高考数学分类汇编——函数与导数

高考数学分类汇编——函数与导数

1．（安徽）（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （A） （B） （C） （D） 答案：A 2.（安徽）9、函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是 （ ） （A） ， ， （B） ， ， （C） ， ， （D） ， ， 3.（安徽） 15. 设 ，其中 均为实数，下列条件中，使得该 三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号） ； ； ； ; . 4.（北京）7．如图，函数 的图像为折线 ，则不等式 的解集是 A． B． C． D． 答案 C 5.（北京）8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 A B O x y -1 2 2 C y cos x= y sin x= y nl x= 2 1y x= + ( ) ( )2 ax bf x x c += + 0a > 0b > 0c < 0a < 0b > 0c > 0a < 0b > 0c < 0a < 0b < 0c < 3 0x ax b+ + = ,a b (1) 3, 3a b= − = − (2) 3, 2a b= − = (3) 3, 2a b= − > (4) 0, 2a b= = (5) 1, 2a b= = ( )f x ACB ( ) ( )2log 1f x x +≥ { }| 1 0x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ ≤ { }| 1 1x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤ B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 6.（福建）2、下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. 答案：D 7.(福建) 10、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是 A. B. C. D. 答案：C 8.（新课标 1）12.设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a 1，若存在唯一的 整数 x0，使得 f(x0) 0，则 a 的取值范围是( ) A.[ ，1) B. [ ) C. [ ) D. [ ，1) 答案：D 9.（新课标 1）(13)若函数 f(x)＝xln(x＋ )为偶函数，则 a＝ 答案：1 10.（新课标 2）（5）设函数 f（x）= 则 f（-2）+f （ ）= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 11.（新课标 2）（12）设函数 f’(x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数，f(-1)=0，当 x>0 时，x f’(x)- f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是（ ） （A）（ ，-1）∪（0,1） （B）（ ，0）∪（1,+ ） （C）（ ，-1）∪（-1,0） （D）（ ，1）∪（1,+ ） 12.（广东）3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B． C． D． y x= siny x= cosy x= x xy e e−= − R ( )f x ( )0 1f = − ( )f x′ ( ) 1f x k′ > > 1 1f k k   <   1 1 1f k k   >  −  1 1 1 1f k k   < − −  1 1 1 kf k k   > − −  3 2e − 3 3,2 4e − 3 3,2 4e 3 2e 2a x+ 21y x= + 1y x x = + 12 2 x xy = + xy x e= + 13. （ 湖 北 ） 6 ． 已 知 符 号 函 数 是 上 的 增 函 数 ， ，则 A． 　 B． C． D． 答案：B 14.（湖北）12．函数 的零点个数 为 ． 答案：2 15.（湖南）5.设函数 ，则 是（ ） A.奇函数，且在 上是增函数 B. 奇函数，且在 上是减函数 C. 偶函数，且在 上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数 答案：A 16.（湖南）15.已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零 点，则 a 的取值范围是 . 答案：（ ） （ ） 17. （ 江 苏 ） 13. 已 知 函 数 ， ， 则 方 程 实根的个数为 。答案 4 18. （山东）（10）设函数 f(x)= ,则满足 f(f(a))= 的 a 的 取值范围是（） （A）[ ,1]（B）[0,1] （C）[ （D）[1, + 答案：C 19.（山东）(14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 1, 0, sgn 0, 0, 1, 0. x x x x > = = − < ( )f x R ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a= − > sgn[ ( )] sgng x x= sgn[ ( )] sgng x x= − sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x= sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x= − 2 π( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1) |2 2 xf x x x x= − − − + ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x= + − − ( )f x (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) 3 2 ,( ) , x x af x x x a  ≤=  > b ( ) ( )g x f x b= − ,0−∞ ∪ 1,+∞ |ln|)( xxf =    >−− ≤<= 1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg 1|)()(| =+ xgxf ( ) ( 0, 1)xf x a b a a= + > ≠ [ ]1,0− a b+ = 答案： 20. （ 陕 西 ） 9. 设 ， 若 ， ， ，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 答案：B 21.（陕西）12.对二次函数 （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结 论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A．-1 是 的零点 B．1 是 的极值点 C．3 是 的极值 D.点 在曲线 上 答案：A 22.（陕西）15.设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点 p 处的切线垂直， 则 P 的坐标为 答案：（1,1） 23.（四川）9. 如果函数 在区间 单 调递减，则 mn 的最大值为 （A）16 （B）18 （C）25 （D） 答案：B 24.（四川）13.某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关 系 （ 为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0 的保鲜时间 设计 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 小 时。 答案：24 25.（四川）15.已知函数 ， （其中 ）。对于不相等的实数 ，设 ， ， 现有如下命题： （1）对于任意不相等的实数 ，都有 ； 3 2 − ( ) ln ,0f x x a b= < < ( )p f ab= ( )2 a bq f += 1 ( ( ) ( ))2r f a f b= + q r p= < q r p= > p r q= < p r q= > 2( )f x ax bx c= + + ( )f x ( )f x ( )f x (2,8) ( )y f x= xy e= 1 ( 0)y xx = > ( ) ( ) ( ) ( )21 2 8 1 0 02f x m x n x m n= − + − + ≥ ≥， 1 22     ， 81 2 C bkxey += 718.2=e C C C xxf 2)( = axxxg += 2)( Ra∈ 21, xx 21 21 )()( xx xfxfm − −= 21 21 )()( xx xgxgn − −= 21, xx 0>m （2）对于任意的 a 及任意不相等的实数 ，都有 ； （3）对于任意的 a，存在不相等的实数 ，使得 ； （4）对于任意的 a，存在不相等的实数 ，使得 。 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。 答案：①④ 26.（天津）（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为 （A） （B） （C） （D） 答案：C 27.（天津）（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 答案：D 28.（浙江）7.存在函数 满足，对于任意 都有（ ） A. B. C. D. 答案：D 29.（安徽）21.设函数 . （1）讨论函数 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记 上的最大值 D； ( )f x x R∈ (sin 2 ) sinf x x= 2(sin 2 )f x x x= + 2( 1) 1f x x+ = + 2( 2 ) 1f x x x+ = + 21, xx 0>n 21, xx nm = 21, xx nm −= R ( ) 2 1x mf x −= − m ( ) ( )0.5 2(log 3), log 5 , 2a f b f c f m= = = , ,a b c a b c< < a c b< < c a b< < c b a< < ( ) ( )2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x  − ≤=  − > ( ) ( )2g x b f x= − − b R∈ ( ) ( )y f x g x= − b 7 ,4  +∞   7, 4  −∞   70, 4      7 ,24      2( )f x x ax b= − + (sin ) 2 2f x π π在( - , ) 2 0 0 0 0( ) , (sin ) (sin )f x x a x b f x f x= − + −求函数 在 2 2 π π ( - , ) （3）在（2）中，取 30.（北京）18．（本小题 13 分） 已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当 时， ； （Ⅲ）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值． 解：（I）因为 =ln（1+x）-ln（1-x），所以 = ， =2. 又因为 =0，所以曲线 y= 在点（0 ， ）处的切线方程为 y=2x. （Ⅱ）令 = -2(x+ )，则 = -2（1+ ）= . 因为 >0（0 =0，x∈（0，1）， 即当 x∈（0，1）时， >2(x+ ). （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 k《2 时， >k(x+ )对 x∈（0，1）恒成立. 当 k>2 时，令 = - k(x+ )，则 = -k（1+ ）= . 所以当 时， <0，因此 在区间（0， ）上单调递 减. 当 时， < =0，即 < k(x+ ). 所以当 K>2 时， > k(x+ )并非对 x∈（0，1）恒成立. 综上可知，k 的最大值为 2。 31.（福建）20.已知函数 ， (1)证明：当 ； 2 0 0 0, D 14 aa b z b= = = − ≤求 满足 时的最大值。 ( ) 1ln1 xf x x += − ( )y f x= ( )( )0 0f， ( )0 1x∈ ， ( ) 3 2 3 xf x x  > +   k ( ) 3 3 xf x k x  > +   ( )0 1x∈ ， k ( )f x ( )f x′ 1 1 1 1x x ++ − (0)f ′ (0)f ( )f x (0)f ( )g x ( )f x 3 3 x ( )g x′ ( )f x′ 2x 4 2 2 1 x x− ( )g x′ ( )g x ( )g x (0)g ( )f x 3 3 x ( )f x 3 3 x ( )h x ( )f x 3 3 x ( )h x′ ( )f x′ 2x 4 2 2 1 kx k x + − − 4 20 kx k −< < ( )h x′ ( )h x 4 2k k − 4 20 kx k −< < ( )h x (0)h ( )f x 3 3 x ( )f x 3 3 x f( ) ln(1 )x x= + ( ) ,(k ),g x kx R= Î 0x x x> <时，f ( ) (2)证明：当 时，存在 ,使得对 (3)确定 k 的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 . 解法一：(1)令 则有 当 ,所以 在 上单调递减, 故当 . (2)令 则有 当 ,所以 在 上单调递增, 故对任意正实数 均满足题意. 当 . 取 , 所 以 在 上 单 调 递 增 , ,即 . 综上，当 时，总存在 ,使得对任意的 . (3)当 时，由（1）知，对于 ， ， 令 ， 则 有 故 当 时 ， , 在 上单调递增，故 ,即 ,所以 满足题意的 t 不存在. 当 时，由（2）知存在 ,使得对任意的 . 此时 , 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 f( ) ( )x g x> ； 0t > (0 ),xÎ ，t 2| f( ) ( ) |x g x x- < ( ) f( ) ln(1 ) , [0, ),F x x x x x x= - = + - Î +¥ 1( ) 11+ 1+ xF x x x ¢ = - = - [0, ),xÎ +¥ ( ) 0F x¢ < ( )F x [0, )+¥ 0 ( ) (0) 0, 0x F x F x x x> < = > <时， 即当 时，f ( ) G( ) f( ) ( ) ln(1 ) , [0, ),x x g x x kx x= - = + - Î +¥ 1 (1 k)( ) 1+ 1+ kxG x kx x - + -¢ = - = 0k £ G ( ) 0x¢ > G( )x [0, )+¥ G( ) (0) 0x G> = 0x 1 10 1 ( ) 0, = 1 0kk x x k k -¢< < = = - >时，令G 得 0 0 1= 1 (0, ), G ( ) 0x x x xk ¢- Î >，对任意 恒有 G( )x 0[0,x ) G( ) (0) 0x G> = f( ) ( )x g x> 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 f( ) ( )x g x> 1k > (0, ),x" Î ¥+ ( ) f( ) ( ) f( )g x x x g x x> > >，故 | f( ) ( ) | ( ) ( ) k ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + 2M( ) k ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - Î ¥，+ 21 -2 +(k-2) 1M ( ) k 2 = ,1 1 x x kx xx x + -¢ = - -+ + 22 (k 2) 8(k 1)0 )4 kx - + - + -Î（ ， M ( ) 0x¢ > M( )x 22 (k 2) 8(k 1)[0 )4 k - + - + -， M( ) M(0) 0x > = 2| f( ) ( ) |x g x x- > 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 f( ) ( )x g x> | f( ) ( ) | f( ) ( ) ln(1 ) kx g x x g x x x- = - = + - 令 ， 则 有 故 当 时 ， , 在 上单调递增，故 ,即 ,记 与 中较小的为 ， 则当 ，故满足题意的 t 不存在. 当 ，由（1）知， ， 令 ，则有 当 时， ,所以 在 上单调递减，故 , 故当 时，恒有 ,此时，任意实数 t 满足题意. 综上， . 解法二：（1）（2）同解法一. （3）当 时，由（1）知，对于 ， 故 ， 令 ， 从而得到当 时， 恒有 ,所以满足题意的 t 不存在. 当 时，取 由（2）知存在 ,使得 . 此时 , 令 ，此时 , 2N( ) ln(1 ) k , [0 )x x x x x= + - - Î ¥，+ 21 -2 -(k+2) 1M ( ) 2 = ,1 1 x x kx k xx x - +¢ = - -+ + 2( +2 (k +2) 8(1 k)0 )4 kx - + + -Î ）（ ， N ( ) 0x¢ > M( )x 2( 2) (k 2) 8(1 k)[0 )4 k- + + + + -， N( ) (0) 0x N> = 2f( ) ( )x g x x- > 0x 2( 2) (k 2) 8(1 k) 4 k- + + + + - 1x 2 1(0 ) | f( ) ( ) |x x x g x xÎ - >， 时，恒有 =1k (0, ),xÎ ¥当 + | f( ) ( ) | ( ) ( ) ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + 2H( ) ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - Î ¥，+ 21 -2H ( ) 1 2 = ,1 1 x xx xx x -¢ = - -+ + 0x > H ( ) 0x¢ < H( )x [0 +¥， ） H( ) (0) 0x H< = 0x > 2| f( ) ( ) |x g x x- < =1k 1k > (0, ),x" Î ¥+ ( ) f( )g x x x> > ， | f( ) ( ) | ( ) ( ) k ln(1 ) k (k 1)x g x g x f x x x x x x- = - = - + > - = - 2(k 1) , 0 1x x x k- > < < -解得 1k > (0, 1)x kÎ -对于 2| f( ) ( ) |x g x x- > 1k < 1 1 k+1= 12k k k< <，从而 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 1f( ) ( )x k x kx g x> > = 1 1| f( ) ( ) | f( ) ( ) ( k) 2 kx g x x g x k x x-- = - > - = 21 k 1 k, 02 2x x x- -> < <解得 2f( ) ( )x g x x- > 记 与 中较小的为 ，则当 ， 故满足题意的 t 不存在. 当 ，由（1）知， ， 令 ，则有 当 时， ,所以 在 上单调递减，故 , 故当 时，恒有 ,此时，任意实数 t 满足题意. 综上， . 32.（新课标 1）(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线； (Ⅱ)用 表示 m，n 中的最小值，设函数 ， 讨论 h(x)零点的个数 解析：（21）解： （I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 因此，当 （II）当 是 的零点 0x 1-k 2 1x 2 1(0 ) | f( ) ( ) |x x x g x xÎ - >， 时，恒有 =1k (0, ),xÎ ¥当 + | f( ) ( ) | ( ) ( ) ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + 2M( ) ln(1 ) , [0 )x x x x x= − + − ∈ ∞，+ 21 2M ( ) 1 2 ,1 1 x xx xx x − −′ = − − =+ + 0x > M ( ) 0x¢ < M( )x [0 +∞， ） M( ) M(0) 0x < = 0x > 2| f( ) ( ) |x g x x- < =1k 3 1 , ( ) ln4x ax g x x+ + = − ( )y f x= min { },m n }{( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x= > 0 0 0 3 0 0 2 0 0 ( ,0) ( ) 0, ( ) 0 1 04 3 0 1 3,2 4 x f x f x x ax x a a = =  + + =    + =  = − 则 即 解得x 3 x y ( )4a f x= − =时， 轴为曲线 的切线 { }x (1, ) ( ) 1 0, ( ), ( ) ( ) 0, h( ) (1, )g x nx f x g x g x x∈ +∞ = − < ≤ < +∞时， 从而h( x) =mi n 故 在 无零点 { }5 5x 1 (1) 0, (1) min (1), (1) (1) 0, x4 4a f a h f g g= ≥ − = + ≥ = = = =当 时，若 则 故 { }5( ) a , (1), (1) (1) 0, 1 (4h x f g f x h x< − = < =的零点；若 则f ( 1) <0, h( 1) =mi n 故 不是 x (0,1) g( ) 1 0. fx nx∈ = − >当 时， 所以只需考虑 ( x) 在（0, 1）的零点个数 2i a a f′≤ ≥（ ）若 - 3或 0, 则 （x）=3x +a在（1, 0）无零点，故f ( x) 在（0, 1）单调 综上，当 33.（广东）19. （本小题满分 14 分） 设 ，函数 (1) 求 的单调区间； (2) 证明 在 上仅有一个零点； (3) 若曲线 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 处的切线与直线 OP 平 行，（O 是坐标原点），证明： . （湖北）22．（本小题满分 14 分） 已知数列 的各项均为正数， ，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数 的单调区间，并比较 与 e 的大小； 1 5f (0) , (1) , f a f4 4f a= + ≤ ≥所以当a - 3时， ( x) 在（0, 1）有一个零点；当 0时 ( x) 在（1, 0）没有零点 a a( ) 3 0, f ( ) 0 ) ,13 3ii a x− < < − −若 则 在（ ， 单调递减，在（ ）单调递增，故在（0, 1）中 3 2 1( ) f ( )3 3 3 4 a a a ax f x= − − = − +当 时， 取得最小值，最小值为 3( ) 0. 0, ( )3 4 3f a f ( ) (0,1)3 4 3 1 5 3( ) 0, 3 , (0) , (1)3 4 4 4 4 af a f x a x af a f f a a − > − < < − − < − < < − = = + < < − ①若 即 在（0, 1）无零点； ②若 ( ) =0, 即 =- 则 在 有唯一零点 ③若 即 由于 5( ) f ( ) (0,1) .4f x x≤时， 在（0, 1）有两个零点；当- 3 − = − = −或 时， 有一个零点；当 或 时， 有两个零点 5 3 h( ) .4 4a x− < < −当 时， 有三个零点 1a > 2( ) (1 ) xf x x e a= + − ( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ ( )y f x= M（m, n） 3 2 1m a e ≤ − − { }na 1(1 ) ( )n n nb n a nn += + ∈N ( ) 1 exf x x= + − 1(1 )n n + （Ⅱ）计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： . 解析：（Ⅰ） 的定义域为 ， . 当 ，即 时， 单调递增； 当 ，即 时， 单调递减. 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 当 时， ，即 . 令 ，得 ，即 . ① （Ⅱ） ； ； . 由此推测： ② 下面用数学归纳法证明②. （1）当 时，左边 右边 ，②成立. （2）假设当 时，②成立，即 . 当 时， ，由归纳假设可得 . 所以当 时，②也成立. 根据（1）（2），可知②对一切正整数 n 都成立. （Ⅲ）由 的定义，②，算术-几何平均不等式， 的定义及①得 1 1 b a 1 2 1 2 b b a a 1 2 3 1 2 3 b b b a a a 1 2 1 2 n n b b b a a a   1 1 2( )n n nc a a a=  { }na { }nc n nS nT en nT S< ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) 1 exf x′ = − ( ) 0f x′ > 0x < ( )f x ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0f x f< = 1 exx+ < 1x n = 111 en n + < 1(1 ) en n + < 11 1 11 (1 ) 1 1 21 b a = ⋅ + = + = 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 12 2(1 ) (2 1) 32 b b b b a a a a = ⋅ = ⋅ + = + = 2 3 3 31 2 3 31 2 1 2 3 1 2 3 13 3(1 ) (3 1) 43 b b b bb b a a a a a a = ⋅ = ⋅ + = + = 1 2 1 2 ( 1) .nn n b b b na a a = +  1n = = 2= n k= 1 2 1 2 ( 1)kk k b b b ka a a = +  1n k= + 1 1 1 1( 1)(1 )1 k k kb k ak + + += + + + 1 11 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1( 1) ( 1)(1 ) ( 2)1 k k kk k k k k k k k b b b b b b b b k k ka a a a a a a a k + ++ + + + = ⋅ = + + + = ++     1n k= + nc nb 1 2 3n nT c c c c= + + + + = 1 11 1 31 2 1 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )n na a a a a a a a a+ + + +  1 11 1 31 2 1 2 3 1 21 1 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 3 4 1 n nb b b b b bb b b n = + + + + +  1 2 3 1 21 1 2 1 2 2 3 3 4 ( 1) nb b b b b bb b b n n + + + + ++≤ + + + +× × × +  1 2 1 1 1 1 1 1 1[ ] [ ]1 2 2 3 ( 1) 2 3 3 4 ( 1) ( 1)nb b bn n n n n n = + + + + + + + + + ⋅× × + × × + +   1 2 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )1 2 1 1nb b bn n n n = − + − + + −+ + + 1 2 1 2 nbb b n < + + + 1 2 1 2 1 1 1(1 ) (1 ) (1 )1 2 n na a an = + + + + + + . 即 . 34.（湖南）21.已知 ，函数 . 记 为 的从小到大的 第 n 个极值点,证明： （1）数列 是等比数列 （2）若 ，则对一切 ， 恒成立. 解析：21、证明：（I） 其中 tan = ，0< < . 令 =0，由 x 得 x+ =mx, 即 x= - ，m . 对 k N，若 2k 0； 若（2k+1） ( ) sin ( [0, ))axf x e x x= ∈ +∞ nx ( )f x *( )n N∈ { ( )}nf x 2 1 1 a e ≥ − *n N∈ | ( ) |n nx f x< ' ( ) sin cosax axf x ae x e x= + ( sin cos )axe a x x= + 2 1 sin( )axa e x ρ= + + ρ 1 a ρ 2 π ' ( )f x 0≥ ρ mπ ρ ∈ *N ∈ π ρ π π ρ π ρ ' ( )f x π ρ π π ρ π ρ ' ( )f x π π ρ π ρ π ' ( )f x π ρ *N∈ ( )f x *( )nx n n Nπ ρ ∈= − ( ) ( )1 sin( )( ) ( 1) sin .a n a nn nx e nf eπ ρ π ρπ ρ ρ− −+= − = − ( )nf x ≠ ( ) ( ) 1 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1 s n in) i s an ax n n n a n n f ef x e x e π ρ π ρ ρ ρ + −  −+  + +−= = − − { }( )nf x 1( )f x ( ) sina ne π ρ ρ− axe− sin ρ 2 1 1a + *n N∈ nx ( )nf x ( ) 2 1 1 a n a n e π ρπ ρ − + − < （ ） 恒成立（因为 a>0） 设 g（t）= （t）0），则 .令 =0 得 t=1 当 01 时， ，所以 g（t）在区间（0,1）上单调递增. 从而当 t=1 时，函数 g（t）取得最小值 g（1）=e 因此，要是（ ）式恒成立，只需 ，即只需 . 而当 a= 时，tan = = 且 .于是 ，且当 n 时， .因此对一切 , ，所以 g（ ） .故（ ）式亦恒成立. 综上所述，若 a ，则对一切 ， 恒成立. 35.（江苏）19.（本小题满分 16 分） 已知函数 。 （1）试讨论 的单调性； （2）若 （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 有三个不同的零点时，a 的取 值范围恰好是 ，求 c 的值。 解：（1） ，令 ，解得 ， ． 当 时，因为 （ ），所以函数 在 上单调递增； 当 时， 时， ， 时， ， ( ) ( ) 2 1 a na e a a n π ρ π ρ − < − + • te t 2 ' ( 1)t g t e t t −（ ）= 'g t（ ） 'g t（ ）<0 'g t（ ）>0 • 2 ( )1 1ga ea <+ = 2 1 1 a e > − 2 1 1e − ρ 1 a 2 1e − 3> 0 2 πρ< < 22 13 e ππ ρ− < < − 2≥ 22 13 2 en ππ ρ π ρ− ≥ − ≥ −> *n N∈ 2 1 1n nax e π ρ − −= ≠ nax 2 1(1) ag e a +> = = • ≥ 2 1 1e − *n N∈ ( ) ||n nx xf< ),()( 23 Rbabaxxxf ∈++= )(xf acb −= )(xf ),2 3()2 3,1()3,( +∞−−∞  ( ) 23 2f x x ax′ = + ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 2 3 ax = − 0a = ( ) 23 0f x x′ = > 0x ≠ ( )f x ( ),−∞ +∞ 0a > ( )2, 0,3 ax  ∈ −∞ − +∞   ( ) 0f x′ > 2 ,03 ax  ∈ −   ( ) 0f x′ < 所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 时， ， 时， ， 所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． （2）由（1）知，函数 的两个极值为 ， ，则函数 有三个 零点等价于 ，从而 或 ． 又 ，所以当 时， 或当 时， ． 设 ，因为函数 有三个零点时， 的取值范围恰好是 ，则在 上 ，且在 上 均恒成立， 从而 ，且 ，因此 ． 此时， ， 因函数有三个零点，则 有两个异于 的不等实根， 所以 ，且 ， 解得 ． ( )f x 2, 3 a −∞ −   ( )0,+∞ 2 ,03 a −   0a < ( ) 2,0 ,3 ax  ∈ −∞ − +∞   ( ) 0f x′ > 20, 3 ax  ∈ −   ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),0−∞ 2 ,3 a − +∞   20, 3 a −   ( )f x ( )0f b= 32 4 3 27 af a b − = +   ( )f x ( ) 32 40 03 27 af f b a b   ⋅ − = + <       3 0 4 027 a a b >− < < 3 0 40 27 a b a < < < − b c a= − 0a > 34 027 a a c− + > 0a < 34 027 a a c− + < ( ) 34 27g a a a c= − + ( )f x a ( ) 3 3, 3 1, ,2 2    −∞ − +∞        ( ), 3−∞ − ( ) 0g a < 3 31, ,2 2    +∞       ( ) 0g a > ( )3 1 0g c− = − ≤ 3 1 02g c  = − ≥   1c = ( ) ( ) ( )3 2 21 1 1 1f x x ax a x x a x a = + + − = + + − + −  ( )2 1 1 0x a x a+ − + − = 1− ( ) ( )2 21 4 1 2 3 0a a a a∆ = − − − = + − > ( ) ( )21 1 1 0a a− − − + − ≠ ( ) 3 3, 3 1, ,2 2a    ∈ −∞ − +∞        综上 ． 36.（山东）(21)(本小题满分 14 分) 设函数 ，其中 。 （Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若 >0， 成立，求 的取值范围。 解：（Ⅰ）由题意知 函数 的定义域为 ， ， 令 ， （1）当 时， ， 此时 ，函数 在 单调递增，无极值点； （2）当 时， ， ①当 时， ， , ，函数 在 单调递增，无极值点； ②当 时， ， 设方程 的两根为 ， 因为 ， 所以 ， 由 ，可得 ， 所以 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增； 因此 函数有两个极值点。 （3）当 时， ， 1c = 2( )= ( +1)+ ( - )f x In x x xα Rα ∈ ( )f x χ∀ ( )χf 0≥ α )(xf ),1( +∞ 1 12)12(1 1)( 2 + +−+=−++=′ x aaxaxxaxxf ),1(,12)( 2 +∞−∈+−+= xaaxaxxg 0=a 1)( =xg 0)( >′ xf )(xf ),1( +∞− 0>a )89()1(82 −=−−=∆ aaaaa 9 80 ≤< a 0≤∆ 0)( ≥xg 0)( ≥′ xf )(xf ),1( +∞− 9 8>a 0>∆ 012 2 =+−+ aaxax )(, 2121 xxxx < 2 1 21 −=+ xx 4 1,4 1 21 −>−< xx 01)1( >=−g 4 11 1 −<<− x ),1( 1xx −∈ 0)(,0)( >′> xfxg )(xf ),( 21 xxx ∈ 0)(,0),( <′< xfxg )(xf )( 2 ∞+∈ xx 0)(,0)( >′> xfxg )(xf 0∆ 由 ，可得 ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减； 所以函数有一个极值点。 综上所述： 当 时，函数 有一个极值点； 当 时，函数 无极值点； 当 时，函数 有两个极值点。 （II）由（I）知， （1）当 时，函数 在 上单调递增， 因为 ， 所以 时， ，符合题意； （2）当 时，由 ，得 ， 所以 函数 在 上单调递增， 又 ，所以 时， ，符合题意； （3）当 时，由 ，可得 ， 所以 时，函数 单调递减； 因为 ， 所以 时， ，不合题意； （4）当 时，设 ， 因为 时， 所以 在 上单调递增。 因此 当 时， ， 即 ， 01)1( >=−g 11 −′> xfxg )(xf )( 2 ∞+∈ xx 0)(,0)( <′< xfxg )(xf 0a )(xf 9 80 ≤≤ a )(xf ),0( +∞ 0)0( =f ),0( +∞∈x 0)( >xf 19 8 ≤< a 0)0( >g 02 ≤x )(xf ),0( +∞ 0)0( =f ),0( +∞∈x 0)( >xf 1>a 0)0( x 2(0, )x x∈ )(xf 0)0( =f ),0( 2xx ∈ 0)( +=+−=′ x x xxh )(xh ),0( +∞ ),0( +∞∈x ( ) (0) 0h x h> = xx <+ )1ln( 可得 ， 当 时， ， 此时 ，不合题意， 综上所述， 的取值范围是 37.（四川）21.已知函数 （1）设 （2）证明：存在 解析： （I）由已知，函数 的定义域为 ， ， 所以 . 当 时， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减； 当 时， 在区间 上单调递增. （II）由 ，解得 . 令 . 则 ，. 故存在 ，使得 . 令 ，. xaaxxxaxxf )1()()( 22 −+=−+< ax 11−> 0)1(2 <−+ xaax 0)( 其中 ( ) ( ) ( )g x f x g x是 的导函数，讨论 的单调性； (0,1), ( ) 0 ( ) 0 .a f x f x∈ ≥ ∞ = ∞使得 在区间( 1, + ) 内恒成立，且 在( 1, + ) 内有唯一解 ( )f x (0, )+∞ ( ) ( ) 2 2 2ln 2(1 )ag x f x x a x x ′= = − − − + 2 2 2 1 12( ) 2( )2 2 2 4( ) 2 x aag x x x x − + − ′ = − + = 10 4a< < ( )g x 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2 a a− − + − +∞ 1 1 4 1 1 4( , )2 2 a a− − + − 1 4a ≥ ( )g x (0, )+∞ ( ) 2 2 2ln 2(1 ) 0af x x a x x ′ = − − − + = 1 1 ln 1 x xa x− − −= + 2 2 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln( ) 2( )ln 2( ) 2( )1 1 1 1 x x x x x x x xx x x x xx x x x ϕ − − − − − − − − − − − −= − + + − − ++ + + + 2 1 1 ( 2) 2(1) 1 0, ( ) ) 2( ) 01 1 e e ee e e ϕ ϕ − − − −= > = − − <+ + 0 (1, )x e∈ 0( ) 0xϕ = 0 0 0 1 0 1 ln , ( ) 1 ln ( 1)1 x xa u x x x xx − − −= = − − ≥+ 由 知，函数 在区间 上单调递增. 所以 . 即 . 当 时，有 ，. 由（1）知，函数 在区间 上单调递增. 故当 时，有 ，从而 ； 当 时，有 ，从而 ； 所以，当 时， . 综上所述，存在 ，使得 在区间 内恒成立，且 在 内有唯一解. 38.（天津）20. （本小题满分 14 分） 已知函数 ，其中 . (I)讨论 的单调性； (II)设曲线 与 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 , 求证：对于任意的正实数 ，都有 ； (III) 若 关 于 的 方 程 有 两 个 正 实 根 ， 求 证 ： . 解析： （I）解：由 = ，可得 = = ，其中 ， 且 . 下面分两种情况讨论： （1）当 为奇数时. 令 =0，解得 ，或 . 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 1( ) 1 0u x x ′ = − ≥ ( )u x (1, )+∞ 0 01 1 1 0 ( )(1) ( ) 20 11 1 1 1 1 u xu u e eax e e− − − −= < = < = <+ + + + 0 (0,1)a ∈ 0a a= 0 0 0( ) 0, ( ) ( ) 0f x f x xϕ′ = = = ( )f x′ (1, )+∞ 0(1, )x x∈ 0( ) 0f x′ < 0( ) ( ) 0f x f x> = 0( , )x x∈ +∞ 0( ) 0f x′ > 0( ) ( ) 0f x f x> = (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ (0,1)a∈ ( ) 0f x ≥ ∞( 1, + ) ( ) 0f x = ∞( 1, + ) ( ) n ,nf x x x x R= − ∈ *n ,n 2N∈ ≥ ( )f x ( )y f x= x ( )y g x= x ( ) ( )f x g x≤ x ( )=a(a )f x 为实数 1 2x x， 2 1| - | 21 ax x n< +- ( )f x nnx x− ' ( )f x 1nn nx −− ( )11 nn x −− n N ∗∈ 2n ≥ n ' ( )f x 1x = 1x = − x ' ( )f x ( )f x x ( ), 1−∞ − ( )1,1− ( )1,+∞ - + - 所以， 在 ， 上单调递减，在 内单调递增。 （2）当 为偶数时. 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减. 所以， 在 上单调递增，在 上单调递减. （II）证明：设点 的坐标为 ，则 ， .曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .令 ，即 ，则 . 由于 在 上单调递减，故 在 上单调递 减.又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，所以 在 内单调递增，在 上单调递减，所以对于任 意的正实数 ，都有 ，即对于任意的正实数 ，都有 . （III）证明：不妨设 .由（II）知 .设方程 的根为 ，可得 ，当 时，在 上单调递减. 又由（II）知 ，可得 . 类似地，设曲线 在原点处的切线方程为 ，可得 ， 当 ， ， 即 对 于 任 意 的 ， . 设方程 的根为 ，可得 .因为 在 上单 ' ( )f x ( )f x    ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )1,1− n ' ( ) 0f x  1x  ( )f x ' ( ) 0f x  1x  ( )f x ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ P ( )0 ,0x 0 1 1 nx n −= ' 2 0( )f x n n= − y = ( )f x P ( )' 0 0( )y f x x x= − ' 0 0( ) ( )( )g x f x x x= − ( )( ) ( )F x f x g x= − ( ) ( )F x f x= ' 0 0( )( )f x x x− − ' '( ) ( )F x f x= ' 0( )f x− ' 1( ) nf x nx n−= − + ( )0,+∞ ' ( )F x ( )0,+∞ ' 0( ) 0F x = ( )00,x x∈ ' ( ) 0F x  ( )0 ,x x∈ +∞ ' ( ) 0F x  ( )F x ( )00, x ( )0 ,x +∞ x 0( ) ( ) 0F x F x≤ = x ( )f x ( )g x≤ 1 2x x≤ ( ) ( )( )2 0g x n n x x= − − ( )g x a= ' 2x ' 2 02 ax xn n = +− 2n ≥ ( ),−∞ +∞ ( ) ( ) ( )' 2 2 2g x f x a g x≥ = = ' 1 2x x≤ ( )y f x= ( )y h x= ( )h x nx= ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) 0nf x h x x− = −  ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x h x ( )h x a= ' 1x ' 1 ax n = ( )h x nx= ( ),−∞ +∞ 调递增，且 ，因此 . 由此可得 . 因为 ，所以 ，故 . 所以， . 39.（浙江）18.（本题满分 15 分） 已知函数 f（x）= +ax+b（a，b R）,记 M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。 （1）证明：当|a| 2 时，M（a，b） 2; （2）当 a，b 满足 M（a，b） 2 时，求|a|+|b|的最大值. 解析：（1）由 ，得对称轴为直线 ， 由 ，得 ， 故 在 上单调， ∴ ， 当 时，由 ， 得 ，即 ， 当 时，由 ， 得 ，即 ， 综上，当 时， ； （2）由 得 ， ， 2x ∈ ≥ ≥ ≤ ( ) ( ) ( )' 1 1 1h x a f x h x= =  ' 1 1x x ' ' 2 1 2 1 01 ax x x x xn − − = +− 2n ≥ ( ) 11 1 12 1 1 1 1 1nn nC n n−− −= + ≥ + = + − = 01 12 n xn −≥ = 2 1 21 ax x n − +− 2 2( ) ( )2 4 a af x x b= + + − 2 ax = − | | 2a ≥ | | 12 a− ≥ ( )f x [ 1,1]− ( , ) max{| (1) |,| ( 1) |}M a b f f= − 2a ≥ (1) ( 1) 2 4f f a− − = ≥ max{ (1), ( 1)} 2f f − ≥ ( , ) 2M a b ≥ 2a ≤ − ( 1) (1) 2 4f f a− − = − ≥ max{ ( 1), (1)} 2f f− − ≥ ( , ) 2M a b ≥ | | 2a ≥ ( , ) 2M a b ≥ ( , ) 2M a b ≤ |1 | | (1) | 2a b f+ + = ≤ |1 | | ( 1) | 2a b f− + = − ≤ 故 ， ， 由 ，得 ， 当 ， 时， ，且 在 上的最大值为 ，即 ， ∴ 的最大值为 . （重庆）（20）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 5 分） 设函数 。 （Ⅰ）若 在 x＝0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 在点 处 的切线方程； （Ⅱ）若 在 上为减函数，求 a 的取值范围。 解：（Ⅰ）对 求导得 因为 在 处取得极值，所以 即 . 当 时， = 故 从而 在点 （1， ）处的切线方程为 化简得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 令 由 解得 当 时， ，即 ，故 为减函数； 当 时， ，即 ，故 为增函数； | | 3a b+ ≤ | | 3a b− ≤ | |, 0| | | | | |, 0 a b aba b a b ab + ≥+ =  − < | | | | 3a b+ ≤ 2a = 1b = − | | | | 3a b+ = 2| 2 1|x x+ − [ 1,1]− 2 (2, 1) 2M − = | | | |a b+ 3 23( ) ( )x x axf x a Re += ∈ ( )f x ( )y f x= (1, (1))f ( )f x [ ]3,+∞ ( )f x 2 2 2 (6 ) (3 ) 3 (6 )'( ) ,( ) x x x x x a e x ax e x a x af x e e + − + − + − += = ( )f x 0x = '(0) 0f = 0a = 0a = ( )f x 2 23 3 6, '( ) ,x x x x xf xe e − += 3 3(1) , '(1) ,f fe e = = ( )f x (1)f 3 3 ( 1),y xe e − = − 3 0.x ey− = 23 (6 )'( ) .x x a x af x e − + − += 2( ) 3 (6 ) ,g x x a x a= − + − + ( ) 0g x = 2 2 1 2 6 36 6 36, .6 6 a a a ax x − − + − + += = 1x x< ( ) 0g x < '( ) 0f x < ( )f x 1 2x x x< < ( ) 0g x > '( ) 0f x > ( )f x 当 时， ，即 ，故 为减函数； 由 在 上为减函数，知 解得 故 的取值范围为 2x x> ( ) 0g x < '( ) 0f x < ( )f x ( )f x [ )3,+∞ 2 2 6 36 3,6 a ax − + += ≤ 9 ,2a ≥ − a 9 , .2  − +∞ 