2016年山东省高考文科数学真题及答案

2016年山东省高考文科数学真题及答案

2016 年山东省高考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项 中，只有一个是项符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则 ∁ U （A∪B）=（ ） A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} 2．（5 分）若复数 z= ，其中 i 为虚数单位，则 =（ ） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如 图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为 [17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图， 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．120 D．140 4．（5 分）若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ） A．4 B．9 C．10 D．12 5．（5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体 的体积为（ ） A． + π B． + π C． + π D．1+ π 6．（5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线 a 和直线 b 相 交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5 分）已知圆 M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 ， 则圆 M 与圆 N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 8．（5 分）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=c，a2=2b2（1 ﹣sinA），则 A=（ ） A． B． C． D． 9．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x ≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则 f（6）=（ ） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 10．（5 分）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的 切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（ ） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为 ． 12．（5 分）观察下列等式： （sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（ ）﹣2= ×2×3； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×3×4； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×4×5； … 照此规律， （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+（sin ）﹣2= ． 13．（5 分）已知向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4），若 ⊥（t + ），则实数 t 的 值为 ． 14．（5 分）已知双曲线 E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶点 在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 ． 15．（5 分）已知函数 f（x）= ，其中 m＞0，若存在实数 b， 使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16．（12 分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需 转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域 中的数．记两次记录的数分别为 x，y．奖励规则如下： ①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 17．（12 分）设 f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2． （Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（ ）的 值． 18．（12 分）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB． （Ⅰ）已知 AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB； （Ⅱ）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC． 19．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且 an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 20．（13 分）设 f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a ∈ R． （Ⅰ）令 g（x）=f′（x），求 g（x）的单调区间； （Ⅱ）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围． 21．（14 分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的长轴长为 4，焦距为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过动点 M（0，m）（m＞0）的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P（P 在 第一象限），且 M 是线段 PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延 长 QM 交 C 于点 B． （ⅰ）设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明 为定值； （ⅱ）求直线 AB 的斜率的最小值． 2016 年山东省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项 中，只有一个是项符合题目要求的. 1．（5 分）（2016•山东）设集合 U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3， 4，5}，则 ∁ U（A∪B）=（ ） A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} 【分析】求出 A 与 B 的并集，然后求解补集即可． 【解答】解：集合 U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}， 则 A∪B={1，3，4，5}． ∁ U（A∪B）={2，6}． 故选：A． 2．（5 分）（2016•山东）若复数 z= ，其中 i 为虚数单位，则 =（ ） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】根据复数的四则运算先求出 z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可． 【解答】解：∵z= = =1+i， ∴ =1﹣i， 故选：B 3．（5 分）（2016•山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时）， 制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数 据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据 直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．120 D．140 【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的 频率，进而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数． 【解答】解：自习时间不少于 22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于 22.5 小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D 4．（5 分）（2016•山东）若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ） A．4 B．9 C．10 D．12 【分析】由约束条件作出可行域，然后结合 x2+y2 的几何意义，即可行域内的动 点与原点距离的平方求得 x2+y2 的最大值． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 联立 ，解得 B（3，﹣1）． ∵ ， ∴x2+y2 的最大值是 10． 故选：C． 5．（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则 该几何体的体积为（ ） A． + π B． + π C． + π D．1+ π 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四 棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R= ． 故 R= ，故半球的体积为： = π， 棱锥的底面面积为：1，高为 1， 故棱锥的体积 V= ， 故组合体的体积为： + π， 故选：C 6．（5 分）（2016•山东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件 的定义，可得答案． 【解答】解：当“直线 a 和直线 b 相交”时，“平面α和平面β相交”成立， 当“平面α和平面β相交”时，“直线 a 和直线 b 相交”不一定成立， 故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件， 故选：A 7．（5 分）（2016•山东）已知圆 M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线 x+y=0 所得线 段的长度是 2 ，则圆 M 与圆 N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出 a 的值，结合两圆的位置关系进行 判断即可． 【解答】解：圆的标准方程为 M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0）， 则圆心为（0，a），半径 R=a， 圆心到直线 x+y=0 的距离 d= ， ∵圆 M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 ， ∴2 =2 =2 =2 ， 即 = ，即 a2=4，a=2， 则圆心为 M（0，2），半径 R=2， 圆 N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 的圆心为 N（1，1），半径 r=1， 则 MN= = ， ∵R+r=3，R﹣r=1， ∴R﹣r＜MN＜R+r， 即两个圆相交． 故选：B 8．（5 分）（2016•山东）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=c， a2=2b2（1﹣sinA），则 A=（ ） A． B． C． D． 【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到 1﹣cosA=1﹣sinA，即 sinA=cosA，进 行求解即可． 【解答】解：∵b=c， ∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA）， ∵a2=2b2（1﹣sinA）， ∴1﹣cosA=1﹣sinA， 则 sinA=cosA，即 tanA=1， 即 A= ， 故选：C 9．（5 分）（2016•山东）已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x3 ﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则 f（6）=（ ） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 【分析】求得函数的周期为 1，再利用当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），得到 f（1）=﹣f（﹣1），当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1，得到 f（﹣1）=﹣2，即可得出结 论． 【解答】解：∵当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）， ∴当 x＞ 时，f（x+1）=f（x），即周期为 1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 10．（5 分）（2016•山东）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象 在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质 的是（ ） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 【分析】若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 进而可得答案． 【解答】解：函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切 线互相垂直， 则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当 y=sinx 时，y′=cosx，满足条件； 当 y=lnx 时，y′= ＞0 恒成立，不满足条件； 当 y=ex 时，y′=ex＞0 恒成立，不满足条件； 当 y=x3 时，y′=3x2＞0 恒成立，不满足条件； 故选：A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为 1 ． 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【解答】解：若输入 n 的值为 3， 则第一次循环，S=0+ ﹣1= ﹣1，1≥3 不成立， 第二次循环，S= ﹣1+ = ﹣1，2≥3 不成立， 第三次循环，S= ﹣1+ ﹣ = ﹣1=2﹣1=1，3≥3 成立， 程序终止，输出 S=1， 故答案为：1 12．（5 分）（2016•山东）观察下列等式： （sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（ ）﹣2= ×2×3； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×3×4； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×4×5； … 照此规律， （ sin ） ﹣ 2+ （ sin ） ﹣ 2+ （ sin ） ﹣ 2+…+ （ sin ） ﹣ 2= n （n+1） ． 【分析】由题意可以直接得到答案． 【解答】解：观察下列等式： （sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（ ）﹣2= ×2×3； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×3×4； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×4×5； … 照此规律（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+（sin ）﹣2= ×n （n+1）， 故答案为： n（n+1） 13．（5 分）（2016•山东）已知向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4），若 ⊥（t + ）， 则实数 t 的值为 ﹣5 ． 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可． 【解答】解：∵向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4）， ∴t + =（t+6，﹣t﹣4）， ∵ ⊥（t + ）， ∴ •（t + ）=t+6+t+4=0， 解得 t=﹣5， 故答案为：﹣5． 14．（5 分）（2016•山东）已知双曲线 E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的 离心率是 2 ． 【分析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得 y=± ，再由题意设出 A，B，C， D 的坐标，由 2|AB|=3|BC|，可得 a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得 到所求值． 【解答】解：令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=±b =± ， 由题意可设 A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ）， 由 2|AB|=3|BC|，可得 2• =3•2c，即为 2b2=3ac， 由 b2=c2﹣a2，e= ，可得 2e2﹣3e﹣2=0， 解得 e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 15．（5 分）（2016•山东）已知函数 f（x）= ，其中 m＞0， 若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围 是 （3，+∞） ． 【分析】作出函数 f（x）= 的图象，依题意，可得 4m﹣m2 ＜m（m＞0），解之即可． 【解答】解：当 m＞0 时，函数 f（x）= 的图象如下： ∵x＞m 时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2， ∴y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根， 必须 4m﹣m2＜m（m＞0）， 即 m2＞3m（m＞0）， 解得 m＞3， ∴m 的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16．（12 分）（2016•山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加 活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录 指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为 x，y．奖励规则如下： ①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具 的概率； （Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2）， （2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4， 2），（4，3），（4，4），共 16 个， 满足 xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共 5 个， ∴小亮获得玩具的概率为 ； （Ⅱ）满足 xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共 6 个，∴小亮获得水杯的概率为 ； 小亮获得饮料的概率为 1﹣ ﹣ = ， ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率． 17．（12 分）（2016•山东）设 f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2． （Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（ ）的 值． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简 f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调 性，求得函数的增区间． （Ⅱ）利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，从而 求得 g（ ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2 sin2x﹣ 1+sin2x=2 • ﹣1+sin2x =sin2x﹣ cos2x+ ﹣1=2sin（2x﹣ ）+ ﹣1， 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ， 可得函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k ∈ Z． （Ⅱ）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 可得 y=2sin（x﹣ ）+ ﹣1 的图象； 再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）=2sinx+ ﹣1 的图象， ∴g（ ）=2sin + ﹣1= ． 18．（12 分）（2016•山东）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB． （Ⅰ）已知 AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB； （Ⅱ）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC． 【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得 BD⊥AC，ED⊥AC，再利用 直线和平面垂直的判定定理证得 AC⊥平面 EFBD，从而证得 AC⊥FB． （Ⅱ）再取 CF 的中点 O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面 ABC， OH∥平面 ABC，可得平面 OGH∥平面 ABC，从而证得 GH∥平面 ABC． 【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D 是 AC 的中点，AB=BC，AE=EC， ∴△BAC、△EAC 都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC． ∵EF∥DB，∴E、F、B、D 四点共面，这样， AC 垂直于平面 EFBD 内的两条相交直线 ED、BD， ∴AC⊥平面 EFBD． 显然，FB ⊂ 平面 EFBD，∴AC⊥FB． （Ⅱ）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，再取 CF 的中点 O， 则 OG∥EF，∵OG∥BD， ∴OG∥BD，而 BD ⊂ 平面 ABC，∴OG∥平面 ABC． 同理，OH∥BC，而 BC ⊂ 平面 ABC，∴OH∥平面 ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面 OGH∥平面 ABC，∴GH∥平面 ABC． 19．（12 分）（2016•山东）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列， 且 an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1 时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1， ∴an﹣1=bn﹣1+bn， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b1=4， ∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn= = =6（n+1）•2n， ∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①， ∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②， ① ﹣ ② 可 得 ﹣ Tn=6[2•2+22+23+…+2n ﹣ （ n+1 ） •2n+1]=12+6 × ﹣ 6 （n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2， ∴Tn=3n•2n+2． 20．（13 分）（2016•山东）设 f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a ∈ R． （Ⅰ）令 g（x）=f′（x），求 g（x）的单调区间； （Ⅱ）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）先求出 g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数 g′（x），利用 函数单调性和导数之间的关系即可求 g（x）的单调区间； （Ⅱ）分别讨论 a 的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x， ∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0， g′（x）= ﹣2a= ， 当 a≤0，g′（x）＞0 恒成立，即可 g（x）的单调增区间是（0，+∞）； 当 a＞0，当 x＞ 时，g′（x）＜0，函数为减函数， 当 0＜x＜ ，g′（x）＞0，函数为增函数， ∴当 a≤0 时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）； 当 a＞0 时，g（x）的单调增区间是（0， ），单调减区间是（ ，+∞）； （Ⅱ）∵f（x）在 x=1 处取得极大值，∴f′（1）=0， ①当 a≤0 时，f′（x）单调递增， 则当 0＜x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当 x＞1 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在 x=1 处取得极小值，不合 题意， ②当 0＜a＜ 时， ＞1，由（1）知，f′（x）在（0， ）内单调递增， 当 0＜x＜1 时，f′（x）＜0，当 1＜x＜ 时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1， ）内单调递增，即 f（x）在 x=1 处 取得极小值，不合题意． ③当 a= 时， =1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 则当 x＞0 时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意． ④当 a＞ 时，0＜ ＜1， 当 ＜x＜1 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当 x＞1 时，f′（x）＜0，f（x） 单调递减， ∴当 x=1 时，f（x）取得极大值，满足条件． 综上实数 a 的取值范围是 a＞ ． 21．（14 分）（2016•山东）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的长轴长为 4，焦 距为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过动点 M（0，m）（m＞0）的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P（P 在 第一象限），且 M 是线段 PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延 长 QM 交 C 于点 B． （ⅰ）设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明 为定值； （ⅱ）求直线 AB 的斜率的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆 C 的方程； （Ⅱ）（ⅰ）设出 N 的坐标，求出 PQ 坐标，求出直线的斜率，即可推出结果 （ⅱ）求出直线 PM，QM 的方程，然后求解 B，A 坐标，利用 AB 的斜率求解最 小值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的长轴长为 4，焦距为 2 ．可 得 a=2，c= ，b= ， 可得椭圆 C 的方程： ； （Ⅱ）过动点 M（0，m）（m＞0）的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P（P 在 第一象限），设 N（﹣t，0）t＞0，M 是线段 PN 的中点，则 P（t，2m），过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，Q（t，﹣2m）， （ⅰ）证明：设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′， k= = ，k′= =﹣ ， = =﹣3．为定值； （ⅱ）由题意可得 ，m2=4﹣ t2，QM 的方程为：y=﹣3kx+m， PN 的方程为：y=kx+m， 联立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4， 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得 xA= ，yA= +m， 同理解得 xB= ， yB= ， xA﹣xB= k﹣ = ， yA﹣yB= k+m﹣（ ）= ， kAB= = = ，由 m＞0，x0＞0，可知 k＞0， 所以 6k+ ，当且仅当 k= 时取等号． 此时 ，即 m= ，符合题意． 所以，直线 AB 的斜率的最小值为： ．