福建省师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

福建省师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试 高三数学（理科）试卷 试卷说明：‎ ‎（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。‎ ‎（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，集合，则 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎2.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎3.已知，则的大小关系为 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎4. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A．1.5尺 B．2.5尺 ‎ C．3.5尺 D．4.5尺 ‎5. 设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6. 若，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 7. 己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. 若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎ ‎ ‎10. 已知平面向量满足，若，则的最大值为 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎11.已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎12.设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是 A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：每小题5分,共20分.‎ ‎13.边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为　 　．‎ ‎14. 16至17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知， ，则　 　．‎ ‎15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口 径,两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点，，‎ 测得，，，‎ ‎，则,两点的距离为________．‎ 16. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是_________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18.（12分）‎ ‎ 已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，证明： .‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在 中，角 的对边分别为 , . ‎ ‎（1）求角 的大小；‎ ‎（2）若为外一点， ，求四边形面积的最大值.‎ ‎20．（12分）‎ 已知数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，记的最小值为，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23‎ 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A, B．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设P(1，2)，求的取值范围．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.‎ ‎ ‎ 评分标准 一、选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C B C C A C A D D B 二、填空题： ‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题: ‎ ‎17. 解：（1）∵sinBsinC．‎ 由正弦定理得，bc，…………2分 ‎∵a﹣cb，∴a＝‎2c，，…………4分，‎ 由余弦定理知，cosA．…………6分 ‎（2）∵由（1）知，cosA．A为三角形内角，∴sinA，……7分 ‎∴sin‎2A=……………………………………8分 cos‎2A= - …………………………9分 ‎∴＝sin2Acos cos‎2A sin．…………12分 ‎18. 解：因为①‎ 所以当时，，得.…………………………1分 当时，②‎ ‎①-②得，…………………………3分 即，‎ ‎∴，…………………………5分 符合上式.故．．．．．．．．．．6分 （2） ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19.解：（1）在 中，∵. ‎ ‎∴ ，…………………………1分 ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎∴ ，即 ，…………………………4分 ‎∵‎ ‎∴ .…………………………6分 ‎（2）在 中，‎ 又 ，‎ 则为等腰直角三角形，，……………8分 又 ，………………………………………9分 ‎，……………11分 当 时，四边形 的面积最大值，最大值为 .……………12分 ‎20. 解：（1）时， …………………………1分 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①2×② …………………………4分 满足上式，故.…………………………5分 ‎（2），有累加整理 ‎① …………………………7分 ‎②‎ ‎②① 得 满足上式，故.…………………………12分 ‎21. （1）因为的定义域为， ‎ 又， …………………………1分 所以当时，， 在单调递增． ‎ 当时，若时，，在单调递减；‎ 若时，，在单调递增．‎ 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在单调递增．…………………………4分 ‎（2）当时，由（1）知，‎ ‎， …………………………5分 令，，则， ‎ 令，，则，‎ 所以在单调递减，‎ 又，，所以存在，‎ 使得，且， ‎ 所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 所以当时，取得最大值， ‎ 因为 ‎ ‎， ‎ 令，，‎ 则在单调递减， ‎ 所以，所以， ‎ 因此当时，，即．…………………12分 ‎22. 解：（1）因为，所以，两式相减可得 直线的普通方程为. …………………………2分 因为，，，‎ 所以曲线的直角坐标方程. …………………………4分 ‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程， ‎ 整理得关于的方程： . ‎ 因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，‎ 则 ，. …………………………5分 并且，‎ 注意到 ，解得. ………6分 因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，‎ 有 ‎，…………………………8分 因为，所以，.‎ 因此的取值范围是.…………………………10分 ‎23. 解：①当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴∅；‎ ‎②当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ ‎③当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ 综上所得，． ‎ ‎∴原不等式的解集为． …………………………4分 ‎（2）证明：由绝对值不等式性质得，，‎ ‎∴，即．‎ 令，，则，，，，‎ ‎ ，‎ 原不等式得证． …………………………10分