2020届二轮复习等比数列性质（含等差等比数列综合题）教案（全国通用）

2020届二轮复习等比数列性质（含等差等比数列综合题）教案（全国通用）

微专题50 等比数列性质 一、基础知识 ‎1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列 ‎2、等比数列通项公式：，也可以为：‎ ‎3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项 ‎（1）若为的等比中项，则有 ‎（2）若为等比数列，则，均为的等比中项 ‎（3）若为等比数列，则有 ‎4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为 当时，则为常数列，所以 当时，则 可变形为：，设，可得：‎ ‎5、由等比数列生成的新等比数列 ‎（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 ‎（2）已知等比数列，则有 ‎① 数列（为常数）为等比数列 ‎② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 ‎③ 数列为等比数列 ‎④ 数列为等比数列 ‎6、相邻项和的比值与公比相关：‎ 设，则有：‎ 特别的：若 ‎，则成等比数列 ‎7、等比数列的判定：（假设不是常数列）‎ ‎（1）定义法（递推公式）：‎ ‎（2）通项公式：（指数类函数）‎ ‎（3）前项和公式：‎ 注：若，则是从第二项开始成等比关系 ‎（4）等比中项：对于，均有 ‎8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系 ‎，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有 ‎ 例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________‎ 思路：因为，代入条件可得：，因为，所以， ‎ 所以 ‎ 答案： ‎ 例2：已知为等比数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路一：由可求出公比：，可得，所以 思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以 答案：D 小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。‎ 例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即 ‎ 答案：A 例4：设等比数列的前项和记为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值 解：‎ ‎，解得：‎ 所以 答案：A 例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为 答案：C 例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可 解： ‎ ‎ ，设，所以 ‎ ‎ ‎ 答案：A ‎ 例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件 答案：D 例8：在等比数列中，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则 ‎ 所以 ‎ 答案：B 例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值 解：成等差数列 ‎ 将代入等式可得：‎ ‎，而为正项数列，所以不符题意，舍去 答案：C 例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________‎ 思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由 的指数幂特点可得： ，所以只需，从而解出的最大值 解：设的公比为，则有 解得：（舍）或 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以所解不等式为：‎ ‎ ‎ 可解得： ‎ ‎ 的最大值为 ‎ 答案：‎ 三、历年好题精选（等差等比数列综合）‎ ‎1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、（2018，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：① ② ③，必成等比数列的个数为（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎4、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5、（2018，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、（2018，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎ ‎7、（2018，广东）在等差数列中，若，则______‎ ‎8、（2018，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大 ‎9、（2018，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、（2018，广东）若等比数列各项均为正数，且，则 ‎12、（2018，安徽）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_______‎ ‎13、（2018，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，，其中为常数 ‎（1）证明： ‎ ‎（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由 ‎14、（2018，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎16、（2018，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由 习题答案：‎ ‎1、答案：C 解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以 ‎，等号成立当且仅当 ‎2、答案：C 解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与垂直，所以；② 直线为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：，代入可得：，所以，‎ ‎3、答案：B 解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设的公比为，可得①中若公比，则无法构成等比数列，同理③中若，则无法构成等比数列；对于②可知均能构成公比为的等比数列 ‎4、答案：D 解析：，可得在中，且最大。所以可知，从而最大 ‎5、答案：A 解析：设公差为，因为成等比数列 解得：‎ ‎ ‎ ‎，令 ‎6、答案：C 解析：A选项：反例为公差小于0，且的数列，例如：，所以A错误 B选项：同A中的例子即可判定B错误 C选项：由可知，且，则，再将统一用表示，即，所以C正确 D选项：由等差数列可得：，所以D错误 综上所述：C选项正确 ‎7、答案：10‎ 解析：，可得，所以 ‎ ‎8、答案：8‎ 解析：由可得：，由可得，从而，由此可知数列前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以前8项和最大 ‎9、答案：D 解析：由韦达定理可知，且由可知，因为可构成等比数列，所以必为等比中项，，即，所以构成等差数列，同样由判断出则等差中项只能是或，所以有或，解得或，则，所以 ‎ ‎10、解析：成等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ ‎11、答案：50‎ 解析：由可得，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，从而有：‎ ‎12、答案：1‎ 解析：方法一：设的公差为，由成等比数列可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方法二：由等比数列性质可知：，由合比性质可得： ‎ ‎13、解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，即 ‎（2）由题设可得： ‎ ‎ 由（1）可得： ‎ 若为等差数列，则 ‎ 解得： ‎ 下面验证是否能让为等差数列 由（1）可得：是首项为1，公差为4的等差数列 ‎ ‎ 是首项为，公差为4的等差数列 且 为公差是2的等差数列 ‎ ‎ ‎14、答案：D 解析：‎ ‎15、答案：D 解析：，所以，所以可得在中，最大，在中，是最小的正数。所以最大 ‎16、解析：（1）设的公差为 ‎ 成等比数列 ‎ ‎ ‎ 或 ‎ 当时，可得 ‎ 当时， ‎ 或 ‎（2）当时，，故不存在符合条件的 ‎ 当时， ‎ 令 ‎ 解得或（舍）‎ ‎，即的最小值为 ‎ 综上所述：当时，不存在符合条件的；当时，的最小值为