黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三4月线上线下教学检测数学（文）试题

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三4月线上线下教学检测数学（文）试题

牡一中2017级高三学年线上线下教学检测性考试 数学文科试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则满足条件的集合B的个数为( )‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 7 D. 8‎ ‎2.已知为虚数单位，，复数，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（ ）‎ A. 这五年，2013年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C. 这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2017年进口增速最快 ‎4.已知，，，若，则( )‎ A. 6 B. C. 16 D. 20‎ ‎5.已知命题p:“，”的否定是“，”；命题q:“”的一个充分不必要条件是“”，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的 ‎“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知函数，，，为图象的对称中心，， 是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是　　‎ A．，， B．，， ‎ C．，， D．，，‎ ‎9、函数的图像大致为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、已知正方形的边长为2，点为边中点，点为边中点，将，分别沿 ,折起，使三点重合于M点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知,则___________.‎ 14． 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，‎ 则a＝________，该几何体的表面积为________．‎ 15． 在中，内角所对的边分别为，若，‎ 则________，的最大值为_________.‎ ‎16、已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则 ‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若（），求的值.‎ ‎18.如图，多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得，，点为的中点.‎ ‎（1）求证:平面；（2）求点到平面的距离.‎ ‎19.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．‎ ‎（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；‎ ‎（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎20.设椭圆（）的左右焦点分别为，椭圆的上顶点为点，点为椭圆上一点，且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，过点直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）求直线与曲线相切时，切点的坐标；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程（10分）‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎(2)若分别为曲线和曲线上的动点，求的最大值.‎ 选修4-5：不等式选讲（10分）‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）若时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．‎ 选择题 1、 D 2、B 3、C 对于选项A：观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A正确;‎ 对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B正确;‎ 对于选项C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;‎ 对于选项D：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;‎ ‎4、D 解：，， ， 又，， 解得，，. 5、D 命题p：“，”的否定是“，或”.则命题是假命题. 命题q：“”的一个充分不必要条件是“”，为真命题. 则为真命题，其余为假命题. ‎ 6、 C 如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.‎ 第2次操作后，图形中有3×3=个小正三角.‎ 第3次操作后，图形中有9×3=个小正三角.‎ ‎…………………………‎ 所以第7次操作后，图形中有 个小正三角.‎ 故选：C 6、 A ‎8、C 解：函数，，‎ ‎，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，‎ ‎，即，求得．‎ 再根据，，可得，．‎ 令，求得，‎ 故的单调递增区间为，，，‎ ‎9、A 对于选项D:由题意可得, 令函数 ,‎ 则,;‎ 即.故选项D排除;‎ 对于选项C：因为,故选项C排除;‎ 对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;‎ 10、 C 作图如下：‎ 由题意可得为等腰直角三角形,且平面MEF,‎ 将三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形,然后扩展为正四棱柱,‎ 三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一球,正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为：,所以球的半径为,‎ 所以三棱锥的外接球的表面积为,‎ 11、 D 解：根据题意，‎ 当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，‎ 此时将存款（含利息）全部取回，‎ 则取回的钱的总数： ；‎ ‎12、B 解：函数，导数．‎ 由题意可得，，且．即有，‎ 化为，而，‎ ‎，化为对，都成立，‎ 令，，，，对，恒成立，‎ 即在，递增，（4），，‎ ‎，即的取值范围是，．‎ 一、 填空 ‎13、‎ ‎14． 答案　1　3＋ 解析　如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a的正方形，平面SAB⊥平面ABCD，并且∠SAB＝90°，SA＝2，所以体积是V＝×a2×2＝，解得a＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S＝12＋×1×2＋×1×＋×1×2＋×1×＝3＋.‎ ‎15.答案为:3;‎ 因为，由正余弦定理可得, ‎ ‎,整理可得,‎ ‎，即3；‎ 因为,所以，‎ 由题意可得，,当时,C角有最大值,有最大值,‎ 所以,即.‎ ‎16.3‎ ‎17.（1）设等差数列的公差为，‎ 由得，，整理得.‎ 又∵，∴，∴（）.‎ ‎（2）可化为，‎ 解得.‎ ‎18.（1）设与交于点E，连接.‎ ‎∵多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得， ，∴四边形是正方形，四边形､均为直角梯形，其中，.‎ ‎∵点D为的中点，平行且等于，∴.‎ 又，∴‎ ‎.∵E为的中点，∴.又∵，，∴平面；‎ ‎（2）设点到平面的距离为d， ∵，‎ 点D到平面的距离即为边上的高，即为， ∴.又∵，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴，即点到平面的距离为.‎ ‎19.解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：‎ ‎．‎ 完成频率分布直方图如下：‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：‎ ‎（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，‎ 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，‎ 基本事件总数10，‎ 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数4，‎ 他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎20.（1） 设（），， ，‎ 所以，得 ‎，即，‎ 又∵（）在椭圆上，‎ ‎∴，得，即椭圆的离心率为.‎ ‎（2） 由（1）知，.又∵，，‎ 解得，，∴椭圆的方程为.‎ 当线段在轴上时，线段的中点为坐标原点（0，0）.‎ 当线段不在轴上时，设直线的方程为，，，‎ 将直线的方程为代入椭圆方程中，得.‎ ‎∵点在椭圆内部，∴，，则，‎ ‎∴点的坐标满足，，消去得，（）.‎ 综上所述，点的轨迹方程为.‎ ‎21.因为函数，所以，‎ 设直线与曲线相切的切点的坐标为，‎ 则，整理化简得.‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴由零点存在性定理可得,在最多有一个实数根.‎ 又∵，∴，此时，‎ 即切点的坐标为（1，0）.‎ ‎（2）当时，恒成立，等价于对恒成立.‎ 令，则，.‎ ‎①当，时，，‎ ‎∴，在上单调递增，因此符合题意.‎ ‎②当时，令得.‎ 由与得，.‎ ‎∴当时，，单调递减，‎ ‎∴当时，，不符合题意；‎ 综上所述得，的取值范围是.‎ ‎22.(1)曲线的直角坐标方程为.‎ 由，，，‎ 得，‎ 即的直角坐标方程为：. ‎ ‎(2)由(1)得的圆心为，半径，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴当时，，∴的最大值为.‎ ‎23.解：（1）若时，，‎ 当时，原不等式可化为解得，所以，‎ 当时，原不等式可化为得，所以，‎ 当时，原不等式可化为解得，所以，‎ 综上述：不等式的解集为；‎ ‎（2）当，时，由得，即，‎ 故得，‎ 又由题意知：，即，故的范围为，．‎