数学理卷·2017届北京市石景山区高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届北京市石景山区高三上学期期末考试（2017

石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷 数 学（理）‎ 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合,,那么等于（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 是 否 开始 结束 ‎2．若，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．由直线，和所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）‎ A．‎ B．‎ ‎ C．‎ D．‎ ‎6．一个几何体的三视图如右图所示．‎ 已知这个几何体的体积为，则（ ）‎ 侧视图 正视图 ‎4‎ h 俯视图 ‎3‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．将函数图象上的点向左平移m(m >0)个单位长度得到 点．若位于函数的图象上，则以下说法正确的是（ ）‎ A．当时，m的最小值为 B．当时，m一定为 ‎ C．当时，m的最大值为 D．，m一定为 ‎8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了局比赛，C、D各参加了局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，那么F在第一天参加的比赛局数为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．在的展开式中，的系数是 （结果用数值表示）．‎ ‎10．已知中，，，，则的面积为．‎ ‎11．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是 ．‎ ‎12．等差数列中，，公差不为零，且，，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于  ．‎ ‎13．有以下个条件：①；②；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中//的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．‎ ‎14．已知函数，‎ ‎①方程有________个根；‎ ‎②若方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围是____________．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值．‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破亿．微信用户平均年龄只有岁，的用户在岁以下，的用户在-岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取位同学进行了抽样调查，结果如下：‎ 微信群数量 频数 频率 ‎0至5个 ‎6至10个 ‎11至15个 ‎16至20个 个以上 合计 ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）若从这位同学中随机抽取人，求这人中恰有人微信群个数超过个的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取人，记表示抽到的是微信群个数超过个的人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 如图1，等腰梯形中，∥，于点，，且．‎ 沿把折起到的位置（如图2），使．‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ P′‎ A B C D B C A P D ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得∥平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ 图1图2‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 集合的若干个子集的集合称为集合的一个子集族．对于集合的一个子集族满足如下条件：若，则，则称子集族是“向下封闭”的．‎ ‎（Ⅰ）写出一个含有集合的“向下封闭”的子集族并计算此时的值 ‎（其中表示集合中元素的个数，约定；表示对子集族中所有成员求和）；‎ ‎（Ⅱ）是集合的任一“向下封闭的”子集族，对,记，（其中max表示最大值），‎ ‎（ⅰ）求；‎ ‎（ⅱ）若是偶数，求．‎ 石景山区2016—2017学年第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C D A D A B B D 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ① ‎③‎ 三、‎ 解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）　 ……1分 ‎ ……2分 ‎， ……4分 因此的最小正周期为． …………6分 ‎（Ⅱ）当时，， ………8分 当，有最大值． ………10分 即时，的最大值为． ……………13分 ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）解得，‎ ‎，．…………………3分 ‎（Ⅱ）记“人中恰有人微信群个数超过个”为事件，‎ 则．‎ 所以，人中恰有人微信群个数超过个的概率为．　……………7分 ‎（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过个的概率为．‎ 的所有可能取值，，，．　　　　　　　　　　　……………8分 则，，‎ ‎，．‎ 其分布列如下：‎ 所以，．……………13分 ‎17．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以⊥．‎ 因为在等腰梯形中，⊥，所以在四棱锥中，⊥．‎ 又，所以⊥面．‎ 因为面，所以⊥．……3分 因为等腰梯形中，，，且．‎ 所以，，．所以．‎ 所以⊥．‎ 因为=, 所以⊥平面． ……5分 P’‎ A B C D x y z ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥面，⊥，‎ 如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，‎ ‎，．…………5分 所以，．‎ 由（Ⅰ）知，平面的法向量为，‎ 设为平面的一个法向量，则,即，‎ 再令，得．==．‎ 所以二面角的余弦值为． …………9分 ‎（Ⅲ）若线段上存在点，使得∥平面．‎ 依题意可设,其中．所以，．‎ 由（Ⅱ）知，平面的一个法向量．‎ 因为∥平面，所以，‎ 所以，解得．‎ 所以，线段上存在点，使得∥平面…………………14分 ‎18．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为点（）在椭圆上，所以．‎ 又因为，所以，．‎ 所以椭圆的标准方程为：． ……………………5分 ‎（Ⅱ）设．‎ 设直线：． ……………………6分 联立，得：．‎ 所以，． ……………8分 直线的方程为， ……………9分 令，解得 ………11分 又，‎ 所以．‎ 所以直线与轴的交点是定点，坐标为．………分 ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，．……2分 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 所以，函数的单调递增区间是，‎ 单调递减区间是，．　　　　　　　　　…………5分 ‎（Ⅱ）依题意，“对于任意，恒成立”等价于 “对于任意，成立”．‎ 由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 因为，，所以函数的最小值为．‎ 所以应满足．………………………………………………7分 因为，所以．………8分 因为，令得，，．‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 在上，所以函数在上单调递增，‎ 所以函数．‎ 由得，，所以． ……………11分 ‎（ⅱ）当，即时, ‎ 在上，在上，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以．‎ 由得，，所以． ……………13分 综上所述，的取值范围是． ……………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）含有集合的“向下封闭”的子集族　……2分 此时 …………4分 ‎（Ⅱ）设的所有不超过个元素的子集族为 ‎（ⅰ）易知当时，达到最大值，‎ 所以　…6分 ‎（ⅱ）设是使得的任一个“向下封闭”的子集族，记，其中为不超过元的子集族，为元或元的子集 则= 　………8 分 现设有（）个的元子集，由于一个元子集至多出 现在个的元子集中，而一个元子集中有个元子集，故个元子集至少产生个不同的元子集．‎ 由（ⅰ）得 ‎…13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分．】‎