人教A数学必修二 直线与方程 直线的倾斜角与斜率学习过程

人教A数学必修二 直线与方程 直线的倾斜角与斜率学习过程

直线的倾斜角与斜率 学习过程 知识点1：直线的倾斜角 （1） 定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。‎ ‎（2）如图中的是直线的倾斜角，当直线和轴平行或重合时，我们就规定直线的倾斜角为.因此，倾斜角的取值范围是.‎ （2） 关于理解直线倾斜角应注意的几点:‎ ‎①清楚定义中含有的三个条件：A.直线向上方向；B. 轴的正方向；C.小于平角的正角.‎ ‎②从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.‎ ‎③倾斜角的取值范围是：.‎ ‎④倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对轴正方向的倾斜程度.‎ ‎⑤平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.‎ ‎⑥确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.‎ 知识点2：直线的斜率 ‎（1）、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即 ‎（2）、几点说明：‎ ‎①当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直与轴（或平行于轴或与轴重合）；‎ ‎②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；‎ ‎③直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度，当时，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大；当时，斜率越大，倾斜角越大.‎ ‎（3）、斜率的公式：直线上两点且，则直线的斜率 知识点3：两条直线的位置关系 设 ‎（1）、两直线平行 ‎（2）、两直线重合 ‎（3）、两直线相交 ‎（4）、两直线垂直 学习结论：‎ ‎（1）、直线的倾斜角的取值范围为.‎ 任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线的倾斜角的范围是.‎ ‎（2）、直线的斜率的求法；‎ ① 利用倾斜角的正切来求；②利用直线上两点的坐标来求；③当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的.‎ ‎（3）、∥或、的斜率都不存在且不重合.‎ ‎（4）、⊥或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.‎ 典型例题 例题1：设直线的斜率是，且，求直线倾斜角的范围.‎ 解析：当时，；当时，；所以直线倾斜角的范围是.‎ 例题2：已知线段PQ两端点的坐标分别是( -1 , 1 ) 、( 2 , 2 )，若直线与PQ线段有交点，求m的范围.‎ 解析：解法一：直线恒过点.‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎∴‎ 又m=0时直线与线段PQ有交点，所求m的范围是.‎ 解法二：过P、Q两点的直线方程为 即代入 整理得：，由已知，‎ 解得：.‎ 评注：注意数形结合来解决问题.‎ 例题3：已知两定点、，M和N是过原点的直线上两动点，且，∥AB，若直线AM和BN交点C在轴上，求M、N及C的坐标.‎ 解析：解法一：∵,∴，‎ ‎∴可设 由得. ①‎ 直线AM：，令，.‎ 直线BN：，令，.‎ 令，得. ②‎ ‎①②联立得，或 ‎∴M（1，1）N（-1，-1）C（0，-3）或M（-1，-1）N（1，1）C（0，1）.‎ 解法二：设，‎ ‎ ∵B、N、C三点共线，‎ ‎∴，∴bc+2-3b=0. ③‎ ‎∵A、M、C三点共线，∴,‎ ‎∴. ④‎ ‎③④联立，消去c得.‎ ‎∴‎ 即为解法一的②式，下同解法一.‎ 例4. 已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。‎ 解析：显然，直线l与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y－3＝k（x＋2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎