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文档介绍
2020年北京市海淀实验学校中考数学训练卷(含答案)
2020年北京市海淀实验学校中考数学训练卷 一.选择题(每题2分,满分16分) 1.随着我国金融科技的不断发展,网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分,今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元.将数据“2135亿”用科学记数法表示为( ) A.2.135×1011 B.2.135×107 C.2.135×1012 D.2.135×103 2.某正方体的平面展开图如图所示,则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是( ) A.青 B.来 C.斗 D.奋 3.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠EAC的度数是( ) A.40° B.65° C.70° D.75° 4.下列计算正确的是( ) A.2﹣2=﹣4 B.=2 C.2a3+3a2=5a5 D.(a5)2=a7 5.长方形的长为10cm、宽为6cm,它的各边都减少xcm,得到的新长方形的周长为ycm,则y与x之间的关系式是( ) A.y=32﹣4x(0<x<6) B.y=32﹣4x(0≤x≤6) C.y=(10﹣x)(6﹣x)(0<x<6) D.y=(10﹣x)(6﹣x)(0≤x≤6) 6.在平面直角坐标系中,以原点为旋转中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为( ) A.(4,﹣3) B.(﹣4,3) C.(﹣3,4) D.(﹣3,﹣4) 7.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=的图象上,作射线AB,交反比例函数图象于另一点M,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则CM的长度为( ) A.5 B.6 C.4 D.5 8.如图①,AB=2,点C在线段AB上,且满足=如图②,以图①中的AC,BC长为边建构矩形ACBF,以CB长为边建构正方形CBDE,则矩形AEDF的面积为( ) A.14﹣6 B.4﹣8 C.10﹣22 D.10﹣20 二.填空题(满分16分,每小题2分) 9.关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1,则方程的另一个根是 . 10.若点P(2﹣a,2a+3)到两坐标轴的距离相等.则点P的坐标是 . 11.已知y﹣3与x成正比例,且x=2时,y=7,则x与y的函数关系式为 . 12.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,依题意列方程为 . 13.如图,在△ABC中∠ACB=45°,,BC=12,以AB为直角边、A为直角顶点作等腰直角三角形ABD,则CD= . 14.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其图象与x轴的一个交点为(,0),则不等式ax2+bx+c≤0的解集为 . 15.如图,在⊙O中,A,B,C是⊙O上三点,如果∠AOB=74°,那么∠C的度数为 . 16.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P,若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为 . 三.解答题 17.(5分)计算:(﹣1)2019﹣+(π﹣3)0+4cos45° 18.(5分)先化简,再求值:(2﹣)÷,其中x=﹣3. 19.(5分)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC=AE+CD. 20.(5分)长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材,甲品牌有A、B、C三种型号,乙品牌有D、E两种型号,现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠. (1)下列事件是不可能事件的是 A.选购甲品牌的B型号; B.选购甲品牌的C型号和乙品牌的D型号; C.既选购甲品牌也选购乙品牌; D.只选购乙品牌的E型号. (2)用列表法或树状图法,写出所有的选购方案,若每种方案被选中的可能性相同,求A型号的器材被选中的概率? 21.(5分)如图,AB是⊙O的直径,AC⊥AB,BC交⊙O于点D,点E在劣弧BD上,DE的延长线交AB的延长线于点F,连接AE交BD于点G. (1)求证:∠AED=∠CAD; (2)若点E是劣弧BD的中点,求证:ED2=EG•EA; (3)在(2)的条件下,若BO=BF,DE=2,求EF的长. 22.(5分)如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=图象的两个交点. (1)求此反比例函数和一次函数的解析式; (2)直接写出△AOB的面积; (3)根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 23.(6分)如图1,AC是菱形ABCD的对角线,E是BC上的点,连接AE且AE=AC. (1)若∠D=30°,BE=4,求AC的长; (2)如图2,过C作CH⊥AB于H,F为CD上一点,连接AF,若∠DAF=∠BAE,DF=AH,求证:3AH=AB. 24.(6分)已知:如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,且E为CD中点,过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F. (1)求证:BF是⊙O的切线; (2)连结BC,若⊙O的半径为2,tan∠BCD=,求线段AD的长. 25.(6分)代数式2x+3中,当x取a﹣3时,问2x+3是不是a的函数?若不是,请说明理由;若是,也请说明理由,并请以a的取值为横坐标,对应的2x+3值为纵坐标,画出其图象. 26.(6分)在平面直角坐标系xOy中抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度,得到点B. (1)求点B的坐标; (2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a向下翻折在平面上,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新的图象,记为图形M,结合图象,分别求出图形M与线段AB恰好①没有公共点;②有两个公共点;③有三个公共点时,a的取值范围. 27.(7分)【综合与实践】如图①,在正方形ABCD中,点E、F分别在射线CD、BC上,且BF=CE,将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG,连接EG,试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系. 【观察与猜想】任务一:“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②,当点E与点D重合,点F与点C重合时,易知:EG与BF的数量关系是 ,EG与BF的位置关系是 . 【探究与证明】任务二:“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置,他们分两种情况,一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时(如图③);一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时(如图④),线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立.请你选择其中一种情况给出证明. 【拓展与延伸】“创新小组”同学认为,若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD,且=k(k≠1)”,点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时,仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°,并适当延长得到线段FG,连接EG(如图⑤),则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件 时,线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立.(请你在横线上直接写出这个条件,无需证明) 28.(7分)如图1,A(1,0)、B(0,2),双曲线y=(x>0) (1)若将线段AB绕A点顺时针旋转90°后B的对应点恰好落在双曲线y=(x>0)上 ①则k的值为 ; ②将直线AB平移与双曲线y=(x>0)交于E、F,EF的中点为M(a,b),求的值; (2)将直线AB平移与双曲线y=(x>0)交于E、F,连接AE.若AB⊥AE,且EF =2AB,如图2,直接写出k的值 . 参考答案 一.选择题 1.解:2135亿=213500000000=2.135×1011, 故选:A. 2.解:由:“Z”字型对面,可知春字对应的面上的字是奋; 故选:D. 3.解:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC, ∵BD∥AE, ∴∠BAE=∠ABD,∠E=∠DBC, ∴∠BAE=∠E=35°,∠ABC=70°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=70°, ∴∠BAC=180°﹣70°﹣70°=40°, ∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=35°+40°=75°, 故选:D. 4.解:A、2﹣2=,此选项错误; B、=2,此选项正确; C、2a3与3a2不是同类项,不能合并,此选项错误; D、(a5)2=a10,此选项错误; 故选:B. 5.解:∵长方形的长为10cm、宽为6cm,它的各边都减少xcm,得到的新长方形的周长为ycm, ∴y与x之间的关系式是:y=2[(10﹣x)+(6﹣x)]=32﹣4x (0≤x≤6). 故选:B. 6.解:如图所示,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(﹣4,3). 故选:B. 7.解:如图,过A作AD⊥y轴于D,将AB绕着点B顺时针旋转90°,得到A'B,过A'作A'H⊥y轴于H, 由AB=BA',∠ADB=∠BHA'=90°,∠BAD=∠A'BH,可得△ABD≌△BA'H, ∴BH=AD=2, 又∵OB=2, ∴点H与点O重合,点A'在x轴上, ∴A'(1,0), 又∵等腰Rt△ABA'中,∠BAA'=45°,而∠BAC=45°, ∴点A'在AC上, 由A(2,3),A'(1,0),可得直线AC的解析式为y=3x﹣3, 解方程组, 可得或, ∴C(﹣1,﹣6), 由点A(2,3)和点B(0,2),可得直线AB的解析式为y=x+2, 解方程组,可得或, ∴M(﹣6,﹣1), ∴CM==5, 故选:D. 8.解:由=得, AC===﹣1, BC===3﹣, 因为CBDE为正方形,所以EC=BC, AE=AC﹣CE=AC﹣BC=(﹣1)﹣(3﹣)=2﹣4, 矩形AEDF的面积:AE•DE=(2﹣4)×(3﹣)=10﹣22. 故选:C. 二.填空 9.解:设方程的另一根为x, ∵关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1, ∴1+x=3, 解得,x=2; 故答案x=2. 10.解:由P(2﹣a,2a+3)到两坐标轴的距离相等,得: 2﹣a=2a+3或2﹣a=﹣2a﹣3, 解得a=﹣5或a=﹣, 当a=﹣5时,2﹣a=7,即点的坐标为(7,﹣7), 当a=﹣时,2﹣a=,即点的坐标为(,); 故答案为:(7,﹣7)或(,). 11.解:y﹣3与x成正比例, ∴设函数解析式为:y﹣3=kx, ∵当x=2时,y=7, ∴7﹣3=2k k=2, 则y与x的函数关系式是:y﹣3=2x, 即:y=2x+3. 故答案为:y=2x+3. 12.解:设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(x﹣6)个零件, 依题意,得:=. 故答案为:=. 13.解:将△ACD绕着点A逆时针旋转90°得到△AEB,连接BE, 则AE=AC=,∠CAE=∠BAD=90°,BE=CD, ∴△ACE是等腰直角三角形, ∴∠ACE=45°,EE=AC=5, ∵∠ACB=45°, ∴∠BCE=90°, ∴BE===13, ∴BE=CD=13. 故答案为:13. 14.解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(,0),且其对称轴为x=﹣1 ∴﹣(﹣1)=,﹣1﹣=﹣ ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣,0) ∴结合函数图象可得,不等式ax2+bx+c≤0的解集为:x≤﹣或x≥. 故答案为:x≤﹣或x≥. 15.解:∵∠AOB与∠ACB都对,且∠AOB=74°, ∴∠ACB=∠AOB=37°, 故答案为:37°. 16.解:利用作图得点OP为第二象限的角平分线, 所以a+b=0. 故答案为a+b=0. 三.解答 17.解:原式=﹣1﹣2+1+4×, =﹣1﹣2+1+2, =0. 18.解:原式=×=, 把x=﹣3代入得:原式===1﹣2. 19.证明:在AC上取AF=AE,连接OF, ∵AD平分∠BAC、 ∴∠EAO=∠FAO, 在△AEO与△AFO中, ∴△AEO≌△AFO(SAS), ∴∠AOE=∠AOF; ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, ∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=(∠ACB+∠BAC)=(180°﹣∠B)=60° 则∠AOC=180°﹣∠ECA﹣∠DAC=120°; ∴∠AOC=∠DOE=120°,∠AOE=∠COD=∠AOF=60°, 则∠COF=60°, ∴∠COD=∠COF, ∴在△FOC与△DOC中,, ∴△FOC≌△DOC(ASA), ∴DC=FC, ∵AC=AF+FC, ∴AC=AE+CD. 20.解:(1)A、选购甲品牌的B型号是随机事件; B、选购甲品牌的C型号和乙品牌的D型号是随机事件; C、既选购甲品牌也选购乙品牌是必然事件; D、只选购乙品牌的E型号是不可能事件; 故选:D; (2)用树状图法表示是: 由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中A选中有2种结果,即AD、AE, ∴选中A型号的概率=. 21.(1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵AC⊥AB, ∴∠CAB=90°, ∴∠ABD=∠CAD, ∵=, ∴∠AED=∠ABD, ∴∠AED=∠CAD; (2)证明:∵点E是劣弧BD的中点, ∴=, ∴∠EDB=∠DAE, ∵∠DEG=∠AED, ∴△EDG∽△EAD, ∴, ∴ED2=EG•EA; (3)解:连接OE, ∵点E是劣弧BD的中点, ∴∠DAE=∠EAB, ∵OA=OE, ∴∠OAE=∠AEO, ∴∠AEO=∠DAE, ∴OE∥AD, ∴, ∵BO=BF=OA,DE=2, ∴, ∴EF=4. 22.解:(1)把(﹣4,2)代入y=得2=,则m=﹣8. 则反比例函数的解析式是y=﹣; 把(n,﹣4)代入y=﹣得n=﹣=2, 则B的坐标是(2,﹣4). 根据题意得: 解得, 所以一次函数的解析式是y=﹣x﹣2; (2)设AB与x轴的交点是C,则C的坐标是(﹣2,0). 则OC=2, S△AOC=2,S△BOC=4, 则S△AOB=6; (3)由函数图象可知x的取值范围时﹣4<x<0或x>2. 23.(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∠D=30°, ∴∠B=30°,∠ACB=∠ACD=∠BCD=×(180°﹣30°)=75°, 过点E作EF⊥AB于F,如图1所示: 则∠BEF=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°, ∵AE=AC, ∴∠ACE=∠AEC=75°, ∴∠AEF=180°﹣∠AEC﹣∠BEF=180°﹣75°﹣60°=45°, ∴△AEF是等腰直角三角形, ∴AE=EF, 在Rt△BEF中,EF=BE=×4=2, ∴AC=AE=2; (2)证明:在线段AB上取点G,使BG=BE,如图2所示: ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B=∠D,AB=AD=BC, 在△BAE和△DAF中,, ∴△BAE≌△DAF(ASA), ∴BE=DF,AE=AF, ∴BG=DF, 在△CBG和△BAE中,, ∴△CBG≌△BAE(SAS), ∴CG=AE=AC, ∵CH⊥AB, ∴AH=HG, ∵AH=DF,BG=DF, ∴AH=HG=BG, ∴3AH=AB. 24.(1)证明:∵⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,且E为CD中点, ∴AB⊥CD,∠AED=90°, ∵CD∥BF, ∴∠ABF=∠AED=90°, ∴AB⊥BF, ∵AB是⊙O的直径, ∴BF是⊙O的切线; (2)解:连接BD, ∴∠BCD=∠BAD, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵tan∠BCD=tan∠BAD=, ∴=, ∴设BD=3x,AD=4x, ∴AB=5x, ∵⊙O的半径为2,AB=4, ∴5x=4,x=, ∴AD=4x=. 25.解:代数式2x+3中,当x取a﹣3时,2x+3是a的函数. 理由:设y=2x+3. 当x=a﹣3时,y=2(a﹣3)+3, ∴y=2a﹣3, ∵y是a的函数, ∴2x+3是a的函数. 画出函数图象,如图所示. 26.解:(1)∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3, ∴A(0,﹣3), ∵将点A向右平移4个单位长度,得到点B. ∴B(4,﹣3); (2)∵A(0,﹣3), ∴当a<﹣3时,图形M与线段AB恰好没有公共点; 当a=1时,y=x2﹣2x﹣3沿着y=1翻折,此时,图形M与线段AB恰有两个公共点. 当函数经过点A时,a=0,有三个交点. ∵图形M与线段AB恰有两个公共点, ∴y=a要在AB线段的上方, ∴a>﹣3 ∴﹣3<a<0. 27.【观察与猜想】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD,∠ACB=∠ACD=45°, 由旋转的性质得:GC=AC,∠ACG=90°, ∴∠ACB=∠GCD=45°, 在△ABC和△GDC中,, ∴△ABC≌△GDC(SAS), ∴AB=GD,∠GDC=∠B=90°, ∴DG∥BC,△CDG是等腰直角三角形, ∴DG=CD=BC, ∵点E与点D重合,点F与点C重合, ∴EG=BF,EG∥BF; 故答案为:EG=BF,EG∥BF; 【探究与证明】证明:点E、F分别在CD、BC边上任意位置时,如图③所示: 作GM⊥BC,交BC延长线于M,则∠GMF=90°,MG∥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠BCD=∠B=90°, ∴∠BAF+∠BFA=90°, 由旋转的性质得:GF=AF,∠AFG=90°, ∴∠BFA+∠MFG=90°, ∴∠BAF=∠MFG, 在△ABF和△FMG中,, ∴△ABF≌△FMG(AAS), ∴AB=FM,BF=MG, ∵AB=BC, ∴BF=CM, ∵BF=CE, ∴MG=CE, ∵MG∥CE, ∴四边形CEGM是平行四边形, 又∵∠GMF=90°, ∴四边形CEGM是矩形, ∴EG=CM,EG∥CM, ∴EG=BF,EG∥BF; 点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时,如图④所示: 作GM⊥BC,交BC延长线于M,则∠GMF=90°,MG∥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠BCD=∠B=90°, ∴∠BAF+∠BFA=90°, 由旋转的性质得:GF=AF,∠AFG=90°, ∴∠BFA+∠MFG=90°, ∴∠BAF=∠MFG, 在△ABF和△FMG中,, ∴△ABF≌△FMG(AAS), ∴AB=FM,BF=MG, ∵AB=BC, ∴BF=CM, ∵BF=CE, ∴MG=CE, ∵MG∥CE, ∴四边形CEGM是平行四边形, 又∵∠GMF=90°, ∴四边形CEGM是矩形, ∴EG=CM,EG∥CM, ∴EG=BF,EG∥BF; 【拓展与延伸】解:==k(k≠1)时,线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立;理由如下: 作GM⊥BC,交BC延长线于M,如图⑤所示: 则∠GMF=90°,MG∥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠BCD=∠B=90°, ∴∠BAF+∠BFA=90°,∠B=∠GMF, 由旋转的性质得:∠AFG=90°, ∴∠BFA+∠MFG=90°, ∴∠BAF=∠MFG, ∴△ABF∽△FMG, ∴==, ∵==k, ∴==k,==k, ∴FM=BC,GM=CE, ∴BF=CM, ∵MG∥CE, ∴四边形CEGM是平行四边形, 又∵∠GMF=90°, ∴四边形CEGM是矩形, ∴EG=CM,EG∥CM, ∴EG=BF,EG∥BF; 故答案为:==k(k≠1). 28.解:(1)设旋转后点B的对应点为点C,过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示 ∵∠BAC=90°, ∴∠BAO+∠CAD=90°, ∵∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠ABO=∠CAD, 在△OAB和△DCA中, , ∴△OAB≌△DCA(AAS), ∴CD=OA=1, AD=OB=2, ∴OD=OA+AD=3, ∴C(3,1), 把C(3,1)代入y=中,得k=3, 故答案为:3; (2)直线AB表达式中的k值为﹣2,AB∥EF,则直线EF表达式中的k值为﹣2, 设点E(m,n),mn=3, 直线EF的表达式为:y=﹣2x+t, 将点E坐标代入上式并解得,直线EF的表达式为y=﹣2x+2m+n, 将直线EF表达式与反比例函数表达式联立并整理得: 2x2﹣(2m+n)x+3=0, x1+x2=,x1x2=, 则点F(n,), 则a=(),b=(n+), ===2; (3)故点E作EH⊥x轴交于点H, 由(1)知:△ABO∽△EHA, ∴,设EH=m,则AH=2m, 则点E(2m+1,m),且k=m(2m+1)=2m2+m, 直线AB表达式中的k值为﹣2,AB∥EF,则直线EF表达式中的k值为﹣2, 设直线EF的表达式为:y=﹣2x+b,将点E坐标代入并求解得:b=5m+2, 故直线EF的表达式为:y=﹣2x+5m+2, 将上式与反比例函数表达式联立并整理得:2x2﹣(5m+2)x+3=0, 用韦达定理解得:xF+xE=,则xF=, 则点F(m,4m+2), 则EF==2AB=2×, 整理得:3m2+4m﹣4=0, 解得:m=或﹣2(舍去负值), k=m(2m+1)=2m2+m=.查看更多