2020届二轮复习导数的应用教案（全国通用）

2020届二轮复习导数的应用教案（全国通用）

‎【例1】已知函数,求导函数,并确定的单调区间.‎ 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．‎ ‎【点评】（1）求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带 等号），最后求二者的交集，把它写成区间.（2）注意分类讨论的思想.‎ ‎【反馈检测1】已知函数 应用二 求函数的极值 解题步骤 先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.‎ ‎【例2】已知函数.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∵在区间上有最值，‎ ‎∴在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，又，∴‎ 则题意知：对任意，恒成立，∴‎ ‎，因为，∴，‎ 对任意，恒成立 ‎∴，∵，∴‎ ‎∴. ‎ ‎【点评】（1）考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程在上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为恒成立，利用分离参数得解. #‎ ‎【反馈检测2】设函数（），其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．‎ 应用三 求函数的最值 解题步骤 ‎（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.‎ ‎（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.‎ 【例3】 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）的定义域为， 的导数. 令，解得 ‎；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值. ‎ 故是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是. ‎ ‎【点评】（1）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值.（2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用.‎ ‎【反馈检测3】已知函数 ‎(Ⅰ)当时, 求的最大值;‎ ‎(Ⅱ) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 应用四 证明不等式 解题步骤 一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.‎ ‎【例4】求证下列不等式 ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ ‎（2）原式 令 ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎ 因为 ∴ ‎ ‎（3）令 ‎ 因为 ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎【方法点评】证明函数不等式，一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.‎ ‎【反馈检测4】设，．‎ ‎（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，恒有．‎ 应用五 解应用题 解题步骤 ‎（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数，解方程；（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明. #‎ ‎【例5 】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎（Ⅰ）求的值及的表达式；‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.‎ ‎【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数知识解决实际问题的能力.（2）理解函数f（x）的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.‎ ‎【反馈检测5】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.‎ ‎（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？‎ ‎（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ ‎ ‎ 高中数常见题型解法归纳及反馈检测第19讲：‎ 导数的应用参考答案 ‎【反馈检测1答案】时，在上也是增函数；时，在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在 上单调递增.‎ ‎【反馈检测2答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）证明见解析. #‎ ‎【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）解：当时，，得，且 ‎，．‎ 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．‎ ‎（1）若，当变化时，的正负如下表：‎ 因此，函数在处取得极小值，且；‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（2）若，当变化时，的正负如下表：‎ 因此，函数在处取得极小值，且；‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．‎ 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，‎ 只要 即　　①‎ 设，则函数在上的最大值为．‎ 要使①式恒成立，必须，即或．‎ 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．‎ ‎【反馈检测3答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 存在符合条件.‎ ‎(Ⅱ)答: 存在符合条件.‎ 解: 因为=,不妨设任意不同两点，其中 则 ,由 知: 1+.‎ 因为，所以1+，‎ 故存在符合条件.‎ ‎【反馈检测4答案】（Ⅰ）在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）解：根据求导法则有，‎ 故，于是，‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值 ‎．‎ ‎【反馈检测5答案】（1）从甲地到乙地要耗油升；（2）当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为升.‎ ‎【变式演练5详细解析】（1）若千米/小时，每小时耗油量为升/小时. 共耗油 升.所以，从甲地到乙地要耗油升.‎ ‎（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，，耗油量为升. ‎ 则， ， ‎ 令，解得，. ‎ 列表：‎ 单调减 极小值 单调增 所以，当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为升.‎