十年高考之平面向量与空间向量

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文档介绍

十年高考之平面向量与空间向量

‎ 十年高考之平面向量与空间向量 ‎●考点阐释 ‎1.向量是数学中的重要概念,并和数一样,也能运算.它是一种工具,用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.‎ 向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.‎ 坐标表示,使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系,用“数”的运算处理“形”的问题,在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.‎ ‎2.平移变换的价值在于可利用平移变换,使相应的函数解析式得到简化.‎ ‎●试题类编 一、选择题 ‎1.(2002上海春,13)若a、b、c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( )‎ A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)c=a(b·c)‎ ‎2.(2002天津文12,理10)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )‎ A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5‎ C.2x-y=0 D.x+2y-5=0‎ ‎3.(2001江西、山西、天津文)若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b-a的坐标是( )‎ A.(3,-4) B.(-3,4) ‎ C.(3,4) D.(-3,-4)‎ ‎4.(2001江西、山西、天津)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则等于( )‎ 图5—1‎ A.B.-C.3 D.-3‎ ‎5.(2001上海)如图5—1,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c.则下列向量中与相等的向量是( )‎ A.-a+b+cB.a+b+c C.a-b+cD.-a-b+c ‎6.(2001江西、山西、天津理,5)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )‎ A.-a+bB.a-b C.a-bD.-a+b ‎7.(2000江西、山西、天津理,4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ‎①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b| ③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直 ‎④(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有( )‎ A.①②B.②③C.③④D.②④‎ ‎8.(1997全国,5)如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率为( )‎ A.-B.-3 C.D.3‎ 二、填空题 ‎9.(2002上海文,理2)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=_____.‎ ‎10.(2001上海春,8)若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|,则α与β所成角的大小为_____.‎ ‎11.(2000上海,1)已知向量=(-1,2),=(3,m),若⊥,则m=.‎ ‎12.(1999上海理,8)若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则向量b的坐标为_____.‎ ‎13.(1997上海,14)设a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则m=_____.‎ ‎14.(1996上海,15)已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么a·b=_____.‎ ‎15.(1996上海,15)已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且,又P是线段OB的中点,则点B的坐标是_____.‎ 三、解答题 图5—2‎ ‎ 16.(2003上海春,19)已知三棱柱ABC—A1B1C1,在某个空间直角坐标系中,={0,0,n}.(其中m、n>0).如图5—2.‎ ‎(1)证明:三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱;‎ ‎(2)若m=n,求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.‎ ‎17.(2002上海春,19)如图5—3,三棱柱OAB—O1A1B1,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=.求:‎ ‎(1)二面角O1—AB—O的大小;‎ ‎(2)异面直线A1B与AO1所成角的大小.‎ ‎(上述结果用反三角函数值表示)‎ ‎18.(2002上海,17)如图5—4,在直三棱柱ABO—A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)‎ 图5—3 图5—4 图5—5‎ ‎19.(2002天津文9,理18)如图5—5,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a.‎ ‎(1)建立适当的坐标系,并写出点A、B、A1、C1的坐标;‎ ‎(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.‎ ‎20.(2002天津文22,理21)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使 成公差小于零的等差数列.‎ ‎(1)点P的轨迹是什么曲线?‎ ‎(2)若点P坐标为(x0,y0),θ为与的夹角,求tanθ.‎ ‎21.(2001江西、山西、天津理)如图5—6,以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.‎ ‎(1)求cos< >;‎ ‎(2)记面BCV为α,面DCV为β,若∠BED是二面角α—VC—β的平面角,求∠BED.‎ 图5—6 图5—7 图5—8‎ ‎22.(2001上海春)在长方体ABCD—A1B1C1D1中,点E、F分别在BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.‎ ‎(1)求证:A1C⊥平面AEF;‎ ‎(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角).则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.‎ 试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.(用反三角函数值表示)‎ ‎23.(2001上海)在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.如图5—8.‎ ‎(1)求证:A′F⊥C′E.‎ ‎(2)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时,求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示)‎ ‎24.(2000上海春,21)四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形, ={2,-1,-4},={4,2,0},={-1,2,-1}.‎ ‎(1)求证:PA⊥底面ABCD;‎ ‎(2)求四棱锥P—ABCD的体积;‎ ‎(3)对于向量a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},c={x3,y3,z3},定义一种运算:‎ ‎(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.‎ ‎25.(2000上海,18)如图5—9所示四面体ABCD中,AB、BC、BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E是AC中点,异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos,求四面体ABCD的体积.‎ 图5—9 图5—10 图5—11‎ ‎26.(2000天津、江西、山西)如图5—10所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求cos< >的值;‎ ‎(3)求证:A1B⊥C1M.‎ ‎27.(2000全国理,18)如图5—11,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.‎ ‎(1)证明:C1C⊥BD;‎ ‎(2)假定CD=2,CC1=,记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值;‎ ‎(3)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.‎ 图5—12‎ ‎28.(1999上海,20)如图5—12,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.‎ ‎(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;‎ ‎(2)求异面直线AE与CD所成角的大小.‎ 图5—13‎ ‎29.(1995上海,21)如图5—13在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中 点,点A的坐标是(,0),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,‎ ‎∠DCB=30°。‎ ‎(1)求向量的坐标;‎ ‎(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.‎ 答案解析 ‎1.答案:D 解析:因为(a·b)c=|a|·|b|·cosθ·c而a(b·c)=|b|·|c|·cosα·a而c方向与a方向不一定同向.‎ 评述:向量的积运算不满足结合律.‎ ‎2.答案:D 解析:设=(x,y),=(3,1),=(-1,3),α=(3α,α),‎ β=(-β,3β)‎ 又α+β=(3α-β,α+3β)‎ ‎∴(x,y)=(3α-β,α+3β),∴‎ 又α+β=1 因此可得x+2y=5‎ 评述:本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.‎ ‎3.答案:D 解析:设(x,y)=2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(-3,-4).‎ 评述:考查向量的坐标表示法.‎ ‎4.答案:B 解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线方程为y=k(x-),则=x1x2+y1y2.又,得k2x2-(k2+2)x+=0,∴x1·x2=,而y1y2=k(x1-)k(x2-)=k2(x1-)(x2-)=-1.∴x1x2+y1y2=-1=-.‎ 解法二:因为直线AB是过焦点的弦,所以y1·y2=-p2=-1.x1·x2同上.‎ 评述:本题考查向量的坐标运算,及数形结合的数学思想.‎ ‎5.答案:A 解析:=c+(-a+b)=-a+b+c 评述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力.‎ ‎6.答案:B 解析:设c=ma+nb,则(-1,2)=m(1,1)+n(1,-1)=(m+n,m-n).‎ ‎∴∴‎ 评述:本题考查平面向量的表示及运算.‎ ‎7.答案:D 解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;‎ ‎②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a-b|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;‎ ‎③因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=0,所以垂直.故③假;‎ ‎④(3a+2b)(3a-2b)=9·a·a-4b·b=9|a|2-4|b|2成立.故④真.‎ 评述:本题考查平面向量的数量积及运算律.‎ ‎8.答案:A 解析:设直线l的方程为y=kx+b(此题k必存在),则直线向左平移3个单位,向上平移1个单位后,直线方程应为y=k(x+3)+b+1即y=kx+3k+b+1‎ 因为此直线与原直线重合,所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.∴k=-.‎ 评述:本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.‎ ‎9.答案:13‎ 解析:∵(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a|·|b|·cos120°=2·4-2·5(-)=13.‎ 评述:本题考查向量的运算关系.‎ ‎10.答案:90°‎ 解析:由|α+β|=|α-β|,可画出几何图形,如图5—14.‎ 图5—14‎ ‎|α-β|表示的是线段AB的长度,|α+β|表示线段OC的长度,由|AB|=|OC|‎ ‎∴平行四边形OACB为矩形,故向量α与β所成的角为90°‎ 评述:本题考查向量的概念,向量的几何意义,向量的运算.这些知识不只在学习向量时用到,而且在复数、物理学中也是一些最基本的知识.‎ ‎11.答案:4‎ 解析:∵={-1,2},={3,m},={4,m-2},又⊥,‎ ‎∴-1×4+2(m-2)=0,∴m=4.‎ 评述:本题考查向量的概念,向量的运算,向量的数量积及两向量垂直的充要条件.‎ ‎12.答案:()‎ 解析:设a==2+i,b=,由已知、的夹角为,由复数乘法的几何意义,得=(cos+isin)=(2+i).‎ ‎∴b=()‎ 评述:本题考查向量的概念,向量与复数一一对应关系,考查变通、变换等数学方法,以及运用数学知识解决问题的能力.‎ a+b=(m+2)i+(m-4)j=(m+2,m-4)‎ a-b=mi+(-m-2)j=(m,-m-2)‎ ‎13.答案:-2‎ 解析:由题意,得 ‎∵(a+b)⊥(a-b),∴(m+2)×m+(m-4)(-m-2)=0,∴m=-2.‎ 评述:本题考查平面向量的加、减法,平面向量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件.‎ a+b=2i-8j a-b=-8i+16j ‎14.答案:-63‎ 解析:解方程组 a=-3i+4j=(-3,4)‎ b=5i-12j=(5,-12)‎ 得 ‎∴a·b=(-3)×5+4×(-12)=-63.‎ 评述:本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.‎ ‎15.答案:(4,2)‎ 解析:设P(x,y),由定比分点公式,‎ 则P(2,1),又由中点坐标公式,可得B(4,2).‎ ‎16.(1)证明:∵,∴||=m,‎ 又 ‎∴||=m,||=m,∴△ABC为正三角形.‎ 又·=0,即AA1⊥AB,同理AA1⊥AC,∴AA1⊥平面ABC,从而三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱.‎ ‎(2)解:取AB中点O,连结CO、A1O.‎ ‎∵CO⊥AB,平面ABC⊥平面ABB1A1,∴CO⊥平面ABB1A1,即∠CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.‎ 在Rt△CA1O中,CO=m,CA1=,‎ ‎∴sinCA1O=,即∠CA1O=45°.‎ 图5—15‎ ‎17.解:(1)取OB的中点D,连结O1D,‎ 则O1D⊥OB.‎ ‎∵平面OBB1O1⊥平面OAB,‎ ‎∴O1D⊥平面OAB.‎ 过D作AB的垂线,垂足为E,连结O1E.‎ 则O1E⊥AB.‎ ‎∴∠DEO1为二面角O1—AB—O的平面角.‎ 由题设得O1D=,‎ sinOBA=,‎ ‎∴DE=DBsinOBA=‎ ‎∵在Rt△O1DE中,tanDEO1=,‎ ‎∴∠DEO1=arctan,即二面角O1—AB—O的大小为arctan.‎ ‎(2)以O点为原点,分别以OA、OB所在直线为x、y轴,过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系如图5—15.则 O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0).‎ 设异面直线A1B与AO1所成的角为α,‎ 则,‎ cosα=,‎ ‎∴异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos.‎ 图5—16‎ ‎18.解法一:如图5—16,以O点为原点建立空间直角坐标系.‎ 由题意,有B(3,0,0),D(,2,4),设P(3,0,z),则 ‎={-,2,4},={3,0,z}.‎ ‎∵BD⊥OP,∴·=-+4z=0,z=.‎ ‎∵BB′⊥平面AOB,∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.‎ tanPOB=,∴∠POB=arctan.‎ 图5—17‎ 解法二:取O′B′中点E,连结DE、BE,如图5—17,则 DE⊥平面OBB′O′,‎ ‎∴BE是BD在平面OBB′O′内的射影.‎ 又∵OP⊥BD.‎ 由三垂线定理的逆定理,得OP⊥BE.‎ 在矩形OBB′O′中,易得Rt△OBP∽Rt△BB′E,‎ ‎∴,得BP=.‎ 图5—18‎ ‎(以下同解法一)‎ ‎19.解:(1)如图5—18,以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系.‎ 由已知,得 A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, a),C1().‎ ‎(2)坐标系如图,取A1B1的中点M,于是有M(0, a),连AM,MC1有 ‎=(-a,0,0),且=(0,a,0),=(0,0, a)‎ 由于·=0,·=0,所以MC1⊥面ABB1A1.‎ ‎∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.‎ ‎∵=(),=(0,a),‎ ‎∴·=0++2a2=a2.‎ 而||=.‎ ‎||=.‎ ‎∴cos<,>=.‎ 所以与所成的角,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.‎ ‎20.解:(1)记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得=-=(-1-x,-y),‎ ‎=-=(1-x,-y),=-=(2,0)‎ ‎∴·=2(1+x),·=x2+y2-1,·=2(1-x).‎ 于是,·,·,·是公差小于零的等差数列等价于 即 所以,点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆.‎ ‎(2)点P的坐标为(x0,y0).‎ ‎·=x02+y02-1=2.‎ ‎||·||=.‎ ‎∴cosθ=‎ ‎21.解:(1)由题意知B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),E().‎ 由此得,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 由向量的数量积公式有 cos< >=‎ ‎(2)若∠BED是二面角α—VC—β的平面角,则,则有=0.‎ 又由C(-a,a,0),V(0,0,h),有=(a,-a,h)且,‎ ‎∴.‎ 即h=a,这时有 cos<>=,‎ ‎∴∠BED=<>=arccos()=π-arccos 评述:本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法;考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.‎ ‎22.(1)证明:因为CB⊥平面A1B,所以A1C在平面A1B上的射影为A1B.‎ 由A1B⊥AE,AE平面A1B,得A1C⊥AE.‎ 同理可证A1C⊥AF.‎ 因为A1C⊥AF,A1C⊥AE,‎ 图5—19‎ 所以A1C⊥平面AEF.‎ ‎(2)解:过A作BD的垂线交CD于G,因为D1D⊥AG,所以AG⊥平面D1B1BD.‎ 设AG与A1C所成的角为α,则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角.‎ 由已知,计算得DG=.‎ 如图5—19建立直角坐标系,则得点A(0,0,0),G(,3,0),A1(0,0,5),‎ C(4,3,0).‎ AG={,3,0},A1C={4,3,-5}.‎ 因为AG与A1C所成的角为α,‎ 所以cosα=.‎ 由定理知,平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.‎ 注:没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.‎ 解法一:设AG与BD交于M,则AM⊥面BB1D1D,再作AN⊥EF交EF于N,连接MN,则∠ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角α,用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.‎ 解法二:用面积射影定理cosα=.‎ 评述:立体几何考查的重点有三个:一是空间线面位置关系的判定;二是角与距离的计算;三是多面体与旋转体中的计算.‎ ‎23.建立坐标系,如图5—20.‎ ‎(1)证明:设AE=BF=x,则A′(a,0,a),F(a-x,a,0),C′(0,a,a),E(a,x,0)‎ ‎∴={-x,a,-a},={a,x-a,-a}.‎ ‎∵·=-xa+a(x-a)+a2=0‎ ‎∴A′F⊥C′E ‎(2)解:设BF=x,则EB=a-x 三棱锥B′—BEF的体积 V=x(a-x)·a≤()2=a3‎ 当且仅当x=时,等号成立.‎ 因此,三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE=BF=,过B作BD⊥EF于D,连 B′D,可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中,直角边BE=BF=,BD是斜边上的高.∴BD=a.‎ ‎∴tanB′DB=‎ 故二面角B′—EF—B的大小为arctan2.‎ 评述:本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值,二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系,把几何问题代数化,降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于·=0,使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法,计算较简单,有一定的思维量.‎ ‎24.(1)证明:∵=-2-2+4=0,∴AP⊥AB.‎ 又∵=-4+4+0=0,∴AP⊥AD.‎ ‎∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线,∴AP⊥底面ABCD.‎ ‎(2)解:设与的夹角为θ,则 cosθ=‎ V=||·||·sinθ·||=‎ ‎(3)解:|(×)·|=|-4-32-4-8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.‎ 猜测:|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).‎ 评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.‎ 图5—21‎ ‎25.解:如图5—21建立空间直角坐标系 由题意,有A(0,2,0)、C(2,0,0)、E(1,1,0)‎ 设D点的坐标为(0,0,z)(z>0)‎ 则={1,1,0},={0,-2,z},‎ 设与所成角为θ.‎ 则·=·cosθ=-2,且AD与BE所成的角的大小为arccos.∴cos2θ=,∴z=4,故|BD|的长度为4.‎ 又VA—BCD=|AB|×|BC|×|BD|=,因此,四面体ABCD的体积为.‎ 评述:本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具,利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题,思路自然,解法灵活简便.‎ 图5—22‎ ‎26.解:如图5—22,建立空间直角坐标系O—xyz.‎ ‎(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)‎ ‎∴| |=.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)‎ ‎∴={-1,-1,2},={0,1,2,},·=3,||=,||=‎ ‎∴cos<,>=.‎ ‎(3)证明:依题意,得C1(0,0,2)、M(,2),={-1,1,2},‎ ‎={,0}.‎ ‎∴·=-+0=0,∴⊥,∴A1B⊥C1M.‎ 评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.‎ ‎27.(1)证明:设=a,=b,=c,则|a|=|b|,∵=b-a,‎ ‎∴·=(b-a)·c=b·c-a·c=|b|·|c|cos60°-|a|·|c|cos60°=0,‎ ‎∴C1C⊥BD.‎ ‎(2)解:连AC、BD,设AC∩BD=O,连OC1,则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角.‎ ‎∵(a+b),(a+b)-c ‎∴·(a+b)·[(a+b)-c]‎ ‎=(a2+2a·b+b2)-a·c-b·c ‎=(4+2·2·2cos60°+4)-·2·cos60°-·2·cos60°=.‎ 则||=,||=,∴cosC1OC=‎ ‎(3)解:设=x,CD=2, 则CC1=.‎ ‎∵BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1C ‎∴只须求满足:=0即可.‎ 设=a,=b,=c,‎ ‎∵=a+b+c,=a-c,‎ ‎∴=(a+b+c)(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=-6,令6-=0,得x=1或x=-(舍去).‎ 评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.‎ ‎28.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,故BE⊥PD.‎ ‎(2)解:以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点C、D的坐标分别为(a,a,0),(0,2a,0).‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°.‎ 于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a,∴E(0,a)‎ 于是,={-a,a,0}‎ 设与的夹角为θ,则由cosθ=‎ ‎∴θ=arccos,即AE与CD所成角的大小为arccos.‎ 评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.‎ ‎29.解:(1)过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=,∴DE=CD·sin30°=.‎ OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1-.‎ ‎∴D点坐标为(0,-),即向量OD[TX→]的坐标为{0,-}.‎ ‎(2)依题意:,‎ 所以.‎ 设向量和的夹角为θ,则 cosθ=‎ ‎.‎ 评述:本题考查空间向量坐标的概念,空间向量数量积的运算及空间向量的夹角公式.解决好本题的关键是对空间向量坐标的概念理解清楚,计算公式准确,同时还要具备很好的运算能力.‎
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