高考数学专题导数题的解题技巧

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 ‎【命题趋向】导数命题趋势：‎ 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：‎ ‎（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.‎ ‎（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.‎ 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.‎ ‎【考点透视】‎ ‎1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．‎ ‎2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．‎ ‎3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．‎ ‎【例题解析】‎ 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. ‎ 例1．（2007年北京卷）是的导函数，则的值是 ．‎ ‎[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.‎ ‎[解答过程] ‎ 故填3.‎ 例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) ‎ A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由 综上可得MP时, ‎ 考点2 曲线的切线 ‎（1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.‎ ‎（2）关于两曲线的公切线 ‎ 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.‎ 典型例题 例3.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．‎ ‎（I）求的最大值；‎ ‎（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．‎ 思路启迪：用求导来求得切线斜率.‎ 解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，‎ 设两实根为（），则，且．于是 ‎，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．‎ ‎（II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ‎，即，‎ 因为切线在点处空过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点．‎ 而，且 ‎．‎ 若，则和都是的极值点．‎ 所以，即，又由，得，故．‎ 解法二：同解法一得 ‎．‎ 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．‎ 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 设，则 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 由知是的一个极值点，则，‎ 所以，又由，得，故．‎ 例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.‎ 故选A.‎ 例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )‎ A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x ‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]解法1：设切线的方程为 又 故选A.‎ 解法2:由解法1知切点坐标为由 故选A.‎ 例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.‎ 思路启迪：先对求导数.‎ 解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ①‎ 曲线在点Q的切线方程是即 ‎ 　 ②‎ 若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得 ‎，消去得方程， ‎ 若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.‎ ‎∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .‎ 考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:‎ ‎1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;‎ ‎5.构造函数证明不等式.‎ 典型例题 例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）‎ A．1个 ‎ B．2个 ‎ C．3个 D． 4个 ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.‎ 故选A.‎ 例8 .（2007年全国一）设函数在及时取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ 思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．‎ 解答过程：（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 所以，当时，取得极大值，又，．‎ 则当时，的最大值为．‎ 因为对于任意的，有恒成立，‎ 所以　，‎ 解得　或，‎ 因此的取值范围为．‎ 例9.函数的值域是_____________.‎ 思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。‎ 解答过程：由得，，即函数的定义域为.‎ ‎ ，‎ ‎ 又，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 函数在上是增函数，而，的值域是.‎ 例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．‎ ‎（1）当时，判断函数是否有极值；‎ ‎（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；‎ ‎（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.‎ ‎[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.‎ ‎（Ⅱ），令，得.‎ 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ‎ ‎①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此，函数在处取得极小值，且.‎ 要使，必有，可得.‎ 由于，故.‎ ②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因此，函数处取得极小值，且 若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.‎ 综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.‎ ‎（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。‎ 由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 ‎ 或 ‎ 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.‎ 综上，解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ 例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.‎ ‎[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]由已知得函数的定义域为，且 ‎（1）当时，函数在上单调递减，‎ ‎（2）当时，由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递增.‎ 综上所述：当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.‎ 例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：‎ ‎（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）的值.‎ ‎[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,‎ 故在上递增，在上递减，‎ 因此在处取得极大值，所以 ‎（Ⅱ）‎ 由 得 解得 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）设 又 所以 由即得 所以 例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.‎ ‎（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.‎ ‎[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,‎ 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，‎ 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ‎＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.‎ 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，‎ 所以x+a+1≠0，那么a≠－4.‎ 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.‎ 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，‎ 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，‎ 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].‎ 又在区间[0，4]上是增函数，‎ 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，‎ 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 ‎（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得00时，f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值 ‎11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )‎ A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）‎ ‎12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )‎ A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题 ‎13.若f′(x0)=2, =_________.‎ ‎14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.‎ ‎15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.‎ ‎16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.‎ 三、解答题 ‎17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.‎ ‎18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.‎ ‎19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.‎ ‎20.求函数的导数 ‎(1)y=(x2－2x+3)e2x;‎ ‎(2)y=.‎ ‎21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.‎ ‎22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).‎ ‎23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.‎ ‎24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.‎ ‎(1)试确定常数a和b的值；‎ ‎(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.‎ ‎25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.‎ ‎26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=.‎ ‎(1)求f(α)·f(β)的值；‎ ‎(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；‎ ‎(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？‎ ‎【参考答案】‎ 一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.‎ 答案：B ‎2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故 y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)= =－1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.‎ 答案：A ‎3.解析：由=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.‎ 答案：B ‎4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1.‎ 答案：D ‎5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=(这时)‎ 答案：－1‎ ‎14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),‎ f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！‎ 答案：n!‎ ‎15.解析：函数的定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,‎ ‎①若a＞1,则当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.‎ ‎②若0＜a＜1,则当x＞时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，‎ f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.‎ 答案：(－∞,－2)‎ ‎16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得 x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=‎ 从而 ‎.‎ 令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下： h ‎(0, R)‎ R ‎(,2R)‎ S′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ S 增函数 最大值 减函数 由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.‎ 答案：R 三、17. 解：由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,‎ ‎∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2‎ 又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.‎ 由x≠0,知x0=,‎ ‎∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.‎ ‎∴l方程y=－x 切点(，－).‎ ‎18. ,‎ 令f’(x)=0得，x=0，x=1，x= ,‎ 在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0， .‎ ‎∴ .‎ ‎19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,‎ ‎ ,‎ ‎∴ 切线方程 ,‎ 令y=0，则x=2x0 ‎ 令x=0，则 .‎ ‎∴ .‎ ‎20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得 lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,‎ ‎ (2)两端取对数，得 ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),‎ 两边解x求导，得 ‎21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开1.4 m时，t0=,‎ 又s′=－ (25－9t2)·(－9·2t)=9t,‎ 所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).‎ ‎22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得 x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得 Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 ‎=.‎ ‎23.解：f′(x)=3ax2+1.‎ 若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.‎ 若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.‎ 若a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此时f(x)恰有三个单调区间.‎ ‎∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，‎ 单调增区间为(－, ).‎ ‎24.解：f′(x)=+2bx+1,‎ (1) 由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,‎ 解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,‎ ‎(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.‎ ‎25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则 f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.‎ 证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，则f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,‎ ‎1,3,5‎ ‎∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.‎ ‎26.解：(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,‎ ‎(2)设φ(x)=2x2－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,‎ ‎.‎ ‎∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.‎ ‎(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,‎ ‎∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.‎