福建省永春第一中学2019届高三毕业班高考前适应性训练数学（文）试题

福建省永春第一中学2019届高三毕业班高考前适应性训练数学（文）试题

永春一中高三年考前适应性训练（文科）数学（2019.05）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ）‎ A．25 B．‎7 ‎C．5 D．‎ ‎4．函数的单调增区间为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎5．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）‎ A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000人 C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（ ）‎ A．±l B． C． D．‎ ‎8．已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎9．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知实数，满足约束条件，则的最大值是________.‎ ‎14．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.‎ ‎15．已知为锐角，且，则________.‎ ‎16．长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小值是________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．记为数列的前项和，若，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，设数列的前项和为，求的值.‎ ‎18．如图，等边三角形所在平面与梯形所在平面互相垂直，且有，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎19．某工厂，两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：‎ ‎（1）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？‎ ‎（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？‎ ‎（3）估计该厂产量为2000件产品时的利润以及一等级产品的利润.‎ 附：‎ ‎20．已知椭圆 的右焦点为，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交椭园于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.‎ ‎21．已知函数（其中）.‎ ‎（1）讨论函数的极值；‎ ‎（2）对任意，成立，求实数的取值范围.‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最大值为，求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）在图的坐标系中画出的图象；‎ ‎（2）若的最小值为，当正数，满足，证明: .‎ 高三年考前适应性训练（文科）数学参考答案 ‎1．B 因为，又，所以，‎ 因，所以. 故选B ‎2．A 因为，所以，又，所以. 故选A ‎3．C因为向量，的夹角为，所以，又，均为单位向量，‎ 所以. 故选C ‎4．C 因为，‎ 由可得，‎ 即函数的单调递增区间为，. 故选C ‎5．D A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，即B正确；C选项，由频率分布直方图可得：‎ 平均分等于，即C正确；D选项，因为成绩在的频率为，由的频率为，‎ 所以中位数为，故D错误. 故选D ‎6．C由程序框图可得：初始值为，‎ 第一步：，需要继续循环；‎ 第二步：，需要继续循环；‎ 第三步：，需要进入循环；‎ ‎。。。。‎ 由此可知，该程序框图即是计算等比数列的前项和，‎ 又数列的前项和为，‎ 由可得；‎ 即该程序框图需要计算，‎ 因此判断框中需要填入故选C ‎7．C 因为点在抛物线上，且，点在抛物线的准线上，‎ 由抛物线的定义可知，直线，设，‎ 则，解得，所以，故，‎ 故，又，所以直线的斜率为.故选C ‎8．B 因为函数满足，‎ 所以关于直线对称，所以，‎ 又是定义在上的奇函数，所以，‎ 又由可得，‎ 所以，故，‎ 因此，函数是以4为周期的周期函数，‎ 所以，又 因此. 故选B ‎9．C 由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的，和一个小球的组合而成，‎ 由题意可得，大球的半径为2，小球的半径为1，‎ 所以该几何体的体积为. 故选C ‎10．B A中，由得，由得，‎ 所以当时，，即单调递增，不满足题意，所以A错误；‎ B中，由得，由得，‎ 所以当时，，即单调递增；‎ 当时，，即单调递减；且趋近于0时，趋近于1，所以B正确；‎ C中，趋近于时，趋近于，不满足题意，所以C错误；‎ D中，趋近于时，趋近于，不满足题意，所以D错误；‎ 故选B ‎11．B 因为，所以设，‎ 又，，所以由得 ‎，所以，所以，‎ 又，所以，‎ 由余弦定理可得，可得 ‎，解得，‎ 故 ‎.‎ 故选B ‎12．A 因为，‎ 当时，单调递增，故；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，取等号；‎ 综上可得，；‎ 又因为存在实数，使得成立，‎ 所以只需，即，‎ 解得. 故选A ‎13．11. 由约束条件作出可行域如下：‎ 又目标函数可化为，‎ 因此，直线在轴截距最小时，取最大值，‎ 由图像可得，当直线过点时，在轴截距最小，‎ 由解得，‎ 所以此时，取最大值为. 故答案为11‎ ‎14．. 因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，‎ 所以直线的斜率为；‎ 又因为是圆的一条弦，为的中点，所以，故，即直线的斜率为，‎ 因此，直线的方程为，即. 故答案为 ‎15．.因为，所以，‎ 即，所以，‎ 解得或，‎ 又因为为锐角，所以，因此. 故答案为 ‎16．. ‎ 由题意，以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 因为，，，所以，，‎ 又是棱上的动点，所以，设，‎ 所以，，，‎ 因此，‎ 所以，‎ 因此，‎ 当且仅当时，取最小值.故答案为 ‎17．（1）当时，因为①‎ 所以②‎ ‎①-②得：‎ 即 又即 所以数列是以19为首项-2为公差的等差数列，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知 所以 因为当时，当时 所以 所以 ‎18．（1）证明：取中点，连接 则四边形为菱形，即有， ‎ 所以，‎ 又平面，平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）由（1）可得，所以，，‎ 取中点，连接，‎ 则，，‎ 又平面，平面平面，平面平面 ‎∴平面；‎ 所以 由（1）有平面，得 ‎∴‎ 设点到平面的距离为 由 ‎∴ ‎ ‎19．（1）由题意可知， 离心率，所以 所以 所以椭圆的方程为， ‎ ‎（2）由题意可以设直线的方程为，‎ 由得， ‎ 设，‎ 所以，，.‎ 所以的面积 因为的面积为，所以.‎ 解得. ‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎20．（1）根据已知数据可建立列联表如下：‎ ‎ ‎ 所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关 ‎（2）生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：‎ ‎（（元）‎ 获利方差为 生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：‎ ‎（元）‎ 获利方差为 所以，，则生产线的获利更稳定. ‎ ‎（3），生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：‎ ‎（元）‎ 由样本估计总体，当产量为2000件产品时，估计该工厂获利（元）‎ 又因为，生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的线产品有20件，线产品有35件，由样本频率估计总体概率，有该工厂生产产品为一等级的概率估计值为，‎ 当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利（元）‎ ‎21．（1）的定义域为又 ‎①当时，在上，，是减函数；无极值； ‎ ‎②当时，得 在上，是增函数；在上，，是减函数，‎ 所以当时，有极大值，无极小值，‎ 综合知：①当时，无极值；‎ ‎②当时，有极大值，无极小值；‎ ‎（2）由（1）知：①当，是增函数，又令，‎ ‎，不成立；‎ ‎②当时，当时，取得极大值也是最大值，‎ 所以 要使得对任意，成立，‎ 即：在上恒成立，‎ 则在上恒成立，‎ 令 ‎ 所以 令 ‎，得 在上，，是增函数，在上，，‎ 是减函数，‎ 所以当时，取得极大值也是最大值，‎ ‎∴‎ 在上，，是减函数，又 要使得恒成立，则.‎ 所以实数的取值范围为 ‎22．（1）依题意得曲线的普通方程为，‎ 因为所以，‎ 因为，，‎ 所以直线的直角坐标方程为即， ‎ ‎（2）设点，则点到直线的距离 因为，所以当时，，‎ 所以 ‎23．（1），的图像如图所示.‎ ‎（2）由（1）知，所以.则，‎ 又故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎