高考数学一轮圆锥曲线例题及总结

高考数学一轮圆锥曲线例题及总结

‎ 圆锥曲线 ‎1.圆锥曲线的两定义：‎ 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ ‎2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：‎ ‎（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。‎ ‎（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。‎ ‎（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。‎ ‎3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：‎ ‎（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。‎ ‎（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；‎ ‎（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。‎ 提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。‎ ‎4.圆锥曲线的几何性质：‎ ‎（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。‎ ‎（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。‎ ‎（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。‎ ‎5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内 ‎6．直线与圆锥曲线的位置关系：‎ ‎（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。‎ ‎（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；‎ ‎（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。‎ 提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。‎ ‎7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。 如 （1）短轴长为，‎ ‎8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 9、 弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝‎ ‎，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。‎ 抛物线：‎ 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。‎ 提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！‎ ‎11．了解下列结论 ‎（1）双曲线的渐近线方程为；‎ ‎（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。‎ ‎（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；‎ ‎（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； ‎ ‎（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；‎ ‎（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②‎ ‎（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 ‎12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：‎ ‎（1） 给出直线的方向向量或；‎ ‎（2）给出与相交,等于已知过的中点;‎ ‎（3）给出,等于已知是的中点;‎ ‎（4）给出,等于已知与的中点三点共线;‎ ‎（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.‎ ‎（6） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,‎ ‎（8）给出,等于已知是的平分线/‎ ‎（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;‎ ‎（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;‎ ‎（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；‎ ‎（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；‎ ‎（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；‎ ‎（14）在中，给出等于已知通过的内心；‎ ‎（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；‎ ‎ （16） 在中，给出,等于已知是中边的中线; ‎ ‎（3）已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）‎ ‎（1）求证：A,B,C三点共线； ‎ ‎（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。‎ ‎（1）证明：设，由得 ‎，又 ‎，，即A,B,C三点共线。‎ （2） 由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OM^AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹0)。‎ ‎13.圆锥曲线中线段的最值问题：‎ 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________‎ ‎ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。‎ 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。‎ （2） B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，）（2）（）‎ ‎1、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。‎ ‎ (1) 求双曲线C2的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为（II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ‎ ‎ 解此不等式得 ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ ‎(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。‎ 则O点到的距离.又，所以 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ 设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )‎ 设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ). ‎ 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( )0‎ 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )‎ 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ 设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.‎ 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .‎ 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ ‎ ‎【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: ‎ 双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,‎ 由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 ‎，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.‎ ‎∴·＝‎ ‎【解析】设抛物线的准线为直线 ‎ 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则,‎ ‎ 点的横坐标为, 故点的坐标为 ‎, 故选D 一、椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的外角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.‎ 6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 ‎，则椭圆的焦点角形的面积为.‎ 1. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：‎ ‎,( , ).‎ 2. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 3. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 4. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，‎ 即。‎ 5. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 6. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 二、双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的内角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）‎ 5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.‎ 6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.‎ 8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ‎ 当在右支上时，,.‎ 当在左支上时，,‎ 1. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 2. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 3. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。‎ 4. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）‎ 椭 圆 1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.‎ 4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 1. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 2. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.‎ 3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ 4. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ 5. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 6. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ 7. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 8. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ 9. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 1. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 2. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 3. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ‎ ‎（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）‎ 4. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 5. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ 双曲线 1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.‎ 4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤‎ 时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 1. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.‎ 2. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.‎ 3. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.‎ ‎（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.‎ 4. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 5. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ 6. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 7. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).‎ ‎(2) .(3) .‎ 8. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 1. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 2. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 3. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ ‎(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).‎ 4. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 5. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ 其他常用公式：‎ ‎1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：‎ ‎2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。‎ ‎3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)‎ 与直线垂直的直线可表示为。‎ ‎4、两平行线间的距离为。‎ ‎5、若直线与直线平行 则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）‎ ‎6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。‎ ‎ 7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；‎ ‎8、为直径端点的圆方程 切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）‎ ‎9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。‎ 攻克圆锥曲线解答题的策略 摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。‎ 关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备：‎ ‎1. 直线方程的形式 ‎（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。‎ ‎（2）与直线相关的重要内容 ‎①倾斜角与斜率 ‎②点到直线的距离 ③夹角公式：‎ ‎（3）弦长公式 直线上两点间的距离：‎ ‎ 或 ‎（4）两条直线的位置关系 ‎①=-1 ② ‎ ‎2、圆锥曲线方程及性质 ‎(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）‎ ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎ 参数方程：‎ ‎(2)、双曲线的方程的形式有两种 ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？‎ ‎ ‎ ‎(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？‎ 如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（ ）‎ A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 ‎(5)、焦点三角形面积公式：‎ ‎ ‎ ‎（其中）‎ ‎(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ ‎ 第二、方法储备 ‎1、点差法（中点弦问题）‎ 设、，为椭圆的弦中点则有 ‎，；两式相减得 ‎=‎ ‎2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？‎ ‎ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。‎ 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.‎ ‎（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;‎ ‎（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.‎ 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；‎ 解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有 两式作差有 (1) F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得 直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 （2）‎ 设直线BC方程为，得 ， 代入（2）式得 ，解得或 直线过定点（0，，设D（x,y），则，即 所以所求点D的轨迹方程是。‎ ‎4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,‎ 建立目标函数，整理,化繁为简.‎ ‎ 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ‎ 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ‎ ， ‎ 设双曲线的方程为，则离心率 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎ ， ①‎ ‎ ② ‎ 由①式得 ， ③‎ 将③式代入②式，整理得 ‎ ‎ ，‎ 故 ‎ 由题设得，‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略．‎ ‎ 解法二：建系同解法一，，‎ ‎，又，代入整理，由题设得，‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎5、判别式法 例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。‎ 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：‎ 把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.‎ 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“‎ 有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：‎ 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解 简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：‎ ‎ ‎ 于是，问题即可转化为如上关于的方程.‎ 由于，所以，从而有 于是关于的方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可知：‎ ‎ 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于 ‎.‎ ‎ 由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .‎ 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.‎ 例4已知椭圆C:‎ 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.‎ 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.‎ 由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.‎ 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. ‎ 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程 ‎ ‎ 在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。‎ 简解：设，则由可得：，‎ 解之得： （1）‎ 设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：‎ ‎ （2）‎ ‎∴ ‎ 代入（1），化简得： (3)‎ 与联立，消去得：‎ 在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 ‎ 故知点Q的轨迹方程为： （）.‎ 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.‎ ‎6、求根公式法 例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.‎ 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.‎ 分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.‎ 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k）‎ 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;‎ 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.‎ 当时，，，‎ 所以 ===.‎ 由 , 解得 ，‎ 所以 ，‎ 综上 .‎ ‎ 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.‎ 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）‎ 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 ‎ （*）‎ 则 令，则，‎ 在（*）中，由判别式可得 ，‎ 从而有 ，所以 ，解得 .‎ 结合得. ‎ 综上，.‎ 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.‎ 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.‎ 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。‎ 例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。‎ 思维流程：‎ 写出椭圆方程 由，‎ ‎，‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 由F为的重心 ‎（Ⅱ） ‎ 两根之和，‎ 两根之积 得出关于 m的方程 解出m ‎ 消元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解题过程： ‎ ‎（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则 又∵即 ，∴ ‎ 故椭圆方程为 ‎ ‎ （Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则 设，∵，故，‎ 于是设直线为 ，由得， ‎ ‎∵ 又 得 即 ‎ 由韦达定理得 ‎ ‎ 解得或（舍） 经检验符合条件．‎ 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．‎ 例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、‎ 三点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程：‎ ‎（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；‎ 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为 得到的方程组 解出 思维流程：‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 由内切圆面积最大 转化为面积最大 转化为点的纵坐标的绝对值最大最大 为椭圆短轴端点 面积最大值为 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 得出点坐标为 解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得 解得.∴椭圆的方程 ． ‎ ‎（Ⅱ），设Δ边上的高为 ‎ 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．‎ ‎ 设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，‎ ‎ 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.‎ 点石成金： ‎ 例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 思维流程：‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将代入， 消去整理得 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 由线段中点的横坐标是， 得，解得，符合题意。‎ 所以直线的方程为 ，或 . ‎ ‎（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.‎ ① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知 ‎ 所以 ‎ 将代入，整理得 ‎ 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 ‎ ② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 ‎ ‎ 综上，在轴上存在定点，使为常数.‎ 点石成金：‎ ‎ ‎ 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）求m的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 思维流程：‎ 解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 ‎（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ‎ 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ‎ ‎（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 ‎ 则 由 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 ‎ （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.‎ ‎ 思维流程：‎ 解：∵（1）原点到直线AB：的距离.‎ ‎ 故所求双曲线方程为 ‎ ‎（2）把中消去y，整理得 .‎ ‎ 设的中点是，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 故所求k=±.‎ 点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;‎ 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎ （II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 思维流程：‎ 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，‎ ‎ 由已知得：，‎ ‎ 椭圆的标准方程为．‎ ‎ （II）设．‎ ‎ 联立 ‎ 得 ，则 ‎ ‎ ‎ 又．‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎ ，即. ．‎ ‎ ． ．‎ ‎ 解得：，且均满足．‎ ‎ 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ ‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ 点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;‎ 例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.‎ ‎（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.‎ 思维流程：‎ 解：（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,‎ ‎, （1分）‎ 解得 . 由双曲线定义得: ‎ ‎, ‎ ‎ 所求双曲线的方程为: ‎ ‎ (法二) 因,由斜率之积为,可得解.‎ ‎（Ⅱ）设,‎ ‎ (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,， ‎ 的最大值为2,无最小值. 此时,‎ 此时双曲线的渐进线方程为 ‎ ‎(法二)设,.‎ ‎(1)当时, , ‎ 此时 .‎ ‎(2)当,由余弦定理得:‎ ‎ ,‎ ‎,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)‎