中考数学模试卷附答案等解析大全集，精品资料

中考数学模试卷附答案等解析大全集，精品资料

中考数学模试卷附答案解析大全集，高分必备 中考数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）在下列四个实数中，最大的数是（ ） A．﹣3 B．0 C． D． 2．（3.00 分）地球与月球之间的平均距离大约为 384000km，384000 用科学记数 法可表示为（ ） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 3．（3.00 分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A． B． C． D． 4．（3.00 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确 的是（ ） A． B． C． D． 5．（3.00 分）计算（1+ ）÷ 的结果是（ ） A．x+1 B． C． D． 6．（3.00 分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游 戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 （ ） A． B． C． D． 7．（3.00 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的 点，若∠BOC=40°，则∠D 的度数为（ ） A．100°B．110°C．120°D．130° 8．（3.00 分）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当 海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30°方向，保持航向不变又航行 2 小时到 达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ） A．40 海里 B．60 海里 C．20 海里 D．40 海里 9．（3.00 分）如图，在△ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD= BC，过 AC 中点 E 作 EF∥CD（点 F 位于点 E 右侧），且 EF=2CD，连接 DF．若 AB=8，则 DF 的长为 （ ） A．3 B．4 C．2 D．3 10．（3.00 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 D，交 BC 于点 E．若 AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ， 则 k 的值为（ ） A．3 B．2 C．6 D．12 二、填空题（每题只有一个正确选项，本题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 11．（3.00 分）计算：a4÷a= ． 12．（3.00 分）在“献爱心”捐款活动中，某校 7 名同学的捐款数如下（单位：元）： 5，8，6，8，5，10，8，这组数据的众数是 ． 13 ．（ 3.00 分 ） 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+mx+2n=0 有 一 个 根 是 2 ， 则 m+n= ． 14．（3.00 分）若 a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2 的值为 ． 15．（3.00 分）如图，△ABC 是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三 角板叠放在一把直尺上，使得点 A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于 点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为 °． 16．（3.00 分）如图，8×8 的正方形网格纸上有扇形 OAB 和扇形 OCD，点 O，A， B，C，D 均在格点上．若用扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面 半径为 r1；若用扇形 OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为 r2， 则 的值为 ． 17．（3.00 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到△AB'C′，连接 B'C，则 sin∠ACB′= ． 18．（3.00 分）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB 为 边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M， N 分别是对角线 AC，BE 的中点．当点 P 在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的 距离最短为 （结果留根号）． 三、解答题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，共 76 分） 19．（5.00 分）计算：|﹣ |+ ﹣（ ）2． 20．（5.00 分）解不等式组： 21．（6.00 分）如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求 证：BC∥EF． 22．（6.00 分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形 的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的 概率为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字； 接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字， 求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 23．（8.00 分）某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、 足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择 情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且 只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计 图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有 600 名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？ 24．（8.00 分）某学校准备购买若干台 A 型电脑和 B 型打印机．如果购买 1 台 A 型电脑，2 台 B 型打印机，一共需要花费 5900 元；如果购买 2 台 A 型电脑，2 台 B 型打印机，一共需要花费 9400 元． （1）求每台 A 型电脑和每台 B 型打印机的价格分别是多少元？ （2）如果学校购买 A 型电脑和 B 型打印机的预算费用不超过 20000 元，并且购 买 B 型打印机的台数要比购买 A 型电脑的台数多 1 台，那么该学校至多能购买 多少台 B 型打印机？ 25．（8.00 分）如图，已知抛物线 y=x2﹣4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的 左侧），C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D． （1）求线段 AD 的长； （2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C′．若新抛物线经 过点 D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC′平行于直线 AD，求新 抛物线对应的函数表达式． 26．（10.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 垂直于过点 C 的切 线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC． （1）求证：CD=CE； （2）若 AE=GE，求证：△CEO 是等腰直角三角形． 27．（10.00 分）问题 1：如图①，在△ABC 中，AB=4，D 是 AB 上一点（不与 A， B 重合），DE∥BC，交 AC 于点 E，连接 CD．设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积 为 S′． （1）当 AD=3 时， = ； （2）设 AD=m，请你用含字母 m 的代数式表示 ． 问题 2：如图②，在四边形 ABCD 中，AB=4，AD∥BC，AD= BC，E 是 AB 上一点 （不与 A，B 重合），EF∥BC，交 CD 于点 F，连接 CE．设 AE=n，四边形 ABCD 的 面积为 S，△EFC 的面积为 S′．请你利用问题 1 的解法或结论，用含字母 n 的代 数式表示 ． 28．（10.00 分）如图①，直线 l 表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD 是 一块边长为 100 米的正方形草地，点 A，D 在直线 l 上，小明从点 A 出发，沿公 路 l 向西走了若干米后到达点 E 处，然后转身沿射线 EB 方向走到点 F 处，接着 又改变方向沿射线 FC 方向走到公路 l 上的点 G 处，最后沿公路 l 回到点 A 处．设 AE=x 米（其中 x＞0），GA=y 米，已知 y 与 x 之间的函数关系如图②所示， （1）求图②中线段 MN 所在直线的函数表达式； （2）试问小明从起点 A 出发直至最后回到点 A 处，所走过的路径（即△EFG） 是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 x 的值；如果不可以，说明理 由． 参考答案与试题解析 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）在下列四个实数中，最大的数是（ ） A．﹣3 B．0 C． D． 【解答】解：根据题意得：﹣3＜0＜ ＜ ， 则最大的数是： ． 故选：C． 2．（3.00 分）地球与月球之间的平均距离大约为 384000km，384000 用科学记数 法可表示为（ ） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 【解答】解：384 000=3.84×105． 故选：C． 3．（3.00 分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 4．（3.00 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确 的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得 x+2≥0， 解得 x≥﹣2． 故选：D． 5．（3.00 分）计算（1+ ）÷ 的结果是（ ） A．x+1 B． C． D． 【解答】解：原式=（ + ）÷ = • = ， 故选：B． 6．（3.00 分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游 戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 （ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵总面积为 3×3=9，其中阴影部分面积为 4× ×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是 ， 故选：C． 7．（3.00 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的 点，若∠BOC=40°，则∠D 的度数为（ ） A．100°B．110°C．120°D．130° 【解答】解：∵∠BOC=40°， ∴∠AOC=180°﹣40°=140°， ∴∠D= ， 故选：B． 8．（3.00 分）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当 海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30°方向，保持航向不变又航行 2 小时到 达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ） A．40 海里 B．60 海里 C．20 海里 D．40 海里 【解答】解：在 Rt△PAB 中，∵∠APB=30°， ∴PB=2AB， 由题意 BC=2AB， ∴PB=BC， ∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°， ∴∠C=30°， ∴PC=2PA， ∵PA=AB•tan60°， ∴PC=2×20× =40 （海里）， 故选：D． 9．（3.00 分）如图，在△ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD= BC，过 AC 中点 E 作 EF∥CD（点 F 位于点 E 右侧），且 EF=2CD，连接 DF．若 AB=8，则 DF 的长为 （ ） A．3 B．4 C．2 D．3 【解答】解：取 BC 的中点 G，连接 EG， ∵E 是 AC 的中点， ∴EG 是△ABC 的中位线， ∴EG= AB= =4， 设 CD=x，则 EF=BC=2x， ∴BG=CG=x， ∴EF=2x=DG， ∵EF∥CD， ∴四边形 EGDF 是平行四边形， ∴DF=EG=4， 故选：B． 10．（3.00 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 D，交 BC 于点 E．若 AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ， 则 k 的值为（ ） A．3 B．2 C．6 D．12 【解答】解：∵tan∠AOD= = ， ∴设 AD=3a、OA=4a， 则 BC=AD=3a，点 D 坐标为（4a，3a）， ∵CE=2BE， ∴BE= BC=a， ∵AB=4， ∴点 E（4+4a，a）， ∵反比例函数 y= 经过点 D、E， ∴k=12a2=（4+4a）a， 解得：a= 或 a=0（舍）， 则 k=12× =3， 故选：A． 二、填空题（每题只有一个正确选项，本题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 11．（3.00 分）计算：a4÷a= a3 ． 【解答】解：a4÷a=a3， 故答案为：a3 12．（3.00 分）在“献爱心”捐款活动中，某校 7 名同学的捐款数如下（单位：元）： 5，8，6，8，5，10，8，这组数据的众数是 8 ． 【解答】解：在 5，8，6，8，5，10，8，这组数据中，8 出现了 3 次，出现的次 数最多， ∴这组数据的众数是 8， 故答案为：8． 13．（3.00 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 有一个根是 2，则 m+n= ﹣ 2 ． 【解答】解：∵2（n≠0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 的一个根， ∴4+2m+2n=0， ∴n+m=﹣2， 故答案为：﹣2． 14．（3.00 分）若 a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2 的值为 12 ． 【解答】解：∵a+b=4，a﹣b=1， ∴（a+1）2﹣（b﹣1）2 =（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1） =（a+b）（a﹣b+2） =4×（1+2） =12． 故答案是：12． 15．（3.00 分）如图，△ABC 是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三 角板叠放在一把直尺上，使得点 A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于 点 D，BC 与直尺的两边分别交于点 E，F．若∠CAF=20°，则∠BED 的度数为 80 °． 【解答】解：如图所示，∵DE∥AF， ∴∠BED=∠BFA， 又∵∠CAF=20°，∠C=60°， ∴∠BFA=20°+60°=80°， ∴∠BED=80°， 故答案为：80． 16．（3.00 分）如图，8×8 的正方形网格纸上有扇形 OAB 和扇形 OCD，点 O，A， B，C，D 均在格点上．若用扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面 半径为 r1；若用扇形 OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为 r2， 则 的值为 ． 【解答】解：∵2πr1= 、2πr2= ， ∴r1= 、r2= ， ∴ = = = = ， 故答案为： ． 17．（3.00 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到△AB'C′，连接 B'C，则 sin∠ACB′= ． 【解答 】解 ： 在 Rt △ABC 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AC= =5 ， 过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N， ∵根据旋转得出 AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°， 即∠CMA=∠MAB=∠B=90°， ∴CM=AB=2 ，AM=BC= ， ∴B′M=2 ﹣ = ， 在 Rt△B′MC 中，由勾股定理得：B′C= = =5， ∴S△AB′C= = ， ∴5×AN=2 ×2 ， 解得：AN=4， ∴sin∠ACB′= = ， 故答案为： ． 18．（3.00 分）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB 为 边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M， N 分别是对角线 AC，BE 的中点．当点 P 在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的 距离最短为 2 （结果留根号）． 【解答】解：连接 PM、PN． ∵四边形 APCD，四边形 PBFE 是菱形，∠DAP=60°， ∴∠APC=120°，∠EPB=60°， ∵M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点， ∴∠CPM= ∠APC=60°，∠EPN= ∠EPB=30°， ∴∠MPN=60°+30°=90°， 设 PA=2a，则 PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a）， ∴MN= = = ， ∴a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ， 故答案为 2 ． 三、解答题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，共 76 分） 19．（5.00 分）计算：|﹣ |+ ﹣（ ）2． 【解答】解：原式= +3﹣ =3 20．（5.00 分）解不等式组： 【解答】解：由 3x≥x+2，解得 x≥1， 由 x+4＜2（2x﹣1），解得 x＞2， 所以不等式组的解集为 x＞2． 21．（6.00 分）如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求 证：BC∥EF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=DC， ∴AC=DF． ∴在△ABC 与△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF． 22．（6.00 分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形 的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的 概率为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字； 接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字， 求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 【解答】解：（1）∵在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个， ∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ， 故答案为： ； （2）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3 种， 所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为 = ． 23．（8.00 分）某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、 足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择 情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且 只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计 图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有 600 名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？ 【解答】解：（1） ， 答：参加这次调查的学生人数是 50 人； 补全条形统计图如下： （2） ， 答：扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数是 72°； （3） ， 答：估计该校选择“足球”项目的学生有 96 人． 24．（8.00 分）某学校准备购买若干台 A 型电脑和 B 型打印机．如果购买 1 台 A 型电脑，2 台 B 型打印机，一共需要花费 5900 元；如果购买 2 台 A 型电脑，2 台 B 型打印机，一共需要花费 9400 元． （1）求每台 A 型电脑和每台 B 型打印机的价格分别是多少元？ （2）如果学校购买 A 型电脑和 B 型打印机的预算费用不超过 20000 元，并且购 买 B 型打印机的台数要比购买 A 型电脑的台数多 1 台，那么该学校至多能购买 多少台 B 型打印机？ 【解答】解：（1）设每台 A 型电脑的价格为 x 元，每台 B 型打印机的价格为 y 元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：每台 A 型电脑的价格为 3500 元，每台 B 型打印机的价格为 1200 元； （2）设学校购买 a 台 B 型打印机，则购买 A 型电脑为（a﹣1）台， 根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000， 解得：a≤5， 答：该学校至多能购买 5 台 B 型打印机． 25．（8.00 分）如图，已知抛物线 y=x2﹣4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的 左侧），C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D． （1）求线段 AD 的长； （2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C′．若新抛物线经 过点 D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC′平行于直线 AD，求新 抛物线对应的函数表达式． 【解答】解：（1）由 x2﹣4=0 得，x1=﹣2，x2=2， ∵点 A 位于点 B 的左侧， ∴A（﹣2，0）， ∵直线 y=x+m 经过点 A， ∴﹣2+m=0， 解得，m=2， ∴点 D 的坐标为（0，2）， ∴AD= =2 ； （2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2， y=x2+bx+2=（x+ ）2+2﹣ ， 则点 C′的坐标为（﹣ ，2﹣ ）， ∵CC′平行于直线 AD，且经过 C（0，﹣4）， ∴直线 CC′的解析式为：y=x﹣4， ∴2﹣ =﹣ ﹣4， 解得，b1=﹣4，b2=6， ∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2 或 y=x2+6x+2． 26．（10.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 垂直于过点 C 的切 线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC． （1）求证：CD=CE； （2）若 AE=GE，求证：△CEO 是等腰直角三角形． 【解答】证明：（1）连接 AC， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴∠DCO=∠D=90°， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO， ∵OC=OA， ∴∠CAO=∠ACO， ∴∠DAC=∠CAO， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA=90°， 在△CDA 和△CEA 中， ∵ ， ∴△CDA≌△CEA（AAS）， ∴CD=CE； （2）证法一：连接 BC， ∵△CDA≌△CEA， ∴∠DCA=∠ECA， ∵CE⊥AG，AE=EG， ∴CA=CG， ∴∠ECA=∠ECG， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CE⊥AB， ∴∠ACE=∠B， ∵∠B=∠F， ∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG， ∵∠D=90°， ∴∠DCF+∠F=90°， ∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°， ∴∠AOC=2∠F=45°， ∴△CEO 是等腰直角三角形； 证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x， ∵AD∥OC， ∴∠OAF=∠AOC=2x， ∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x， ∵CE⊥AG，AE=EG， ∴CA=CG， ∴∠EAC=∠CGA， ∵CE⊥AG，AE=EG， ∴CA=CG， ∴∠EAC=∠CGA， ∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x， ∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°， ∴3x+3x+2x=180， x=22.5°， ∴∠AOC=2x=45°， ∴△CEO 是等腰直角三角形． 27．（10.00 分）问题 1：如图①，在△ABC 中，AB=4，D 是 AB 上一点（不与 A， B 重合），DE∥BC，交 AC 于点 E，连接 CD．设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积 为 S′． （1）当 AD=3 时， = ； （2）设 AD=m，请你用含字母 m 的代数式表示 ． 问题 2：如图②，在四边形 ABCD 中，AB=4，AD∥BC，AD= BC，E 是 AB 上一点 （不与 A，B 重合），EF∥BC，交 CD 于点 F，连接 CE．设 AE=n，四边形 ABCD 的 面积为 S，△EFC 的面积为 S′．请你利用问题 1 的解法或结论，用含字母 n 的代 数式表示 ． 【解答】解：问题 1： （1）∵AB=4，AD=3， ∴BD=4﹣3=1， ∵DE∥BC， ∴ ， ∴ = = ， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = = ， ∴ = ，即 ， 故答案为： ； （2）解法一：∵AB=4，AD=m， ∴BD=4﹣m， ∵DE∥BC， ∴ = = ， ∴ = = ， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = = ， ∴ = = = ， 即 = ； 解法二：如图 1，过点 B 作 BH⊥AC 于 H，过 D 作 DF⊥AC 于 F，则 DF∥BH， ∴△ADF∽△ABH， ∴ = ， ∴ = = = ， 即 = ； 问题 2：如图②， 解法一：如图 2，分别延长 BD、CE 交于点 O， ∵AD∥BC， ∴△OAD∽△OBC， ∴ ， ∴OA=AB=4， ∴OB=8， ∵AE=n， ∴OE=4+n， ∵EF∥BC， 由问题 1 的解法可知： = = = ， ∵ = = ， ∴ = ， ∴ = = = ，即 = ； 解法二：如图 3，连接 AC 交 EF 于 M， ∵AD∥BC，且 AD= BC， ∴ = ， ∴S△ADC= ， ∴S△ADC= S，S△ABC= ， 由问题 1 的结论可知： = ， ∵MF∥AD， ∴△CFM∽△CDA， ∴ = = = ， ∴S△CFM= ×S， ∴S△EFC=S△EMC+S△CFM= + ×S= ， ∴ = ． 28．（10.00 分）如图①，直线 l 表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD 是 一块边长为 100 米的正方形草地，点 A，D 在直线 l 上，小明从点 A 出发，沿公 路 l 向西走了若干米后到达点 E 处，然后转身沿射线 EB 方向走到点 F 处，接着 又改变方向沿射线 FC 方向走到公路 l 上的点 G 处，最后沿公路 l 回到点 A 处．设 AE=x 米（其中 x＞0），GA=y 米，已知 y 与 x 之间的函数关系如图②所示， （1）求图②中线段 MN 所在直线的函数表达式； （2）试问小明从起点 A 出发直至最后回到点 A 处，所走过的路径（即△EFG） 是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 x 的值；如果不可以，说明理 由． 【解答】解：（1）设线段 MN 所在直线的函数表达式为 y=kx+b， 将 M（30，230）、N（100，300）代入 y=kx+b， ，解得： ， ∴线段 MN 所在直线的函数表达式为 y=x+200． （2）分三种情况考虑： ①考虑 FE=FG 是否成立，连接 EC，如图所示． ∵AE=x，AD=100，GA=x+200， ∴ED=GD=x+100． 又∵CD⊥EG， ∴CE=CG， ∴∠CGE=∠CEG， ∴∠FEG＞∠CGE， ∴FE≠FG； ②考虑 FG=EG 是否成立． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC∥EG， ∴△FBC∽△FEG． 假设 FG=EG 成立，则 FC=BC 成立， ∴FC=BC=100． ∵AE=x，GA=x+200， ∴FG=EG=AE+GA=2x+200， ∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100． 在 Rt△CDG 中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100， ∴1002+（x+100）2=（2x+100）2， 解得：x1=﹣100（不合题意，舍去），x2= ； ③考虑 EF=EG 是否成立． 同理，假设 EF=EG 成立，则 FB=BC 成立， ∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100． 在 Rt△ABE 中，AE=x，AB=100，BE=2x+100， ∴1002+x2=（2x+100）2， 解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=﹣ （不合题意，舍去）． 综上所述：当 x= 时，△EFG 是一个等腰三角形． 中考第一次模拟试题 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共 12 小题） 1．9 的平方根是（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 2．如图，数轴上的单位长度为 1，有三个点 A、B、C，若点 A、B 表示的数互为相反数， 则图中点 C 对应的数是（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 3．下列计算正确的是（ ） A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝ C．（x﹣1）2＝x2﹣2x﹣1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6 4．下列各式分解因式正确的是（ ） A．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2＝（2x﹣3y）2 C．2x2﹣8y2＝2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y） 5．已知点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ） A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1 6．下列说法中，正确个数有（ ） ① 对顶角相等； ② 两直线平行，同旁内角相等； ③ 对角线互相垂直的四边形为菱形； ④ 对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．在创建平安校园活动中，九年级一班举行了一次“安全知识竞赛”活动，第一小组 6 名 同学的成绩（单位：分）分别是：87，91，93，87，97，96，下列关于这组数据说法正 确的是（ ） A．中位数是 90 B．平均数是 90 C．众数是 87 D．极差是 9 8．为保护森林，中华铅笔厂准备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始每月 生产 625 万支新型铅笔，经两次技术革新后，上升至每月生产 900 万支新型铅笔，则每 次技术革新的平均增长率是（ ） A．22% B．20% C．15% D．10% 9．如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC 绕 A 逆时针方向旋转 40°得到△ADE，点 B 经过的路径 为弧 BD，是图中阴影部分的面积为（ ） A． π ﹣6 B． π C． π ﹣ 3 D． + π 10．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点 O 顺时针旋转 90°， 得到△OA′B′，若反比例函数 y＝ 的图象经过点 A 的对应点 A′，则 k 的值为（ ） A．6 B．﹣3 C．3 D．6 11．如图，在∠MON 的两边上分别截取 OA、OB，使 OA＝OB；分别以点 A、B 为圆心， OA 长为半径作弧，两弧交于点 C；连接 AC、BC、AB、OC．若 AB＝2cm，四边形 OACB 的面积为 4cm2．则 OC 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，点 A 在抛物线 y＝x2﹣2x+2 上运动，过点 A 作 AC 上 x 轴于点 C，以 AC 为对角 线作矩形 ABCD，连结 BD，则 BD 的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共 6 小题） 13．习近平总书记提出了未来 5 年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约 11700000 人，数据 11700000 用科学记数法表示为 ． 14．已知 ，满足方程组 ，则 m﹣n 的值为 ． 15．一个直角三角形斜边上的中线和高线的长分别是 5cm 和 4.8cm，这个三角形的面积为 cm2． 16．如图所示，是用一张长方形纸条折成的．如果∠1＝110°，那么∠2＝ °． 17．如图，点 A，B，D 在 ⊙ O 上，∠A＝20°，BC 是 ⊙ O 的切线，B 为切点，OD 的延长 线交 BC 于点 C，则∠OCB＝ 度． 18．如图，将边长为 1 的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个 正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第 2018 个正方形的面积 为 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共 7 小题） 19．先化简，再求代数式（ ） 的值，其中 x＝（ ）﹣1+（ π ﹣2）0 20．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，吊臂 AB 与水平线的 夹角为 64°，吊臂底部 A 距地面 1.7m（参考数据 sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64° ≈2.05）． （1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为 m（计算结 果精确到 0.1m）； （2）如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？ （吊钩的长度与货物的高度忽略不计） 21．为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部 分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整 的统计图表． 整理情况 频数 频率 非常好 0.21 较好 70 0.35 一般 m 不好 36 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样共调查了 名学生； （2）m＝ ； （3）该校有 1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生 一共约多少名？ （4）某学习小组 4 名学生的错题集中，有 2 本“非常好”（记为 A1、A2），1 本“较好” （记为 B），1 本“一般”（记为 C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等 外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的 3 本错题集中再抽取一本，请用 “列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率． 22．如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，E 是 BC 的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD 于点 F． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若 AB＝6，BC＝10，求 EF 的长． 23．如图，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的图象在第一象限交于点 A（4，3），与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA＝OB． （1）求一次函数 y＝kx+b 和 y＝ 的表达式； （2）已知点 C 在 x 轴上，且△ABC 的面积是 8，求此时点 C 的坐标； （3）反比例函数 y＝ （1≤x≤4）的图象记为曲线 C1，将 C1 向右平移 3 个单位长度， 得曲线 C2，则 C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 ．（直接写出答案） 24．如图，AB 为 ⊙ O 的直径，点 C 在 ⊙ O 外，∠ABC 的平分线与 ⊙ O 交于点 D，∠C＝90°． （1）CD 与 ⊙ O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求 的长． 25．如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y＝x﹣2 交于 B，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）求△ABC 的面积； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在 以 O，M，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在， 请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．9 的平方根是（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 【分析】利用平方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴9 的平方根是±3， 故选：A． 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 2．如图，数轴上的单位长度为 1，有三个点 A、B、C，若点 A、B 表示的数互为相反数， 则图中点 C 对应的数是（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 【分析】首先确定原点位置，进而可得 C 点对应的数． 【解答】解：∵点 A、B 表示的数互为相反数， ∴原点在线段 AB 的中点处， ∴点 C 对应的数是 1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置． 3．下列计算正确的是（ ） A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝ C．（x﹣1）2＝x2﹣2x﹣1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式＝2x，故 A 错误； （C）原式＝x2﹣2x+1，故 C 错误； （D）原式＝﹣8a6，故 D 错误； 故选：B． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础 题型． 4．下列各式分解因式正确的是（ ） A．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2＝（2x﹣3y）2 C．2x2﹣8y2＝2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y） 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案． 【解答】解：A、x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，正确； B、2x2﹣4xy+9y2＝无法分解因式，故此选项错误； C、2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误； D、x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故此选项错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 5．已知点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ） A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1 【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 【解答】解：∵点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限， ∴ ， 解得 a＜﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同 大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 6．下列说法中，正确个数有（ ） ① 对顶角相等； ② 两直线平行，同旁内角相等； ③ 对角线互相垂直的四边形为菱形； ④ 对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案． 【解答】解： ① 对顶角相等，故 ① 正确； ② 两直线平行，同旁内角互补，故 ② 错误； ③ 对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故 ③ 错误； ④ 对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故 ④ 正确， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记 对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键． 7．在创建平安校园活动中，九年级一班举行了一次“安全知识竞赛”活动，第一小组 6 名 同学的成绩（单位：分）分别是：87，91，93，87，97，96，下列关于这组数据说法正 确的是（ ） A．中位数是 90 B．平均数是 90 C．众数是 87 D．极差是 9 【分析】根据中位数、平均数、众数、极差的概念求解． 【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：87，87，91，93，96，97， 则中位数是（91+93）÷2＝92， 平均数是（87+87+91+93+96+97）÷6＝91 ， 众数是 87， 极差是 97﹣87＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了中位数、平均数、众数、极差的知识，掌握各知识点的概念是解答 本题的关键． 8．为保护森林，中华铅笔厂准备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始每月 生产 625 万支新型铅笔，经两次技术革新后，上升至每月生产 900 万支新型铅笔，则每 次技术革新的平均增长率是（ ） A．22% B．20% C．15% D．10% 【分析】设每次技术革新的平均增长率为 x，根据开始每月的产量及经过两次技术革新后 每月的产量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设每次技术革新的平均增长率为 x， 根据题意得：625（1+x）2＝900， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：每次技术革新的平均增长率为 20%． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解 题的关键． 9．如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC 绕 A 逆时针方向旋转 40°得到 △ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，是图中阴影部分的面积为（ ） A． π ﹣6 B． π C． π ﹣3 D． + π【分析】根据 AB＝5，AC＝3，BC＝4 和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋 转的性质得到△AED 的面积＝△ABC 的面积，得到阴影部分的面积＝扇形 ADB 的面积， 根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4， ∴△ABC 为直角三角形， 由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积， 由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形 ADB 的面积﹣△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形 ADB 的面积＝ ＝ π ， 故选：B． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得 到阴影部分的面积＝扇形 ADB 的面积是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点 O 顺时针旋转 90°， 得到△OA′B′，若反比例函数 y＝ 的图象经过点 A 的对应点 A′，则 k 的值为（ ） A．6 B．﹣3 C．3 D．6 【分析】直接利用旋转的性质得出 A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案． 【解答】解：如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点 O 顺时针旋转 90°， 得到△OA′B′，反比例函数 y＝ 的图象经过点 A 的对应点 A′， ∴A′（3，1）， 则把 A′代入 y＝ ， 解得：k＝3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出 A′点坐标是解题 关键． 11．如图，在∠MON 的两边上分别截取 OA、OB，使 OA＝OB；分别以点 A、B 为圆心， OA 长为半径作弧，两弧交于点 C；连接 AC、BC、AB、OC．若 AB＝2cm，四边形 OACB 的面积为 4cm2．则 OC 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据作法判定出四边形 OACB 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一 半列式计算即可得解． 【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝BC＝AC， ∴四边形 OACB 是菱形， ∵AB＝2cm，四边形 OACB 的面积为 4cm2， ∴ AB•OC＝ ×2×OC＝4， 解得 OC＝4cm． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判 定出四边形 OACB 是菱形是解题的关键． 12．如图，点 A 在抛物线 y＝x2﹣2x+2 上运动，过点 A 作 AC 上 x 轴于点 C，以 AC 为对角 线作矩形 ABCD，连结 BD，则 BD 的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得 BD＝AC， 由于 AC 的长等于点 A 的纵坐标，所以当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最 小，最小值为 1，从而得到 BD 的最小值． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴BD＝AC， 而 AC⊥x 轴， ∴AC 的长等于点 A 的纵坐标， 当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1， ∴对角线 BD 的最小值为 1． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解 析式．也考查了矩形的性质． 二．填空题（共 6 小题） 13．习近平总书记提出了未来 5 年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约 11700000 人，数据 11700000 用科学记数法表示为 1.17×107 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：11700000＝1.17×107， 故答案为：1.17×107． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14．已知 ，满足方程组 ，则 m﹣n 的值为 2 ． 【分析】把 x 与 y 的值代入方程组求出所求即可． 【解答】解：把 代入方程组得： ， ② ﹣ ① 得：m﹣n＝2， 故答案为：2 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法． 15．一个直角三角形斜边上的中线和高线的长分别是 5cm 和 4.8cm，这个三角形的面积为 24 cm2． 【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算． 【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线的长是 5cm， ∴直角三角形斜边长为 10cm， ∴三角形的面积＝ ×10×4.8＝24（cm2） 故答案为：24． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，三角形的面积计算，掌握直角三角形中，斜 边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 16．如图所示，是用一张长方形纸条折成的．如果∠1＝110°，那么∠2＝ 55 °． 【分析】先根据 AB∥CD，∠1＝110°求出∠3 的度数，再根据图形翻折变换的性质即可 求出∠2 的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝110°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°， ∴∠2＝ ＝ ＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称， 折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17．如图，点 A，B，D 在 ⊙ O 上，∠A＝20°，BC 是 ⊙ O 的切线，B 为切点，OD 的延长 线交 BC 于点 C，则∠OCB＝ 50 度． 【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC＝90°， 进而可求出∠OCB 的度数． 【解答】解： ∵∠A＝20°， ∴∠BOC＝40°， ∵BC 是 ⊙ O 的切线，B 为切点， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OCB＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和 定理是解题的关键． 18．如图，将边长为 1 的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个 正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第 2018 个正方形的面积为 52017 ． 【分析】先分别求出第 1 个、第 2 个、第 3 个正方形的面积，由此总结规律，得到第 n 个正方形的面积，将 n＝2018 代入即可求出第 2018 个正方形的面积． 【解答】解：∵第 1 个正方形的面积为：1＝50； 第 2 个正方形的面积为：1+4× ×2×1＝5＝51； 第 3 个正方形的面积为：5+4× ×2 × ＝25＝52； 第 4 个正方形的面积为：25+4× ×2 × ＝125＝53； … ∴第 n 个正方形的面积为：5n﹣1； ∴第 2018 个正方形的面积为：52017． 故答案为：52017． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：认真观察、仔细计算，得到第 n 个正方形 的面积是解题的关键． 三．解答题（共 7 小题） 19．先化简，再求代数式（ ） 的值，其中 x＝（ ）﹣1+（ π ﹣2）0 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再利用负整数指数幂和零指数幂 求出 x 的值，继而代入计算可得． 【解答】解：原式＝[ ﹣ ]• ＝ • ＝ ， 当 x＝（ ）﹣1+（ π ﹣2）0＝3+1＝4 时， 原式＝ ＝ ． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则及负整数指数幂、零指数幂． 20．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，吊臂 AB 与水平线的 夹角为 64°，吊臂底部 A 距地面 1.7m（参考数据 sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64° ≈2.05）． （1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为 11.4 m（计算结 果精确到 0.1m）； （2）如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？ （吊钩的长度与货物的高度忽略不计） 【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可； （2）过点 D 作 DH⊥地面于 H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中， ∵∠BAC＝64°，AC＝5m， ∴AB＝ ≈5÷0.44≈11.4（m）； 故答案为：11.4； （2）过点 D 作 DH⊥地面于 H，交水平线于点 E， 在 Rt△ADE 中， ∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.7m， ∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m）， 即 DH＝DE+EH＝18+1.7＝19.7（m）， 答：如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.7m． 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构 造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 21．为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部 分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整 的统计图表． 整理情况 频数 频率 非常好 0.21 较好 70 0.35 一般 m 不好 36 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样共调查了 200 名学生； （2）m＝ 52 ； （3）该校有 1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生 一共约多少名？ （4）某学习小组 4 名学生的错题集中，有 2 本“非常好”（记为 A1、A2），1 本“较好” （记为 B），1 本“一般”（记为 C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等 外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的 3 本错题集中再抽取一本，请用 “列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率． 【分析】（1）用较好的频数除以较好的频率．即可求出本次抽样调查的总人数； （2）用总人数乘以非常好的频率，求出非常好的频数，再用总人数减去其它频数即可求 出 m 的值； （3）利用总人数乘以对应的频率即可； （4）利用树形图方法，利用概率公式即可求解． 【解答】解：（1）本次抽样共调查的人数是：70÷0.35＝200（人）； （2）非常好的频数是：200×0.21＝42（人）， 一般的频数是：m＝200﹣42﹣70﹣36＝52（人）， （3）该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有：1500×（0.21+0.35） ＝840（人）； （4）根据题意画图如下： ∵所有可能出现的结果共 12 种情况，并且每种情况出现的可能性相等， 其中两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有 2 种， ∴两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是 ＝ ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总 情况数之比． 22．如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，E 是 BC 的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD 于点 F． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若 AB＝6，BC＝10，求 EF 的长． 【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，E 是 BC 的中点， ∴AE＝CE＝ BC， ∴四边形 AECD 是菱形； （2）过 A 作 AH⊥BC 于点 H， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝ ， ∵ ， ∴AH＝ ， ∵点 E 是 BC 的中点，BC＝10，四边形 AECD 是菱形， ∴CD＝CE＝5， ∵S▱ AECD＝CE•AH＝CD•EF， ∴EF＝AH＝ ． 法二：连接 ED 交 AC 于 O， 由题意得：AC＝8，计算得 ED＝6． ． 计算得 5EF＝6✘4， EF＝ ． 【点评】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答． 23．如图，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的图象在第一象限交于点 A（4，3），与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA＝OB． （1）求一次函数 y＝kx+b 和 y＝ 的表达式； （2）已知点 C 在 x 轴上，且△ABC 的面积是 8，求此时点 C 的坐标； （3）反比例函数 y＝ （1≤x≤4）的图象记为曲线 C1，将 C1 向右平移 3 个单位长度， 得曲线 C2，则 C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 27 ．（直接写出答案） 【分析】（1）由点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a 值，从而得 出反比例函数解析式；由勾股定理得出 OA 的长度从而得出点 B 的坐标，由点 A、B 的坐 标利用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式； （2）设点 C 的坐标为（m，0），令直线 AB 与 x 轴的交点为 D，根据三角形的面积公式 结合△ABC 的面积是 8，可得出关于 m 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得 出 m 值，从而得出点 C 的坐标； （3）设点 E 的横坐标为 1，点 F 的横坐标为 6，点 M、N 分别对应点 E、F，根据反比例 函数解析式以及平移的性质找出点 E、F、M、N 的坐标，根据 EM∥FN，且 EM＝FN， 可得出四边形 EMNF 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形 EMNF 的面积 S，根据平移的性质即可得出 C1 平移至 C2 处所扫过的面积正好为 S． 【解答】解：（1）∵点 A（4，3）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴a＝4×3＝12， ∴反比例函数解析式为 y＝ ； ∵OA＝ ＝5，OA＝OB，点 B 在 y 轴负半轴上， ∴点 B（0，﹣5）． 把点 A（4，3）、B（0，﹣5）代入 y＝kx+b 中， 得： ，解得： ， ∴一次函数的解析式为 y＝2x﹣5． （2）设点 C 的坐标为（m，0），令直线 AB 与 x 轴的交点为 D，如图 1 所示． 令 y＝2x﹣5 中 y＝0，则 x＝ ， ∴D（ ，0）， ∴S△ABC＝ CD•（yA﹣yB）＝ |m﹣ |×[3﹣（﹣5）]＝8， 解得：m＝ 或 m＝ ． 故当△ABC 的面积是 8 时，点 C 的坐标为（ ，0）或（ ，0）． （3）设点 E 的横坐标为 1，点 F 的横坐标为 6，点 M、N 分别对应点 E、F，如图 2 所示． 令 y＝ 中 x＝1，则 y＝12， ∴E（1，12）； 令 y＝ 中 x＝4，则 y＝3， ∴F（4，3）， ∵EM∥FN，且 EM＝FN， ∴四边形 EMNF 为平行四边形， ∴S＝EM•（yE﹣yF）＝3×（12﹣3）＝27． C1 平移至 C2 处所扫过的面积正好为平行四边形 EMNF 的面积． 故答案为：27． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、三角 形的面积以及平行四边形的面积，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）找出关于 m 的含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出平行四边形 EMNF 的面积．本 题属于中档题，难度不小，解决（3）时，巧妙的借助平行四边的面积公式求出 C1 平移 至 C2 处所扫过的面积，此处要注意数形结合的重要性． 24．如图，AB 为 ⊙ O 的直径，点 C 在 ⊙ O 外，∠ABC 的平分线与 ⊙ O 交于点 D，∠C＝90°． （1）CD 与 ⊙ O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求 的长． 【分析】（1）连接 OD，只需证明∠ODC＝90°即可； （2）由（1）中的结论可得∠ODB＝30°，可求得弧 AD 的圆心角度数，再利用弧长公 式求得结果即可． 【解答】解：（1）相切．理由如下： 连接 OD， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠CBD＝∠ABD， 又∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥CB， ∴∠ODC＝∠C＝90°， ∴CD 与 ⊙ O 相切； （2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°， ∴∠AOD＝60°， 又∵AB＝6， ∴AO＝3， ∴ ＝ ＝ π ． 【点评】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条 直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共 点叫切点． 25．如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y＝x﹣2 交于 B，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）求△ABC 的面积； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在 以 O，M，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解 析式，可求得 C 点坐标； （2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，与 x 轴交于 D，得到 y＝2x﹣1，求得 BD＝2﹣ ＝ 于是得到结论； （3）设出 N 点坐标，可表示出 M 点坐标，从而可表示出 MN、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得 ＝ 或 ＝ ，可求得 N 点的坐标． 【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣1）2+1， 又抛物线过原点， ∴0＝a（0﹣1）2+1，解得 a＝﹣1， ∴抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+1， 即 y＝﹣x2+2x， 联立抛物线和直线解析式可得 ， 解得 或 ， ∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）； （2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，与 x 轴交于 D， 把 A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得 ， 解得： ， ∴y＝2x﹣1， 当 y＝0，即 2x﹣1＝0， 解得：x＝ ， ∴D（ ，0）， ∴BD＝2﹣ ＝ ∴△ABC 的面积＝S△ABD+S△BCD＝ × ×1+ × ×3＝3； （3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0），则 M（x，﹣x2+2x）， ∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|， 由（2）知，AB＝ ，BC＝3 ， ∵MN⊥x 轴于点 N， ∴∠ABC＝∠MNO＝90°， ∴当△ABC 和△MNO 相似时，有 ＝ 或 ＝ ， ① 当 ＝ 时， ∴ ＝ ，即|x||﹣x+2|＝ |x|， ∵当 x＝0 时 M、O、N 不能构成三角形， ∴x≠0， ∴|﹣x+2|＝ ， ∴﹣x+2＝± ，解得 x＝ 或 x＝ ， 此时 N 点坐标为（ ，0）或（ ，0）； ② 当或 ＝ ， 时， ∴ ＝ ， 即|x||﹣x+2|＝3|x|， ∴|﹣x+2|＝3， ∴﹣x+2＝±3， 解得 x＝5 或 x＝﹣1， 此时 N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0）， 综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直 角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意 顶点式的运用，在（3）中设出 N、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方 程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度 适中． 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）计算：﹣1﹣3=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．3 2．（3 分）cos60°=（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）中新社北京 11 月 10 日电，中组部负责人近日就做好中共十九大代表 选举工作有关问题答记者问时介绍称，十九大代表名额共 2300 名，将 2300 用科 学记数法表示应为（ ） A．23×102 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×104 5．（3 分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 6．（3 分）估计 的大小应在（ ） A．7 与 8 之间 B．8 与 9 之间 C．9 与 10 之间 D．11 与 12 之间 7．（3 分）化简： ﹣ =（ ） A．1 B．﹣x C．x D． 8．（3 分）方程 x2﹣2x=0 的解为（ ） A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=x2=1 D．x=2 9．（3 分）如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC 沿射线 BC 的方向 平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点 A′逆时针旋转一定角度后，点 B′恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60° 10．（3 分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数 的图象上的 三个点，且 x1＜x2＜0，x3＞0，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 11．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若∠A=40°，则∠EDF 的度数为（ ） A．75° B．70° C．65° D．60° 12．（3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，其中﹣2＜h ＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0； ④若 OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（ ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.请将答案答在试卷后面的 答题纸的相应位置） 13．（3 分）计算 a10÷a5= ． 14．（3 分）计算：（3 +2 ）（3 ﹣2 ）= ． 15．（3 分）一个袋子中装有 4 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外都相同， 从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 16．（3 分）请写出一个图象过点（0，1），且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 的一次函数的表达式： （填上一个答案即可）． 17．（3 分）如图，正方形 ABCD 内有两点 E、F 满足 AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF， CF⊥EF，则正方形 ABCD 的边长为 ． 18．（3 分）如图所示，在每个边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A、P 分 别为小正方形的中点，B 为格点． （I）线段 AB 的长度等于 ； （Ⅱ）在线段 AB 上存在一个点 Q，使得点 Q 满足∠PQA=45°，请你借助给定的 网格，并利用不带刻度的直尺作出∠PQA，并简要说明你是怎么找到点 Q 的： ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置） 19．（8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ． 20．（8 分）某教育局为了解本地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查 了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两 幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）α= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图． （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？ （3）如果该地共有八年级学生 2000 人，请你估计“活动时间不少于 7 天”的学生 人数大约有多少人？ 21．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过弧 BD 上一点 T 作⊙ O 的切线 TC，且 TC⊥AD 于点 C． （1）若∠DAB=50°，求∠ATC 的度数； （Ⅱ）若⊙O 半径为 2，TC= ，求 AD 的长． 22．（10 分）如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需绕 行 B 地．已知 B 地位于 A 地北偏东 67°方向，距离 A 地 520km，C 地位于 B 地南 偏东 30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线 路的长．（结果保留整数） （参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73） 23．（10 分）某公交公司有 A、B 两种客车，它们的载客数量和租金如表； A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 红星中学根据实际情况，计划租用 A，B 型客车共 5 辆，同时送八年级师生到基 地校参加社会实践活动，设租用 A 型客车 x 辆，根据要求回答下列问题； （1）用含 x 的式子填写表格 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x 45x 400x B 5﹣x （2）若要保证租车费用不超过 1900 元，求 x 的最大值； （3）在（2）的条件下，若七年级师生共有 195 人，写出所有可能的租车方案， 并确定最省钱的租车方案． 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上．点 B 的坐标为（8，4），将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对 应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E． （I）证明：EO=EB； （Ⅱ）点 P 是直线 OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标； （Ⅲ）点 M 是 OB 上任意一点，点 N 是 OA 上任 意一点，若存在这样的点 M、N， 使得 AM+MN 最小，请直接写出这个最小值． 25．（10 分）如图，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴 交于点 C，OB=OC=3，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点． （I）求 b，c 的值； （Ⅱ）如图 1，连 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F′恰好在线段 BE 上， 求点 F 的坐标； （Ⅲ）如图 2，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M、 与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积 相等，且线段 NQ 的长度最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）计算：﹣1﹣3=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．3 【解答】解：﹣1﹣3=﹣1+（﹣3）=﹣4． 故选：C． 2．（3 分）cos60°=（ ） A． B． C． D． 【解答】解：cos60°= ． 故选：D． 3．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确． 故选：D． 4．（3 分）中新社北京 11 月 10 日电，中组部负责人近日就做好中共十九大代表 选举工作有关问题答记者问时介绍称，十九大代表名额共 2300 名，将 2300 用科 学记数法表示应为（ ） A．23×102 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×104 【解答】解：将 2300 用科学记数法表示应为 2.3×103， 故选：C． 5．（3 分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：A． 6．（3 分）估计 的大小应在（ ） A．7 与 8 之间 B．8 与 9 之间 C．9 与 10 之间 D．11 与 12 之间 【解答】解：∵ ＜ ＜ ， ∴8＜ ＜9， ∴ 的大小应在 8 与 9 之间． 故选：B． 7．（3 分）化简： ﹣ =（ ） A．1 B．﹣x C．x D． 【解答】解：原式= =﹣ =﹣x． 故选：B． 8．（3 分）方程 x2﹣2x=0 的解为（ ） A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=x2=1 D．x=2 【解答】解：x（x﹣2）=0， x=0 或 x﹣2=0， 所以 x1=0，x2=2． 故选：A． 9．（3 分）如图，△AB C 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC 沿射线 BC 的方向 平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点 A′逆时针旋转一定角度后，点 B′恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60° 【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到△A′B′C′，再将 △A′B′C′绕点 A′逆时针旋转一定角度后，点 B′恰好与点 C 重合， ∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4， ∴△A′B′C 是等边三角形， ∴B′C=4，∠B′A′C=60°， ∴BB′=6﹣4=2， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°． 故选：B． [来源:学§科§网] 10．（3 分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数 的图象上的 三个点，且 x1＜x2＜0，x3＞0，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 【解答】解：∵反比例函数 中 k=﹣4＜0， ∴函数图象在二、四象限， ∴在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， ∵x1＜x2＜0， ∴0＜y1＜y2， ∵x3＞0， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 11．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若∠A=40°，则∠EDF 的度数为（ ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40° ∴∠B=∠C=70° ∵EB=BD=DC=CF ∵△BED 和△CDF 中， ∴△BED≌△CDF（SAS） ∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF ∵∠EDF=180°﹣∠CDF﹣∠BDE=180°﹣（∠CDF+∠BDE） ∵∠B=70° ∴∠BDE+∠BED=110°即∠CDF+∠BDE=110° ∴∠EDF=180°﹣110°=70°． 故选：B． 12．（3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，其中﹣2＜h ＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0； ④若 OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（ ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【解答】解：①∵抛物线开口向下， 抛物线对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，故 ab＞0， 抛物线与 y 轴交于负半轴，则 c＜0，故 abc＜0， 故①正确； ②∵抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵x=﹣ =h，且﹣2＜h＜﹣1， ∴4a＜b＜2a， ∴4a﹣b＜0， 又∵h＜0， ∴﹣ ＜1 ∴2a+b＜0， ∴（4a﹣b）（2a+b）＞0， 故②错误； ③由②知：b＞4a， ∴2b﹣8a＞0①． 当 x=﹣2 时，4a﹣2b+c＞0②， 由①+②得：4a﹣8a+c＞0，即 4a﹣c＜0． 故③正确； ④∵当 x=﹣1 时，a﹣b+c＞0， ∵OC=OB， ∴当 x=c 时，y=0，即 ac2+bc+c=0， ∵c≠0， ∴ac+b+1=0， ∴ac=﹣b﹣1， 则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=﹣b﹣1+a+c+1=a﹣b+c＞0， 故④正确； 所以本题正确的有：①③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.请将答案答在试卷后面的 答题纸的相应位置） 13．（3 分）计算 a10÷a5= a5 ． 【解答】解：原式=a10﹣5 =a5， 故答案为：a5． 14．（3 分）计算：（3 +2 ）（3 ﹣2 ）= 6 ． 【解答】解：原式=（3 ）2﹣（2 ）2 =18﹣12[来源:学,科,网 Z,X,X,K] =6． 故答案为 6． 15．（3 分）一个袋子中装有 4 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外都相同， 从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 【解答】解；袋子中球的总数为：4+2=6， 摸到红球的概率为： = ． 故答案为： ． 16．（3 分）请写出一个图象过点（0，1），且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 的一次函数的表达式： y=﹣x+1 （填上一个答案即可）．[来源:Zxxk.Com] 【解答】解：设该一次函数解析式为 y=kx+b， ∵函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， ∴k＜0，取 k=﹣1． ∵一次函数图象过点（0，1）， ∴1=b． 故答案为：y=﹣x+1． 17．（3 分）如图，正方形 ABCD 内有两点 E、F 满足 AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF， CF⊥EF，则正方形 ABCD 的边长为 ． 【解答】解：连接 AC，交 EF 于点 M， ∵AE 丄 EF，EF 丄 FC， ∴∠E=∠F=90°， ∵∠AME=∠CMF， ∴△AEM∽△CFM， ∴ = ， ∵AE=1，EF=FC=3， ∴ = ， ∴EM= ，FM= ， 在 Rt△AEM 中，AM2=AE2+EM2=1+ = ，解得 AM= ， 在 Rt△FCM 中，CM2=CF2+FM2=9+ = ，解得 CM= ， ∴AC=AM+CM=5， 在 Rt△ABC 中，AB=BC，AB2+BC2=AC2=25， ∴AB= ，即正方形的边长为 ． 故答案为： ．[来源:Zxxk.Com] 18．（3 分）如图所示，在每个边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A、P 分 别为小正方形的中点，B 为格点． （I）线段 AB 的长度等于 ； （Ⅱ）在线段 AB 上存在一个点 Q，使得点 Q 满足∠PQA=45°，请你借助给定的 网格，并利用不带刻度的直尺作出∠PQA，并简要说明你是怎么找到点 Q 的： 构 造正方形 EFGP，连接 PF 交 AB 于点 Q，点 Q 即为所求． ． 【解答】解：（Ⅰ）构建勾股定理可知 AB= = ， 故答案为 ． （Ⅱ）如图点 Q 即为所求． 构造正方形 EFGP，连接 PF 交 AB 于点 Q，点 Q 即为所求． 故答案为：构造正方形 EFGP，连接 PF 交 AB 于点 Q，点 Q 即为所求． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置） 19．（8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 x＜3 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x≥1 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 1≤x＜3 ． 【解答】解：（I）解不等式①得：x＜3， 故答案为：x＜3； （II）解不等式②得：x≥1， 故答案为：x≥1； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为： ； （IV）原不等式组的解集为 1≤x＜3， 故答案为：1≤x＜3． 20．（8 分）某教育局为了解本地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查 了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两 幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回 答下列问题： （1）α= 10% ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 36° ，请补全条形图． （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？ （3）如果该地共有八年级学生 2000 人，请你估计“活动时间不少于 7 天”的学生 人数大约有多少人？ 【解答】解：（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%， 圆心角的度数为 360°×10%=36°； （2）众数是 5 天，中位数是 6 天； （3）2000×（25%+10%+5%）=800（人）． 答：估计“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有 800 人． 21．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过弧 BD 上一点 T 作⊙ O 的切线 TC，且 TC⊥AD 于点 C． （1）若∠DAB=50°，求∠ATC 的度数； （Ⅱ）若⊙O 半径为 2，TC= ，求 AD 的长． 【解答】解：（Ⅰ）连接 OT，如图 1： ∵TC⊥AD，⊙O 的切线 TC， ∴∠ACT=∠OTC=90°， ∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO， ∴∠CAT=∠ATO， ∵OA=OT， ∴∠OAT=∠ATO， ∴∠DAB=2∠CAT=50°， ∴∠CAT=25°， ∴∠ATC=90°﹣25°=65°； （Ⅱ）过 O 作 OE⊥AC 于 E，连接 OT、OD，如图 2： ∵AC⊥CT，CT 切⊙ O 于 T， ∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°， ∴四边形 OECT 是矩形， ∴OT=CE=OD=2，[来源:学_科_网 Z_X_X_K] ∵OE⊥AC，OE 过圆心 O， ∴AE=DE= AD， ∵CT=OE= ， 在 Rt△OED 中，由勾股定理得：ED= ， ∴AD=2． 22．（10 分）如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需绕 行 B 地．已知 B 地位于 A 地北偏东 67°方向，距离 A 地 520km，C 地位于 B 地南 偏东 30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线 路的长．（结果保留整数） （参考数据：sin67°≈ ， cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73） 【解答】解：过点 B 作 BD⊥AC 于点 D， ∵B 地位于 A 地北偏东 67°方向，距离 A 地 520km， ∴∠ABD=67°， ∴AD=AB•sin67°=520× = =480km， BD=AB•cos67°=520× = =200km． ∵C 地位于 B 地南偏东 30°方向， ∴∠CBD=30°， ∴CD=BD•tan30°=200× = ， ∴AC=AD+CD=480+ ≈480+115=595（km）． 答：A 地到 C 地之间高铁线路的长为 595km． 23．（10 分）某公交公司有 A、B 两种客车，它们的载客数量和租金如表； A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 红星中学根据实际情况，计划租用 A，B 型客车共 5 辆，同时送八年级师生到基 地校参加社会实践活动，设租用 A 型客车 x 辆，根据要求回答下列问题； （1）用含 x 的式子填写表格 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x 45x 400x B 5﹣x 30（5﹣x） 280（5﹣x） （2）若要保证租车费用不超过 1900 元，求 x 的最大值； （3）在（2）的条件下，若七年级师生共有 195 人，写出所有可能的租车方案， 并确定最省钱的租车方案． 【解答】解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B 型客车载客量=30（5﹣x）；B 型客车租金=280（5﹣x）； 填表如下： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x 45x 400x B 5﹣x 30（5﹣x） 280（5﹣x） （2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4 ， ∴x 的最大值为 4； （3）由（2）可知，x≤4 ，故 x 可能取值为 0、1、2、3、4， ①A 型 0 辆，B 型 5 辆，租车费用为 400×0+280×5=1400 元，但载客量为 45× 0+30×5=150＜195，故不合题意舍去； ②A 型 1 辆，B 型 4 辆，租车费用为 400×1+280×4=1520 元，但载客量为 45× 1+30×4=165＜195，故不合题意舍去； ③A 型 2 辆，B 型 3 辆，租车费用为 400×2+280×3=1640 元，但载客量为 45× 2+30×3=180＜195，故不合题意舍去； ④A 型 3 辆，B 型 2 辆，租车费用为 400×3+280×2=1760 元，但载客量为 45× 3+30×2=195=195，符合题意； ⑤A 型 4 辆，B 型 1 辆，租车费用为 400×4+280×1=1880 元，但载客量为 45× 4+30×1=210，符合题意； 故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是 A 型 3 辆，B 型 2 辆． 故答案为：30（5﹣x）；280（5﹣x）． 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上．点 B 的坐标为（8，4），将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的 对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E． （I）证明：EO=EB； （Ⅱ）点 P 是直线 OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标； （Ⅲ）点 M 是 OB 上任意一点，点 N 是 OA 上任意一点，若存在这样的点 M、N， 使得 AM+MN 最小，请直接写出这个最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E， ∴∠DOB=∠AOB， ∵BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠DOB， ∴EO=EB； （Ⅱ）∵点 B 的坐标为（8，4）， ∴直线 OB 解析式为 y= x， ∵点 P 是直线 OB 上的任意一点， ∴设 P（a， a）． ∵O（0，0），C（0，4）， ∴OC=4，PO2=a2+（ a）2= a2，PC2=a2+（4﹣ a）2． 当△OPC 是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论： ①如果 PO=PC，那么 PO2=PC2， 则 a2=a2+（4﹣ a）2，解得 a=4，即 P（4，2）； ②如果 PO=OC，那么 PO2=OC2， 则 a2=16，解得 a=± ，即 P（ ， ）或 P（﹣ ，﹣ ）； ③如果 PC=OC 时，那么 PC2=OC2， 则 a2+（4﹣ a）2=16，解得 a=0（舍），或 a= ，即 P（ ， ）； 故满足条件的点 P 的坐标为（4，2）或（ ， ）或 P（﹣ ，﹣ ） 或（ ， ）； （Ⅲ）如图，过点 D 作 OA 的垂线交 OB 于 M，交 OA 于 N， 此时的 M，N 是 AM+MN 的最小值的位置，求出 DN 就是 AM+MN 的最小值． 由（1）有，EO=EB， ∵长方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（8， 4）， 设 OE=x，则 DE=8﹣x， 在 Rt△BDE 中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2， ∴16+（8﹣x）2=x2， ∴x=5， ∴BE=5， ∴CE=3， ∴DE=3，BE=5，BD=4， ∵S△BDE= DE×BD= BE×DG， ∴DG= = ， 由题意有，GN=OC=4， ∴DN=DG+GN= +4= ． 即：AM+MN 的最小值为 ． 25．（10 分）如图，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴 交于点 C，OB=OC=3，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点． （I）求 b，c 的值； （Ⅱ）如图 1，连 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F′恰好在线段 BE 上， 求点 F 的坐标； （Ⅲ）如图 2，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M、 与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积 相等，且线段 NQ 的长度最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解： （I）∵OB=OC=3， ∴B（3，0），C（0，3）， 将其代入 y=﹣x2+bx+c，得 ， 解得 b=2，c=3； （Ⅱ）设点 F 的坐标为（0，m）． ∵对称轴为直线 x=1， ∴点 F 关于直线 l 的对称点 F 的坐标为（2，m）． 由（I）可知抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴E（1，4）， ∵直线 BE 经过点 B（3，0），E（1，4）， ∴利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y=﹣2x+6． ∵点 F 在 BE 上， ∴m=﹣2×2+6=2，即点 F 的坐标为（0，2）； （Ⅲ）存在点 Q 满足题意． 设点 P 坐标为（n，0），则 PA=n+1，PB =PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3． 作 QR⊥PN，垂足为 R， ∵S△PQN=S△APM， ∴ （n+1）（3﹣n）= （﹣n2+2n+3）•QR， ∴QR=1． ①点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为（n﹣1，﹣n2+4n），R 点的坐标为（n， ﹣n2+4n），N 点的坐标为（n，﹣n2+2n+3）． ∴在 Rt△QRN 中，NQ2=1+（2n﹣3）2， ∴n= 时，NQ 取最小值 1．此时 Q 点的坐标为（ ， ）； ②点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为（n+1，n2﹣4）． 同理，NQ2=1+（2n﹣1）2， ∴n= 时，NQ 取最小值 1．此时 Q 点的坐标为（ ， ）． 综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为（ ， ）或（ ， ）． 中考数学二模试卷（解析版） 一、选择题 1．-6÷ 的结果等于（ ） A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式=﹣6×6=﹣36 故选：D． 【点评】本题考查有理数的运算法则，解题的关键是熟练运用除法法则，本题属 于基础题型． 2．（3 分）2sin60°的值等于（ ） A． B．2 C．1 D． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：2sin60°=2× = ， 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三 角函数值． 3．（3 分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻 找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4．（3 分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为 20 万分之一，将这个 数用科学计数法表示为（ ） A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6 【分析】先把 20 万分之一转化成 0.000 005，然后再用科学记数法记数记为 5× 10﹣6．小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为 零的数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解： =0.000005=5×10﹣6． 故选：D． 【点评】考查了科学计数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记 数法 a×10n 的形式时，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 5．（3 分）用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的 左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视 图中． 【解答】解：从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列． 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图． 6．（3 分）在实数﹣ ，﹣2， ， 中，最小的是（ ） A．﹣ B．﹣2 C． D． 【分析】 为正数， ，﹣2 为负数，根据正数大于负数，所以比较 与﹣2 的大小即可． 【解答】解：正数有： ； 负数： ，﹣2， ∵ ， ∴ ， ∴最小的数是﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是正数大于负数，两个负数， 绝对值大的反而小． 7．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，若 BD=2AD， 则（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵BD=2AD， ∴ = = = ， 则 = ， ∴A，C，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题 关键． 8．（3 分）一个正六边形的半径为 R，边心距为 r，那么 R 与 r 的关系是（ ） A．r= R B．r= R C．r= R D．r= R 【分析】求出正六边形的边心距（用 R 表示），根据“接近度”的定义即可解决问 题． 【解答】解：∵正六边形的半径为 R， ∴边心距 r= R， 故选：A． 【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形 的高 h= a（a 是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考 题型． 9．（3 分）设点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y= 图象上的两个点， 当 x1＜x2＜0 时，y1＜y2，则一次函数 y=﹣2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据反比例函数图象的性质得出 k 的取值范围，进而根据一次函数的性 质得出一次函数 y=﹣2x+k 的图象不经过的象限． 【解答】解：∵点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y= 图象上的两个点， 当 x1＜x2＜0 时，y1＜y2， ∴x1＜x2＜0 时，y 随 x 的增大而增大， ∴k＜0， ∴一次函数 y=﹣2x+k 的图象不经过的象限是：第一象限． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根 据反比例函数的性质得出 k 的取值范围是解题关键． 10．（3 分）如图，A、B、C、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=50°，AO∥DC，则 ∠B 的度数为（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】首先连接 AD，由 A、B、C、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO∥ DC，可求得∠ADO 与∠ODC 的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案． 【解答】解：连接 AD， ∵OA=OD，∠AOD=50°， ∴∠ADO= =65°． ∵AO∥DC， ∴∠ODC=∠AOC=50°， ∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°， ∴∠B=180°﹣∠ADC=65°． 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等 腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思 想的应用． 11．（3 分）观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图 形中的小点一共有（ ） A．162 个 B．135 个 C．30 个 D．27 个 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入 9 求解即可． 【解答】解：第 1 个图形有 3=3×1=3 个点， 第 2 个图形有 3+6=3×（1+2）=9 个点 第 3 个图形有 3+6+9=3×（1+2+3）=18 个点； …… 第 n 个图形有 3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）= 个点； 当 n=9 时， = =135， 故选：B． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律， 然后求解． 12．（3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与 y 轴的交点 在一次函数 y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是 x=1，有下列四个结论：① abc＜0，②a＜﹣ ，③a=﹣k，④当 0＜x＜1 时，ax+b＞k，其中正确结论的个数 是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与 y 轴交点可判断①；由①知 y=ax2﹣2ax+1，根据 x=﹣1 时 y＜0 可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上知 a+b+1=k+1，即 a+b=k，结合 b=﹣2a 可判断③；根据 0＜x＜1 时二次函数图象在 一次函数图象上方知 ax2+bx+1＞kx+1，即 ax2+bx＞kx，两边都除以 x 可判断④． 【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为 x=1 可知 a＜0，﹣ =1，即 b=﹣2a＞0， 由抛物线与 y 轴的交点在一次函数 y=kx+1（k≠0）的图象上知 c=1， 则 abc＜0，故①正确； 由①知 y=ax2﹣2ax+1， ∵x=﹣1 时，y=a+2a+1=3a+1＜0， ∴a＜﹣ ，故②正确； ∵抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数 y=kx+1（k≠0）的图象上， ∴a+b+1=k+1，即 a+b=k， ∵b=﹣2a， ∴﹣a=k，即 a=﹣k，故③正确； 由函数图象知，当 0＜x＜1 时，二次函数图象在一次函数图象上方， ∴ax2+bx+1＞kx+1，即 ax2+bx＞kx， ∵x＞0， ∴ax+b＞k，故④正确； 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函 数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（3×6=18） 13．（3 分）分解因式：x2﹣5x= x（x﹣5） ． 【分析】直接提取公因式 x 分解因式即可． 【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）． 故答案为：x（x﹣5）． 【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式． 14．（3 分）计算 ×（ ﹣2 ）的结果等于 2 ﹣2 ． 【分析】利用二次根式的乘法法则运算． 【解答】解：原式= ﹣2 =2 ﹣2． 故答案为 2 ﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式， 然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结 合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 15．（3 分）有四张卡片，分别写有数﹣2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无 差别）洗匀后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概 率是 ． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字 积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为 2 种， 所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为 = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法 可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状 图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 16．（3 分）如图 1，两个等边△ABD，△CBD 的边长均为 1，将△ABD 沿 AC 方 向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 2 ． 【分析】根据两个等边△ABD，△CBD 的边长均为 1，将△ABD 沿 AC 方向向右平 移 到 △ A’B’D’ 的 位 置 ， 得 出 线 段 之 间 的 相 等 关 系 ， 进 而 得 出 OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案． 【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD 的边长均为 1，将△ABD 沿 AC 方向向右 平移到△A′B′D′的位置， ∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′， ∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2； 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出 A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的 关键． 17．（3 分）如图．在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置， 且 AD 交 y 轴于点 E．那么点 D 的坐标为 （﹣ ， ） ． 【分析】首先过 D 作 DF⊥AF 于 F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用 全等三角形的性质得到 OE=DE，OA=CD=1，设 OE=x，那么 CE=3﹣x，DE=x，利用 勾股定理即可求出 OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而 AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出 DF、AF 的长度，也就求出了 D 的坐标． 【解答】解：如图，过 D 作 DF⊥AO 于 F， ∵点 B 的坐标为（1，3）， ∴BC=AO=1，AB=OC=3， 根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3， 在△CDE 和△AOE 中， ， ∴△CDE≌△AOE， ∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE， 设 OE=x，那么 CE=3﹣x，DE=x， ∴在 Rt△DCE 中，CE2=DE2+CD2， ∴（3﹣x）2=x2+12， ∴x= ， ∴OE= ，AE=CE=OC﹣OE=3﹣ = ， 又∵DF⊥AF， ∴DF∥EO， ∴△AEO∽△ADF， ∴AE：AD=EO：DF=AO：AF， 即 ：3= ：DF=1：AF， ∴DF= ，AF= ， ∴OF= ﹣1= ， ∴D 的坐标为：（﹣ ， ）． 故答案为：（﹣ ， ）． 【点评】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角 形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利 用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题． 18．（3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B 为格点 （Ⅰ）AB 的长等于 （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点 C，使得 CA=CB 且△ABC 的面积等于 ，并简要说明点 C 的位置是如何找到的 取格点 P、N（使得 S△ PAB= ），作直线 PN，再证=作线段 AB 的垂直平分线 EF 交 PN 于点 C，点 C 即为 所求． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可； （Ⅱ）取格点 P、N（S△PAB= ），作直线 PN，再证=作线段 AB 的垂直平分线 EF 交 PN 于点 C，点 C 即为所求． 【解答】解：（Ⅰ）AB= = ， 故答案为 ． （Ⅱ）如图取格点 P、N（使得 S△PAB= ），作直线 PN，再证=作线段 AB 的垂直 平分线 EF 交 PN 于点 C，点 C 即为所求． 故答案为：取格点 P、N（S△PAB= ），作直线 PN，再证=作线段 AB 的垂直平分 线 EF 交 PN 于点 C，点 C 即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知 识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（66 分） 19．（8 分）解不等式组 请结合题填空，完成本题的解答 （Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 （Ⅱ）解不等式②，得 x＜3 （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜3 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1， （Ⅱ）解不等式②，得：x＜3， （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下： （Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 故答案为：x≥﹣1、x＜3、﹣1≤x＜3． 【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定： 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20．（8 分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生 每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息， 解答下列问题； （Ⅰ）在图①中，m 的值为 20 ，表示“2 小时”的扇形的圆心角为 54 度； （Ⅱ）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数． 【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得 m 的值和表示“2 小时”的扇形的圆 心角的度数； （Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数 和中位数． 【解答】解：（Ⅰ）m%=1﹣40%﹣25%﹣15%=20%， 即 m 的值是 20， 表示“2 小时”的扇形的圆心角为：360°×15%=54°， 故答案为：20、54； （Ⅱ）这组数据的平均数是： = ， 众数是：1， 中位数是：1． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答 本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答． 21．（10 分）如图，⊙O 的直径 AB 的长为 2，点 C 在圆周上，∠CAB=30°，点 D 是圆上一动点，DE∥AB 交 CA 的延长线于点 E，连接 CD，交 AB 于点 F． （Ⅰ）如图 1，当∠ACD=45°时，请你判断 DE 与⊙O 的位置关系并加以证明； （Ⅱ）如图 2，当点 F 是 CD 的中点时，求△CDE 的面积． 【分析】（Ⅰ）连接 OD，如图 1，理由圆周角定理得到∠AOD=90°，则 OD⊥AB， 再理由平行线的性质得到 OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可 判断 DE 为⊙O 的切线； （Ⅱ）连接 OC，如图 1，利用垂径定理得到 AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠ COF=60°，则根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 OF= ，CF= ，所以 CD=2CF= ，AF= ，接着证明 AF 为△CDE 的中位线得到 DE=2AF=3，然后根据三 角形面积公式求解． 【解答】解：（Ⅰ）DE 与⊙O 相切．、 理由如下：连接 OD，如图 1， ∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE 为⊙O 的切线； （Ⅱ）连接 OC，如图 1， ∵点 F 是 CD 的中点， ∴AB⊥CD，CF=DF， ∵∠COF=2∠CAB=60°， ∴OF= OC= ，CF= OF= ， ∴CD=2CF= ，AF=OA+OF= ， ∵AF∥AD，F 点为 CD 的中点， ∴DE⊥CD，AF 为△CDE 的中位线， ∴DE=2AF=3， ∴△CDE 的面积= ×3× = ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d：则直线 l 和⊙O 相交 ⇔ d＜r；直线 l 和⊙O 相切 ⇔ d=r；直线 l 和⊙O 相离 ⇔ d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理． 22．（10 分）某中学依山而建，校门 A 处有一斜坡 AB，长度为 13 米，在坡顶 B 处看教学楼 CF 的楼顶 C 的仰角∠CBF=53°，离 B 点 4 米运的 E 处有一花台，在 E 处仰望 C 的仰角∠CEF=63.4°，CF 的延长线交校门处的水平面于 D 点，FD=5 米 （Ⅰ）求∠BAD 的正切值； （Ⅱ）求 DC 的长．（参考数据：tan53°≈ ，tan63.4°≈2） 【分析】（Ⅰ）过 B 作 BG⊥AD 于 G，则四边形 BGDF 是矩形，求得 BG=DF=5 米， 然后根据勾股定理求得 AG，即可求得斜坡 AB 的坡度 i． （Ⅱ）在 Rt△BCF 中，BF= = ，在 Rt△CEF 中，EF= = ，得 到方程 BF﹣EF= ﹣ =4，解得 CF=16，即可求得求 DC=21． 【解答】解：（Ⅰ）过 B 作 BG⊥AD 于 G， 则四边形 BGDF 是矩形， ∴BG=DF=5 米， ∵AB=13 米， ∴AG= =12 米， ∴tan∠BAD= =1：2.4； （Ⅱ）在 Rt△BCF 中，BF= = ， 在 Rt△CEF 中，EF= = ， ∵BE=4 米， ∴BF﹣EF═ ﹣ =4， 解得：CF=16． ∴DC=CF+DF=16+5=21 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应 用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键． 23．（10 分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过 多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题， 还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法 来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数 y（人）与票价 x（元）之 间怡好构成一次函数关系． （Ⅰ）根据题意完成下列表格 票价 x（元） 10 15 x 18 参观人数 y（人） 7000 4500 ﹣ 500x+12000 3000 （Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有 40000 元的门票收入，那么每周应限 定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？ （Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？ 【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数 y（人）与票价 x（元）之间怡好构成 一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入 y=kx+b，求出 k，b 的 值，即可把表格填写完整； （Ⅱ）根据参观人数×票价=40000 元，即可求出每周应限定参观人数以及门票 价格应定位； （Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解． 【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 y=kx+b， 把（10，7000）（15，4500）代入 y=kx+b 中得 ， 解得 ， ∴y=﹣500x+12000， x=18 时，y=3000， 故答案为：﹣500x+12000，3000； （II）根据确保每周 4 万元的门票收入，得 xy=40000 即 x（﹣500x+12000）=40000 x2﹣24x+80=0 解得 x1=20 x2=4 把 x1=20，x2=4 分别代入 y=﹣500x+12000 中 得 y1=2000，y2=10000 因为控制参观人数，所以取 x=20，y=2000 答：每周应限定参观人数是 2000 人，门票价格应是 20 元/人． （III）依题意有 x（﹣500x+12000）=﹣500（x2﹣24）=﹣500（x﹣12）2+72000， y=﹣500×12+12000=6000． 故门票价格应该是 12 元时门票收入最大，这样每周应有 6000 人参观． 【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注 意自变量的取值还必须使实际问题有意义． 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点， 点 A 的坐标为（6，0），点 B 的坐标为（0，8），点 C 的坐标为（﹣2 ，4）， 点 M，N 分别为四边形 OABC 边上的动点，动点 M 从点 O 开始，以每秒 1 个单 位长度的速度沿 O→A→B 路线向终点 B 匀速运动，动点 N 从 O 点开始，以每秒 两个单位长度的速度沿 O→C→B→A 路线向终点 A 匀速运动，点 M，N 同时从 O 点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间 t 秒（t＞0），△OMN 的面积为 S． （1）填空：AB 的长是 10 ，BC 的长是 6 ； （2）当 t=3 时，求 S 的值； （3）当 3＜t＜6 时，设点 N 的纵坐标为 y，求 y 与 t 的函数关系式； （4）若 S= ，请直接写出此时 t 的值． 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图 1 中，作 CE⊥x 轴于 E．连接 CM．当 t=3 时，点 N 与 C 重合，OM=3， 易求△OMN 的面积； （3）如图 2 中，当 3＜t＜6 时，点 N 在线段 BC 上，BN=12﹣2t，作 NG⊥OB 于 G，CF⊥OB 于 F．则 F（0，4）．由 GN∥CF，推出 = ，即 = ，可得 BG=8﹣ t，由此即可解决问题； （4）分三种情形①当点 N 在边长上，点 M 在 OA 上时．②如图 3 中，当 M、N 在线段 AB 上，相遇之前．作 OE⊥AB 于 E，则 OE= = ，列出方程即可解 决问题．③同法当 M、N 在线段 AB 上，相遇之后，列出方程即可； 【解答】解：（1）在 Rt△AOB 中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8， ∴AB= = =10． BC= =6， 故答案为 10，6． （2）如图 1 中，作 CE⊥x 轴于 E．连接 CM． ∵C（﹣2 ，4）， ∴CE=4OE=2 ， 在 Rt△COE 中，OC= = =6， 当 t=3 时，点 N 与 C 重合，OM=3， ∴S△ONM= •OM•CE= ×3×4=6， 即 S=6． （3）如图 2 中，当 3＜t＜6 时，点 N 在线段 BC 上，BN=12﹣2t，作 NG⊥OB 于 G，CF⊥OB 于 F．则 F（0，4）． ∵OF=4，OB=8， ∴BF=8﹣4=4， ∵GN∥CF， ∴ = ，即 = ， ∴BG=8﹣ t， ∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣ t）= t． （4）①当点 N 在边长上，点 M 在 OA 上时， • t•t= ， 解得 t= （负根已经舍弃）． ②如图 3 中，当 M、N 在线段 AB 上，相遇之前． 作 OE⊥AB 于 E，则 OE= = ， 由题意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]• = ， 解得 t=8， 同法当 M、N 在线段 AB 上，相遇之后． 由题意 •[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]• = ， 解得 t= ， 综上所述，若 S= ，此时 t 的值 8s 或 s 或 s． 【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角 三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思 想思考问题，属于中考压轴题． 25．（10 分）已知抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同，其中抛物线 l1：y=ax2 ﹣8ax﹣ 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6；抛物线 l2 与 l1 交于点 A 和点 C（5，n）． （1）求抛物线 l1，l2 的表达式； （2）当 x 的取值范围是 2≤x≤4 时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横 坐标的增大而增大； （3）直线 MN∥y 轴，交 x 轴，l1，l2 分别相交于点 P（m，0），M，N，当 1≤ m≤7 时，求线段 MN 的最大值． 【分析】（1）首先确定 A、B 两点坐标，求出抛物线 l1 的解析式，再求出点 C 坐标，利用待定系数法求出抛物线 l2 的解析式即可； （2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐 标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题； （3）分两种情形分别求解：①如图 1 中，当 1≤m≤5 时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣ （m﹣3）2+4，②如图 2 中，当 5＜m≤7 时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利 用二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：（1）由题意抛物线 l1 的对称轴 x=﹣ =4， ∵抛物线 l1 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6， ∴A（1，0），B（7，0）， 把 A（1，0）代入 y=ax2﹣8ax﹣ ，解得 a=﹣ ， ∴抛物线 l1 的解析式为 y=﹣ x2+4x﹣ ， 把 C（5，n）代入 y=﹣ x2+4x﹣ ，解得 n=4， ∴C（5，4）， ∵抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同， ∴可以假设抛物线 l2 的解析式为 y= x2+bx+c， 把 A（1，0），C（5，4）代入 y= x2+bx+c， 得到 ，解得 ， ∴抛物线 l2 的解析式为 y= x2﹣2x+ ． （2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐 标同时随横坐标的增大而增大， 顶点 E（2，﹣ ），顶点 F（4， ） 所以 2≤x≤4 时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 故答案为 2≤x≤4． （3）∵直线 MN∥y 轴，交 x 轴，l1，l2 分别相交于点 P（m，0），M，N， ∴M（m，﹣ m2+4m﹣ ），N（m， m2﹣2m+ ）， ①如图 1 中，当 1≤m≤5 时， MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4， ∴m=3 时，MN 的最大值为 4． ②如图 2 中，当 5＜m≤7 时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4， 5＜m≤7 时，在对称轴右侧，MN 随 m 的增大而增大， ∴m=7 时，MN 的值最大，最大值是 12， 综上所述，MN 的最大值为 12． 【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想 解决问题，属于中考压轴题． 中考数学 一元二次方程 中考复习 一、选择题 1.已知关于的方程，(1)ax2+bx+c=0；(2)x2-4x=8+x2；(3)1+(x-1)(x+1)=0；(4)(k2+1)x2 + kx + 1= 0 中，一元二次方程的个数为( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知关于 x 的方程 x2-kx-6=0 的一个根为 x=3，则实数 k 的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋b=0 有一个非零根－b，则 a－b 的值为( ) A.1 B.－1 C.0 D.－2 4.若 5k+20＜0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x﹣k=0 的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5.关于 x 的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0 有实数根，则 a 满足( ) A.a≥1 B.a＞1 且 a≠5 C.a≥1 且 a≠5 D.a≠5 6.一元二次方程 x2﹣8x﹣1=0 配方后可变形为( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15 7.若关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为 a 和 b，且 a2 －ab＋b2=18， 则 ＋ 的值是( ) A.3 B.－3 C.5 D.－5 8.班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统 计出全组共互送了 90 张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人 数为 x 人，则可列方程为( ) A.x(x-1)=90 B.x(x-1)=2×90 C.x(x-1)=90÷2 D.x(x＋ 1)=90 9.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染 的人数为(  ) A. 8 人 B. 9 人 C. 10 人 D. 11 人 10.根据下列表格对应值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03 判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的范围是（ ） A.x＜3.24 B.3.24＜x＜3.25 C.3.25＜x＜3.26 D.3.25＜x＜3.28 11.若α，β是方程 x2+2x﹣2019=0 的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ） A．2019 B．2017 C．﹣2019 D．4038 12.设x1，x2 是方程x2+5x﹣3=0 的两个根，则x1 2+x2 2 的值是（ ） A.19 B.25 C.31 D.30 二、填空题 13.若一元二次方程 ax2﹣bx﹣2016=0 有一根为 x=﹣1，则 a+b= . 14.菱形的两条对角线长分别是方程 x2﹣14x+48=0 的两实根，则菱形的面积为 . 15.若方程 x2－2x－1=0 的两个根为 x1，x2，则 x1＋x2－x1x2 的值为________． 16.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手 78 次，则这次会 议参加的人数是 . 17.关于 x 的方程 a(x+m)2+b=0 的解是 x1=－2，x2=1（a，m，b 均为常数，a≠0），则方程 a(x+m+2)2+b=0 的解是 . 18.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ． 三、解答题： 19.解方程：x2﹣5x﹣36=0.(因式分解法) 20.解方程：x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0.(因 式分解法) 21.解方程：x2﹣3x﹣1=0(用配方法) 22.解方程:4x2-7x＋2=0.(公式法) 23.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+1﹣k=0 有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为负整数，求此时方程的根． 24.阅读下面的例题，解方程(x﹣1)2﹣5|x﹣1|﹣6=0 例：解方程 x2﹣|x|﹣2=0；解：令 y=|x|，原方程化成 y2﹣y﹣2=0 解得：y1=2，y2=﹣1 当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1 时（不合题意，舍去） ∴原方程的解是 x1=2，x2=﹣2． 25.已知关于 x 的一元二次方程 x2-3x＋2a＋1=0 有两个不相等的实数根． (1)求实数 a 的取值范围； (2)若 a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程 x2-3x＋2a＋1=0 的两个根为 x1，x2，求 x1 2x2 ＋x1x2 2 的值． 26.如图，九年级学生要设计一幅幅宽 20cm、长 30cm 的图案，其中有宽度相等的一横两竖 的彩条．如果要使彩条所占的面积是图案的一半．求彩条的宽度． 27.甲乙两件服装的进价共500元,商场决定将甲服装按30%的利润定价,乙服装按20%的利润 定价,实际出售时,两件服装均按 9 折出售,商场卖出这两件服装共获利 67 元. (1)求甲乙两件服装的进价各是多少元. (2)由于乙服装畅销,制衣厂经过两次上调价格后,使乙服装每件的进价达到 242 元,求每件 乙服装进价的平均增长率. (3)若每件乙服装进价按平均增长率再次上调,商场仍按 9 折出售,定价至少为多少元时,乙 服装才可获得利润(定价取整数). 参考答案 1.B 2.A； 3.A 4.A． 5.A 6.C 7.D 8.A. 9.B. 10.B 11.B 12.C 13.答案为：2016； 14.答案为：24. 15.答案为：3 16.答案为：13. 17.答案为：x1= -4，x2= -1. 18.答案为：m＞0.5． 19. (x﹣9)(x+4)=0，所以 x1=9，x2=﹣4； 20. (x﹣2)(x﹣1)=0，所以 x1=2，x2=1； 21.答案为：x= ； 22.答案为：x1= ＋ ，x2= - . 23.解：（1）由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0，解得 k＞﹣0.25； （2）若 k 为负整数，则 k=﹣1，此时原方程为 x2﹣3x+2=0，解得 x1=1，x2=2． 24.解：令 y=|x﹣1|，原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，解得：y=﹣1或 y=6， 当|x﹣1|=﹣1时，不符合题意，舍去； 当|x﹣1|=6时，即 x﹣1=6或 x﹣1=﹣6，解得：x=7或 x=﹣5． 25. (1)a<0.625a; (2) 3. 26.解：设彩条的宽为 xcm，则有（30﹣2x）（20﹣x）=20×30÷2，解得 x1=5，x2=30（舍 去）． 答：彩条宽5cm． 27.解：(1)设甲服装进价为 x 元/件,乙服装进价为 y 元/件,根据题意得: x+y=500,(1.3x+1.2y)×0.9-500=67,解得 x=300,y=200. 答:甲服装进价为300元/件,乙服装进价为200元/件. (2)设每件乙服装进价的平均增长率为 m, 根据题意得200(1+m)2=242,解得 m1=0.1,m2=-2.1(不符合题意,舍去),所以 m=0.1=10%, 答:每件乙服装进价的平均增长率为10%. (3)设定价为 n 元/件,根据题意得0.9n>242(1+10%),解得 n>295 , 因为 n 取最小正整数,所以 n 取296. 所以当定价至少为 296 元时,乙服装才可获得利润. 中考数学一模试卷 一、选择题： 1．计算（﹣3）×（﹣5）的结果是（ ） A．15 B．﹣15 C．8 D．﹣8 2．3tan45°的值等于（ ） A． B．3 C．1 D．3 3．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．2016 年上半年，天津市生产总值 8500.91 亿元，按可比价格计算，同步增长 9.2%，将“8500.91”用科学记数法可表示为（ ） A．8.50091×103 B．8.50091×1011 C．8.50091×105 D．8.50091×1013 5．如图中几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 6．已知 a，b 为两个连续整数，且 a＜ ﹣1＜b，则这两个整数是（ ） A．1 和 2 B．2 和 3 C．3 和 4 D．4 和 5 7．下列说法正确的是（ ） A．“任意画一个三角形，其内角和为 360°”是随机事件 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6 次 C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 8．化简： ÷（1﹣ ）的结果是（ ） A．x﹣4 B．x+3 C． D． 9．如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、 AD 分别沿 AE、AF 折叠，点 B，D 恰好都落在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为 （ ） A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3 10．以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形，则该三角形的面积是（ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴 为直线 x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线 l 上的点，且 x3＜﹣1＜x1＜x2，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 12．如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半 轴上，将△AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象 恰好经过斜边 A′B 的中点 C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题： 13．分解因式：ab3﹣4ab= ． 14．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角 板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD 为 度． 15．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出 “石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率 P= ． 16．已知函数满足下列两个条件： ①x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； ②它的图象经过点（1，2）． 请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ． 17．随着某市养老机构建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加，养老床位数从 2014 年底的 2 万个增长到 2016 年底的 2.88 万个，则该市这两年拥有的养老床位 数的平均年增长率为 ． 18．（1）如图 1，如果ɑ，β都为锐角，且 tanɑ= ，tanβ= ，则ɑ+β= ； （2）如果ɑ，β都为锐角，当 tanɑ=5，tanβ= 时，在图 2 的正方形网格中，利用 已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ﹣β．此时ɑ﹣β= 度． 三、解答题： 19．解不等式组： ．请结合题意填空，完成本体的解法． （1）解不等式（1），得 ； （2）解不等式（2），得 ； （3）把不等式 （1）和 （2）的解集在数轴上表示出来． （4）原不等式的解集为 ． 20．植树节期间，某校倡议学生利用双休日“植树”劳动，为了解同学们劳动情 况．学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计 图，根据图中信息回顾下列： （1）通过计算，将条形图补充完整； （2）扇形图形中“1.5 小时”部分圆心角是 ． 21．从⊙O 外一点 A 引⊙O 的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并延长交⊙O 于点 C， 点 D．连接 BC． （1）如图 1，若∠A=26°，求∠C 的度数； （2）如图 2，若 AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E．求∠AEB 的度数． 22．如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进 3 米到达点 E， 在点 E 处测得树顶 A 点的仰角β=60°，求树高 AB（结果保留根号） 23．某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工．若进行粗加工，每 吨加工费用为 600 元，需 天，每吨售价 4000 元；若进行精加工，每吨加工费 用为 900 元，需 天，每吨售价 4500 元．现将这 50 吨原料全部加工完．设其中 粗加工 x 吨，获利 y 元． （1）请完成表格并求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写自变量的范围）； 表一 粗加工数量/吨 3 7 x 精加工数量/吨 47 表二 粗加工数量/吨 3 7 x 粗加工获利/元 2800 精加工获利/元 25800 （2）如果必须在 20 天内完成，如何安排生产才能获得最大利润，最大利润是多 少？ 24．如图，把矩形纸片 ABCD 置于直角坐标系中，AB∥x 轴，BC∥y 轴，AB=4， BC=3，点 B（5，1）翻折矩形纸片使点 A 落在对角线 DB 上的 H 处得折痕 DG． （1）求 AG 的长； （2）在坐标平面内存在点 M（m，﹣1）使 AM+CM 最小，求出这个最小值； （3）求线段 GH 所在直线的解析式． 25．已知直线 y=2x﹣5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 的顶点 M 在直线 AB 上，且抛物线与直线 AB 的另一个交点为 N． （1）如图，当点 M 与点 A 重合时，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求点 N 的坐标和线段 MN 的长； （3）抛物线 y=﹣x2+bx+c 在直线 AB 上平移，是否存在点 M，使得△OMN 与△ AOB 相似？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一、选择题： 1．计算（﹣3）×（﹣5）的结果是（ ） A．15 B．﹣15 C．8 D．﹣8 【考点】有理数的乘法． 【分析】根据有理数乘法法则，求出计算（﹣3）×（﹣5）的结果是多少即可． 【解答】解：∵（﹣3）×（﹣5）=15， ∴计算（﹣3）×（﹣5）的结果是 15． 故选：A． 2．3tan45°的值等于（ ） A． B．3 C．1 D．3 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用特殊角的三角函数数值，代入求出即可． 【解答】解：3tan45°=3×1=3． 故选：D． 3．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2 个． 故选 B． 4．2016 年上半年，天津市生产总值 8500.91 亿元，按可比价格计算，同步增长 9.2%，将“8500.91”用科学记数法可表示为（ ） A．8.50091×103 B．8.50091×1011 C．8.50091×105 D．8.50091×1013 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 8500.91 用科学记数法表示为：8.50091×103． 故选：A． 5．如图中几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视 图中． 【解答】解：从上面看易得第一层最右边有 1 个正方形，第二层有 3 个正方形． 故选：A． 6．已知 a，b 为两个连续整数，且 a＜ ﹣1＜b，则这两个整数是（ ） A．1 和 2 B．2 和 3 C．3 和 4 D．4 和 5 【考点】估算无理数的大小． 【分析】先利用夹逼法求得 的范围，然后再利用不等式的性质求解即可． 【解答】解：∵16＜19＜25， ∴4＜ ＜5． ∴4﹣1＜ ﹣1＜5﹣1，即 3＜ ﹣1＜4． 故答案为：C． 7．下列说法正确的是（ ） A．“任意画一个三角形，其内角和为 360°”是随机事件 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6 次 C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件． 【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案． 【解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和为 360°”是不可能事件，故 A 错 误； B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可能投中 6 次，故 B 错误； C、抽样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故 C 错误； D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故 D 正确； 故选：D． 8．化简： ÷（1﹣ ）的结果是（ ） A．x﹣4 B．x+3 C． D． 【考点】分式的混合运算． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法 法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解： ÷（1﹣ ）， = ÷ ， = ， = ， 故选 D． 9．如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、 AD 分别沿 AE、AF 折叠，点 B，D 恰好都落在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为 （ ） A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3 【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质． 【分析】由正方形纸片 ABCD 的边长为 3，可得∠C=90°，BC=CD=3，由根据折叠 的性质得：EG=BE=1，GF=DF，然后设 DF=x，在 Rt△EFC 中，由勾股定理 EF2=EC2+FC2， 即可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：∵正方形纸片 ABCD 的边长为 3， ∴∠C=90°，BC=CD=3， 根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF， 设 DF=x， 则 EF=EG+GF=1+x，FC=DC﹣DF=3﹣x，EC=BC﹣BE=3﹣1=2， ∵在 Rt△EFC 中，EF2=EC2+FC2，即（x+1）2=22+（3﹣x）2，解得：x=1.5， ∴DF=1.5，EF=1+1.5=2.5． 故选 B． 10．以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形，则该三角形的面积是（ ） A． B． C． D． 【考点】正多边形和圆． 【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直 角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形， 进而可得其面积． 【解答】解：如图 1， ∵OC=2， ∴OD=2×sin30°=1； 如图 2， ∵OB=2， ∴OE=2×sin45°= ； 如图 3， ∵OA=2， ∴OD=2×cos30°= ， 则该三角形的三边分别为：1， ， ， ∵（1）2+（ ）2=（ ）2， ∴该三角形是直角边， ∴该三角形的面积是 ×1× ×= ， 故选：D． 11．已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴 为直线 x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线 l 上的点，且 x3＜﹣1＜x1＜x2，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【分析】设点 P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛物 线开口向下即可得出 y3＞y0，再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出 y0＞y1＞y2，进而即可得出 y2＜y1＜y3，此题得解． 【解答】解：设点 P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点， ∵抛物线的开口向下， ∴点 P0（﹣1，y0）为抛物线的最高点． ∵直线 l 上 y 值随 x 值的增大而减小，且 x3＜﹣1，直线 l 在抛物线上方， ∴y3＞y0． ∵在 x＞﹣1 上时，抛物线 y 值随 x 值的增大而减小，﹣1＜x1＜x2， ∴y0＞y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3． 故选 D． 12．如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半 轴上，将△AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象 恰好经过斜边 A′B 的中点 C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】先根据 S△ABO=4，tan∠BAO=2 求出 AO、BO 的长度，再根据点 C 为斜边 A′B 的中点，求出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值． 【解答】解：设点 C 坐标为（x，y），作 CD⊥BO′交边 BO′于点 D， ∵tan∠BAO=2， ∴ =2， ∵S△ABO= •AO•BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A'O'B， ∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4， ∵点 C 为斜边 A′B 的中点，CD⊥BO′， ∴CD= A′O′=1，BD= BO′=2， ∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2， ∴k=x•y=3•2=6． 故选 C． 二、填空题： 13．分解因式：ab3﹣4ab= ab（b+2）（b﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：ab3﹣4ab， =ab（b2﹣4）， =ab（b+2）（b﹣2）． 故答案为：ab（b+2）（b﹣2）． 14．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角 板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD 为 85 度． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB 的度数，再根据三角形内角和定理得出 ∠BMD 的度数即可． 【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°， ∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°， ∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°． 故答案为：85． 15．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出 “石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率 P= ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方 出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 9 种等可能的结果，双方出现相同手势的有 3 种情况， ∴双方出现相同手势的概率 P= ． 故答案为： ． 16．已知函数满足下列两个条件： ①x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； ②它的图象经过点（1，2）． 请写出一个符合上述条件的函数的表达式 y=2x（答案不唯一） ． 【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质． 【分析】根据 y 随着 x 的增大而增大推断出 k 与 0 的关系，再利用过点（1，2） 来确定函数的解析式． 【解答】解：∵y 随着 x 的增大而，增大 ∴k＞0． 又∵直线过点（1，2）， ∴解析式为 y=2x 或 y=x+1 等． 故答案为：y=2x（答案不唯一）． 17．随着某市养老机构建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加，养老床位数从 2014 年底的 2 万个增长到 2016 年底的 2.88 万个，则该市这两年拥有的养老床位 数的平均年增长率为 20% ． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设该市这两年（从 2013 年度到 2015 年底）拥有的养老床位数的平均年 增长率为 x，根据“2016 年的床位数=2014 年的床位数×（1+增长率）的平方”可 列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可得出结论； 【解答】解：设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 x，由题意可列 出方程： 2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 20%． 故答案为：20%； 18．（1）如图 1，如果ɑ，β都为锐角，且 tanɑ= ，tanβ= ，则ɑ+β= 45° ； （2）如果ɑ，β都为锐角，当 tanɑ=5，tanβ= 时，在图 2 的正方形网格中，利用 已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ﹣β．此时ɑ﹣β= 45 度． 【考点】解直角三角形． 【分析】（1）如图 1 中，只要证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题． （2）如图 2 中，由 OB= ，MB=2 ，OM=3 ，推出 OB2=MB2+OM2，推出∠ BMO=90°，推出 tan∠MOB= ，推出∠MOB=β，由∠OBN=α，即可推出∠MON=α ﹣β=45°． 【解答】解：（1）如图 1 中， ∵AC= ，BC= ，AB= ， ∴AC=BC，AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， ∴α+β=45°． 故答案为 45°； （2）如图 2 中， ∵OB= ，MB=2 ，OM=3 ， ∴OB2=MB2+OM2， ∴∠BMO=90°， ∴tan∠MOB= ， ∴∠MOB=β， ∵∠OBN=α， ∴∠MON=α﹣β=45°． 故答案为 45． 三、解答题： 19．解不等式组： ．请结合题意填空，完成本体的解法． （1）解不等式（1），得 x＜5 ； （2）解不等式（2），得 x≥2 ； （3）把不等式 （1）和 （2）的解集在数轴上表示出来． （4）原不等式的解集为 2≤x＜5 ． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可； （2）先移项，合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可； （3）把两个不等式的解集在数轴上表示出来即可； （4）写出两个不等式的公共解集即可． 【解答】解：（1）去括号得，5＞3x﹣12+2， 移项得，5+12﹣2＞3x， 合并同类项得，15＞3x， 把 x 的系数化为 1 得，x＜5． 故答案为：x＜5； （2）移项得，2x≥1+3， 合并同类项得，2x≥4， x 的系数化为 1 得，x≥2． 故答案为：x≥2； （3）把不等式 （1）和 （2）的解集在数轴上表示为： ； （4）由（3）得，原不等式的解集为：2≤x＜5． 故答案为：2≤x＜5． 20．植树节期间，某校倡议学生利用双休日“植树”劳动，为了解同学们劳动情 况．学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计 图，根据图中信息回顾下列： （1）通过计算，将条形图补充完整； （2）扇形图形中“1.5 小时”部分圆心角是 144° ． 【考点】条形统计图；扇形统计图． 【分析】（1）根据学生劳动“1 小时”的人数除以占的百分比，求出总人数， （2）进而求出劳动“1.5 小时”的人数，以及占的百分比，乘以 360 即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人）， ∴学生劳动时间为“1.5 小时”的人数为 100﹣（12+30+18）=40（人）， 补全统计图，如图所示： （2）根据题意得：40%×360°=144°， 则扇形图中的“1.5 小时”部分圆心角是 144°， 故答案为：144°． 21．从⊙O 外一点 A 引⊙O 的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并延长交⊙O 于点 C， 点 D．连接 BC． （1）如图 1，若∠A=26°，求∠C 的度数； （2）如图 2，若 AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E．求∠AEB 的度数． 【考点】切线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】（1）连接 OB，根据切线性质求出∠ABO=90°，根据三角形内角和定理求 出∠AOB，求出∠C=∠OBC，根据三角形外角性质求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出 2∠C+2∠CAE=90°，求出∠C+∠CAE=45°，根据 三角形外角性质求出即可． 【解答】解：（1）连接 OB，如图 1， ∵AB 切⊙O 于 B， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=26°， ∴∠AOB=90°﹣26°=64°， ∵OC=OB， ∴∠C=∠CBO， ∵∠AOB=∠C+∠CBO， ∴∠C= =32°； （2）连接 OB，如图 2， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= ∠CAB， ∵由（1）知：∠OBE=90°，∠C=∠CBO， 又∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°， ∴2∠C+2∠CAE=90°， ∴∠CAE+∠C=45°， ∴∠AEB=∠CAE+∠C=45°． 22．如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进 3 米到达点 E， 在点 E 处测得树顶 A 点的仰角β=60°，求树高 AB（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】作 CF⊥AB 于点 F，设 AF=x 米，在直角△ACF 中利用三角函数用 x 表示 出 CF 的长，在直角△ABE 中表示出 BE 的长，然后根据 CF﹣BE=DE 即可列方程求 得 x 的值，进而求得 AB 的长． 【解答】解：作 CF⊥AB 于点 F，设 AF=x 米， 在 Rt△ACF 中，tan∠ACF= ， 则 CF= = = = x， 在直角△ABE 中，AB=x+BF=4+x（米）， 在直角△ABF 中，tan∠AEB= ，则 BE= = = （x+4）米． ∵CF﹣BE=DE，即 x﹣ （x+4）=3． 解得：x= ， 则 AB= +4= （米）． 答：树高 AB 是 米． 23．某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工．若进行粗加工，每 吨加工费用为 600 元，需 天，每吨售价 4000 元；若进行精加工，每吨加工费 用为 900 元，需 天，每吨售价 4500 元．现将这 50 吨原料全部加工完．设其中 粗加工 x 吨，获利 y 元． （1）请完成表格并求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写自变量的范围）； 表一 粗加工数量/吨 3 7 x 精加工数量/吨 47 43 50﹣x 表二 粗加工数量/吨 3 7 x 粗加工获利/元 1200 2800 400x 精加工获利/元 28200 25800 600（50﹣x） （2）如果必须在 20 天内完成，如何安排生产才能获得最大利润，最大利润是多 少？ 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整，并求出 y 与 x 的函数关系 式； （2）根据（1）中的答案和题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【解答】（1）由题意可得， 当 x=7 时，50﹣x=43， 当 x=3 时，粗加工获利为：×3=1200，精加工获利为：×47=28200， 故答案为：43、50﹣x；1200、28200，400x、600（50﹣x）； y 与 x 的函数关系式是：y=400x+600（50﹣x）=﹣200x+30000， 即 y 与 x 的函数关系式是 y=﹣200x+30000； （2）设应把 x 吨进行粗加工，其余进行精加工，由题意可得 ， 解得，x≥30， ∵y=﹣200x+30000， ∴当 x=30 时，y 取得最大值，此时 y=24000， 即应把 30 吨进行粗加工，另外 20 吨进行精加工，这样才能获得最大利润，最大 利润为 24000 元． 24．如图，把矩形纸片 ABCD 置于直角坐标系中，AB∥x 轴，BC∥y 轴，AB=4， BC=3，点 B（5，1）翻折矩形纸片使点 A 落在对角线 DB 上的 H 处得折痕 DG． （1）求 AG 的长； （2）在坐标平面内存在点 M（m，﹣1）使 AM+CM 最小，求出这个最小值； （3）求线段 GH 所在直线的解析式． 【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）根据折叠的性质可得 AG=GH，设 AG 的长度为 x，在 Rt△HGB 中， 利用勾股定理求出 x 的值； （2）作点 A 关于直线 y=﹣1 的对称点 A'，连接 CA'与 y=﹣1 交于一点，这个就 是所求的点，求出此时 AM+CM 的值； （3）求出 G、H 的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD， ∵AB=4，BC=3， ∴BD= =5， 设 AG 的长度为 x， ∴BG=4﹣x，HB=5﹣3=2， 在 Rt△BHG 中，GH2+HB2=BG2， x2+4=（4﹣x）2， 解得：x=1.5， 即 AG 的长度为 1.5； （2）如图所示：作点 A 关于直线 y=﹣1 的对称点 A'，连接 CA'与 y=﹣1 交于 M 点， ∵点 B（5，1）， ∴A（1，1），C（5，4），A'（1，﹣3）， AM+CM=A'C= = ， 即 AM+CM 的最小值为 ； （3）∵点 A（1，1）， ∴G（2.5，1）， 过点 H 作 HE⊥AD 于点 E，HF⊥AB 于点 F，如图所示， ∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB， ∴ = ， = ， 即 = ， = ， 解得：EH= ，HF= ， 则点 H（ ， ）， 设 GH 所在直线的解析式为 y=kx+b， 则 ， 解得： ， 则解析式为：y= x﹣ ． 25．已知直线 y=2x﹣5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 的顶点 M 在直线 AB 上，且抛物线与直线 AB 的另一个交点为 N． （1）如图，当点 M 与点 A 重合时，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求点 N 的坐标和线段 MN 的长； （3）抛物线 y=﹣x2+bx+c 在直线 AB 上平移，是否存在点 M，使得△OMN 与△ AOB 相似？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得 A，B 的值，根据顶点式， 可得函数解析式； （2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得 N 点坐标，根据勾股定理，可 得答案； （3）根据相似三角形的性质，可得关于 m 的方程，可得 M 点的坐标，要分类 讨论，以防遗漏． 【解答】解：（1）∵直线 y=2x﹣5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B， ∴A（ ，0），B（0，﹣5）． 当点 M 与点 A 重合时，∴M（ ，0）， ∴抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣ ）2，即 y=﹣x2+5x﹣ ； （2）N 在直线 y=2x﹣5 上，设 N（a，2a﹣5），又 N 在抛物线上， ∴2a﹣5=﹣a2+5a﹣ ，解得 a1= ，a2= （舍去）， ∴N（ ，﹣4）． 过点 N 作 NC⊥x 轴，垂足为 C，如图 1 ， ∵N（ ，﹣4）， ∴C（ ，0）， ∴NC=4．MC=OM﹣OC= ﹣ =2， ∴MN= = =2 ． （3）设 M（m，2m﹣5），N（n，2n﹣5）． ∵A（ ，0），B（0﹣，5）， ∴OA= ，OB=5，则 OB=2OA，AB= = ， 如图 2 ， 当∠MON=90°时，∵AB≠MN，且 MN 和 AB 边上的高相等，因此△OMN 与△AOB 不能全等， ∴△OMN 与△AOB 不相似，不满足题意； 当∠OMN=90°时， = ，即 = ，解得 OM= ， 则 m2+（2m﹣5）2=（ ）2，解得 m=2，∴M（2，﹣1）； 当∠ONM=90°时， = ，即 = ，解得 ON= ，则 n2+（2n﹣5）2=（ ） 2，解得 n=2， ∵OM2=ON2+MN2，即 m2+（2m﹣5）2=5+（2 ）2，解得 m=4，则 M 点的坐标 为（4，3）， 综上所述：M 点的坐标为（2，﹣1）或（4，3）． 毕业生学业考试试卷 一、选择题耳(本大题共 l0 小题．每小题 3 分，共 30 分) （1）sin45°的值等于 （A) 1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 1 (2)下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 （3）根据第六次全国人口普查的统计，截止到 2010 年 11 月 1 日零时，我国总人口约 为 1 370 000 000 人，将 1 370 000 000 用科学记数法表示应为 (A) 100.137 10 (B) 91.37 10 (C) 813.7 10 (D) 7137 10 (4) 估计 10 的值在 (A) 1 到 2 之问 (B) 2 到 3 之间 (C) 3 到 4 之问 (D) 4 刊 5 之问 (5) 如图．将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、CB 均落在对角线 BD 上，得折 痕 BE、BF，则∠EBF 的大小为 (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° (6) 已知⊙ 1O 与⊙ 2O 的半径分别为 3 cm 和 4 cm，若 1 2O O =7 cm，则⊙ 1O 与⊙ 2O 的 位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 (7) 右图是一支架(一种小零件)，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度．则它的 三视图是 （8）下图是甲、乙两人 l0 次射击成绩（环数）的条形统计图．则下列说法正确的是 (A) 甲比乙的成绩稔定 (B) 乙比甲的成绩稳定 (C) 甲、乙两人的成绩一样稳定 (D) 无法确定谁的成绩更稳定 （9）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网所用 时间计算；方式 B 除收月基费 20 元外．再以每分 0．05 元的价格按上网所用时间计费。若 上网所用时问为 x 分．计费为 y 元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式 的函救的图象，有下列结论： ① 图象甲描述的是方式 A：② 图象乙描述的是方式 B；③ 当上网所用时间为 500 分时， 选择方式 B 省钱．其中，正确结论的个数是 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 （10）若实数 x、y、z 满足 2( ) 4( )( ) 0x z x y y z     ．则下列式子一定成立的是 (A) 0x y z   (B) 2 0x y z   (C) 2 0y z x   (D) 2 0z x y   二、填空题(本大题共 8 小题．每小题 3 分，共 24 分) (11) 6 的相反教是__________． (12) 若分式 2 1 1 x x   的值为 0，则 x 的值等于__________。 (13) 已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足 y 随 x 的增大而增大，则该一次函数的解 析式可以为__________ (写出一一个即可)． (14) 如图，点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB，BC、CA 的中点，连接 DE、EF、FD．则图 中平行四边形的个数为__________。 (IS) 如图，AD，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交 AC 于点 B．若 OB=5， 则 BC 的长等于_________。 (16) 同时掷两个质地均匀的骰子．观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 _________。 (17)如图，六边形 ABCDEF 的六个内角都相等．若 AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的 周长等于_________。 (18) 如图，有一张长为 5 宽为 3 的矩形纸片 ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积 相等的正方形． (Ⅰ) 该正方形的边长为_________。(结果保留根号) (Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线， 并简要说明剪拼的过程：_________。 三、解答题(本大题共 8 小题，共 68 分) (19)(本小题 6 分) 解不等式组 2 1 5 4 3 2 x x x x       (20)(本小题 8 分) 已知一次函数 1y x b  (b 为常数)的图象与反比例函数 2 ky x  （k 为常数．且 0k  ） 的图象相交于点 P(3．1)． (I) 求这两个函数的解析式； (II) 当 x>3 时，试判断 1y 与 2y 的大小．井说明理由。 (21)(本小题 8 分) 在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级 300 名学生读书情况， 随机调查了八年级 50 名学生读书的册数．统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 (I) 求这 50 个样本数据的平均救，众数和中位数： (Ⅱ) 根据样本数据，估计该校八年级 300 名学生在本次活动中读书多于 2 册的人数。 (22)(本小题 8 分) 已知 AB 与⊙O 相切于点 C，OA=OB．OA、OB 与⊙O 分别交于点 D、E. (I) 如图①，若⊙O 的直径为 8AB=10，求 OA 的长(结果保留根号)； (Ⅱ)如图②，连接 CD、CE，-若四边形 dODCE 为菱形．求 OD OA 的值． (23)(本小题 8 分) 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点 A 与望海楼 B 的距离为 300 m．在一处测得望海校 B 位于 A 的北偏东 30°方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达 C．在 C 处测得望海楼 B 位于 C 的北偏东 60°方向．求此时游轮与望梅楼之间的距离 BC ( 3 取 l.73．结果保留整数)． (24)(本小题 8 分) 注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照 这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一班要求进行解答即 可． 某商品现在的售价为每件 35 元．每天可卖出 50 件．市场调查反映：如果调整价格．每 降价 1 元，每天可多卖出 2 件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售 额最大，最大销售额是多少? 设每件商品降价 x 元．每天的销售额为 y 元． (I) 分析：根据问题中的数量关系．用含 x 的式子填表： (Ⅱ) (由以上分析，用含 x 的式子表示 y，并求出问题的解) (25) (本小题 10 分) 在平面直角坐标系中．已知 O 坐标原点．点 A(3．0)，B(0，4)．以点 A 为旋转中心，把 △ABO 顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO 为β． (I) 如图①，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时．求点 D 的坐标； (Ⅱ) 如图②，当旋转后满足 BC∥x 轴时．求α与β之闻的数量关系； (Ⅲ) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线 CD 的解析式(直接写出即如果即可)， (26)(本小题 10 分) 已知抛物线 1C ： 2 1 1 12y x x   ．点 F(1，1)． (Ⅰ) 求抛物线 1C 的顶点坐标； (Ⅱ) ①若抛物线 1C 与 y 轴的交点为 A．连接 AF，并延长交抛物线 1C 于点 B，求证： 1 1 2AF BF   ②抛物线 1C 上任意一点 P（ P Px y， ）)（ 0 1Px  ）．连接 PF．并延长交抛物线 1C 于 点 Q（ Q Qx y， ），试判断 1 1 2PF QF   是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线 1C 作适当的平移．得抛物线 2C ： 2 2 1 ( )2y x h  ，若 2 x m  时． 2y x 恒成立，求 m 的最大值． 数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C D A B A D 二、填空题（11）6 （12） 1 （13） 1y x  （答案不唯一，形如 1( 0)y kx k   都可以） （14）3 （15）5 （16） 1 6 （17）15 （18）（Ⅰ） 15 （Ⅱ）如图．①作出 BN= 15 (BM=4，MN=1， ∠MNB=90°)： ②画出两条裁剪线 AK，BE (AK=BE= 15 ．BE⊥AK)： ③平移△ABE 和△ADK．此时，得到的四边形 BEF'G 即为所求． 三、 (19) 解：∵ 2 1 5 4 3 2 x x x x       ① ② 解不等式①．得 6x   ． 解不等式②．得 2x  ． ∴原不等式组的解集为 6 2x   ． (20)解 (I)一次函数的解析式为 1 2y x  ． 反比例函数的解析式为 2 3y x  ． (Ⅱ) 1 2y y ．理由如下： 当 3x  时， 1 2 1y y  ． 又当 3x  时．一次函数 1y 随 x 的增大而增大．反比例函数 2y 随 x 的增大而减碡小， ∴当 3x  时 1 2y y 。 （21)解：(I) 观察表格．可知这组样本救据的平均数是 0 3 1 13 2 16 3 17 4 1 250x           ∴这组样本数据的平均数为 2． ∵在这组样本数据中．3 出现了 17 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为 3． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列．其中处于中间的两个数都是 2，∴这组数据 的中位数为 2． (Ⅱ) 在 50 名学生中，读书多于 2 本的学生有 I 8 名．有 18300 10850   ． ∴根据样本数据，可以估计该校八年级 300 名学生在本次活动中读书多于 2 册的约有 108 名． （22）（本小题 8 分）（Ⅰ）OA= 41 （Ⅱ） 1 2 OD OA  （23） （本小题 8 分） BC≈173 （24）（本小题 8 分） 解：（Ⅰ）35 50 2x x ， （Ⅱ）根据题意，每天的销售额 (35 )(50 2 ) (0 35)y x x x    ， 配方，得 22( 5) 1800y x    ，∴当 x=5 时，y 取得最大值 1800． 答：当每件商品降价 5 元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为 l 800 元。 （25）（本小题 10 分） 解：(I)∵点 A(3，0)．B(0，4)．得 0A=3，OB=4． ∴在 Rt△ABO 中．由勾股定理．得 AB=5， 根据题意，有 DA=OA=3 如图①．过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，则 MD∥OB． ∴△ADM∽△ABO。有 AD AM DM AB AO BO   ， 得 9 5 ADAM AOAB    12 5 ADDM BOAB    又 OM=OA-AM，得 OM= 9 63 5 5   ．∴点 D 的坐标为（ 6 12 5 5 ， ） (Ⅱ)如图②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB． ∴在△ABC 中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°—2∠ABC，． 又∵BC∥x 轴，得∠OBC=90°， 有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β ∴α=2β． （Ⅲ） 直线 CD 的解析式为， 7 424y x   或 7 424y x  ． （26）（本小题 10 分） 解 (I)∵ 2 2 1 1 1 11 ( 1)2 2 2y x x x      ， ∴抛物线 1C 的顶点坐标为( 11 2 ， )． (II)①根据题意，可得点 A(0，1)， ∵F(1，1)．∴AB∥x 轴．得 AF=BF=1， 1 1 2AF BF   ② 1 1 2PF QF   成立． 理由如下： 如图，过点 P（ P Px y， ）作 PM⊥AB 于点 M，则 FM=1 Px ，PM=1 Py （ 0 1Px  ） ∴Rt△PMF 中，有勾股定理，得 2 2 2 2 2(1 ) (1 )P PPF FM PM x y      又点 P（ P Px y， ）在抛物线 1C 上，得 21 1( 1)2 2P Py x   ，即 2( 1) 2 1P Px y   ∴ 2 2 22 1 (1 )P P PPF y y y     即 PPF y ． 过点 Q（ Q Qx y， ）作 QN⊥B，与 AB 的延长线交于点 N，同理可得 QQF y ． 图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，∴△PMF∽△QNF 有 PF PM QF QN  这 里 1 1PPM y PF    ， 1 1QQN y QF    ∴ 1 1 PF PF QF QF   即 1 1 2PF QF   (Ⅲ) 令 3y x ， 设其图象与抛物线 2C 交点的横坐标为 0x ， ' 0x ，且 0x < ' 0x ， ∵抛物线 2C 可以看作是抛物线 21 2y x 左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线 2C 向右不断平移， 0x ， ' 0x 的值不断增大， ∴当满足 2 x m  ，． 2y x 恒成立时，m 的最大值在 ' 0x 处取得。 可得当 0 2x  时．所对应的 ' 0x 即为 m 的最大值． 于是，将 0 2x  带入 21 ( )2 x h x  ，有 21 (2 ) 22 h  解得 4h  或 0h  （舍）∴ 2 2 1 ( 4)2y x  此时， 2 3y y ，得 21 ( 4)2 x x  解得 0 2x  ， ' 0 8x  ∴m 的最大值为 8.