中考数学重要公式全归纳

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中考数学重要公式全归纳

重要公式 代数部分 一.数与式 ‎1. 2. 3. ‎ ‎4.,特别地,‎ ‎5. 6.‎ ‎ =‎ ‎2.分母有理化 ‎① ‎ ‎②‎ 3. 非负数的算术平方根 例:的算术平方根是 ‎4.(1)①分式有意义,分母不为0,例如:要使有意义,则;‎ ‎②如果分子分母中有开平方,则分子根号下的式子必须≥0,分母根号下的式子必须>0,‎ 例如:要使有意义,则3x+12≥0 解得x>2‎ ‎ 2x-4>0‎ (2) 要使分式值为0,必须保证分子为0的同时分母不为0.‎ 例如:的值为0,则,解得x=3 ‎ 二.一元二次方程 ‎1.一元二次方程求根公式:‎ ‎2.根与系数的关系(韦达定理):‎ 若一元二次方程的两根分别为,则 ‎ ‎ ‎3.△的作用 ‎△‎ 一元二次方程 二次函数 ‎>0‎ 有两个不同的实数根 与x轴有两个不同的交点 ‎=0‎ 有两个相等的实数根 与x轴只有一个不同的交点 ‎<0‎ 无实数根 x轴无交点 三.函数 ‎1.一次函数的图像和性质:‎ 名称 K、b的符号 图像 经过象限 增减性 一次函数y=kx+b(k≠0,b≠0)‎ k>0‎ b>0‎ 一、二、三 y随x的增大而增大 b<0‎ 一、三、四 k<0‎ b>0‎ 一、二、四 y随x的增大而减小 b<0‎ 二、三、四 正比例函数y=kx(k≠0)‎ ‎【是特殊的一次函数】‎ k>0‎ 一、三 y随x的增大而增大 k<0‎ 二、四 y随x的增大而减小 ‎2.(1)反比例函数的图像和性质 反比例函数 k的符号 k>0‎ k<0‎ 图像 性质 ‎①x的取值范围是x0,‎ ‎ y的取值范围是y0;‎ ‎②当k>0时,函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y随x 的增大而减小.‎ ‎①x的取值范围是x0,‎ ‎ y的取值范围是y0;‎ ‎②当k<0时,函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y随x 的增大而增大.‎ 对称性 ‎①的图象是轴对称图形,对称轴为或 ‎②的图象是中心对称图形,对称中心为原点(0,0); ‎ ‎③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.‎ ‎(2)反比例函数中反比例系数的几何意义 ‎①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段,所得矩形(如图)面积为.‎ ‎②过双曲线(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段,连接该点和原点,所得三角形(如图)的面积为.‎ ‎③双曲线(k≠0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形(如图)的面积=直角梯形的面积.‎ ‎(3)正比例函数如果与反比例函数相交,交点坐标关于原点对称.(即:若正比例函数y=‎ x与反比例函数y=相交于A(,),B(,)两点,则点A与点B关于原点对称.‎ ‎3.二次函数的图像和性质 ‎(1)顶点式的图像和性质 a的符号 图像特征 函数性质 开口向上,图像有最低点(顶点),顶点(h,k);‎ 当x=h时,函数有最小值k.‎ 是轴对称图形;‎ 对称轴是直线x=h;‎ 在对称轴的左边,图像从左至右呈下降趋势;‎ 当x<h时,y随x增大而减小;‎ 在对称轴的右边,图像从左至右呈上升趋势;‎ 当x>h时,y随x增大而增大;‎ 开口向下,图像有最高点(顶点),顶点(h,k);‎ 当x=h时,函数有最大值k.‎ 是轴对称图形;‎ 对称轴是直线x=h;‎ 在对称轴的左边,图像从左至右呈上升趋势;‎ 当x<h时,y随x增大而增大;‎ 在对称轴的右边,图像从左至右呈下降趋势;‎ 当x>h时,y随x增大而减小.‎ 可知抛物线【】可由向右平移个单位,再向上平移个单位得到. 平移规律:左加右减,上加下减.‎ ‎(2)一般式的图像和性质 a的符号 图像特征 函数性质 开口向上,图像有最低点(顶点),顶点(,);‎ 当x=时,函数有最小值.‎ 是轴对称图形;‎ 对称轴是直线x=;‎ 在对称轴的左边,图像从左至右呈下降趋势;‎ 当x<时,y随x增大而减小;‎ 在对称轴的右边,图像从左至右呈上升趋势;‎ 当x>时,y随x增大而增大;‎ 开口向下,图像有最高点(顶点),顶点(,);‎ 当x=时,函数有最大值.‎ 是轴对称图形;‎ 对称轴是直线x=;‎ 在对称轴的左边,图像从左至右呈上升趋势;‎ 当x<时,y随x增大而增大;‎ 在对称轴的右边,图像从左至右呈下降趋势.‎ 当x>时,y随x增大而减小.‎ 二次函数的图象与各项系数之间的关系 ‎ (1)二次项系数 ‎ ① 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;‎ ‎ ②当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.‎ ‎ 即|a|越大,抛物线开口越小;|a|越小,抛物线开口越大.‎ ‎【注:抛物线形状相同,指的是|a|相同】‎ ‎(2)一次项系数 ‎ 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.(左同右异 b为0对称轴为y轴)‎ ‎ 注意:当对称轴在y轴左侧时,a与b同号(即ab>0);当对称轴在y轴右侧时,a与b异号(即ab<0).‎ ‎ (3)常数项 ‎ ①当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;‎ ‎ ②当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;‎ ‎ ③当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.‎ ‎ 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.‎ 四.二次函数与一元二次方程的关系:‎ 一元二次方程ax²+bx+c=0是二次函数y=ax²+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.‎ 当△<0时,图象与x轴没有交点.‎ ‎①当a>0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y>0;‎ ‎②当a<0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y<0.‎ 函数的平移(平移对一次函数来说不改变一次项系数k,对二次函数来说不改变二次项系数a)‎ 1. 图像的平移和图像上点的平移(一样):左减右加,上加下减.‎ 2. 解析式的平移:左加右减,上加下减.‎ ‎①一般式的平移:如将二次函数向右平移m(m>0)个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到 ‎②顶点式的平移:如将二次函数向右平移m(m>0)个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到 五.二次函数图像的三大变换(平移、轴对称、旋转)‎ 抛物线解析式常见的三种形式 名称 解析式 使用范围 一般式 ‎(a≠0)‎ 已知任意三点 顶点式 ‎(a≠0)‎ 已知顶点(h,k)及另一点 交点式 ‎(a≠0)‎ 已知与x轴的两个交点()、()及另一个点 ‎2.二次函数抛物线简单的图形变换 ‎(1)顶点式【(a≠0)】‎ 名称 a 顶点(h,k)‎ 平移 a ‎(h, k)‎ ‎↓ ↓‎ 左加右减 上加下减 对 称 关于x轴对称 ‎-a ‎(h,-k)‎ 关于y轴对称 a ‎(-h,k)‎ 关于原点对称 ‎-a ‎(-h,-k)‎ 旋转(绕顶点旋转180°)‎ ‎-a ‎(h,k)‎ ‎(2)一般式【(a≠0)】‎ ‎①平移:如将二次函数向右平移m(m>0)个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到 ‎②对称 名称 a、b、c的变化 关于x轴对称 a→-a; b→-b; c→-c 关于y轴对称 a→不变;b→-b;c→不变 关于原点对称 a→-a;b→不变;c→-c 注:无论是平移、轴对称还是旋转,最好先把二次函数化成顶点式,然后再根据需要进行求解.‎ 五.两点间距离公式 A(),B()是平面直角坐标系中的两点,那么A、B两点的距离为:‎ ‎|AB|=‎ 六.两点关于一条直线对称:即这两点的连线被该直线垂直平分.‎ 已知点A和A'关于直线对称,则AA'被直线垂直平分.‎ 七.已知直线和直线,‎ 若,则 八.三点共线,且中间的点是中点,则中间点的横坐标=,中间点的纵坐标= 【图形旋转180°后求点的坐标常用到】‎ 若A(),B(),M()共线,且M为线段AB的终点,则有 十.平均数、中位数、众数 平均数 ‎(1)算术平均数:一般地,对于n个数那么 ‎(2)加权平均数:,其中分别表示出现的次数,.‎ 中位数:将n个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果n是奇数,则中间位置的数是中位数;如果n是偶数,则中间两个数的平均数是中位数.‎ 众数:一组数据中出现次数最多的数据,可能不唯一.(也就是众数可能不止一个)‎ 十一.方差和标准差 方差: 【其中,是样本数据,是样本容量,是样本平均数】‎ 标准差(S):是方差的算术平方根 无论是方差还是标准差,都可以反映数据的波动性,越大,数据越不稳定;越小,数据越稳定.‎ 十二.一元一次不等式组解集的表示方法 十三.列表法或画树状图求随机事件的概率 ‎1.利用树状图法求随机事件发生的概率,需备具两个条件:‎ ‎(1)两步或两步以上试验的事件发生的概率,且各种情况出现的总次数不是很大;‎ ‎(2)一次试验中,各种结果发生的可能性相等.‎ ‎ 2.利用列表法求随机事件发生的概率 ‎(1)涉及两步试验的随机事件发生的概率,且各种情况出现的总次数不是很大;‎ ‎(2)一次试验中,各种结果发生的可能性相等.‎ 列表法注意事项 不放回实验:所列表格对角线上无数据;‎ 放回实验:所列表格对角线上有数据.‎ 注:列表或画图时,要注意不能遗漏任何一种等可能的结果,也不能重复列举.‎ 游戏公平是否公平:看游戏双方获胜的机会是否相等.‎ ‎3.用频率估计概率:当试验次数足够大时,频率将稳定在一个常数附近,此时可以用这个稳定的数值估计事件发生的概率.‎ 几何部分 一.三角形 ‎1.三角形的面积公式:‎ ‎①(a是三角形的底,h是底所对应的高)‎ ‎②(其中,三个角为∠A,∠B,∠C,对边分别为a,b,c)‎ ‎③‎ ‎④(为高所在边的中位线)‎ ‎⑤ (海伦公式)【其中,三个角为∠A,∠B,∠C,对边分别为a,b,c,】‎ ‎⑥(其中,R是外接圆半径)‎ 注:边长为a的等边三角形的面积 ‎2.三角形的四心:‎ (1) 重心:三角形三条中线的交点叫做三角形重心.‎ ‎ 性质:①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1‎ ‎ ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.‎ ‎(2)外心 三角形三边的垂直平分线的交点,称为三角形外心.‎ 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心即三角形外心,外心到三顶点距离相等. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆.‎ ‎(3)内心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点.‎ 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心即是三角形内心,内心到三角形三边距离相等.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有且只有一个内切圆.‎ ‎(4)垂心 三角形三边上的三条高或其延长线交于一点,称为三角形垂心.‎ 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角的顶点;钝角三角形的垂心在三角形外.三角形只有一个垂心.‎ (5) 直角三角形 性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若∠BAC=90°,则AB²+AC²=BC²(勾股定理)‎ 性质2:在直角三角形中,两个锐角互余.若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°‎ 性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径).‎ 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.(等积法)‎ 性质5:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:‎ ‎(1)AD²=BD·DC; (2)AB²=BD·BC;(3)AC²=CD·BC 性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.‎ 在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.‎ (5) 三角形全等证明方法:‎ 一般三角形:SSS、SAS、ASA、AAS; Rt三角形:SSS、SAS、ASA、AAS、HL (6) 三角形相似 ‎ 相似三角形的判定方法:‎ 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.‎ ‎①两角对应相等;(AA)‎ ‎②两边对应成比例,且夹角相等;(SAS)‎ ‎③三边对应成比例.(SSS)‎ ‎①一个锐角对应相等;‎ ‎②两条边对应成比例:‎ a. 两直角边对应成比例;‎ b. 斜边和一直角边对应成比例.(HL)‎ 黄金分割:如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. ‎ 相似三角形的性质 ‎①相似三角形的对应角相等;‎ ‎②相似三角形的对应边成比例;‎ ‎③相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;‎ ‎④相似三角形的周长比等于相似比;‎ ‎⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ ‎※全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 【注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.】‎ 基本类型 ‎(7)比例的基本性质 比例的基本性质是.‎ 将其进行变形,可以得到如下比例式:‎ ‎①;②;③‎ 合比性质:如果;‎ 等比性质:如果;‎ ‎【如果】‎ ‎(8)平行线分线段成比例 基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.‎ 如图:虽然图(1)和图(2)是两种形式,但是结论是相同的.‎ 用数学表达式表示为:‎ ‎(简记为:); (简记为:); (简记为:);(简记为:)‎ 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.‎ ‎(9)位似图形 ‎ ①定义:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.‎ ‎②性质 a.位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;‎ b.位似图形对应线段的比等于相似比;‎ c.位似图形的对应角都相等;‎ d.位似图形对应点连线的交点是位似中心;‎ e.位似图形面积的比等于相似比的平方;‎ f.位似图形高、周长的比都等于相似比;‎ g.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.‎ ‎③给出一个图形和位似中心,在位似中心的两侧各有一个符合要求的图形,最好做两个.‎ 例如:如何把三角形ABC放大为原来的2倍?‎ 二.三角函数 ‎1.正弦值(sin)= 余弦值(cos)= 正切值(tan)=‎ ‎【坡度或坡比即坡角的正切值】‎ 2. 特殊角的三角函数值表 名称 ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ sinα ‎0‎ ‎1‎ cosα ‎1‎ ‎0‎ tanα ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎3.图形记忆法:‎ 三.四边形 ‎(1)平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等;‎ ‎(2)对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半;‎ ‎(3)一般平行四边形与特殊平行四边形的关系:‎ ‎①平行四边形+一个角是直角=矩形 ‎ 平行四边形+对角线相等=矩形 ‎②平行四边形+一组邻边相等=菱形 ‎ 平行四边形+对角线互相垂直=菱形 ‎③平行四边形+一组邻边相等+一个角等于90°=正方形 ‎ 平行四边形+对角线相等且互相垂直=正方形 四.多边形的性质 多边形 内角和定理 ‎ n边形的内角和=(n-2)×180°(n≥3)‎ 外角和定理 ‎ n边形的外角和=360°‎ 对角线 过n(n≥3)边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线 正多边形 内角 ‎ 每个内角=‎ 对称轴 ‎ n条 五.圆 ‎(1)圆的内接四边形对角互补. 圆的内接平行四边形是矩形.‎ ‎(2)圆的内接四边形中,面积和周长最大的四边形均是正方形;【注:四边形的四个角是任意度数时】‎ ‎(3)圆的外切四边形对边之和相等;圆的外切平行四边形是菱形.‎ ‎(4)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.‎ ‎(与圆相切的直线,同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角)‎ 弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半.等于它所夹的弧的圆周角度数.‎ ‎(5)弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数;‎ ‎☆☆尺规作图:若要作60°的角,必须先做等边三角形,再作该等边三角形的外接圆.‎ ‎(6)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.‎ 垂径定理推论 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平.‎ 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.‎ 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.‎ 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.‎ ‎(7)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.‎ (8) 圆外一点与圆上任意一点的距离:‎ AO-r≤PA≤AO+r(A为⊙O外一点,r为⊙O半径,P为⊙O上任意一点)‎ (9) 与圆有关的计算 弧长公式:①圆的周长:C=2πR ②弧长:‎ 面积公式:①圆的面积: ②扇形的面积=‎
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