高考数学专题112二项式定理及其应用理

高考数学专题112二项式定理及其应用理

二项式定理及其应用 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．‎20 ‎ C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ ‎2. 【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为 A． B． C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎3．【2017浙江，13】已知多项式32=，则=________，=________．‎ ‎【答案】16，4‎ ‎4．【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：‎ ‎，解得．‎ ‎5．【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.‎ ‎6．【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式通项为(,1,2,…,5),令得,所以的系数是.‎ ‎7．【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为． ‎ ‎8．【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为，所以由，因此 ‎9.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )‎ ‎（A）10 （B）20 （C）30 （D）60‎ ‎【答案】C ‎10.【2015高考湖北，理3】已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，‎ 所以二项式中奇数项的二项式系数和为.‎ ‎11.【2015高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ ‎【2017考试大纲】‎ 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理. (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题,对二项式定理的考查,重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．‎ ‎【2018年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 , 二项式定理是高考数学相对独立的内容，二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，个别题有一定的难度,重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分，化归转化等思想方法.为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解.预测2018年高考仍以二项式的通项,‎ 二项式系数，展开式系数为主，可单独考查本节知识，也可出现与其他章节知识结合的小综合.如可能与定积分结合出题，试题难度中等．复习建议:⑴ 运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.‎ ‎ ‎ ‎【2018年高考考点定位】‎ 本节内容高考的重点就是利用二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等，题型既有选择题也有填空题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.‎ ‎【考点】二项式定理 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 二项式定理 ‎，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.‎ ‎2．二项展开式形式上的特点：(1)项数为 ‎.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.‎ ‎3. 二项式系数的性质：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，‎ ‎4.注意:（1）．分清是第项，而不是第项.(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．‎ ‎5．二项式的应用:（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；‎ ‎②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；‎ ‎④ 对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．‎ ‎2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意 与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．‎ ‎⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.‎ 多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.‎ ‎3. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.(2)项数的确定：满足条件的共组．‎ 即将展开共项，合并同类项后共项．(3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： (),这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．‎ ‎4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果． ‎ ‎5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、 ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如 ()的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，令，可得．‎ ‎6. 求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．‎ ‎7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．‎ ‎(2)求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围．‎ ‎(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．‎ ‎(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试】若二项式展开式的各项系数之和为 ，则含项的系数为 A. 560 B. C. 280 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以， 的通项为，令项的系数为，故选A.‎ ‎2. 【福建泉州2017届质量检查】已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．‎ ‎⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.‎ ‎⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.‎ ‎⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.‎ ‎⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.‎ ‎⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.‎ ‎⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.‎ 多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.‎ ‎2. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定．‎ ‎(1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.‎ ‎(2)项数的确定：满足条件的共组．即将展开共项，合并同类项后共项．‎ ‎(3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： ()‎ 这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．‎ ‎3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果． ‎ ‎4. 求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．‎ ‎5.二项式应用问题 ‎(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．‎ ‎(2)求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围．‎ ‎(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．‎ ‎(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．‎ ‎6.二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意，某式子恒成立，则对中的特殊值，该式子一定成立，特殊值如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取居多.若则设.有：① ②③ ‎ ‎ ④⑤‎ ‎ ‎ ‎1.【河南省新乡市2017届高三第三次模拟】在的展开式中，系数为有理数的项为（ ）‎ A. 第二项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 ‎【答案】B ‎【解析】解：由二项式展开式的通项公式有： ，‎ 系数为有理数的项时， ，即系数为有理数的项为第三项.本题选择B选项.‎ ‎2. 【河北省衡水中学2017届高三二摸】已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3. 【河北省唐山市2017届高三三模】若，则（ ）‎ A. 1 B. ‎513 C. 512 D. 511‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，得,令,得 ‎4. 【福建省厦门2017届高三高考考前模拟】的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则的值为（ ）‎ A. -3 B. ‎3 C. -5 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】的奇数次幂项的系数之和为 ，选A.‎ ‎5. 【河北省2017届衡水中学押题卷】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎8 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 ，二项式 展开式的通项公式为： ，由题意有： ，整理可得： .本题选择D选项.‎ ‎6. 【广西桂林市2017届高三适应性考试】设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7. 【山西省临汾2017届高三全真模拟】在的展开式中， 的系数是 A. 220 B. ‎165 C. 66 D. 55‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比数列求和公式， ， 故仅需求出分子中含的系数即可，在中，含项的系数为,选A.‎ ‎8. 【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】已知展开式中含项的系数为，则正实数________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 展开式的通项公式 的系数为 .‎ ‎9.【江西省新余市2017届高三全真模拟】设，则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎10. 【宁夏石嘴山市2017届高三四模】已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为____．（用数字作答）‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】由题意，(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么(2x2+x-y)5=[(x2+x)-y]5，通项公式，展开式中含有x5y2，可知r=2．那么(2x2+x)3中展开必然有x5，由通项公式，可得，含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为.‎ ‎11. 【2016年山西四校高三第四次联考】如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）‎ A.7 B.﹣‎7 ‎‎ C.21 D.﹣21‎ ‎【答案】C ‎【解析】令得展开式的各项系数和为，所以，解得，所以展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的系数为，故选C.‎ ‎12. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知,若,则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,得,由于,因此 ‎,所以，故应选C.‎ ‎13. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则的展开式中的系数为（ ）‎ A．-144 B．‎-120 C．-80 D．-60‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为（当且仅当时取等号）,所以.在二项式中,不妨设,则,记,令得,则的系数为,应选B.‎ ‎14. 【2016年安徽安庆高三第一次模考】将展开后,常数项是 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】展开后的通项是,当时为常数.于是. 若,则；若,则.故常数项是 或：展开后的通项是.‎ 令,得. 所以常数项是.‎ ‎15.【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知，且，则在的展开式中，有理项共有_________项．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】，从而，所以当时为有理项，共有5项 ‎ ‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1．若二项式的展开式中各项的系数和为，则该展开式中含项的系数为 ‎(A)5 (B)18 (C)22 (D)31‎ ‎【答案】A ‎【入选理由】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力，二项展开式的通项公式的运用是高考考查的重点内容，一般用以求展开式中的特定项，以选择题或填空题的形式出现，本题是求项的系数，比较常规，故押此题.‎ ‎2．在的展开式中，项的系数为（　　　）‎ A．252　　　　B．‎264　‎　　　C． 512　　　　D．532‎ ‎【答案】B ‎【解析】，必须，，的系数为，故选B．‎ ‎【入选理由】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，二项展开式的通项公式的运用是高考考查的重点内容，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.‎ ‎3.若已知（）展开式中二项式系数的和为256，则该展开式中含项的系数为 ．‎ ‎【答案】112‎ ‎【解析】由题知=256，所以=8，所以==，所以=-1，解得=6，所以展开式中含项的系数为=112．‎ ‎【入选理由】本题考查二项式定理，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.‎ ‎4.已知二项式展开式的各项系数和为，则展开式中常数项为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题知，解得，的通项为=，由题知，或或（），解得或3，所以常数项为=．‎ 本题考查二项式定理，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.‎ ‎5. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】若，其中，则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【入选理由】本题考查二项式定理，定积分求值，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，二项式定理，定积分结合出题，在高考中曾经出现过，故押此题.‎