【数学】2021届一轮复习人教A版三角函数、三角恒等变换及解三角形学案
, 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形)
第 1 课时 任意角和弧度制及任意角的
三角函数(对应学生用书(文)、(理)49～50 页)
① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的
意义.
② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的
互化.
③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义；了解有向线段的概念，会利用单位
圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、
正切．
① 能进行角度与弧度的互化.
② 能判断角所在的象限，会判断半角和倍角
所在的象限.
③ 准确理解任意角的三角函数的定义，熟记
特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函
数值的符号．
1. (必修 4P10 习题 9 改编)小明从家步行到学校需要 15 min，则这段时间内钟表的分针走
过的角度是________．
答案：－90°
解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为 360°，所以360°
60 ×
15＝90°，即分针走过的角度是－90°.
2. (必修 4P10 习题 4 改编)若角 θ 的终边与角4π
5 的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ
2
的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示)
答案：{2π
5 ，
7π
5 }
解析：由题意 θ＝4π
5 ＋2kπ(k∈Z)，∴ θ
2＝2π
5 ＋kπ(k∈Z)．
由 0≤θ
2<2π，即 0≤2π
5 ＋kπ<2π知－2
5≤k<8
5，k∈Z.
∴ k＝0 或 1.故在[0，2π)内终边与角θ
2的终边相同的角的集合为{2π
5 ，
7π
5 }.
3. (必修 4P9 例 3 改编)已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为
__________．
答案：6
解析：设扇形的半径为 R，则 1
2R2α＝2，∴ 1
2R2×4＝2.而 R2＝1，∴ R＝1，∴ 扇形
的周长为 2R＋α·R＝2＋4＝6.
4. 已知角 θ 的终边经过点 P(8，m＋1)，且 sin θ＝3
5，则 m＝________．
答案：5
解析：sin θ＝ m＋1
82＋（m＋1）2＝3
5，解得 m＝5.
5. 函数 y＝lg(2cos x－1)的定义域为____________．
答案：(2kπ－π
3 ，2kπ＋π
3 )(k∈Z)
解析：∵ 2cos x－1＞0，∴ cos x＞1
2.利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图
阴影部分所示)，∴ x∈(2kπ－π
3 ，2kπ＋π
3 )(k∈Z)．
1. 任意角
(1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
② 按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2) 终边相同的角
终边与角 α 相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z)．
(3) 弧度制
① 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r，l
是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝
π
180 rad；1 rad＝180
π
度．
④ 弧长公式：l＝|α|r．
扇形面积公式：S 扇形＝1
2lr＝1
2|α|r2．
2. 任意角的三角函数
(1) 任意角的三角函数的定义
设 P(x，y)是角 α 终边上任意一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有 sin α＝y
r，cos α＝x
r，tan α＝
y
x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．
(3) 特殊角的三角函数值
角 α α 弧度数 sin α cos α tan α
0° 0 0 1 0
30° π
6
1
2
3
2
3
3
45° π
4
2
2
2
2
1
60° π
3
3
2
1
2
3
90° π
2 1 0 /
120° 2π
3
3
2
－1
2
－ 3
续表
角 α α 弧度数 sin α cos α tan α
135° 3π
4
2
2 － 2
2
－1
150° 5π
6
1
2 － 3
2 － 3
3
180° π 0 －1 0
270° 3π
2 －1 0 /
3. 三角函数线
设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过点
P 作 PM 垂直 x 轴于点 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，
点 P 的坐标为(cos_α，sin_α)，其中 cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与 x 轴的正半
轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan α＝
AT．我们把有向线段 OM，MP，AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线
[备课札记]
, 1 象限角及终
边相同的角)
, 1) (1) 已知 α＝－2 017°，则与角 α 终边相同的最小正角为________，
最大负角为________．
(2) (必修 4P10 习题 12 改编)已知角 α 是第三象限角，试判断：
① π－α 是第几象限角？② α
2是第几象限角？③ 2α 的终边在什么位置？
(1) 答案：143° －217°
解析：α 可以写成－6×360°＋143°的形式，则与 α 终边相同的角可以写成 k·360°＋
143°(k∈Z)的形式．当 k＝0 时，可得与角 α 终边相同的最小正角为 143°，当 k＝－1 时，
可得最大负角为－217°.
(2) 解：①∵ α 是第三象限角，
∴ 2kπ＋π<α<2kπ＋3π
2 ，k∈Z.
∴ －2kπ－
π
2 <π－α<－2kπ，k∈Z.
∴ π－α 是第四象限角．
② ∵ kπ＋
π
2 <α
2
0)，扇形所在圆的半径为 R.
(1) 若 α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2) 若扇形的周长是一定值 C cm(C>0)，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1) 设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，又 α＝90°＝
π
2 ，R＝10，则 l＝
π
2 ×10＝5π
(cm)，
S 弓＝S 扇－S 三角形＝1
2×5π×10－1
2×102＝25π－50 (cm2)．
(2) 扇形周长 C＝2R＋l＝(2R＋αR)cm，∴ R＝ C
2＋αcm，
∴ S 扇＝1
2α·R2＝1
2α·( C
2＋α )2
＝C2α
2 · 1
4＋4α＋α2＝C2
2 · 1
4＋α＋4
α
≤C2
16.
当且仅当 α2＝4，即α＝2 时，扇形面积有最大值C2
16 cm2.
1. 给出下列命题：
① 第二象限角大于第一象限角；
② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④ 若 sin α＝sin β，则 α 与 β 的终边相同；
⑤ 若 cos θ<0，则 θ 是第二或第三象限的角．
其中正确的命题是________．(填序号)
答案：③
解析：由于第一象限角 370°大于第二象限角 100°，故①错；当三角形的内角为 90°
时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边
不一定相同，故④错；当 θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象
限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．
2. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos
2θ＝________．
答案：－3
5
解析：取终边上一点(a，2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得 cos θ＝±
5
5 ，
故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝－3
5.
3. (2018·扬州一中月考改编)已知角 α 的终边与单位圆 x 2＋y2＝1 交于点 P(1
2，y0)，则
cos α＝________．
答案：1
2
解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x
r＝1
2.
4. (2018·苏北四市期末)已知角 α 的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0，
则实数 a 的取值范围是________．
答案：(－2，3]
解析：∵ cos α≤0，sin α>0，
∴ 角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上．
∴ {3a－9 ≤ 0，
a＋2 > 0， ∴ －20，即 sin x－cos x<0.
则 sin x－cos x＝－ sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝－ 1＋24
25＝－7
5.
(1) sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)
＝1
5×(－7
5 )＝－ 7
25.
(2) 由{sin x＋cos x＝1
5，
sin x－cos x＝－7
5，
得{sin x＝－3
5，
cos x＝4
5，
则 tan x＝－3
4.
即
tan x
2sin x＋cos x＝
－3
4
－6
5＋4
5
＝15
8 .
变式训练
(2018·盐城模拟)已知 sin αcos α＝1
8，且5π
4 <α<3π
2 ，则 cos α－sin α的值为________．
答案： 3
2
解析：∵ 5π
4 <α<3π
2 ，∴ cos α<0，sin α<0，且 cos α>sin α，∴ cos α－sin α
>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×1
8＝3
4，
∴ cos α－sin α＝ 3
2 .
, 2) (必修 4P23 习题 12(2)改编)化简：
( 1＋sin α
1－sin α－ 1－sin α
1＋sin α)·( 1＋cos α
1－cos α－ 1－cos α
1＋cos α)．
解 ： 原 式 ＝ [
（1＋sin α）2
cos2α －
（1－sin α）2
cos2α ]·[
（1＋cos α）2
sin2α －
（1－cos α）2
sin2α ] ＝ (1＋sin α
|cos α| － 1－sin α
|cos α| )·(1＋cos α
|sin α| － 1－cos α
|sin α| ) ＝
2sin α
|cos α|· 2cos α
|sin α|
＝{4，α在第一、三象限时，
－4，α在第二、四象限时.
备选变式（教师专享）
若 α 为第二象限角，则 cos α 1＋tan2α＋sin α 1＋ 1
tan2α＝________．
答案：0
解析：原式＝cos α sin2α＋cos2α
cos2α ＋sin α sin2α＋cos2α
sin2α ＝cos α 1
|cos α|＋sin α
1
|sin α|.因为 α 是第二象限角，所以 sin α＞0，cos α＜0，所以 cos α 1
|cos α|＋sin α
1
|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于 0.
, 2 诱导公式及
其运用)
, 3) 已 知 sin(x＋π
6 )＝ 1
3， 则 sin(x－5π
6 )＋ sin2 (π
3 －x)的 值 为
__________．
答案：5
9
解析：由诱导公式得 sin (x－5π
6 )＝－sin(x＋π
6 )＝－1
3，sin2(π
3 －x)＝cos2(x＋π
6 )＝8
9，
则 sin(x－5π
6 )＋sin2(π
3 －x)＝8
9－1
3＝5
9.
变式训练
已知 cos(π
6 －θ)＝a(|a|≤1)，则 cos(5π
6 ＋θ)＋sin(2π
3 －θ)＝__________．
答案：0
解析：由题意知，cos(5π
6 ＋θ)＝cos[π－(π
6 －θ)]＝
－cos(π
6 －θ)＝－a.
sin(2π
3 －θ)＝sin[π
2 ＋(π
6 －θ)]＝cos(π
6 －θ)＝a，
∴ cos(5π
6 ＋θ)＋sin(2π
3 －θ)＝0.
, 3 同角三角函
数的基本关系与诱导公式的综合应用)
, 4) (1) 设 tan(5π＋α)＝m，求
sin（α－3π）＋cos（π－α）
sin（－α）－cos（π＋α） 的值；
(2) 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos A＝－ 2cos(π－B)，求△ABC
的三个内角．
解：(1) 由 tan(5π＋α)＝m，得 tan α＝m，
∴
sin（α－3π）＋cos（π－α）
sin（－α）－cos（π＋α） ＝
－sin α－cos α
－sin α＋cos α＝
tan α＋1
tan α－1＝m＋1
m－1.
(2) 由已知得{sin A＝ 2sin B， ①
3cos A＝ 2cos B， ②
①2＋②2 得 2cos2A＝1，即 cos A＝±
2
2 .
(ⅰ) 当 cos A＝ 2
2 时，cos B＝ 3
2 .
又∵ A，B 是三角形的内角，
∴ A＝
π
4 ，B＝
π
6 ，∴ C＝π－(A＋B)＝7π
12 .
(ⅱ) 当 cos A＝－ 2
2 时，cos B＝－ 3
2 .
又∵ A，B 是三角形的内角，
∴ A＝3π
4 ，B＝5π
6 ，不合题意．
综上知，A＝
π
4 ，B＝
π
6 ，C＝7π
12 .
变式训练
(1) (2018· 江 西 联 考 ) 已 知 tan(π － α) ＝ － 2
3， 且 α∈(－π，－π
2 )， 求
cos（－α）＋3sin（π＋α）
cos（π－α）＋9sin α 的值；
(2) 在△ABC 中，若 sin(3π－A)＝ 2sin(π－B)，cos(3π
2 －A)＝ 2cos(π－B)．试判断三
角形的形状．
解：(1) 由已知得 tan α＝2
3，
cos（－α）＋3sin（π＋α）
cos（π－α）＋9sin α ＝
cos α－3sin α
－cos α＋9sin α＝
1－3tan α
－1＋9tan α＝
1－3 × 2
3
－1＋9 × 2
3
＝－1
5.
(2) 由题设条件，得 sin A＝ 2sin B，－sin A＝－ 2cos B，
∴ sin B＝cos B，∴ tan B＝1.
∵ B∈(0，π)，∴ B＝
π
4 ，
∴ sin A＝ 2× 2
2 ＝1.
又 A∈(0，π)，∴ A＝
π
2 ，∴ C＝
π
4 .
∴ △ABC 是等腰直角三角形．
1. 已知 cos 31°＝a，则 sin 239°·tan 149°的值是________．
答案： 1－a2
解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan
31°)＝sin 31°＝ 1－a2.
2. 已知 α 为锐角，且 tan(π－α)＋3＝0，则 sin α的值是________．
答案：3 10
10
解析：(解法 1)由 tan(π－α)＋3＝0，得 tan α＝3，即
sin α
cos α＝3，sin α＝3cos α，
所以 sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝ 9
10.因为 α 为锐角，所以 sin α＝3 10
10 .
(解法 2)因为 α 为锐角，且 tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0 即 tan α＝3.在如图
所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC＝3，则 AC＝1，所以 AB＝ 32＋12＝ 10，故 sin α＝
3
10
＝3 10
10 .
3. (2018· 南 通 调 研 ) 已 知 sin θ ＋ cos θ ＝ 4
3， θ ∈(0，
π
4 )， 则 sin θ － cos θ ＝
________．
答案：－ 2
3
解析：∵ sin θ＋cos θ＝4
3，∴ 2sin θcos θ＝7
9，
∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝2
9，∴ sin θ－cos θ＝ 2
3 或－ 2
3 .∵ θ∈(0，
π
4 )，
∴ sin θ 0，ω > 0，0 < φ <
π
2 )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 当 t ＝ 1
100 s 时 ， 电 流 强 度 是
__________A.
答案：－5
解析：由图象知 A＝10，T
2＝ 4
300－ 1
300＝ 1
100，∴ ω＝2π
T ＝100π.∴ I＝10sin(100πt＋
φ).( 1
300，10)为五点中的第二个点，∴ 100π× 1
300＋φ＝
π
2 .∴ φ＝
π
6 .∴ I＝10sin(100πt＋
π
6 )，当 t＝ 1
100 s 时，I＝－5 A.
1. 周期函数的定义
周期函数的概念：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得当 x 取定义域
内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么称 y＝f(x)为周期函数；函数 y＝Asin(ωx＋φ)
和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为 T＝2π
|ω|；
函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期为 T＝ π
|ω|.2. 三角函数的图象和性质
三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x ∈ R|x ≠ kπ＋π
2 ，k ∈ Z}
值域和最值
[－1，1]
最大值：1
最小值：－1
[－1，1]
最大值：1
最小值：－1
R
无最值
周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 关于原点对称 关于 y 轴对称 关于原点对称
单调区间
在[2kπ－
π
2 ，2kπ＋
π
2 ](k∈Z)上单调递增；
在[2kπ＋
π
2 ，2kπ＋
3π
2 ](k∈Z)上单调递
减
在[2kπ－π，2k
π](k∈Z)上单调递增；
在[2kπ，2kπ＋
π](k∈Z)上单调递减
在(kπ－
π
2 ，kπ＋
π
2 )(k∈Z)上单调递增
3. “五点法”作图
在确定正弦函数 y＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，
(π
2，1 )，(π，0)，(3π
2 ，－1)，(2π，0)．
余弦函数呢？
4. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的特征
若函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则 A 叫
做振幅，T＝2π
ω 叫做周期，f＝1
T叫做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ叫做初相．
[备课札记]
, 1 “五点法”
与“变换法”作图)
, 1) (必修 4P40 练习 7 改编)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
π
3 )(ω＞0)的周期
为π.
(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2) 说明函数 f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．
解：∵ T＝π，∴ 2π
ω ＝π，即 ω＝2.
∴ f(x)＝2sin(2x＋π
3 ).
(1) 令 X＝2x＋
π
3 ，则 y＝2sin(2x＋π
3 )＝2sin X.
列表如下：
x －
π
6
π
12
π
3
7π
12
5π
6
X 0
π
2 π 3π
2 2π
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin(2x＋π
3 ) 0 2 0 －2 0
图象如图：
(2) (解法 1)把 y＝sin x 的图象上所有点向左平移
π
3 个单位，得到 y＝sin (x＋π
3 )的图象；
再把 y＝sin (x＋π
3 )的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2(纵坐标不变)，得到 y＝sin
(2x＋π
3 )的图象；最后把 y＝sin (2x＋π
3 )的图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不
变)，即可得到 y＝2sin (2x＋π
3 )的图象．
(解法 2)将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 变为原来的1
2，纵坐标不变，得到 y＝sin
2x 的图象；再将 y＝sin 2x 的图象向左平移
π
6 个单位，得到 y＝sin 2(x＋π
6 )＝sin (2x＋π
3 )的
图象；再将 y＝sin (2x＋π
3 )的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得
到 y＝2sin (2x＋π
3 )的图象．
备选变式（教师专享）
已知 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω > 0，－π
2 < φ < 0)的最小正周期为 π，且 f(π
4 )＝ 3
2 .
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
(3) 若 f(x)>
2
2 ，求 x 的取值范围．
解：(1) 周期 T＝2π
ω ＝π，∴ ω＝2.
∵ f(π
4 )＝cos(2 × π
4＋φ)＝cos(π
2＋φ )＝－sin φ＝ 3
2 .又－π
2<φ<0，∴ φ＝－π
3.
(2) 由(1)得 f(x)＝cos(2x－π
3)，列表如下：
x 0 π
6
5
12π 2
3π 11
12π π
2x－π
3 －π
3 0 π
2
π 3
2π 5
3π
f(x) 1
2 1 0 －1 0 1
2
图象如图：
(3)∵ cos(2x－π
3)>
2
2 ，∴ 2kπ－π
4<2x－π
3<2kπ＋π
4，∴ 2kπ＋ π
12<2x<2kπ＋7π
12，
∴ kπ＋ π
240)的形式，再将 ωx＋φ 看成整体，利用正弦函数 y＝
sin x 的性质进行求解．
●题组练透
1. 将函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点(π
6 ，
3
2 )，则 φ
的最小值为__________．
答案：
π
6
解析：易知 y＝sin 2(x＋φ)，即 y＝sin(2x＋2φ)．∵ 图象过点(π
6 ，
3
2 )，∴ sin(π
3 ＋2φ)
＝ 3
2 ，∴
π
3 ＋2φ＝
π
3 ＋2kπ或
π
3 ＋2φ＝2π
3 ＋2kπ，k∈Z，即 φ＝kπ或 φ＝
π
6 ＋kπ，k∈
Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值为
π
6 .Ｋ
2. 设函数 y＝sin(ωx＋π
3 )(0＜x＜π)，当且仅当 x＝
π
12时，y 取得最大值，则正数 ω 的
值为__________．
答案：2
解析：当 x＝
π
12时，令 ωx＋
π
3 ＝
π
2 ，则正数 ω＝2.
3. 函数 f(x)＝sin (2x－π
4 )在区间[0，
π
2 ]上的最小值为________．
答案：－ 2
2
解析：由已知 x∈[0，
π
2 ]，得 2x－
π
4 ∈[－π
4 ，
3π
4 ]，所以 sin(2x－π
4 )∈[－ 2
2 ，1]，故
函数 f(x)＝sin (2x－π
4 )在区间[0，
π
2 ]上的最小值为－ 2
2 .
4. 设函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ＋π
3 )(ω＞0，|φ|＜π
2 )的最小正周期为π，且满足 f(－x)＝
－f(x)．
(1) 求函数 f(x)的单调递增区间；
(2) 当 x∈[0，
π
2 ]时，试求 y＝f (x－π
6 )的最值，并写出取得最值时自变量 x 的值．
解：(1) 因为 f(x)的最小正周期为π，所以 T＝2π
ω ＝π，解得 ω＝2.又 f(－x)＝－f(x)，
所以 f(0)＝0，所以 sin(φ＋π
3 )＝0.又|φ|＜
π
2 ，所以φ＝－
π
3 ，所以 ω＝2，φ＝－
π
3 ，所以 f(x)
＝ 2sin 2x. 则 2x ∈ [2kπ－π
2 ，2kπ＋π
2 ](k∈Z) ， 解 得 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
[kπ－π
4 ，kπ＋π
4 ](k∈Z)．
(2) 当 x∈[0，
π
2 ]时 ， 2x －
π
3 ∈ [－π
3 ，
2π
3 ]， y ＝ f(x－π
6 )＝ 2sin 2(x－π
6 )＝
2sin(2x－π
3 ).
当 2x－
π
3 ＝
π
2 ，即 x＝5π
12 时，f(x)取得最大值 2；当 2x－
π
3 ＝－
π
3 ，即 x＝0 时，f(x)取
得最小值－ 3.
, 3 根据图象
和性质确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式)
, 3) 设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－
π
2 ＜φ＜
π
2 ，x∈R)的
部分图象如图所示．
(1) 求函数 y＝f(x)的解析式；
(2) 当 x∈[－π
2 ，
π
2 ]时，求 f(x)的取值范围．
解：(1) 由图象知，A＝2.
又T
4＝5π
6 －
π
3 ＝
π
2 ，ω＞0，所以 T＝2π＝2π
ω ，得 ω＝1.所以 f(x)＝2sin(x＋φ)，将点
(π
3 ，2)代入，得
π
3 ＋φ＝
π
2 ＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝
π
6 ＋2kπ(k∈Z)．
又－
π
2 ＜φ＜
π
2 ，所以 φ＝
π
6 .所以 f(x)＝2sin(x＋π
6 ).
(2) 当 x∈[－π
2 ，
π
2 ]时，x＋
π
6 ∈[－π
3 ，
2π
3 ]，
所以 sin(x＋π
6 )∈[－ 3
2 ，1]，
即 f(x)∈[－ 3，2]．
变式训练
已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ－π
6 )(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数 y＝f(x)图象的两
相邻对称轴间的距离为
π
2 .
(1) 求 f (π
8 )的值；
(2) 将函数 y＝f(x)的图象向右平移
π
6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原
来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的解析式，并写出 g(x)的单调递
减区间．
解：(1) ∵ f(x)为偶函数，
∴ φ－
π
6 ＝kπ＋
π
2 ，k∈Z，解得 φ＝2π
3 ＋kπ，k∈Z.
∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π
3 .
由题意得2π
ω ＝2×
π
2 ，解得ω＝2.
故 f(x)＝2cos 2x，f(π
8 )＝2cos
π
4 ＝ 2.
(2) 将 f(x)的图象向右平移
π
6 个单位后，得到 f (x－π
6 )的图象，再将所得图象上各点的
横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f (x
4－π
6 )的图象，所以 g(x)＝f(x
4－
π
6 )＝2cos
[2(x
4－π
6 )]＝2cos(x
2－π
3 ).
当 2kπ≤x
2－
π
3 ≤2kπ＋π(k∈Z)，即 4kπ＋2π
3 ≤x≤4kπ＋8π
3 (k∈Z)时，g(x)单调递
减．
因此 g(x)的单调递减区间为[4kπ＋2π
3 ，4kπ＋8π
3 ](k∈Z)．
, 4 三角函数的
应用)
, 4) (必修 4P42 例 2 改编)如图，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O
距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始
计算时间．
(1) 将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；
(2) 点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？
解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，
设角 φ (－π
2 < φ < 0)是以 Ox 为始边，OP0 为终边的角．
OP 每秒钟内所转过的角为5 × 2π
60 ＝
π
6 .
则 OP 在 t(s)内所转过的角为
π
6 t.
由题意可知水轮逆时针转动，得 z＝4sin(π
6 t＋φ)＋2.
当 t＝0 时，z＝0，得 sin φ＝－1
2，即 φ＝－
π
6 .
故所求函数解析式为 z＝4sin(π
6 t－π
6 )＋2.
(2) 令 z＝4sin(π
6 t－π
6 )＋2＝6，得 sin(π
6 t－π
6 )＝1.
令
π
6 t－
π
6 ＝
π
2 ，得 t＝4，
故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s.
备选变式（教师专享）
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m，且 60 s
转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 B 点与地面间
的距离为 h.
(1) 求 h 与 θ 之间的函数解析式；
(2) 设从 OA 开始转动，经过 t s 后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数解析式，并求缆车到
达最高点时用的最少时间是多少．
解：(1) 以圆心 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为 θ－
π
2 ，
故点 B 的坐标为(4.8cos(θ－π
2 )，4.8sin(θ－π
2 ))，
∴ h＝5.6＋4.8sin(θ－π
2 ).
(2) 点 A 在圆上转动的角速度是
π
30 rad/s，
故 t s 转过的弧度数为
π
30t，
∴ h＝5.6＋4.8sin(π
30t－π
2 )，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由 sin(π
30t－π
2 )＝1，得
π
30t－
π
2 ＝
π
2 ，∴ t＝30 s，
∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为 30 s.
1. 已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2 )的最小正周期为π，且它的图象过点
(－π
12，－ 2)，则 φ 的值为__________．
答案：－
π
12
解析：f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的最小正周期为π，则 ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，它的
图象过点(－π
12，－ 2)，则 sin(φ－π
6 )＝－ 2
2 (|φ|＜π
2 )，故 φ＝－
π
12.
2. 函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．若 A，B 两点之间的距离 AB＝5，则 ω
的值为________．
答案：
π
3
解析：AB＝5，|yA－yB|＝4，则|xA－xB|＝3＝T
2，则 T＝6，则2π
ω ＝6，ω＝
π
3 .
3. 将函数 y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移
π
12个单位得到的图象关于点
(π
3 ，0)对称，则 φ＝________．
答案：
π
6
解析：由题意得平移以后的函数为 y＝sin(2x＋π
6 ＋φ)，因为图象关于点(π
3 ，0)对称，
所以 2×
π
3 ＋
π
6 ＋φ＝kπ(k∈Z)，解得 φ＝kπ－5π
6 (k∈Z)．因为 0<φ<π，所以 φ＝
π
6 .
4. 函数 f(x)＝cos(πx＋φ)(0 < φ <
π
2 )的部分图象如图所示．
(1) 求 φ 及图中 x0 的值；
(2) 求 f(x)在区间[－1
2，
1
3]上的最大值和最小值．
解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x0)＝ 3
2 ，
即 cos φ＝ 3
2 ，cos(πx0＋φ)＝ 3
2 .
又 φ∈(0，
π
2 )，x0>0，所以 φ＝
π
6 ，x0＝5
3.
(2) 由(1)可知 f(x)＝cos(πx＋π
6 ).
因为 x∈[－1
2，
1
3]，所以－
π
3 ≤πx＋
π
6 ≤
π
2 .
所以当πx＋
π
6 ＝0，即 x＝－1
6时，f(x)取得最大值 1；
当πx＋
π
6 ＝
π
2 ，即 x＝1
3时，f(x)取得最小值 0.
1. (2018·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数 y＝sin(2x＋φ)(0<φ<
π)的图象沿 x 轴向左平移
π
8 个单位后，得到函数 y＝f(x)的图象，若函数 f(x)的图象过原点，
则 φ＝________．
答案：3π
4
解析：将函数 y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移
π
8 个单位后，得到函数 f(x)
＝sin[2(x＋π
8 )＋φ]＝sin (2x＋π
4 ＋φ)的图象，若函数 f(x)的图象过原点，则 f(0)＝sin(π
4 ＋φ)
＝0，
π
4 ＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－
π
4 ，k∈Z.又 0<φ<π，则 φ＝3π
4 .
2. 若函数 y＝sin(ωx－φ)(ω > 0，|φ| <
π
2 )在区间[－π
2 ，π]上的图象如图所示，则 ω，
φ的值分别是______．
答案：2，
π
3
解析：由题图可知，T＝2[π
6 －(－π
3 )]＝π，所以 ω＝2π
T ＝2.又 sin(2 ×
π
6 －φ)＝0，
所以
π
3 －φ＝kπ(k∈Z)，即 φ＝
π
3 －kπ(k∈Z)．而|φ|<
π
2 ，所以 φ＝
π
3 .
3. (2018·第三次全国大联考江苏卷)将函数 f(x)＝sin(2x＋θ) (－π
2 < θ <
π
2 )的图象向
右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点
P(0，
3
2 )，则 φ 的值为________．
答案：5π
6
解 析 ： 由 题 意 ， 可 得 sin θ ＝ 3
2 . 因 为 －
π
2 ＜ θ ＜
π
2 ， 所 以 θ ＝
π
3 . 因 为 g(x) ＝ sin
(2x－2φ＋π
3 )，所以 sin(－2φ＋π
3 )＝ 3
2 .又因为 0＜φ＜π，所以－2φ＋
π
3 ∈(－5π
3 ，
π
3 )，－
2φ＋
π
3 ＝－4π
3 ，φ＝5π
6 .
4. 已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋m 在区间[0，
π
2 ]上的最大值为 3，则
(1) m＝________；
(2) 当 f(x)在[a，b]上至少含 20 个零点时，b－a 的最小值为________．
答案：(1) 0 (2) 28π
3
解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋m＝ 3sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin (2x＋π
6 )＋m＋
1.
因为 0≤x≤
π
2 ，所以
π
6 ≤2x＋
π
6 ≤7π
6 .
所以－1
2≤sin(2x＋π
6 )≤1，
f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，∴ m＝0.
(2) 由(1)得 f(x)＝2sin(2x＋π
6 )＋1，周期 T＝2π
2 ＝π，在长为π的闭区间内有 2 个或 3
个零点．
由 2sin(2x＋π
6 )＋1＝0，得 sin(2x＋π
6 )＝－1
2，
2x＋
π
6 ＝2kπ＋7π
6 ，k∈Z 或 2x＋
π
6 ＝2kπ＋11π
6 ，k∈Z，
所以 x＝kπ＋
π
2 或 x＝kπ＋5π
6 ，k∈Z.
不妨设 a＝
π
2 ，则当 b＝9π＋
π
2 时，f(x)在区间[a，b]上恰有 19 个零点，当 b＝9π＋5π
6
时恰有 20 个零点，此时 b－a 的最小值为 9π＋
π
3 ＝28π
3 .
1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角
函数图象来求解．
2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
① 形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求值域(最
值)；
② 形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值
域(最值)；
③ 形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为
关于 t 的二次函数求值域(最值)．
3. 对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，
可以通过换元的方法令 t＝ωx＋φ，将其转化为研究 y＝sin t 的性质．
4. 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由
最高(低)点的纵坐标确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定 φ，但由条件
求得 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定 φ 的取值范围，才能得
出惟一解．
5. 由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再
周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的
量是|φ|
ω (ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，
而不是依赖于 ωx 加减多少值．
[备课札记]
第 4 课时 两角和与差的正弦、余弦和
正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58 页)
掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两
角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单
的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
① 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦
公式的过程.② 能从两角差的余弦公式推导
出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角
和与差的正切公式，体会化归思想的应用．
1. 设 α∈(0，
π
2 )，若 sin α＝3
5，则 cos(α＋π
4 )＝________．
答案： 2
10
解析：∵ α∈(0，
π
2 )，且 sin α＝3
5，∴ cos α＝4
5.
∴ cos(α＋π
4 )＝cos αcos
π
4 －sin αsin
π
4 ＝4
5× 2
2 －3
5× 2
2 ＝ 2
10.
2. (必修 4P106 练习 4 改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．
答案：1
2
解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin 10
°＝sin 30°＝1
2.
3. (必修 4P109 练习 8 改编)函数 y＝ 2sin x＋ 6cos x 的值域是__________．
答案：[－2 2，2 2]
解析：y＝ 2sin x＋ 6cos x＝2 2sin(x＋π
3 )∈[－2 2，2 2]．
4. (必修 4P118 习题 9 改编)若 α＋β＝
π
4 ，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．
答案：2
解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α
＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan
π
4 ·(1－tan αtan β)＋1＝2.
5. ( 必 修 4P110 例 6 改 编 ) 已 知 sin(α ＋ β) ＝ 1
2， sin(α － β) ＝ 1
10， 则
tan α
tan β的 值 为
________．
答案：3
2
解析：(解法 1)
{sin αcos β＋cos αsin β＝1
2，
sin αcos β－cos αsin β＝ 1
10
⇒{sin αcos β＝ 3
10，
cos αsin β＝1
5，
从而
tan α
tan β＝
sin αcos β
cos αsin β＝ 3
10×5＝3
2.
(解法 2)设 x＝
tan α
tan β，∵
sin（α＋β）
sin（α－β）＝5，
∴
sin（α＋β）
cos αcos β
sin（α－β）
cos αcos β
＝
tan α＋tan β
tan α－tan β＝
tan α
tan β＋1
tan α
tan β－1
＝x＋1
x－1＝5.
∴ x＝3
2，即
tan α
tan β ＝3
2.
1. 两角差的余弦公式推导过程
设单位圆上两点 P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，则∠P1OP2＝α－β(α>β)．
向量 a＝OP1→
＝(cos α，sin α)，b＝OP2→
＝(cos β，sin β)，
则 a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，
由向量数量积的坐标表示，可知 a·b＝cos αcos β＋sin αsin β，
因而 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
2. 公式之间的关系及导出过程
3. 公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋tan αtan β；
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β
1－tan αtan β．
4. asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 cos φ＝ a
a2＋b2，sin φ＝ b
a2＋b2，tan φ＝
b
a.φ的终边所在象限由 a，b 的符号来决定．
5. 常用公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；
sin α＋cos α＝ 2sin(α＋π
4 )；
sin α－cos α＝ 2sin(α－π
4 ).
[备课札记]
, 1 利用角的
和、差公式进行化简、求值或证明)
, 1) (1) 求值：
cos 350°－2sin 160°
sin（－190°） ＝__________；
(2) (原创)化简：tan(18°－θ)·
sin（12°＋θ）
sin（78°－θ）＋ 3[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝__________．
答案：(1) 3 (2) 1
解析：(1) 原式＝
cos（360°－10°）－2sin（180°－20°）
－sin（180°＋10°）
＝
cos 10°－2sin（30°－10°）
－（－sin 10°）
＝
cos 10°－2(1
2cos 10°－ 3
2 sin 10°)
sin 10° ＝ 3.
(2) 原式＝tan(18°－θ)·
sin（12°＋θ）
cos（12°＋θ）＋ 3[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝tan(18°－
θ)·tan(12°＋θ)＋ 3tan[(18°－θ)＋(12°＋θ)][1－tan(18°－θ)tan(12°＋θ)]
＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋[1－tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)]＝1.
变式训练
(1) (改编题)求 4(cos 24°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°的值；
(2) 化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)．
解：(1) 原式＝4(sin 66°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°
＝4sin 40°－
sin 40°
cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°
cos 40° ＝2sin（120°－40°）－sin 40°
cos 40°
＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°
cos 40° ＝ 3cos 40°
cos 40° ＝ 3.
(2) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－ 3·cos[(θ＋45°)－30°]＝ 3
2 sin(θ＋45
° ) ＋ 1
2cos(θ ＋ 45 ° ) ＋ cos(θ ＋ 45 ° ) － 3
2cos(θ ＋ 45 ° ) － 3
2 sin(θ ＋ 45 ° ) ＝ 0.
, 2 给值求值、求角问
题)
●典型示例
, 2) 已知 0＜α＜
π
2 ＜β＜π，tan(α＋π
4 )＝－7，cos(β－α)＝ 2
10.
(1) 求 sin α的值；
(2) 求 β 的值．
【思维导图】
【规范解答】解：(1) (解法 1)因为 tan(α＋π
4 )＝－7，
所以 tan α＝tan(α＋π
4 －π
4 )＝
tan(α＋π
4 )－tan
π
4
1＋tan(α＋π
4 )tan
π
4
＝
－7－1
－7＋1＝4
3，即
sin α
cos α＝4
3，所
以 cos α＝3
4sin α.
将上式代入 sin2α＋cos2α＝1，得 9
16sin2α＋sin2α＝1，即 sin2α＝16
25.
又 0＜α＜
π
2 ，所以 sin α＞0，所以 sin α＝4
5.
(解法 2)因为 tan(α＋π
4 )＝－7，
所以
tan α＋tan
π
4
1－tan αtan
π
4
＝
tan α＋1
1－tan α＝－7，所以 tan α＝4
3，即
sin α
cos α＝4
3，所以 cos
α＝3
4sin α.
将上式代入 sin2α＋cos2α＝1，得 9
16sin2α＋sin2α＝1，即 sin2α＝16
25.又 0＜α＜
π
2 ，所
以 sin α＞0，所以 sin α＝4
5.
(2) 因为 0＜α＜
π
2 ，由(1)得 sin α＝4
5，所以 cos α＝3
5.又 0＜α＜
π
2 ＜β＜π，所以 0＜
β－α＜π.
由 cos(β－α)＝ 2
10，得 0＜β－α＜
π
2 ，所以 sin(β－α)＝7 2
10 ，
所以 sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7 2
10 ×3
5＋ 2
10×4
5＝25 2
50
＝ 2
2 .
由
π
2 ＜β＜π，得 β＝3π
4 (或求cos β＝－ 2
2 ，得β＝3π
4 ).
【精要点评】(1) 解三角函数给值求值问题，关键在于弄清已知条件与所要求的函数值
之间的内在联系，恰当“变角”或“变名”等，使其角或名相同，或具有某种关系，以便利
用已知条件．
(2) 解给值求角问题的方法是先取恰当的三角函数求其值，再结合该函数的单调区间求
得角．在选取函数时，应遵循以下原则：
① 已知正切函数值，则选正切函数；
② 已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，
π
2 )，则选正弦、
余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为(－π
2 ，
π
2 )，则选正弦较
好．
●总结归纳
1. 在解决求值、化简问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形
式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2. 解决求角问题的关键在于选择恰当准确的三角函数，选择的标准是在角的范围内函
数值与角要一一对应，有时需恰当缩小角的取值范围．
●题组练透
1. 已知 cos(π
4 ＋α)＝3
5，17π
12 ＜α＜7π
4 ，则 cos α的值为________．
答案：－ 2
10
解析：由17π
12 <α<7π
4 得5π
3 <α＋
π
4 <2π，又 cos(α＋π
4 )＝3
5，所以 sin(π
4 ＋α)＝－4
5，
所以 cos α＝cos[(π
4 ＋α)－π
4 ]＝－ 2
10.
2. 已知 α∈(0，
π
2 )，β∈(－π
2 ，0)，且 cos(π
4 ＋α)＝1
3，cos(π
4 －β
2)＝ 3
3 ，则 cos(α＋β
2 )
＝__________．
答案：5 3
9
解 析 ： ∵ α∈(0，
π
2 )， ∴
π
4 ＋ α∈(π
4 ，
3π
4 ). 又 cos(π
4 ＋α)＝ 1
3， ∴ sin(π
4 ＋α)＝
1－cos2(π
4 ＋α)＝2 2
3 .
∵ β∈(－π
2 ，0)，∴ β
2∈(－π
4 ，0)，∴
π
4 －β
2∈(π
4 ，
π
2 ).
又 cos(π
4 －β
2)＝ 3
3 ，∴ sin(π
4 －β
2)＝ 1－cos2(π
4 －β
2)＝ 6
3 .∴ cos(α＋β
2 )＝cos[(π
4 ＋α)－
(π
4 －β
2)]＝cos(
π
4 ＋α)cos(π
4 －β
2)＋sin(π
4 ＋α)sin(π
4 －β
2)＝1
3× 3
3 ＋2 2
3 × 6
3 ＝5 3
9 .
3. 若 sin 2α＝ 5
5 ，sin(β－α)＝ 10
10 ，且 α∈[π
4 ，π]，β∈[π，
3π
2 ]，则 α＋β 的值是
________．
答案：7π
4
解析：因为 α∈[π
4 ，π]，所以 2α∈[π
2 ，2π].又 sin 2α＝ 5
5 ，所以 2α∈[π
2 ，π]，α∈
[π
4 ，
π
2 ]，故 cos 2α＝－2 5
5 .又 β∈[π，
3π
2 ]，所以 β－α∈[π
2 ，
5π
4 ]，故 cos(β－α)＝－
3 10
10 .所以 cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－ 2 5
5 ×
(－3 10
10 )－ 5
5 × 10
10 ＝ 2
2 .又 α＋β∈[5π
4 ，2π]，故 α＋β＝7π
4 .
4. (2018·南京期初)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 和
钝角 β 的终边分别与单位圆交于点 A，B.若点 A 的横坐标是3 10
10 ，点 B 的纵坐标是2 5
5 .
(1) 求 cos(α－β)的值；
(2) 求α＋β的值．
解： 因为锐角 α 的终边与单位圆交于点 A，且点 A 的横坐标是3 10
10 ，所以由任意角的
三角函数的定义可知，cos α＝3 10
10 ，从而 sin α＝ 1－cos2α＝ 10
10 .
因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B，且点 B 的纵坐标是2 5
5 ，所以 sin β＝2 5
5 ，
从而 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 5
5 .
(1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3 10
10 ×(－ 5
5 )＋ 10
10 ×2 5
5 ＝－ 2
10.
(2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ 10
10 ×(－ 5
5 )＋3 10
10 ×2 5
5 ＝ 2
2 .
因为 α 为锐角，β为钝角，所以 α＋β∈(π
2 ，
3π
2 )， 故 α＋β＝3π
4 .
, 3 有限制条件
的求值、证明及综合应用问题)
, 3) 已知 sin β＝msin(2α＋β)(m≠1)，求证：tan(α＋β)＝ 1＋m
1－mtan
α.
证明：由 β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，得 sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，
即 sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m[sin(α＋β)·cos α＋cos(α＋β)sin α]，
即(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α.
两边同除以(1－m)cos(α＋β)cos α，
得 tan(α＋β)＝1＋m
1－mtan α(m≠1)，即等式成立．
备选变式（教师专享）
若 tan α＝2tan
π
5 ，则
cos(α－3π
10 )
sin(α－π
5 )
＝________．
答案：3
解析：
cos(α－3π
10 )
sin(α－π
5 )
＝
sin(α－3π
10 ＋π
2 )
sin(α－π
5 )
＝
sin(α＋π
5 )
sin(α－π
5 )
＝
sin αcos
π
5 ＋cos αsin
π
5
sin αcos
π
5 －cos αsin
π
5
＝
sin α
cos αcos
π
5 ＋sin
π
5
sin α
cos αcos
π
5 －sin
π
5
＝
2·
sin
π
5
cos
π
5
cos
π
5 ＋sin
π
5
2·
sin
π
5
cos
π
5
cos
π
5 －sin
π
5
＝
3sin
π
5
sin
π
5
＝3.
1. 已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则 tan β＝________．
答案：3
解析：tan(α＋β)＝
－2＋tan β
1＋2tan β ＝1
7，则 tan β＝3.
2. (2018·江阴期初)设 α 为锐角，若 cos(α＋π
6 )＝3
5，则 sin(α－π
12)＝__________．
答案： 2
10
解析：sin(α－π
12)＝sin[(α＋π
6 )－π
4 ]
＝sin(α＋π
6 )cos
π
4 －cos(α＋π
6 )sin
π
4
＝4
5× 2
2 －3
5× 2
2 ＝ 2
10.
3. 在函数 y＝sin(3x＋π
3 )cos(x－
π
6 )－cos(3x＋π
3 )·cos (x＋π
3 )的图象的对称轴方程中，
在 y 轴左侧，且最靠近 y 轴的对称轴方程是__________．
答案：x＝－
π
6
解析：对函数进行化简可得 y＝sin(3x＋π
3 )cos(x－π
6 )－cos(3x＋
π
3 )cos(x＋π
2 －π
6 )＝sin
(3x＋π
3 )cos(x－
π
6 )＋cos(3x＋π
3 )sin(x－π
6 )＝sin(3x＋
π
3 ＋x－
π
6 )＝sin(4x＋π
6 )，则由 4x＋
π
6
＝kπ＋
π
2 ，k∈Z，得 x＝kπ
4 ＋
π
12，k∈Z.当 k＝－1 时，直线 x＝－
π
6 在 y 轴左侧，且最靠
近 y 轴．
4. 在△ABC 中，已知 sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则 tan A＋tan B＋tan
C 的值为________．
答案：196
解析：由题意 cos A，cos B，cos C 均不为 0，由 sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos
C，
两式相除得 tan A＝tan Btan C.
又由 cos A＝13cos Bcos C，且 cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，
所以 sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以 tan Btan C＝14.
又 tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)
＝－tan A(1－tan Btan C)，
所以 tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196.
1. 已知 tan α，tan β是 lg(6x2－5x＋2)＝0 的两个实根，则 tan(α＋β)＝________．
答案：1
解析：由 lg(6x2－5x＋2)＝0，得 6x2－5x＋1＝0，
∴ 由题意知 tan α＋tan β＝5
6，tan αtan β＝1
6，
∴ tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝
5
6
1－1
6
＝1.
2. 函数 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
答案：1
解析：∵ f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
∴ f(x)的最大值为 1.
3. 已知 α∈(π
2 ，π)，sin α＝ 5
5 .
(1) 求 sin (π
4 ＋α)的值；
(2) 求 cos (5π
6 －2α)的值．
解：(1) 因为 α∈(π
2 ，π)，sin α＝ 5
5 ，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5
5 .
故 sin(π
4 ＋α)＝sin
π
4 cos α＋cos
π
4 sin α＝ 2
2 ×(－2 5
5 )＋ 2
2 × 5
5 ＝－ 10
10 .
(2) 由(1)知 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5
5 ×(－2 5
5 )＝－4
5，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×( 5
5 )2
＝3
5，
所 以 cos(5π
6 －2α)＝ cos 5π
6 cos 2 α ＋ sin 5π
6 sin 2 α ＝(－ 3
2 )×3
5＋1
2×(－4
5 )＝ －
4＋3 3
10 .
4. 已知函数 f(x)＝sin(x＋7π
4 )＋cos(x－3π
4 )，x∈R.
(1) 求 f(x)的最小正周期和最小值；
(2) 已知 cos(β－α)＝4
5，cos(β＋α)＝－4
5，0＜α＜β≤
π
2 ，求证：f2(β)－2＝0.
(1) 解：f(x)＝sin xcos 7π
4 ＋cos xsin 7π
4 ＋cos xcos 3π
4 ＋sin xsin 3π
4 ＝ 2sin x－ 2cos
x＝2sin(x－π
4 )，所以 T＝2π，f(x)min＝－2.
(2) 证明：cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝4
5 ①，
cos(β＋α)＝cos αcos β－sin αsin β＝－4
5 ②.
①＋②，得 cos αcos β＝0，
于是由 0＜α＜β≤
π
2 ⇒cos β＝0⇒β＝
π
2 .
故 f(β)＝ 2⇒f2(β)－2＝0.
1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特
征．
(2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
① 化为特殊角的三角函数值；
② 化为正、负相消的项，消去求值；
③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值．
2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示
(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；
(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系．
3. 解决求角问题既要注意选择恰当准确的三角函数，又要注意角的范围．遵循选择的
原则使在角的规定范围内函数值与角的对应，必要时谨慎考虑恰当缩小角的取值范围．
第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)59～60 页)
掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用
它们进行简单的三角函数式的化简、求值及
恒等式证明．
能从两角和公式推导出二倍角的正弦、
余弦、正切公式，体会化归思想的应用．
1. (必修 4P105 例 3 改编)已知 cos α＝ 5
13，α∈(0，
π
2 )，那么 sin 2α＝__________．
答案：120
169
解析：由题意得 sin α＝12
13，所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5
13×12
13＝120
169.
2. (改编题)若
sin α＋cos α
sin α－cos α＝2，则 tan 2α＝__________．
答案：－3
4
解析：由
sin α＋cos α
sin α－cos α＝2，等式左边分子、分母同除以 cos α，得
tan α＋1
tan α－1＝
2，解得 tan α＝3，则 tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α＝－3
4.
3. (必修 4P131 复习题 9 改编)函数 y＝sin2x 的最小正周期为________．
答案：π
解析：函数 y＝sin2x 就是 y＝1
2(1－cos 2x)，故它的最小正周期为π.
4. (改编题)函数 y＝cos 2x＋2sin x 的最大值为________．
答案：3
2
解析：利用换元法求解．函数 y＝－2sin2x＋2sin x＋1，令 sin x＝t∈[－1，1]，所以 y
＝－2t2＋2t＋1，当 t＝1
2时，y 取得最大值3
2.
5. 已知 α 为锐角，且 cos α＝4
5，则 sin2(α－π
4 )＝________．
答案： 1
50
解析：(解法 1)∵ α 为锐角，且 cos α＝4
5，∴ sin α＝ 1－cos2α＝3
5，∴ sin2(α－π
4 )
＝
1－cos(2α－π
2 )
2 ＝1－sin 2α
2 ＝1－2sin αcos α
2 ＝ 1
50.
(解法 2)∵ α 为锐角，且 cos α＝ 4
5，∴ sin α＝ 1－ cos2α＝3
5，∴ sin2(α－π
4 )＝
[ 2
2 （sin α－cos α）]2
＝ 1
50.
1. 二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α．
2. 降幂公式
sin2α＝1－cos 2α
2 ；
cos2α＝1＋cos 2α
2 ；
sin αcos α＝sin 2α
2 ．
3. 常用公式变形
1＋sin 2α＝(sin_α＋cos_α)2；
1－sin 2α＝(sin_α－cos_α)2．[备课札记]
, 1 利用二倍角
公式化简、求值或证明)
, 1) 已知 α 为锐角，cos(α＋π
4 )＝ 5
5 .
(1) 求 tan (α＋π
4 )的值；
(2) 求 sin (2α＋π
3 )的值．
解：(1) 因为 α∈(0，
π
2 )，
所以 α＋
π
4 ∈(π
4 ，
3π
4 )，
所以 sin(α＋π
4 )＝ 1－cos2(α＋π
4 )＝2 5
5 ，
所以 tan(α＋π
4 )＝
sin(α＋π
4 )
cos(α＋π
4 )
＝2.
(2) 因为 sin(2α＋π
2 )＝sin[2(α＋π
4 )]
＝2sin(α＋π
4 )cos(α＋π
4 )＝4
5，
cos(2α＋π
2 )＝cos[2(α＋π
4 )]＝2cos2(α＋π
4 )－1＝－3
5，
所以 sin(2α＋π
3 )＝sin[(2α＋π
2 )－π
6 ]
＝sin(2α＋π
2 )cos
π
6 －cos(2α＋π
2 )sin
π
6 ＝4 3＋3
10 .
变式训练
已知 cos(π
4 －α)＝12
13，α∈(0，
π
4 )，则
cos 2α
sin(π
4 ＋α)
＝________．
答案：10
13
解析：(解法 1)sin(π
4 ＋α)＝sin[π
2 －(π
4 －α)]
＝cos(π
4 －α)＝12
13.
∵ α∈(0，
π
4 )，∴ 0<
π
4 －α<
π
4 ，
∴ sin(π
4 －α)＝ 1－cos2(π
4 －α)＝ 5
13，
∴ cos 2α＝sin(π
2 －2α)＝2sin(π
4 －α)cos(π
4 －α)＝120
169，
∴
cos 2α
sin(π
4 ＋α)
＝10
13.
(解法 2)由 cos(π
4 －α)＝12
13，得 sin α＋cos α＝12 2
13 ，两边平方，得 1＋2sin αcos α＝
288
169，∴ 2sin αcos α＝119
169.
∵ α∈(0，
π
4 )，∴ cos α>sin α，∴ cos α－sin α>0，
∴ cos α－sin α＝ （cos α－sin α）2＝ 1－2sin αcos α＝5 2
13 ，
∴
cos 2α
sin(π
4 ＋α)
＝
cos2α－sin2α
2
2 sin α＋ 2
2 cos α
＝ 2(cos α－sin α)＝10
13.
, 2 二倍角公式
的逆用与变用)
, 2) 已知 cos(π
6 ＋α)cos(π
3 －α)＝－1
4，α∈(
π
3 ，
π
2 )．
(1) 求 sin 2α的值；
(2) 求 tan α－ 1
tan α的值．
解：(1) 原式＝cos(π
6 ＋α)sin(π
6 ＋α)＝1
2sin(2α＋π
3 )＝－1
4，
即 sin(2α＋π
3 )＝－1
2.
因为 α∈(π
3 ，
π
2 )，所以 2α＋
π
3 ∈(π，
4π
3 )，
所以 cos(2α＋π
3 )＝－ 3
2 .
所以 sin 2α＝sin(2α＋π
3 －π
3 )＝sin(2α＋π
3 )cos
π
3 －
cos(2α＋π
3 )sin
π
3 ＝1
2.
(2) 由(1)知 tan α－ 1
tan α＝
sin α
cos α－
cos α
sin α＝
sin2α－cos2α
sin αcos α＝
－2cos 2α
sin 2α ＝
－2 × (－ 3
2 )
1
2
＝2 3.
变式训练
已知 sin α＋cos α＝1
3，则 sin2(π
4 －α)＝________．
答案：17
18
解析： 由 sin α＋cos α＝1
3两边平方得 1＋sin 2α＝1
9，解得 sin 2α＝－8
9，所以 sin2
(π
4 －α)＝
1－cos(π
2 －2α)
2 ＝1－sin 2α
2 ＝
1＋8
9
2 ＝17
18.
, 3 二倍角公式
在研究三角函数中的应用)
, 3) 已知函数 f(x)＝2cos ωx
2 ( 3cos ωx
2 －sin ωx
2 )(ω＞0)的最小正周期为
2π.
(1) 求函数 f(x)的表达式；
(2) 设 θ∈(0，
π
2 )，且 f(θ)＝ 3＋6
5，求 cos θ的值．
解：(1) f(x)＝2cos ωx
2 ( 3cos
ωx
2 －sin
ωx
2 )
＝2 3cos2ωx
2 －2cos ωx
2 sin ωx
2
＝ 3(1＋cos ωx)－sin ωx＝ 3－2sin(ωx－π
3 ).
∵ 函数 f(x)的最小正周期为 2π，∴ 2π
ω ＝2π，ω＝1.
∴ f(x)＝ 3－2sin(x－π
3 ).
(2) 由 f(θ)＝ 3＋6
5，得 sin(θ－π
3 )＝－3
5.
∵ θ∈(0，
π
2 )，∴ θ－
π
3 ∈(－π
3 ，
π
6 )，
∴ cos (θ－π
3 )＝4
5.
∴ cos θ＝cos(θ－π
3 ＋π
3 )＝cos (θ－π
3 )cos
π
3 －sin(θ－
π
3 )sin
π
3 ＝4
5×1
2－(－3
5 )× 3
2 ＝
4＋3 3
10 .
变式训练
已知函数 f(x)＝2sin xsin(x＋π
6 ).
(1) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 当 x∈[0，
π
2 ]时，求函数 f(x)的值域．
解：(1) f(x)＝2sin x( 3
2 sin x＋1
2cos x)＝ 3×1－cos 2x
2 ＋1
2sin 2x＝sin(2x－π
3 )＋ 3
2 .
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－
π
2 ＋2kπ≤2x－
π
3 ≤
π
2 ＋2kπ，k∈Z，
解得－
π
12＋kπ≤x≤5π
12 ＋kπ，k∈Z，所以函数 f(x)的单调增区间是[－
π
12＋kπ，5π
12 ＋
kπ]，k∈Z.
(2) 当 x∈[0，
π
2 ]时，2x－
π
3 ∈[－π
3 ，
2π
3 ]，
所以 sin(2x－π
3 )∈[－ 3
2 ，1]，
所以 f(x)∈[0，1＋ 3
2 ]. 故 f(x)的值域为[0，1＋ 3
2 ].
1. (2018·第二次全国大联考江苏卷)已知 sin(x＋π
3 )＝1
3，则 sin(5π
3 －x)－cos (2x－π
3 )的
值为________．
答案：4
9
解析：sin(5π
3 －x)－cos(2x－π
3 )＝sin[2π－(x＋π
3 )]－cos 2[(x＋π
3 )－π
2 ]＝－sin(x＋π
3 )
＋cos 2(x＋π
3 )＝－sin(x＋π
3 )＋1－2sin2(x＋π
3 )＝－1
3＋1－2
9＝4
9.
2. 已知 α∈R，sin α＋2cos α＝ 10
2 ，则 tan 2α＝________．
答案：－3
4
解析：依题意得(sin α＋2cos α)2＝5
2，即1－cos 2α
2 ＋2sin 2α＋2(1＋cos 2α)＝5
2，
sin 2α＝－3
4cos 2α，tan 2α＝－3
4.
3. 函数 f(x)＝cos 2x＋6cos(
π
2 －x)的最大值为__________．
答案：5
解析：由 f(x)＝cos 2x＋6cos(π
2 －x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－2(sin x－3
2)2
＋11
2 ，所以当
sin x＝1 时函数取最大值为 5.
4. (2018·泰州中学期初)已知 0＜α＜
π
2 ＜β＜π，且 sin(α＋β)＝ 5
13，tan α
2＝1
2.
(1) 求 cos α的值；
(2) 求证：sin β＞ 5
13.
(1) 解：将 tan α
2＝1
2代入 tan α＝
2tan
α
2
1－tan2
α
2
，得 tan α＝4
3，∴ {sin α
cos α＝4
3，
sin2α＋cos2α＝1.
又 α∈(0，
π
2 )，解得 cos α＝3
5.
(2) 证明：易得
π
2 <α＋β<3π
2 ，又 sin(α＋β)＝ 5
13，
∴ cos(α＋β)＝－12
13.
由(1)可得 sin α＝4
5，∴ sin β＝sin[(α＋β)－α]＝ 5
13×3
5－(－12
13 )×4
5＝63
65> 5
13.
, 6. 忽视角的范围致误)
典例 已知 α，β∈(0，π)，tan α
2＝1
2，sin(α＋β)＝ 5
13，求 cos β.
易错分析：本题条件 α，β∈(0，π)的范围较大，需结合 tan α
2＝1
2，sin(α＋β)＝ 5
13缩小
角的范围，否则极易误由 sin α求 cos α，或由 sin(α＋β)求 cos(α＋β)得两解．
解：∵ tan α
2＝1
2，
∴ sin α＝2sin α
2cos α
2＝
2sin
α
2 cos
α
2
sin2
α
2 ＋cos2
α
2
＝
2tan
α
2
1＋tan2
α
2
＝
2 × 1
2
1＋(1
2 )2
＝4
5，
cos α＝cos2α
2－sin2α
2＝
cos2
α
2 －sin2
α
2
sin2
α
2 ＋cos2
α
2
＝
1－tan2
α
2
1＋tan2
α
2
＝
1－(1
2 )2
1＋(1
2 )2
＝3
5.
∵ α，β∈(0，π)，sin α＝4
5＞ 5
13＝sin(α＋β)，
∴
π
2 ＜α＋β＜π，
∴ cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β）＝－ 1－ 25
169＝－12
13，
∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝(－12
13 )×3
5＋ 5
13×4
5＝－
16
65.
特别提醒：在解决三角函数式的求值或根据三角函数值求角问题时，要注意题目中角的
范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．有时已知条件给出
的角的范围较大，解题时应注意挖掘隐含条件，缩小角的范围．另外，解题时要加强对审题
深度的要求与训练，以防出错．
1. 已知 sin x＝ 5－1
2 ，则 sin 2(x－π
4 )＝________．
答案：2－ 5
解析：sin 2(x－π
4 )＝sin(2x－π
2 )＝－cos 2x＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2－ 5.
2. 若 0<α<
π
2 ，且 cos α＝1
7，则 tan 2α＝________．
答案：－8 3
47
解析：∵ cos α＝1
7，0<α<
π
2 ，∴ sin α＝4 3
7 ，tan α＝4 3，∴ tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
＝2 × 4 3
1－48 ＝－8 3
47 .
3. cos
π
9 ·cos 2π
9 ·cos(－23π
9 )＝________．
答案：－1
8
解析：cos
π
9 ·cos 2π
9 ·cos(－23π
9 )＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－
sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
sin 20°
＝－
1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°
sin 20° ＝－
1
4sin 80°·cos 80°
sin 20°
＝－
1
8sin 160°
sin 20° ＝－
1
8sin 20°
sin 20° ＝－1
8.
4. 已知 θ∈(3π
4 ，
5π
4 )，sin(θ－
π
4 )＝ 5
5 .
(1) 求 sin θ的值；
(2) 求 cos (2θ＋2π
3 )的值．
解：(1) 设 α＝θ－
π
4 ，因为 θ∈(3π
4 ，
5π
4 )，所以 α∈(π
2 ，π)，且 θ＝α＋
π
4 .
因为 sin α＝sin(θ－π
4 )＝ 5
5 ，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5
5 .
于是 sin θ＝sin (α＋π
4 )＝sin αcos
π
4 ＋cos αsin
π
4 ＝ 5
5 × 2
2 ＋(－2 5
5 )× 2
2 ＝－ 10
10 .
(2) 因为 cos θ＝cos(α＋π
4 )＝cos αcos
π
4 －sin αsin
π
4 ＝(－2 5
5 )× 2
2 － 5
5 × 2
2 ＝－
3 10
10 ，
所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×(－ 10
10 )×(－3 10
10 )＝3
5，
cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×(－ 10
10 )2
＝4
5.
所以 cos(2θ＋2π
3 )＝cos 2θcos2π
3 －sin 2θsin 2π
3 ＝4
5×(－1
2 )－3
5× 3
2 ＝－4＋3 3
10 .
1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1) 先化简所求式子；
(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．
2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．
3. 降幂公式是解决含有 cos2x，sin2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍
角公式的解题技巧．
[备课札记]
第 6 课时 简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)61～63 页)
灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三
角函数式的化简、求值及恒等式证明．
能运用三角函数各种公式进行恒等变换
以及解决综合性问题．
1. 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，
4)，则 cos 2α＝__________．
答案：－ 7
25
解析：根据三角函数的定义知，sin α＝y
r＝ 4
32＋42＝4
5，所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－
2×(4
5 )2
＝1－32
25＝－ 7
25.
2. (必修 4P123 习题 3.2 题 5 改编)已知 sin α＝ 5
5 ，则 sin4α－cos4α的值为________．
答案：－3
5
解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－3
5.
3. (必修 4P118 习题 3.1(3)题 7 改编)已知 tan α，tan β是方程 3x2－7x＋2＝0 的两根，
则
sin（α＋β）
cos（α－β）的值为________．
答案：7
5
解 析 ： 由 已 知 得 tan α ＋ tan β ＝ 7
3， tan α tan β ＝ 2
3， 所 以
sin（α＋β）
cos（α－β）＝
sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β＋sin αsin β＝
tan α＋tan β
1＋tan αtan β＝7
5.
4. 计算：
sin 110°sin 20°
cos2155°－sin2155°的值为________．
答案：1
2
解析：
sin 110°sin 20°
cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20°
cos 310° ＝cos 20°sin 20°
cos 50° ＝
1
2sin 40°
sin 40° ＝1
2.
5. (必修 4P112 习题 3.1(2)题 12 改编)在△ABC 中，已知 cos(π
4 ＋A)＝3
5，则 cos 2A 的值
为________．
答案：24
25
解析：cos(π
4 ＋A)＝cos
π
4 cos A－sin
π
4 sin A＝ 2
2 (cos A－sin A)＝3
5，
∴ cos A－sin A＝3 2
5 ＞0 ①.
∴ 0＜A＜
π
4 ，∴ 0＜2A＜
π
2 .
由①得(cos A－sin A)2＝18
25，即 1－sin 2A＝18
25，
∴ sin 2A＝ 7
25.
∴ cos 2A＝ 1－sin22A＝24
25.
三角函数的最值问题
(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 cos φ＝ a
a2＋b2，sin φ＝ b
a2＋b2 .
② y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 可先降次，整理转化为上一种形式．
③ y＝asin x＋b
csin x＋d(或y＝acos x＋b
ccos x＋d)可转化为只有分母含 sin x 或 cos x 的函数式或 sin
x＝f(y)(或 cos x＝f(y))的形式，利用正、余弦函数的有界性求解．
(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y＝asin2x＋bcos x＋c 可转化为 cos x 的二次函数式．
② y＝asin x＋ c
bsin x(a，b，c>0)，令 sin x＝t，则转化为求 y＝at＋ c
bt(－1≤t≤1)的最
值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]
, 1 三角形中的
恒等变换)
, 1) (2018·启东中学模拟)在△ABC 中，三个内角分别为 A，B，C，已
知 sin(A＋π
6 )＝2cos A.
(1) 求角 A 的值；
(2) 若 B∈(0，
π
3 )，且 cos(A－B)＝4
5，求 sin B.
解：(1) 由 sin(A＋π
6 )＝2cos A，得 3
2 sin A＋1
2cos A＝2cos A，即 sin A＝ 3cos A．因
为 A∈(0，π)，且 cos A≠0，所以 tan A＝ 3，所以 A＝
π
3 .
(2) 因为 B∈(0，
π
3 )，所以 A－B＝
π
3 －B∈(0，
π
3 ).
因为 sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，cos(A－B)＝4
5，
所以 sin(A－B)＝3
5，
所以 sin B＝sin[A－(A－B)]＝sin Acos(A－B)－cos A·sin(A－B)＝4 3－3
10 .
变式训练
在三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan Btan C＝1－ 2，则角 A 的值为
__________．
答案：
π
4
解析：由题意知，sin A＝－ 2cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，等式两
边同除以 cos Bcos C，得 tan B＋tan C＝－ 2.又 tan(B＋C)＝
tan B＋tan C
1－tan Btan C＝－1＝－tan
A，即 tan A＝1，所以 A＝
π
4 .
, 2 角的构造技
巧与公式的灵活运用)
, 2) 化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2cos 2αcos 2β.
解：(解法 1)(从“角”入手，复角化单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－
cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－1
2
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－1
2
＝sin2β＋cos2β－1
2＝1－1
2＝1
2.
(解法 2)(从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－1
2cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－1
2cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β(sin2α＋1
2cos 2α)
＝1＋cos 2β
2 －1
2cos 2β＝1
2.
(解法 3)(从“幂”入手，利用降幂公式先降幂)
原式＝1－cos 2α
2 ·1－cos 2β
2 ＋1＋cos 2α
2 ·1＋cos 2β
2 －1
2cos 2αcos 2β
＝1
4(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ 1
4(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)
－1
2cos 2αcos 2β＝1
2.
(解法 4)(从“形”入手，利用配方法，先对二次项进行配方)
原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－1
2cos 2αcos 2β
＝cos2(α＋β)＋1
2sin 2αsin 2β－1
2cos 2αcos 2β
＝cos2(α＋β)－1
2cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－1
2[2cos2(α＋β)－1]＝1
2.
备选变式（教师专享）
求 sin210°＋cos240°－sin 10°cos 140°的值．
解：(解法 1)原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°
＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin 10°cos(30°＋10°)
＝sin 210°＋ ( 3
2 cos 10°－1
2sin 10°)2
＋sin 10°(
3
2 cos 10°－ 1
2sin 10°) ＝ 3
4(sin210°＋
cos210°)＝3
4.
(解法 2)设 x＝原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°，y＝cos 210°＋sin240°＋cos
10°sin 40°，
则 x＋y＝1＋1＋sin 10°cos 40°＋cos 10°sin 40°＝2＋sin 50°，
x－y＝cos 80°－cos 20°－1
2＝cos(50°＋30°)－cos(50°－30°)－1
2＝－sin 50°－1
2，
上述两式相加得 2x＝3
2，即 x＝3
4，
故原式＝3
4.
, 3 三角恒等变
换与三角函数性质的综合问题)
●典型示例
, 3) 如图，在直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点是原点，始边与 x 轴正
半轴重合，终边交单位圆于点 A，且 α∈(π
3 ，
π
2 ).将角 α 的终边按逆时针方向旋转
π
6 ，交单
位圆于点 B.记 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 若 x1＝1
4，求 x2；
(2) 分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C，D.记△AOC 的面积为 S1，△BOD 的
面积为 S2.若 S1＝S2，求角 α 的值．
【思维导图】
【规范解答】解：(1) 由三角函数定义，得 x1＝cos α，x2＝cos(α＋π
6 )，
因为 α∈(π
3 ，
π
2 )，cos α＝1
4，所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－(1
4 )2
＝ 15
4 .
所以 x2＝cos(α＋π
6 )＝ 3
2 cos α－1
2sin α＝ 3－ 15
8 .
(2) 依题意得 y1＝sin α，y2＝sin(α＋π
6 ).
所以 S1＝1
2x1y1＝1
2cos αsin α＝1
4sin 2α，
S2＝1
2|x2|y2＝1
2sin(α＋π
6 )|cos(α＋π
6 )|＝－1
4sin(2α＋π
3 ).
依题意得 sin 2α＝－sin(2α＋π
3 )＝－sin 2αcos
π
3 －cos 2αsin
π
3 ，整理得 tan 2α＝－
3
3 .
因为
π
3 ＜α＜
π
2 ，所以2π
3 ＜2α＜π，所以 2α＝5π
6 ，故 α＝5π
12 .
●总结归纳
这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义
{x＝rcos α，
y＝rsin α 将问题转化为三角函数问题，灵活运用三角恒等变换解决问题．
●题组练透
1. 如图，角 α 终边上一点 P 的坐标是(3，4)，将 OP 绕原点旋转 45°到 OP′的位置，则
点 P′的坐标为__________．
答案：(－ 2
2 ，
7 2
2 )
解析：设 P′(x，y)，sin α＝4
5，cos α＝3
5，∴ sin(α＋45°)＝7 2
10 ，cos(α＋45°)＝－
2
10.
∴ x＝5cos(α＋45°)＝－ 2
2 ，y＝5sin(α＋45°)＝7 2
2 .∴ P′(－ 2
2 ，
7 2
2 ).
2. (原创)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵
坐标为4
5，则 tan 2α＝__________．
答案：24
7
解析：因为点 A 的纵坐标为 yA＝4
5，且点 A 在第二象限，又圆 O 为单位圆，所以点 A
的横坐标 xA＝－3
5.由三角函数的定义可得 cos α＝－3
5.因为 α 的终边在第二象限，所以 sin
α＝ 1－cos2α＝4
5.所以 tan α＝
sin α
cos α＝－4
3，故 tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α＝24
7 .
3. 如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，
点 B 的坐标为(12
13，－ 5
13)，∠AOC＝α.若 BC＝1，则 3cos2 α
2－sin α
2cos α
2－ 3
2 的值为
________．
答案： 5
13
解析：由题意得 OB＝BC＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴ sin ∠AOB＝sin(π
3 －α)＝
5
13， 3cos2α
2－sin α
2cos α
2－ 3
2 ＝ 3·1＋cos α
2 －
sin α
2 － 3
2 ＝－1
2sin α＋ 3
2 cos α＝sin
(α＋2π
3 )＝sin[π－(α＋2π
3 )]＝sin(π
3 －α)＝ 5
13.
4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 均在单位圆上．已知点 A 在第一象
限且横坐标是3
5，点 B 在第二象限，点 C(1，0). 设∠COA＝θ，
(1) 求 sin 2θ的值；
(2) 若△AOB 为正三角形，求点 B 的坐标．
解：(1) 由题设得 cos θ＝3
5，因为点 A 在单位圆上且在第一象限，所以 sin θ＝4
5，
从而 sin 2θ＝2sin θcos θ＝24
25.
(2) 因为△AOB 为正三角形，所以∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，
所以 cos ∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cos θcos 60°－sin θsin 60°＝3－4 3
10 ，sin ∠BOC
＝ sin(θ ＋ 60 ° ) ＝ sin θ cos 60 ° ＋ cos θ sin 60 ° ＝ 4＋3 3
10 ， 因 此 点 B 的 坐 标 为
(3－4 3
10 ，
4＋3 3
10 ).
1. 若 x 为锐角，且 cos(π
3 －2x)＝－7
8，则 sin (x＋π
3 )的值为________．
答案：1
4
解 析 ： 因 为 cos[π－(π
3 －2x)]＝ cos(2x＋2π
3 )＝ 7
8， 所 以 有 sin2(x＋π
3 )＝ 1
2
[1－cos(2x＋2π
3 )]＝1
2(1－7
8 )＝ 1
16.因为 x 为锐角，所以 sin(x＋π
3 )＝1
4.
2. 已知 A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点 O，半径为 1)上任一点，将射线 OA 绕点 O
逆时针旋转
π
3 到 OB 交单位圆于点 B(xB，yB)．已知 m>0，若 myA－2yB 的最大值为 3，则 m
＝________．
答案： 6＋1
解析：设 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 θ，myA－2yB＝msin θ－2sin(θ＋60°)＝(m－1)sin
θ－ 3cos θ，则(m－1)2＋3＝9，而 m>0，故 m＝ 6＋1.
3. 设 a＝1
2cos 2°－ 3
2 sin 2°，b＝
2tan 14°
1－tan214°，c＝ 1－cos 50°
2 ，则 a，b，c 的大小
关系为____________．
答案：cB⇒a>b⇒sin A>sin B.
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC 的面积公式
① S＝1
2a·h(h 表示 a 边上的高)；
② S＝1
2absin C＝1
2acsin B＝1
2bcsin A＝abc
4R；
③ S＝1
2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)；
④ S＝ P（P－a）（P－b）（P－c），其中 P＝1
2(a＋b＋c).
, 1 正弦定理、余
弦定理的简单应用)
, 1) (1) 在△ABC 中，已知 AB＝3，A＝120°，且△ABC 的面积为15 3
4 ，
则 BC 边长为__________；
(2) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A
＝1
2b，且 a＞b，则 B＝__________．
答案：(1) 7 (2)
π
6
解析：(1) 因为△ABC 的面积为 1
2AB·ACsin 120°＝3
2× 3
2 ×AC＝15 3
4 ，解得 AC＝5.
由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25＋15＝49，所以 BC＝7.
(2) 根据正弦定理，设 a
sin A＝ b
sin B＝ c
sin C＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin
C，代入 asin Bcos C＋csin B·cos A＝1
2b，整理得 sin Acos C＋cos Asin C＝1
2，即 sin(A＋C)＝
1
2.又 sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，所以 sin B＝ 1
2.因为 a>b，所以 B 必为锐角，所以 B＝
π
6 .
变式训练
(1) (2018·扬州中学模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 a＝
13，b＝3，A＝60°，则 c 的值为________．
(2) 在△ABC 中，AC＝ 7，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于__________．
答案：(1) 4 (2) 3 3
2
解析：(1) a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即 c2－3c－4＝0，解得
c＝4 或 c＝－1(舍去)．
(2) 由余弦定理得 AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即( 7)2＝22＋AB2－4AB·cos 60°，
即 AB2－2AB－3＝0，得 AB＝3，故 BC 边上的高是 ABsin 60°＝3 3
2 .
, 2 利用正、余弦
定理判定三角形的形状)
, 2) 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对边的长，且 2asin
A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1) 求 A 的大小；
(2) 若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状．
解：(1) 由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，
故 cos A＝－1
2.又 00，则 cos
A＝b2＋c2－a2
2bc >0.
∵ 0
π
3 .
因此角 A 的取值范围是(π
3 ，
π
2 ).
3. (2018·苏州调研)已知△ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(2sin
B，－ 3)，n＝(cos 2B，2cos2B
2－1)，且 m∥n.
(1) 求锐角 B 的大小；
(2) 如果 b＝2，求 S△ABC 的最大值．
解：(1) ∵ m∥n，
∴ 2sin B(2cos2
B
2－1)＝－ 3cos 2B，
∴ sin 2B＝－ 3cos 2B，即 tan 2B＝－ 3.
∵ B 为锐角，∴ 2B∈(0，π)，∴ 2B＝2π
3 ，∴ B＝
π
3 .
(2) ∵ B＝
π
3 ，b＝2，
∴ 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 a2＋c2－ac－4＝0.
又 a2＋c2≥2ac，代入上式，得 ac≤4，当且仅当 a＝c＝2 时等号成立．
故 S△ABC＝1
2acsin B＝ 3
4 ac≤ 3，当且仅当 a＝c＝2 时等号成立，即 S△ABC 的最大值为
3.
4. 已知函数 f(x)＝2sin2(x＋
π
4 )－ 3cos 2x，x∈[π
4 ，
π
2 ]，设 x＝α 时 f(x)取到最大值．
(1) 求 f(x)的最大值及 α 的值；
(2) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A＝α－
π
12，且 sin Bsin C＝
sin2A，判断△ABC 的形状．
解：(1) 由题意可得
f(x)＝[1－cos(2x＋π
2 )]－ 3cos 2x
＝1＋sin 2x－ 3cos 2x＝1＋2sin(2x－π
3 ).
又 x∈[π
4 ，
π
2 ]，∴
π
6 ≤2x－
π
3 ≤2π
3 ，
故当 2x－
π
3 ＝
π
2 ，即 x＝α＝5π
12 时，f(x)max＝3.
(2) 由(1)知 A＝α－
π
12＝
π
3 ，
又 sin Bsin C＝sin2A，∴ bc＝a2.
∵ a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc,
∴ b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，故 b＝c.
∴ △ABC 是等边三角形．
5. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且
cos A
a ＋
cos B
b ＝
sin C
c .
(1) 求证：sin Asin B＝sin C；
(2) 若 b2＋c2－a2＝6
5bc，求 tan B.
(1) 证明：根据正弦定理，可设 a
sin A＝ b
sin B＝ c
sin C＝k(k＞0)，
则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入
cos A
a ＋
cos B
b ＝
sin C
c ，得
cos A
ksin A＋
cos B
ksin B＝
sin C
ksin C，可变形得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π，
得 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以 sin Asin B＝sin C.
(2) 解：由已知，b2＋c2－a2＝6
5bc，
根据余弦定理，有 cos A＝b2＋c2－a2
2bc ＝3
5.
所以 sin A＝ 1－cos2A＝4
5.
由(1)得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以 4
5sin B＝4
5cos B＋3
5sin B，
故 tan B＝
sin B
cos B＝4.
1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．
2. 对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．
3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通
过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．
4. 解三角函数的综合题时应注意：
(1) 与已知基本函数对应求解，即将 ωx＋φ 视为一个整体 X.
(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝asin 2x
＋bsin x＋c.
(3) 换元方法在解题中的运用．
