- 2021-05-13 发布 |
- 37.5 KB |
- 17页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
江苏省南京市2021届期中考试考前训练含解析
1 江苏省南京市 2021 届期中考试考前训练 数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 (其中 是虚数单位),则 在复平面内对应点在( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合 则 ( ) 3.已知双曲线 的离心率为 ,则双曲线 的渐近线方程为 A. B. C. D. 4.函数 的零点所在区间为 A. B. C. D. 5.函数 的部分图象大致为 A. B. C. D. 6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用 现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪种结账 ( )1 2 3z i i+ = − i z { { }22 1 , 6 5 0A x B y y yx = ≥ = − + ≤ , =A B ( ]A. 0,5 [ ]B. 0,5 ( ]C. 0,3 [ ]D. 0,3 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 5 2 C ( ) 2 0x y± = 2 0x y± = 3 0x y± = 3 0x y± = 3 1( ) ( )2 xf x x= − ( ) ( 1,0)− 1(0, )2 1( ,1)2 (1,2) 2 2( ) ( ) | |x xf x e e ln x−= + ( ) 2 方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.20 种 7.知四边形 是边长为 2 的正方形, 为平面 内一点,则 的最小值为 A. B. C. D. 8 . 已 知 直 线 与 直 线 相 交 于 点 , 点 是 圆 上的动点,则 的最大值为 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。 9.某特长班有男生和女生各 10 人,统计他们的身高,其数据(单位: 如下面的茎叶图 所示,则下列结论正确的是 A.女生身高的极差为 12 B.男生身高的均值较大 C.女生身高的中位数为 165 D.男生身高的方差较小 10.已知函数 的图象关于直线 对称,则 A.函数 为奇函数 B.函数 在 , 上单调递増 C.若 ,则 的最小值为 D.函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象 11.已知等比数列 的公比 ,等差数列 的首项 ,若 且 , ( ) ABCD P ABCD ( ) ( )PA PB PC PD+ + ( ) 1− 2− 4− 6− 1 : 0( )l kx y k R+ = ∈ 2 : 2 2 0l x ky k− + − = A B 2 2( 2) ( 3) 2x y+ + + = | |AB ( ) 3 2 5 2 5 2 2+ 3 2 2+ )cm ( ) ( ) sin(3 )( )2 2f x x π πϕ ϕ= + − < < 4x π= ( ) ( )12f x π+ ( )f x [12 π ]3 π 1 2| ( ) ( ) | 2f x f x− = 1 2| |x x− 3 π ( )f x 4 π cos3y x= − { }na 2 3q = − { }nb 1 12b = 9 9a b> 10 10a b> 3 则以下结论正确的有 A. B. C. D. 12.当 时, 恒成立,则整数 的取值可以是 A. B. C.0 D.1 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13.已知 锐角,且 ,则 ______. 14.曲线 在点 处的切线方程为________. 15.在三角形 中,角 , , 的对边分别为 , , , , , , 点 是 平 面 内 的 一 个 动 点 , 若 , 则 面 积 的 最 大 值 是 __________. 16.数列 的前 项和为 , , , ,则数列 的 前 项和 _____. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 中, 为钝角,而且 , ,AB 边上的高为 . (1)求 的大小; (2)求 的值. 18.(本小题满分 12 分) 为加快经济转型升级,加大技术研发力度,某市建立高新科技研发园区,并力邀某高校 入驻该园区.为了解教职工意愿,该高校在其所属的 8 个学院的教职员工中作了“是否愿意 将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查,8 个学院的调查人数及统计数据如下: C∠ 8AB = 3BC = 3 32 B∠ cos 3cosAC A B+ ( ) 9 10 0a a < 9 10a a> 10 0b > 9 10b b> 1x > (4 1 ) 3k lnx x lnx x− − < − + k ( ) 2− 1− α cos π 3 2 2 α − = tanα = ( ) e 2xf x x= + ( )( )0, 0f ABC A B C a b c 30A = ° 45C = ° 3c = P ABC 60BPC∠ = ° PBC△ { }na n nS 1 2a = 1 11 2n nnS a + = − 2logn nb a= 1 1 n nb b + n nT = 4 调查人数(x) 10 20 30 40 50 60 70 80 愿意整体搬迁人数(y) 8 17 25 31 39 47 55 66 (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方程 ( 保留小数点后两位有效数字);若该校共有教职员工 2500 人,请预测该校愿 意将学校整体搬迁至研发园区的人数; (2)若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区,现该校拟在这 8 位院长中随机选取 4 位院长组成考察团赴研发区进行实地考察,记 X 为考察团中愿意将学 校整体搬迁至研发园区的院长人数,求 X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据: , , , . 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 中, 为直角梯形, , ,平面 平 面 . 是以 为斜边的等腰直角三角形, , 为 上一 点,且 . (1)证明:直线 平面 ; (2)求二面角 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 记 是正项数列 的前 项和, 是 和 的等比中项. ˆˆ ˆy bx a= + ˆb 1 2 2 1 ˆ · n i i i n i i x y n x y b x n x = = − ⋅ ⋅ = − ∑ ∑ ˆˆa y b x= − ⋅ 8 1 16310i i i x y = =∑ 8 2 1 20400i i x = =∑ S ABCD− ABCD / /AD BC BC CD⊥ SCD ⊥ ABCD SCD∆ CD 2 2 4BC AD CD= = = E BS 2BE ES= / /SD ACE S AC E− − nS { }na n 1na + 4 nS 5 (1)求数列 的通项公式; (2)记 ,求数列 的前 项和 . 21.(本小题满分 12 分) 已知 , 分别为椭圆 的左、右焦点, 为 上的动点,其中 到 的最短距离为 1,且当△ 的面积最大时,△ 恰好为等边三角形. (1)求椭圆 的标准方程; (2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”,记椭圆 的外切圆为 . 求圆 的方程; 在平面内是否存在定点 ,使得以 为直径的圆与 相切,若存在求出定点 的坐标; 若不存在,请说明理由 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 , ,曲线 在点 , (1) 处的切线在 轴 上的截距为 . (1)求 ; (2)讨论函数 和 的单调性; (3)设 , ,求证: . 江苏省南京市 2021 届期中考试考前训练 数学参考答案 一、 单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. D. 解析: { }na ( ) ( )1 1 1 1n n n b a a + = + ⋅ + { }nb n nT 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P C P 1F 1 2PF F 1 2PF F C C E ( )i E ( )ii Q PQ E Q ( ) (2 )( 0f x ln x a x= + > 0)a > ( )y f x= (1 f ) y 23 3ln − a ( ) ( ) 2 ( 0)g x f x x x= − > 2( ) ( ) ( 0)2 1 xh x f x xx = − >+ 1 2 5a = 1 ( )n na f a+ = 15 2 1 2 0( 2)2 n n n na +− < − < ( )( ) ( )( ) 3 1 23 1 7 1 7 1+2 1+2 1 2 5 5 5 i ii iz ii i i − −− −= = = = −− 6 2. A 解析∵ 3. 解析:双曲线 的离心率为 , 可得: ,即 , 可得 , 则双曲线 的渐近线方程为: . 故选: . 4. 解析函数 是增函数并且是连续函数, 可得 , (1) . (1) , 所以函数的零点在 , . 故选: . 5. 解析函数 的定义域为 , , 为偶函数,排除选项 ; 当 时, ,当 时, ,排除选项 和 . 故选: . 6 ..解析根据题意,依次分析四人的结账方式: 对于甲,只会用现金结账,有 1 种方式, 对于乙,只会用现金和银联卡结账,有 2 种方式, 对于丙,与甲、乙结账方式不同,若乙用现金,则丙有 3 种方式,若乙用银行卡,则丙有 2 种方式, 对于丁,用哪种结账方式都可以,有 4 种方式, 则他们结账方式的组合有 种, =(0,2],B=[1,5 = 0, ,5].] (A A B故 B 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 5 2 5 2 c a = 2 2 51 4 b a + = 1 2 b a = C 2 0x y± = B C 3 1( ) ( )2 xf x x= − 1 1 1( ) 02 8 2f = − < f 11 02 = − > 1( )2f f∴ 0< 1(2 1) C D ( )f x { | 0}x x ≠ 2 2 2 2( ) ( ) | | ( ) | | ( )x x x xf x e e ln x e e ln x f x− −− = + − = + = ( )f x∴ B 1x > ( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < A C D D 3 4 2 4 20× + × = 7 故选: . 7. 解析:以 为原点, 、 所在的直线分别为 、 轴建立如图所示的平面直角坐 标系,则 , , , . 设 ,则 , , , , , , ,当 , 时, 取得最小值,为 . 故选: . 8. 解析:因为线 恒过定点 ,直线 恒过定点 且 ,故两直线的交点 在以 为直径的圆上,且圆的方程 , 要 求 的 最 大 值 , 转 化 为 在 上 找 一 点 , 在 上找一点 ,使 最大, 根据题意可得两圆的圆心距 ,则 . 故选: . 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。 9. 解析: 、找出所求数据中最大的值 173,最小值 161,再代入公式求值极差 ,故本选项符合题意; 、男生身高的数据在 之间,女生身高数据在 之间,所以男生身高的均 值较大,故本选项符合题意; 、抽取的 10 名女生中,身高数据从小到大排列后,排在中间的两个数为 165 和 167,所 以中位数是 166,故本选项不符合题意; D C A AB AD x y (0,0)A (2,0)B (2,2)C (0,2)D ( , )P x y ( , )PA x y= − − (2 , )PB x y= − − (2 ,2 )PC x y= − − ( ,2 )PD x y= − − ∴ ( ) ( ) (2 2PA PB PC PD x+ + = − 2 ) (2 2y x− − 4 2 )y− 2 2(2 2 ) 4 8x y y= − + − 2 24( 1) 4( 1) 4x y= − + − − 1x = 1y = ( ) ( )PA PB PC PD+ + 4− C C 1 : 0l kx y+ = (0,0)O 2 : 2 2 0l x ky k− + − = (2,2)C 1 2l l⊥ A OC 2 2:( 1) ( 1) 2D x y− + − = | |AB 2 2:( 1) ( 1) 2D x y− + − = A 2 2:( 2) ( 3) 2E x y+ + + = B AB 2 2(1 2) (1 3) 5+ + + = | | 5 2 2maxAB = + C AB A 173 161 12= − = B 167 ~192 161~173 C 8 、抽取的学生中,男生身高的数据在 之间,女生身高数据在 之间,男 生身高数据波动性大,所以方差较大,故本选项不符合题意. 故选: . 10. 解 析 : 函 数 的 图 象 关 于 直 线 对 称 , , ; , ; ; 对 于 , 函 数 , 根 据 正 弦 函 数 的 奇 偶 性 , 所 以 因此函数 是奇函数,故 正确. 对于 ,由于 , , , ,函数 在 , 上不单 调,故 错误; 对于 ,因为 , 又因为 , 的周期 为 ,所以则 的最小值为 , 正确; 对 于 , 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数 ,故 错误. 故选: . 11. 解析:数列 是公比 为 的等比数列, 是首项为 12,公差设为 的等差 数列, 则 , , ,故 正确; 正负不确定,故 错误; 正负不确定, 由 ,不能求得 的符号,故 错误; 由 且 ,则 , , 可得等差数列 一定是递减数列,即 , 即有 ,故 正确. D 167 ~192 161~173 AB AC ( ) sin(3 )( )2 2f x x π πϕ ϕ= + − < < 4x π= 3 4 2 k π πϕ π∴ × + = + k Z∈ 2 2 π πϕ− < < 4 πϕ∴ = − ( ) sin(3 )4f x x π∴ = − A ( ) sin[3( ) ] sin(3 )12 12 4f x x x π π π+ = + − = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x A B [12x π∈ ]3 π 3 [04x π− ∈ 3 ]4 π ( ) sin(3 )4f x x π= − [12 π ]3 π B C ( ) 1maxf x = ( ) 1minf x = − 1 2| ( ) ( ) | 2f x f x− = ( ) sin(3 )4f x x π= − 2 3T π= 1 2|| x x− 3 π C D ( )f x 4 π ( ) sin[3( ) ] sin34 4 4f x x x π π π− = − − = − D AC AD { }na q 2 3 − { }nb d 8 9 1 2( )3a a= − 9 10 1 2( )3a a= − 2 17 9 10 1 2( ) 03a a a∴ = − < A 1a B 10a ∴ 10 10a b> 10b C 9 9a b> 10 10a b> 8 1 2( ) 12 83a d− > + 9 1 2( ) 12 93a d− > + { }nb 0d < 9 9 10a b b> > D 9 故选: . 12. 解析:由 ,可得 , 令 ,则 , 可令 , ,所以 在 递增, 因为 (1) ,所以 在 有且只有一个实根 , 于是 在 递减,在 , 递增, 所以 因为 (3) , (4) , 所以 ,且 , 将 代入 可得 , , 因为 在 递增,所以 , , 即 , , 因为 为整数,所以 , 故选: . 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13. 解析:由 ,得 , 是锐角, ,则 , 故答案为 . 14. 解析:∵曲线 ,∴ , 将 带入曲线中可得 ,带入导函数中可得 , ∴曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . AD ABC (4 1 ) 3( 1)k lnx x lnx x x− − < − + > 1 3( )4 lnxk lnx x x < + + 3( ) ( 1)lnxF x lnx xx x = + + > 2 2 2 1 3 1 2( ) lnx x lnxF x x x x x − − −′ = − + = ( ) 2g x x lnx= − − 1 1( ) 1 0xg x x x −′ = − = > ( )g x (1, )+∞ g 0< ( ) 0F x′ = (1, )+∞ 0x ( )F x 0(1, )x 0(x )+∞ 0 0 0 0 0 3( ) ( ) (*)min lnxF x F x lnx x x = = + + F′ 1 3 09 ln−= < F′ 2 4 1 2 016 8 ln ln− −= = > 0 (3,4)x ∈ 0 02 0x lnx− − = 0 0 2lnx x= − (*) 0 0 0 0 0 0 0 23 1( ) ( ) 2 1min xF x F x x xx x x −= = − + + = + − 0 (3,4)x ∈ 0 0 1 1t x x = + − (3,4) 7(3t ∈ 13)4 1 7( ) (4 12minF x ∈ 13)16 k 0k ABC 3 cos π 3 2 2 α − = 3sin 2 α = α 60α∴ = ° tan 3α = 3 2 0x y− + = ( ) e 2xf x x= + ( ) e ex xf x x=′ + 0x = ( )0 2f = ( ) 00 e 1f ′ = = ( ) e 2xf x x= + ( )0,2 2y x− = 2 0x y− + = 10 15. 解 析 : ∵ , , , ∴ 由 正 弦 定 理 , 可 得 .又 ,∴在三角形 中,令 ,令 , 由余弦定理可得 , ∴ ,(当且仅当 时等号成立) ∴ ,∴ .故答案为 . 16. 解析: , , , 两式作差,得 , 化简得 , 检验:当 时, , , ,所以数列 是以 2 为首项,2 为 公比的等比数列; , , 令 , , 故填 . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 (1)由三角形面积可知 , ……………2 分 ,又因为 是锐角,所以 . ………………5 分 (2)由(1)可知 , 所以 .………………………………7 分 9 3 8 30A = ° 45C = ° 3c = sin sin a c A C = 13sin 3 22 sin 22 2 c Aa C ×⋅= = = 60BPC∠ = ° PBC PB m= PC n= 2 2 9 12cos 2 2 m n BPC mn + − ∠ = = 2 2 9 922 2m n mn mn+ − = ≥ − 3 2 2m n= = 9 2mn ≤ 1 9 3sin2 8S mn BPC= ∠ = 9 3 8 1 n n + 1 11 2n nnS a + = − 2n ≥ 时 1 1 11 2n nnS a− − = − ( )1 1 1 11 1 2 2 2n n nn na a a n+ − = − − − ≥ , ( )1 2 2n n a na + = ≥, 1n = 1 1 2 1 22S a a= = × = 2 4a = 2 1 2a a = { }na 2n na = 2 2log log 2n n nb a n= = = ( )1 1 1 1 1 1 1n n n c b b n n n n+ = = = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n = − + − + − + + − = − =+ + + 1 n n + 1 3 18 3 3 8 sin2 2 2 B× × = × × × 3sin 2B = B∠ π 3B∠ = 2 2 2 2 cos 64 9 24 49AC AB BC AB BC B= + − × × = + − = 7AC = 11 又因为 ,……………9 分 因此 .………………12 分 18. 解:(1)由已知有 , , , ,…………………………………………………………………4 分 故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为 y=0.80x,……………………………………5 分 所以当 x=2500 时,y=2500×0.80=2000. ………………………………………… 6 分 (2)由题意可知 X 的可能取值有 1,2,3,4.……………………………………7 分 , , , . …………………………………11 分 所以 X 的分布列为 E(X)= . ……………………………………………12 分 19. (1)证明:连接 交 于点 ,连接 . 因为 ,所以 与 相似. 所以 . 又 ,所以 . 因为 平面 , 平面 ,所以直线 平面 . (2)解:平面 平面 ,平面 平面 , 平面 , ,所以 平面 . 以 为坐标原点, 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向, X 1 2 3 4 P 2 2 2 64 49 9 13cos 2 2 8 7 14 AB AC BCA AB AC + − + −= = =× × × 1 13cos 3cos 3 7 82 14AC A B+ = × + × = 45x = 36y = 1 2 2 2 1 . . 16310 8 45 36ˆ 0.80 20400 8 45. n i i i n i i x y n x y b x n x = = − − × ×= = ≈ − ×− ∑ ∑ ˆ 36 0.80 45 0a = − × = 1 3 5 3 4 8 1( 1) 14 C CP X C ⋅= = = 2 2 5 3 4 8 3( 2) 7 C CP X C ⋅= = = 2 1 5 3 4 8 3( 3) 7 C CP X C ⋅= = = 4 5 4 8 1( 4) 14 CP X C = = = 1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2 × + × + × + × = BD AC F EF / /AD BC AFD∆ BCF∆ 2BF BC FD AD = = 2BE BF ES FD = = / /EF SD EF ⊂ ACE SD ⊂/ ACE / /SD ACE SCD ⊥ ABCD SCD ∩ ABCD CD= BC ⊂ ABCD BC CD⊥ BC ⊥ SCD C ,CD CB y z 1 14 3 7 3 7 1 14 12 与 均垂直的方向作为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ,0, , ,1, , ,2, , , ,2, , ,1, , . 设平面 的一个法向量为 , , , 则 ,令 ,得 , , , 设平面 的一个法向量为 , , , 则 ,令 ,得 , , . 设二面角 的平面角的大小为 , 则 . 所以二面角 的余弦值为 . 20. (1)因为 是 和 的等比中项, 所以 ①,当 时, ②, 由① ②得: , 化简得 ,即 或者 (舍去), ,CD CB x C xyz− (0C 0) (1S 0) (0A 2) 2 2 4( , , )3 3 3E (0CA = 2) (1CS = 0) 2 2 4( , , )3 3 3CE = SAC (m x= y )z 2 2 0 0 m CA y z m CS x y = + = = + = 1x = (1m = 1− 1) EAC (n x= y )z 2 2 0 2 2 4 03 3 3 n CA y z n CE x y z = + = = + + = 1z = ( 1n = − 1− 1) S AC E− − θ | | 1 1cos | | | | 33 3 m n m n θ = = = S AC E− − 1 3 1na + 4 nS ( )21 4n na S+ = 2n ≥ ( )2 1 11 4n na S− −+ = − ( ) ( )2 2 1 11 1 4 4n n n na a S S− −+ − + = − ( ) ( )2 2 11 1n na a −− = + 11 1n na a −− = + ( )11 1 0n na a −− + + = 13 故 ,数列 为等差数列, 因为 ,解得 , 所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列, . (2)因为 , 所以 . 21. 解:(1)由题意可得: ,面积最大时 为短轴的顶点,再由△ 恰好为等 边三角形,可得 , , 解得: , , 所以椭圆的标准方程为: ; (2) 由(1)得圆 的圆心坐标为 ,半径为 , 所以圆 的方程为: ; 解法一:假设存在满足条件的定点 , 由题意可知定点 必在 轴上,设 , , ,则 , 由 可知,圆 的圆心为坐标原点 ,半径为 2, 设以 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,则 为线段 的中点, ,即 , , , 因为圆 与圆 相切,则 , 所以 ,其中 , 1 2( 2)n na a n−− = ≥ { }na ( )2 1 11 4a S+ = 1 1a = { }na 1 2 2 1na n= − 1 1 1 1 2 (2 2) 4 1nb n n n n = = − ⋅ + + 1 2 1 1 1 1 1 114 2 2 3 1 4( 1)n n nT b b b n n n = + + + = − + − +⋅⋅⋅+ − = + + 1a c− = P 1 2PF F 3 22b c= 2 2 2a b c= + 2 4a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( )i E (0,0) 2a = E 2 2 4x y+ = ( )ii Q Q x ( ,0)Q m 0(P x 0 )y 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = 0( 2 x mG + 0 )2 y 2 2 0 0 1 ( )2r x m y= − + E G | | 2OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 1( ) 2 ( )2 4 2 x m y x m y + + = − − + 2 2 0 0 33 4y x= − 14 两边平方并整理得: ,化简得 , 上式对任意 , 恒成立, 故 ,解得 , 所以,当定点 恰好为椭圆的焦点时,符合题意. 解法二:存在满足条件的定点 , 由题意可知,当 为长轴的端点时, 即为切点,因此,定点 必在 轴上,设 , , ,则 , 由 可知,圆 的圆心为坐标原点 ,半径为 2, 设以 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,则 为线段 的中点,则 , 即 , , , 因为圆 与圆 相切,则 , 所以 , 整理得 , 设 ,则 , 又因为 在椭圆 上,设 , 分别为椭圆的左右焦点, , 故 , 分别与 , 重合, 所以当定点 恰好为椭圆的 的焦点时,符合题意. 解法三:假设存在满足条件的定点 ,由题意可知定点 必在 轴上, 由 可知,圆 的圆心为坐标原点 ,半径为 2, 设以 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,则 为线段 的中点,则 , 因为圆 与圆 相切,则 ,即 , 2 2 0 0 04 2 ( )mx x m y− = − + 2 2 0( 1)( 4) 0m x− − = 0 [ 2x ∈ − 2] 2 1 0m − = 1m = ± Q Q P P Q x ( ,0)Q m 0(P x 0 )y 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = 0( 2 x mG + 0 )2 y 2 2 0 0 1 ( )2r x m y= − + E G | | 2OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 1( ) 2 ( )2 4 2 x m y x m y + + = − − + 2 2 2 2 0 0 0 0( ) ( ) 4x m y x m y+ + + − + = ( ,0)Q m′ − | | | | 4PQ PQ′ + = P 2 2 14 3 x y+ = 1F 2F 1 2| | | | 4PF PF+ = Q Q′ 1F 2F Q C Q Q x ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = E G | | 2OG r= − | || | 2 2 PQOG = − 15 所以 , 设 为 关于原点对称点,则 恰好为△ 的中位线, 所以 , 所以 ,下同解法二; 解法四:假设存在满足条件的定点 ,设 , , ,则 由 可知,圆 的圆心为坐标原点 ,半径为 2, 设以 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,则 为线段 的中点,则 ,即 , , , 因为圆 与圆 相切,则 , 所以 , 整理得 , 设 ,因此 ,下同解法一. 22. (1)对 求导,得 . 因此 .又因为 (1) , 所以曲线 在点 , (1)处的切线方程为 , 即 . 由题意, . 显然 ,适合上式. 令 , 求导得 , 因此 (a)为增函数:故 是唯一解. 2 | | | | 4OG PQ+ = Q′ Q OG QQ P′ 2 | | | |OG PQ= ′ | | | | 4PQ PQ′ + = Q ( , )M m n 0(P x 0 )y 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = 0( 2 x mG + 0 )2 y n+ 2 2 0 0 1 ( ) ( )2r x m y n= − + − E G | | 2OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 ( ) ( ) 12 ( ) ( )4 4 2 x m y n x m y n + ++ = − − + − 2 2 2 2 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 4x m y n x m y n+ + + + − + − = ( , )Q m n− − | | | | 4PQ PQ′ + = ( ) (2 )f x ln x a= + 2( ) 2f x x a ′ = + 2(1) 2f a ′ = + f (2 )ln a= + ( )y f x= (1 f 2(2 ) ( 1)2y ln a xa − + = −+ 2 2(2 )2 2y x ln aa a = + + −+ + 2 2(2 ) 32 3ln a lna + − = −+ 1a = 2( ) (2 ) ( 0)2a ln a aa ϕ = + − >+ 2 1 2( ) 02 (2 )a a a ϕ′ = + >+ + ϕ 1a = 16 (2)由(1)可知, , , 因为 , 所以 为减函数. 因为 , 所以 为增函数. (3)证明:由 , ,易得 由(2)可知, 在 上为减函数. 因此,当 时, ,即 . 令 ,得 ,即 . 因此,当 时, . 所以 成立. 下面证明: . 方法一:由(2)可知, 在 上为增函数. 因此,当 时, , 即 . 因此 , 即 . 令 ,得 , 即 . 当 时, . ( ) (2 1) 2 ( 0)g x ln x x x= + − > 2( ) (2 1) ( 0)2 1 xh x ln x xx = + − >+ 2 4( ) 2 02 1 2 1 xg x x x ′ = − = − <+ + ( ) ( ) 2 ( 0)g x f x x x= − > 2 2 2 2 4( ) 02 1 (2 1) (2 1) xh x x x x ′ = − = >+ + + 2( ) ( ) ( 0)1 2 xh x f x xx = − >+ 1 2 5a = 1 ( ) (2 1)n n na f a ln a+ = = + 15 2 1 20. 22 5 n n n nn n a aa +−> < − ⇔ < ( ) ( ) 2 (2 1) 2g x f x x ln x x= − = + − (0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0g x g< = ( ) 2f x x< 1( 2)nx a n−= 1 1( ) 2n nf a a− −< 12n na a −< 2n 2 1 1 2 1 22 2 2 5 n n n n na a a a− − −< < <…< = 15 2 1 22 n n na +− < − 1 2 0 na − < 2 2( ) ( ) (2 1)2 1 2 1 x xh x f x ln xx x = − = + −+ + (0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0h x h> = 2( ) 02 1 xf x x > >+ 1 1 1( ) 2f x x < + 1 1 12 ( 2)( ) 2f x x − < − 1( 2)nx a n−= 1 1 1 1 12 ( 2)( ) 2n nf a a− − − < − 1 1 1 12 ( 2)2n na a − − < − 2n = 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 22( ) 1.8( )5 na a f a lnf − = − = − = − = − 17 因为 , 所以 ,所以 . 所以,当 时, . 所以,当 时, 成立. 综上所述,当 时, 成立. 方法二: 时,因为 , 所以 . 下面用数学归纳法证明: 时, . ①当 时, . 而 , 因为 ,所以 .可见 ,不等式成立. ②假设当 时不等式成立,即 . 当 时, . 因为 , 是增函数, 所以 . 要证 ,只需证明 . 而 , 因为 ,所以 .所以 . 可见, 时不等式成立. 由①②可知,当 时, 成立. 11.8 3 2ln ln ln e> > = 1 2 01.8ln − < 2 1 2 0a − < 3n 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 12 ( 2) ( 2) ( 2) 02 2 2n n n na a a a− − − − < − < − <…< − < 2n 1 2 0 na − < 2n 15 2 1 2 02 n n na +− < − < 2n 0na > 1 1 12 0 2 2n n n aa a − < ⇔ < ⇔ > 2n 1 2na > 2n = 2 1 1 2( ) (2 1) (2 1) 1.85a f a ln a ln ln= = + = × + = 2 2 11.8 1.8 2 1.8 2 1.8 2 3.24 22a ln ln ln= > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > 3.24 2> 2 1 2a > 2n = ( 2)n k k= 1 2ka > 1n k= + 1 ( ) (2 1)n k k ka a f a ln a+= = = + 1 2ka > ( ) (2 1)f x ln x= + 1 1(2 1) (2 1) 22k ka ln a ln ln+ = + > × + = 1 1 2ka + > 12 2ln > 2 212 2 2 2 2 2 ( 2) 4 22ln ln ln> ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > 4 2> 12 2ln > 1 1 2ka + > 1n k= + 2n 1 2na >查看更多