 　 6．方程 = 的解为（　　） A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5 【考点】B3：解分式方程． 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【解答】解：2（x﹣1）=x+3， 2x﹣2=x+3， x=5， 令 x=5 代入（x+3）（x﹣1）≠0， 故选（C） 　 7．如图，⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B 的 大小是（　　） A．43° B．35° C．34° D．44° 【考点】M5：圆周角定理． 【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性 质即可得到结论． 【解答】解：∵∠D=∠A=42°， ∴∠B=∠APD﹣∠D=35°， 故选 B． 　 8．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则 cosB 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】T1：锐角三角函数的定义． 【分析】利用锐角三角函数定义求出 cosB 的值即可． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1， ∴BC= = ， 则 cosB= = ， 故选 A 　 9．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，点 F 为 BC 边上一点，连接 AF 交 DE 于点 G，则下列结论中一定正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【考点】S9：相似三角形的判定与性质． 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解答】解：（A）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ，故 A 错误； （B）∵DE∥BC， ∴ ，故 B 错误； （C）∵DE∥BC， ，故 C 正确； （D））∵DE∥BC， ∴△AGE∽△AFC， ∴ = ，故 D 错误； 故选（C） 　 10．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他 按原路返回家中，小涛离家的距离 y（单位：m）与他所用的时间 t（单位：min） 之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（　　）21cnjy.com A．小涛家离报亭的距离是 900m B．小涛从家去报亭的平均速度是 60m/min C．小涛从报亭返回家中的平均速度是 80m/min D．小涛在报亭看报用了 15min 【考点】E6：函数的图象． 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【解答】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是 1200m，故 A 不符合题意； B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是 1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了 15 分钟，小涛从家去报亭的平均速度是 80m/min，故 B 不符合题意； C、返回时的解析式为 y=﹣60x+3000，当 y=1200 时，x=30，由横坐标看出返回 时的时间是 50﹣30=20min，返回时的速度是 1200÷20=60m/min，故 C 不符合题 意；21 教育网 D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了 30﹣15=15min，故 D 符合题意； 故选：D． 　 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．将 57600000 用科学记数法表示为　5.67×107　． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与 小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．2·1·c·n·j·y 【解答】解：57600000 用科学记数法表示为 5.67×107， 故答案为：5.67×107． 　 12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　x≠2　． 【考点】E4：函数自变量的取值范围． 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为 0 进行解答即可． 【解答】解：由 x﹣2≠0 得，x≠2， 故答案为 x≠2． 　 13．把多项式 4ax2﹣9ay2 分解因式的结果是　a（2x+3y）（2x﹣3y）　． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（4x2﹣9y2）=a（2x+3y）（2x﹣3y）， 故答案为：a（2x+3y）（2x﹣3y） 　 14．计算 ﹣6 的结果是　 　． 【考点】78：二次根式的加减法． 【分析】先将二次根式化简即可求出答案． 【解答】解：原式=3 ﹣6× =3 ﹣2 = 故答案为： 　 15．已知反比例函数 y= 的图象经过点（1，2），则 k 的值为　1　． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】直接把点（1，2）代入反比例函数 y= ，求出 k 的值即可． 【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象经过点（1，2）， ∴2=3k﹣1，解得 k=1． 故答案为：1． 　 16．不等式组 的解集是　2≤x＜3　． 【考点】CB：解一元一次不等式组． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解： ， 由①得：x≥2， 由②得：x＜3， 则不等式组的解集为 2≤x＜3． 故答案为 2≤x＜3． 　 17．一个不透明的袋子中装有 17 个小球，其中 6 个红球、11 个绿球，这些小球 除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率 为　 　．21·世纪*教育网 【考点】X4：概率公式． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数 目；二者的比值就是其发生的概率．【版权所有：21 教育】 【解答】解：∵不透明的袋子中装有 17 个小球，其中 6 个红球、11 个绿球， ∴摸出的小球是红球的概率为 ； 故答案为： ． 　 18．已知扇形的弧长为 4π，半径为 8，则此扇形的圆心角为　90°　． 【考点】MN：弧长的计算． 【分析】利用扇形的弧长公式计算即可． 【解答】解：设扇形的圆心角为 n°， 则 =4π， 解得，n=90， 故答案为：90°． 　 19．四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 点 E 在 AC 上，若 OE= ，则 CE 的长为　4 或 2 　．21*cnjy*com 【考点】L8：菱形的性质． 【分析】由菱形的性质证出△ABD 是等边三角形，得出 BD=AB=6，OB= BD=3，由勾股定理得出 OC=OA= =3 ，即可得出答 案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD=AB=6， ∴OB= BD=3， ∴OC=OA= =3 ， ∴AC=2OA=6 ， ∵点 E 在 AC 上，OE= ， ∴CE=OC+ 或 CE=OC﹣ ， ∴CE=4 或 CE=2 ； 故答案为：4 或 2 ． 　 20．如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 边上一点，连接 AM，过点 D 作 DE⊥ AM，垂足为 E．若 DE=DC=1，AE=2EM，则 BM 的长为　 　． 【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】由AAS 证明△ABM≌△DEA，得出 AM=AD，证出 BC=AD=3EM，连 接 DM，由 HL 证明 Rt△DEM≌Rt△DCM，得出 EM=CM，因此 BC=3CM，设 EM=CM=x，则 BM=2x，AM=BC=3x，在 Rt△ABM 中，由勾股定理得出方程， 解方程即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC， ∴∠AMB=∠DAE， ∵DE=DC， ∴AB=DE， ∵DE⊥AM， ∴∠DEA=∠DEM=90°， 在△ABM 和△DEA 中， ， ∴△ABM≌△DEA（AAS）， ∴AM=AD， ∵AE=2EM， ∴BC=AD=3EM， 连接 DM，如图所示： 在 Rt△DEM 和 Rt△DCM 中， ， ∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL）， ∴EM=CM， ∴BC=3CM， 设 EM=CM=x，则 BM=2x，AM=BC=3x， 在 Rt△ABM 中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2， 解得：x= ， ∴BM= ； 故答案为： ． 　 三、解答题（本大题共 60 分） 21．先化简，再求代数式 ÷ ﹣ 的值，其中 x=4sin60°﹣2． 【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简 后的式子即可解答本题． 【解答】解： ÷ ﹣ = = = ， 当 x=4sin60°﹣2=4 × = ﹣2 时 ， 原 式 = ． 　 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正 方形的顶点上． （1）在图中画出以 AB 为底、面积为 12 的等腰△ABC，且点 C 在小正方形的顶 点上； （2）在图中画出平行四边形 ABDE，且点 D 和点 E 均在小正方形的顶点上，tan ∠EAB= ，连接 CD，请直接写出线段 CD 的长． 【考点】N4：作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理；L6：平行四边形的判定； T7：解直角三角形． 【分析】（1）因为 AB 为底、面积为 12 的等腰△ABC，所以高为 4，点 C 在线 段 AB 的垂直平分线上，由此即可画出图形； （2）扇形根据 tan∠EAB= 的值确定点 E 的位置，由此即可解决问题，利用 勾股定理计算 CD 的长； 【解答】解：（1）△ABC 如图所示； （2）平行四边形 ABDE 如图所示，CD= = ． 　 23．随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生 活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰 山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一 个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整 理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： www.21-cn-jy.com （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若洪祥中学共有 1350 名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少 名． 【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图． 【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可； （2）根据题意作出图形即可； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）10÷20%=50（名）， 答：本次调查共抽取了 50 名学生； （2）50﹣10﹣20﹣12=8（名）， 补全条形统计图如图所示， （3）1350× =540（名）， 答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有 540 名． 　 24．已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接 AE，BD 交于点 O，AE 与 DC 交于点 M，BD 与 AC 交于点 N． （1）如图 1，求证：AE=BD； （2）如图 2，若 AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四 对全等的直角三角形． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知 AE=BD； （2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形； 【解答】解：（1）∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD=∠ACE， 在△ACE 与△BCD 中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， （2）∵AC=DC， ∴AC=CD=EC=CB， △ACB≌△DCE（SAS）； 由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC ∴∠DOM=90°， ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD， ∴△EMC≌△BCN（ASA）， ∴CM=CN， ∴DM=AN， △AON≌△DOM（AAS）， ∵DE=AB，AO=DO， ∴△AOB≌△DOE（HL） 　 25．威丽商场销售 A，B 两种商品，售出 1 件 A 种商品和 4 件 B 种商品所得利 润为 600 元，售出 3 件 A 种商品和 5 件 B 种商品所得利润为 1100 元． （1）求每件 A 种商品和每件 B 种商品售出后所得利润分别为多少元； （2）由于需求量大，A、B 两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进 A、B 两种商品共 34 件．如果将这 34 件商品全部售完后所得利润不低于 4000 元，那 么威丽商场至少需购进多少件 A 种商品？21·cn·jy·com 【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设 A 种商品售出后所得利润为 x 元，B 种商品售出后所得利润为 y 元．由售出 1 件 A 种商品和 4 件 B 种商品所得利润为 600 元，售出 3 件 A 种 商品和 5 件 B 种商品所得利润为 1100 元建立两个方程，构成方程组求出其解就 可以；【来源：21·世纪·教育·网】 （2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不 低于 4000 元，建立不等式求出其解就可以了．www-2-1-cnjy-com 【解答】解：（1）设 A 种商品售出后所得利润为 x 元，B 种商品售出后所得利 润为 y 元．由题意，得 ， 解得： 答：A 种商品售出后所得利润为 200 元，B 种商品售出后所得利润为 100 元． （2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品（34﹣a）件．由题意，得 200a+100（34﹣a）≥4000， 解得：a≥6 答：威丽商场至少需购进 6 件 A 种商品． 　 26．已知：AB 是⊙O 的弦，点 C 是 的中点，连接 OB、OC，OC 交 AB 于 点 D． （1）如图 1，求证：AD=BD； （2）如图 2，过点 B 作⊙O 的切线交 OC 的延长线于点 M，点 P 是 上一点， 连接 AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；2-1-c-n-j-y （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 DP、MP，延长 MP 交⊙O 于点 Q，若 MQ=6DP， sin∠ABO= ，求 的值． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）如图 1，连接 OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论； （2）如图 2，延长 BO 交⊙O 于点 T，连接 PT，由圆周角定理可得∠BPT=90°， 易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可 得∠ABO=∠OMB，等量代换可得∠ABO=∠APT，易得结论； （3）如图 3，连接 MA，利用垂直平分线的性质可得 MA=MB，易得∠MAB=∠ MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线 MG 上截取 MN=MP，连接 PN，BN，易得△ APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得 AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长 PD 至点 K，使 DK=DP，连接 AK、BK，易得四边形 APBK 是平行四边形，由平行 四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由 （2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△ PBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得 sin∠PMH= ，sin∠ABO= ， 设 DP=3a，则 PM=5a，可得结果． 【解答】（1）证明：如图 1，连接 OA， ∵C 是 的中点， ∴ ， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB， ∴OD⊥AB，AD=BD； （2）证明：如图 2，延长 BO 交⊙O 于点 T，连接 PT ∵BT 是⊙O 的直径 ∴∠BPT=90°， ∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°， ∵BM 是⊙O 的切线， ∴OB⊥BM， 又∠OBA+∠MBA=90°， ∴∠ABO=∠OMB 又∠ABO=∠APT ∴∠APB﹣90°=∠OMB， ∴∠APB﹣∠OMB=90°； （3）解：如图 3，连接 MA， ∵MO 垂直平分 AB， ∴MA=MB， ∴∠MAB=∠MBA， 作∠PMG=∠AMB， 在射线 MG 上截取 MN=MP， 连接 PN，BN， 则∠AMP=∠BMN， ∴△APM≌△BNM， ∴AP=BN，∠MAP=∠MBN， 延长 PD 至点 K， 使 DK=DP， 连接 AK、BK， ∴四边形 APBK 是平行四边形； AP∥BK， ∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°， 由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA） =90°， ∴∠APB+∠MBA=180° ∴∠PBK=∠MBA， ∴∠MBP=∠ABK=∠PAB， ∴∠MAP=∠PBA=∠MBN， ∴∠NBP=∠KBP， ∵PB=PB， ∴△PBN≌△PBK， ∴PN=PK=2PD， 过点 M 作 MH⊥PN 于点 H， ∴PN=2PH， ∴PH=DP，∠PMH=∠ABO， ∵sin∠PMH= ，sin∠ABO= ， ∴ ， ∴ ，设 DP=3a，则 PM=5a， ∴MQ=6DP=18a， ∴ ． 　 27．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 y=x﹣3 经过 B、C 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 C 作直线 CD⊥y 轴交抛物线于另一点 D，点 P 是直线 CD 下方抛物线 上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PE 交 CD 于点 F，交 BC 于点 M，连接 AC，过点 M 作 MN⊥AC 于点 N，设点 P 的横坐 标为 t，线段 MN 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的 取值范围）；21 世纪教育网版权所有 （3）在（2）的条件下，连接 PC，过点 B 作 BQ⊥PC 于点 Q（点 Q 在线段 PC 上），BQ 交 CD 于点 T，连接 OQ 交 CD 于点 S，当 ST=TD 时，求线段 MN 的 长．21*cnjy*com 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）首先求出点 B、C 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解 析式； （2）根据 S△ABC=S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求 y 与 m 之间的函数关 系式； （3）如图 2，由抛物线对称性可得 D（2，﹣3），过点 B 作 BK⊥CD 交直线 CD 于点 K，可得四边形 OCKB 为正方形，过点 O 作 OH⊥PC 交 PC 延长线于点 H， OR⊥BQ 交 BQ 于点 I 交 BK 于点 R，可得四边形 OHQI 为矩形，可证△OBQ≌ △OCH，△OSR≌△OGR，得到 tan∠QCT=tan∠TBK，设 ST=TD=m，可得 SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在 Rt△SKR 中， 根据勾股定理求得 m，可得 tan∠PCD= ，过点 P 作 PE′⊥x 轴于 E′交 CD 于点 F′，得到 P（t，﹣ t﹣3），可得﹣ t﹣3=t2﹣2t﹣3，求得 t，再根据 MN=d 求解即可．21 教育名师原创作品 【解答】解：（1）∵直线 y=x﹣3 经过 B、C 两点， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， ∵y=x2+bx+c 经过 B、C 两点， ∴ ， 解得 ， 故抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3； （2）如图 1，y=x2﹣2x﹣3， y=0 时，x2﹣2x﹣3=0， 解得 x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0）， ∴OA=1，OB=OC=3， ∴∠ABC=45°，AC= ，AB=4， ∵PE⊥x 轴， ∴∠EMB=∠EBM=45°， ∵点 P 的横坐标为 1， ∴EM=EB=3﹣t， 连结 AM， ∵S△ABC=S△AMC+S△AMB， ∴ AB•OC= AC•MN+ AB•EM， ∴ ×4×3= × d+ ×4（3﹣t）， ∴d= t； （3）如图 2， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为 x=1， ∴由抛物线对称性可得 D（2，﹣3）， ∴CD=2， 过点 B 作 BK⊥CD 交直线 CD 于点 K， ∴四边形 OCKB 为正方形， ∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3， ∴DK=1， ∵BQ⊥CP， ∴∠CQB=90°， 过点 O 作 OH⊥PC 交 PC 延长线于点 H，OR⊥BQ 交 BQ 于点 I 交 BK 于点 R， ∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°， ∴四边形 OHQI 为矩形， ∵∠OCQ+∠OBQ=180°， ∴∠OBQ=∠OCH， ∴△OBQ≌△OCH， ∴QG=OS，∠GOB=∠SOC， ∴∠SOG=90°， ∴∠ROG=45°， ∵OR=OR， ∴△OSR≌△OGR， ∴SR=GR， ∴SR=CS+BR， ∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°， ∴∠BOR=∠TBK， ∴tan∠BOR=tan∠TBK， ∴ = ， ∴BR=TK， ∵∠CTQ=∠BTK， ∴∠QCT=∠TBK， ∴tan∠QCT=tan∠TBK， 设 ST=TD=m， ∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m， 在 Rt△SKR 中， ∵SK2+RK2=SR2， ∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2， 解得 m1=﹣2（舍去），m2= ； ∴ST=TD= ，TK= ， ∴tan∠TBK= = ÷3= ， ∴tan∠PCD= ， 过点 P 作 PE′⊥x 轴于 E′交 CD 于点 F′， ∵CF′=OE′=t， ∴PF′= t， ∴PE′= t+3， ∴P（t，﹣ t﹣3）， ∴﹣ t﹣3=t2﹣2t﹣3， 解得 t1=0（舍去），t2= ． ∴MN=d= t= × = ． 　 2017 年 7 月 5 日