高考卷 07 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析

高考卷 07 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 II 卷第 22 题为选考题， 其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用 2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号， 非选择题答案使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑． 参考公式： 样本数据 1x ， 2x ，， nx 的标准差 锥体体积公式 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        1 3V Sh 其中 x 为标本平均数 其中 S 为底面面积， h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh 24πS R ， 34 π3V R 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设集合    | 1 | 2 2A x x B x x      ， ，则 A B  （ ） Ａ． | 2x x   Ｂ． 1x x  | Ｃ． | 2 1x x    Ｄ． | 1 2x x   【答案】：A 【分析】：由    | 1 | 2 2A x x B x x      ， ,可得 A B   | 2x x   . 2．已知命题 :p x  R ，sin 1x≤ ，则（ ） Ａ． :p x   R ，sin 1x≥ Ｂ． :p x   R ，sin 1x≥ Ｃ． :p x   R ，sin 1x  Ｄ． :p x   R ，sin 1x  【答案】：C 【分析】： p 是对 p 的否定，故有： ,x R sin 1.x  3．函数 πsin 2 3y x     在区间 π π2      ， 的简图是（ ） 【答案】：A 【分析】： π 3( ) sin 2 ,3 2f         排除Ｂ、Ｄ， π( ) sin 2 0,6 6 3f         排除Ｃ。也可由五点法作图验证。 4．已知平面向量 (11) (1 1)  ，， ，a b ，则向量 1 3 2 2  a b （ ） Ａ． ( 2 1) ， Ｂ． ( 21) ， Ｃ． ( 1 0) ， Ｄ． ( 1 2) ， 【答案】：D 【分析】： 1 3 2 2  a b ( 1 2). ， 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的 S  （ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 y x 1 1 2  3  O 6   y x 1 12  3  O 6   y x 1 1 2  3 O 6   y x 2  6  1 O 1 3  Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 开始 1k  0S  50?k ≤ 是 2S S k  1k k  否 输出 S 结束 P D C B A 【答案】：C 【分析】：由程序知， 1 502 1 2 2 2 50 2 50 2550.2S            6．已知 a b c d， ， ， 成等比数列，且曲线 2 2 3y x x   的顶点是 ( )b c， ，则 ad 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 2 【答案】：B 【分析】：曲线 2 2 3y x x   的顶点是 (1 2)， ，则： 1, 2.b c  由 a b c d， ， ， 成等比数列知， 1 2 2.ad bc    7．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，点 1 1 1 2 2 2( ) ( )P x y P x y， ， ， ， 3 3 3( )P x y， 在抛物线上，且 2 1 32x x x  ，则有（ ） Ａ． 1 2 3FP FP FP  Ｂ． 2 2 2 1 2 3FP FP FP  Ｃ． 2 1 32 FP FP FP  Ｄ． 2 2 1 3FP FP FP · 【答案】：C 【分析】：由抛物线定义， 2 1 32( ) ( ) ( ),2 2 2 p p px x x     即： 2 1 32 FP FP FP  ． 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）， 可得这个几何体的体积是（ ） Ａ． 34000 cm3 Ｂ． 38000 cm3 Ｃ． 32000cm Ｄ． 34000cm 【答案】：B 【分析】：如图， 1 800020 20 20 .3 3V      20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 A O S C B 9．若 cos2 2 π 2sin 4         ，则 cos sin  的值为（ ） Ａ． 7 2  Ｂ． 1 2  Ｃ． 1 2 Ｄ． 7 2 【答案】：C 【分析】： 2 2cos2 cos sin 22(sin cos ) ,π 22sin (sin cos )4 2                    1cos sin .2     10．曲线 xy e 在点 2(2 )e， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 29 4 e Ｂ． 22e Ｃ． 2e Ｄ． 2 2 e 【答案】：D 【分析】： ( ) ,x xy e e    曲线在点 2(2 )e， 处的切线斜率为 2e ，因此切线方程 为 2 2 ( 2),y e e x   则切线与坐标轴交点为 2(1,0), (0, ),A B e 所以： 2 21 1 .2 2AOB eS e     11．已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上， 球心O 在 AB 上， SO  底面 ABC ， 2AC r ， 则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） Ａ． π Ｂ． 2π Ｃ．3π Ｄ． 4π 【答案】：D 【分析】：如图， 2 , 90 , 2 ,AB r ACB BC r     31 1 1 12 2 ,3 3 2 3ABCV SO S r r r r         三棱锥 3 3 34 4 1, : : 4 .3 3 3V r V V r r     球 球 三棱锥 12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 1 2 3s s s， ， 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 Ａ． 3 1 2s s s  Ｂ． 2 1 3s s s  Ｃ． 1 2 3s s s  Ｄ． 2 1 3s s s  【答案】：B 【分析】： (7 8 9 10) 5 8.5,20x      甲 2 2 2 2 2 1 5 [(7 8.5) (8 8.5) (9 8.5) (10 8.5) ] 1.25,20s          (7 10) 6 (8 9) 4 8.5,20x      乙 2 2 2 2 2 2 6 [(7 8.5) (10 8.5) ] 4 [(8 8.5) (9 8.5) ] 1.45,20s           (7 10) 4 (8 9) 6 8.5,20x      丙 2 2 2 2 2 3 4 [(7 8.5) (10 8.5) ] 6 [(8 8.5) (9 8.5) ] 1.05,20s           2 2 2 1 3 2 1 3 .s s s s s s   2由 得 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考 生都必须做答．第 22 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6， 则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3 【分析】：如图，过双曲线的顶点 A、焦点 F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为 B、C， 则： | | | | 6 3.| | | | 2 OF FC c OA AB a     14．设函数 ( ) ( 1)( )f x x x a   为偶函数，则 a  ． 【答案】：-1 【分析】： (1) ( 1) 2(1 ) 0, 1.f f a a        15．i 是虚数单位， 2 3 8i 2i 3i 8i     ．（用 ia b 的形式表示，a bR， ） 【答案】： 4 4i 【分析】： 2 3 8i 2i 3i 8i i - 2-3i + 4 +5i -6 + 7i +8 = 4- 4i.     16．已知 na 是等差数列， 4 6 6a a  ，其前 5 项和 5 10S  ，则其公差 d  ． 【答案】： 1 2 【分析】： 4 6 56 3,a a a    1 5 1 5 1 35 5 10 1.2 2 a a aS a        5 1 1 .5 1 2 a ad    三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ．现 测得 BCD BDC CD s     ， ， ，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ． 解：在 BCD△ 中， πCBD      ． 由正弦定理得 sin sin BC CD BDC CBD   ． 所以 sin sin sin sin( ) CD BDC sBC CBD       · ． 在 ABCRt△ 中， tan sintan sin( ) sAB BC ACB        · ． 18．（本小题满分 12 分） 如图， A B C D， ， ， 为空间四点．在 ABC△ 中， 2 2AB AC BC  ， ． 等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动． （Ⅰ）当平面 ADB  平面 ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当 ADB△ 转动时，是否总有 AB CD ？ 证明你的结论． 解： （Ⅰ）取 AB 的中点 E ，连结 DE CE， ， 因为 ADB 是等边三角形，所以 DE AB ． 当平面 ADB  平面 ABC 时， 因为平面 ADB  平面 ABC AB ， 所以 DE  平面 ABC ， 可知 DE CE 由 已 知 可 得 3 1DE EC ， ， 在 DECRt△ 中 ， 2 2 2CD DE EC   ． （Ⅱ）当 ADB△ 以 AB 为轴转动时，总有 AB CD ． 证明： （ⅰ）当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC BC AD BD= ， ， 所以C D， 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB CD ． （ⅱ）当 D 不在平面 ABC 内时，由（Ⅰ）知 AB DE ．又因 AC BC ，所以 AB CE ． 又 DE CE， 为相交直线，所以 AB  平面CDE ，由CD  平面CDE ，得 AB CD ． 综上所述，总有 AB CD ． 19．（本小题满分 12 分）设函数 2( ) ln(2 3)f x x x   （Ⅰ）讨论 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）求 ( )f x 在区间 3 1 4 4     ， 的最大值和最小值． 解： ( )f x 的定义域为 3 2      ， ∞ ． D B A C E D B C A （Ⅰ） 22 4 6 2 2(2 1)( 1)( ) 22 3 2 3 2 3 x x x xf x xx x x           ． 当 3 12 x    时， ( ) 0f x  ；当 11 2x    时， ( ) 0f x  ；当 1 2x   时， ( ) 0f x  ． 从而， ( )f x 分别在区间 3 12      ， ， 1 2      ， ∞ 单调增加，在区间 11 2      ， 单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ( )f x 在区间 3 1 4 4     ， 的最小值为 1 1ln 22 4f       ． 又 3 1 3 9 7 1 3 1 1 49ln ln ln 1 ln4 4 2 16 2 16 7 2 2 6f f                         0 ． 所以 ( )f x 在区间 3 1 4 4     ， 的最大值为 1 1 7ln4 16 2f       ． 20．（本小题满分 12 分）设有关于 x 的一元二次方程 2 22 0x ax b   ． （Ⅰ）若 a 是从 01 2 3，，，四个数中任取的一个数，b 是从 01 2，，三个数中任取的一个数， 求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若 a 是从区间[0 3]， 任取的一个数，b 是从区间[0 2]， 任取的一个数， 求上述方程有实根的概率． 解：设事件 A 为“方程 2 22 0a ax b   有实根”． 当 0a  ， 0b  时，方程 2 22 0x ax b   有实根的充要条件为 a b≥ ． （Ⅰ）基本事件共 12 个： (0 0) (01) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (21) (2 2) (3 0) (31) (3 2)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ． 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件 A 中包含 9 个基本事件，事件 A 发生的概率为 9 3( ) 12 4P A   ． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为 ( ) | 0 3 0 2a b a b， ，≤ ≤ ≤ ≤ ． 构成事件 A 的区域为 ( ) | 0 3 0 2a b a b a b， ， ，≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ． 所以所求的概率为 213 2 2 22 3 2 3      ． 21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 2 2 12 32 0x y x    的圆心为Q ，过点 (0 2)P ， 且斜率为 k 的直线与圆Q 相交于不同的两点 A B， ． （Ⅰ）求 k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在常数 k ，使得向量OA OB  与 PQ  共线？如果存在，求 k 值； 如果不存在，请说明理由． 解： （Ⅰ）圆的方程可写成 2 2( 6) 4x y   ，所以圆心为 (6 0)Q ， ，过 (0 2)P ， 且斜率为 k 的直线方程为 2y kx  ． 代入圆方程得 2 2( 2) 12 32 0x kx x     ， 整理得 2 2(1 ) 4( 3) 36 0k x k x     ． ① 直线与圆交于两个不同的点 A B， 等价于 2 2 2 2[4( 3) ] 4 36(1 ) 4 ( 8 6 ) 0k k k k          ， 解得 3 04 k   ，即 k 的取值范围为 3 04     ， ． （Ⅱ）设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，则 1 2 1 2( )OA OB x x y y     ， ， 由方程①， 1 2 2 4( 3) 1 kx x k     ② 又 1 2 1 2( ) 4y y k x x    ． ③ 而 (0 2) (6 0) (6 2)P Q PQ  ，， ，， ， ． 所以OA OB  与 PQ  共线等价于 1 2 1 2( ) 6( )x x y y   ， 将②③代入上式，解得 3 4k   ． 由（Ⅰ）知 3 04k     ， ，故没有符合题意的常数 k ． 22．请考生在Ａ、Ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，已知 AP 是 O 的切线， P 为切点， AC 是 O 的割线，与 O 交于 B C， 两点，圆心O 在 PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点． （Ⅰ）证明 A P O M， ， ， 四点共圆； （Ⅱ）求 OAM APM   的大小． （Ⅰ）证明：连结OP OM， ． 因为 AP 与 O 相切于点 P ，所以OP AP ． 因为 M 是 O 的弦 BC 的中点，所以OM BC ． 于是 180OPA OMA    °． 由圆心 O 在 PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补， 所以 A P O M， ， ， 四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 A P O M， ， ， 四点共圆，所以 OAM OPM   ． 由（Ⅰ）得OP AP ． 由圆心 O 在 PAC 的内部，可知 90OPM APM    °． 所以 90OAM APM    °． A P O M C B A P O M C B 22．Ｂ（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 1O 和 2O 的极坐标方程分别为 4cos 4sin     ， ． （Ⅰ）把 1O 和 2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过 1O ， 2O 交点的直线的直角坐标方程． 解：以有点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ） cosx   ， siny   ，由 4cos  得 2 4 cos   ． 所以 2 2 4x y x  ． 即 2 2 4 0x y x   为 1O 的直角坐标方程． 同理 2 2 4 0x y y   为 2O 的直角坐标方程． （Ⅱ）由 2 2 2 2 4 0 4 0 x y x x y y        解得 1 1 0 0 x y    ， ， 2 2 2 2 x y     ． 即 1O ， 2O 交于点 (0 0)， 和 (2 2)， ． 过交点的直线的直角坐标方程为 y x  ．