高考数学四川理工科类试卷真题与答案解析

高考数学四川理工科类试卷真题与答案解析

‎ ‎ ‎2015年四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析 一、选择题 ‎ 1. 设集合，集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，且 ‎，故选A 2. 设是虚数单位，则复数 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C 3. 执行如图所示的程序框图，输出S的值是 A. ‎ B. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】进入循环，当时才能输出的值，则，故选D 4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ A. 可知其满足题意 B. 可知其图像的对称中心为，最小正周期为 C. 可知其图像的对称中心为，最小正周期为 D. 可知其图像的对称中心为小正周期为 1. 过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于、两点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题可知渐近线方程为，右焦点，‎ 则直线与两条渐近线的交点分别为，，所以 2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分类讨论 ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ ① 当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有种。‎ ② 当4在万位时，个位可以排0、2两个数，其余位置没有限制，固有种，‎ 综上：共有120种。故选B。‎ 1. 设四边形ABCD为平行四边形，.若点M,N满足，，则 （ ）‎ ‎（A）20 （B）15 （C）9 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】C.本题从解题方式方法上可有两种思路。‎ 方法①：这个地方四边形ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A为坐标原点建立坐标系。由进而 ‎，，。方法②：这个地方可以以，为基底向量，利用三角形法则将，分别用基底向量表示可得，则。‎ 综合两种方法，显然方法①更具备高考解题的准确性和高效性。‎ 2. 设都是不等于的正数，则“”是“”的 ‎ （A） 充要条件 （B）充分不必要条件 ‎（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ ‎【解析】条件等价于。当时，。所以，，即。所以，“”是“”的充分条件。但也满足，而不满足。所以，“”是“”的不必要条件。故，选。‎ 1. 如果函数在区间单调递减，则的最大值为 ‎（A）16 （B）18 （C）25 （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【错误解析】由单调递减得：，故在上恒成立。而是一次函数，在上的图像是一条线段。故只须在两个端点处即可。即 ‎，‎ 由得：。所以，. 选C。‎ ‎【错误原因】当且仅当时取到最大值，而当，不满足条件。‎ ‎【正确解析】同前面一样满足条件。由条件得：。于是，。当且仅当时取到最大值。经验证，满足条件。故选。‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 1. 设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当直线与轴垂直的时候，满足条件的直线有且只有条。‎ 当直线与轴不垂直的时候，由对称性不妨设切点，则切线的斜率为：。另一方面，由于为中点，故由点差法得：。故，。‎ 由于在抛物线内，所以满足。代入并利用化简得到。故。‎ 当时，由知满足条件且在轴上方的切点只有个。从而总的切线有条。故选。‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎11.在的展开式中，含的项的系数是________（用数字填写答案）‎ ‎〖答案〗‎ ‎〖解析〗由题意知的系数为：‎ ‎12. 的值是________‎ ‎〖答案〗‎ ‎〖解析〗‎ ‎13.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是________小时。‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ ‎〖答案〗24‎ ‎〖解析〗‎ 故当时，‎ ‎14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为________‎ ‎〖答案〗‎ ‎〖解析〗‎ AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立坐标系，设正方形边长为 令 ‎，即 ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ ‎15.已知函数。对于不相等的实数，，设，。现有如下命题：‎ ‎(1) 对于任意不相等的实数，，都有；‎ ‎(2) 对于任意的及任意不相等的实数，，都有；‎ ‎(3) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得;‎ ‎(4) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得.‎ 其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。‎ ‎〖答案〗(1) (4)‎ ‎〖解析〗‎ ‎(1)设>,函数单调递增，所有>,->0, 则=>0,所以正确；‎ ‎(2)设>,则->0,则 ‎，可令=1，=2，‎ a=—4，则n=—1<0，所以错误；‎ ‎(3)因为，由（2）得：，分母乘到右边，右边即为，所以原等式即为=，‎ 即为=，令,‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，使得函数值相等，，则，则，‎ 令，且，可得为极小值。若，则，即，单调递增，不满足题意，所以错误。‎ ‎(4)由(3) 得=，则，设，有，使其函数值相等，则不恒为单调。‎ ‎，，恒成立，单调递增且，。所以先减后增，满足题意，所以正确。‎ 三、简答题 ‎16.（本小题12分）设数列的前项和，且成等差数列。‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）记数列的前项和，求得使成立的的最小值。‎ 解：（1）当时有， ‎ 则 ‎ ‎ （） ‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 则是以为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ 又由题意得 ‎ ‎ 则 ‎ ‎（2）由题意得 ‎ 由等比数列求和公式得 ‎ 则 ‎ 又当时， ‎ 成立时，的最小值的。‎ 点评：此题放在简答题的第一题，考察前项和与通项的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。‎ ‎17.（本小题12分）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 ‎（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ ‎（2）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（1）正难则反。求出A中学中无学生入选代表队的概率，再用1减去即能得到题目所求。‎ ‎（2）由题意，知，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望。‎ ‎【答案】‎ （1） 设事件表示“A中学至少有1名学生入选代表队”，‎ ‎ ‎ （2） 由题意，知,‎ ‎;; ‎ 因此的分布列为：‎ 期望为：‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考察了利用排列组合解决概率问题。第一问用了正难则反的思想。题意容易理解，入手点容易找到，并且计算也并无门槛，是一道常规题，容易得分。‎ ‎18.（本小题满分分）‎ 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为。‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ ‎（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）‎ ‎（II）证明：直线平面 ‎（III）求二面角余弦值 ‎【答案】‎ ‎（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 ‎（II）‎ 连接，取的中点，连接 ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 因为、为线段、中点，所以且 又因为中点，所以 得到且 所以四边形为 得到 又因为平面 所以平面（得证）‎ ‎（III）‎ 连接，，过点作，垂足在上，过点作平面垂线，交于点，连接，则二面角 因为平面，且 所以 又，平面 所以平面 且，所以，所以三角形为 设正方体棱长为，则，‎ 所以，‎ 因为，三角形为，所以 所以，所以 ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 所以 ‎【点评】考点立体图形的展开与折叠线线平行、线面平行二面角的求解。此次立体几何题加入了让学生“画图”，不过图象为长方体，降低了认识图形上的难度。‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，为平面四边形的四个内角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，，，，求.‎ D C B A ‎【解析】‎ ‎（1）证明：‎ ‎ .‎ ‎（2）解：‎ 方法（一）‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 由可知，所以有，同理，，进一步上式化简可得：‎ ‎ ‎ ‎ （*）‎ 连接，设，在和中分别利用余弦定理及可得 ‎，即解得，从而得，.同理可得，，.代入（*）式可得 ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 方法（二）‎ 由方法（一）知，，又由（1）有，因为，所以，所以，同理可得：，，解得，.‎ 所以.‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数中正切半角公式的推导，三角函数化简求值，余弦定理等知识。考查学生转化思想、计算能力.本题将三角函数化简求值与解三角形结合，并且两小问以正切函数出题，既考查考生基础知识，又体现题目的新颖！‎ ‎20.（本小题13分）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点。当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为。‎ （1） 球椭圆的方程；‎ （2） 在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 解：（1）由题知椭圆过点。得 解得：。‎ 所以，椭圆方程为：。‎ ‎(2)假设存在满足题意的定点。‎ 当直线平行于轴时，，两点关于轴对称，得在轴上。不妨设 当直线为轴时，。解得 下证对一般的直线，也满足题意。‎ 由得轴为的角平分线。所以。‎ 不妨设 ‎，化简得①‎ 又椭圆方程与直线方程联立得：‎ ‎，‎ 带入①得成立。‎ 故假设成立。‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 综上存在点满足题意。‎ ‎【点评】此题的第一问求椭圆方程，考察简单，较容易得分。第二问，出现了长度比值，由特殊到一般先找到了定点，再去验证，降低了试题的难度。并且通过题中线段比联想到了角平分线的性质，这点事学生不容易观察到的。也提醒我们解析几何是几何和代数的结合，能够有效快速地观察到几何关系可以大大地简化我们的计算，从而节约时间！‎ ‎21.（本小题14分）已知函数，其中。‎ ‎（1）设是的导函数，讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。‎ ‎ ‎ 答案：‎ 解：（1）‎ 令，即，讨论此不等式的解，可得：‎ ① 当时，即时，不等式恒成立。即恒成立，所以恒单调递增。‎ ② 当时，‎ 所以的解为。所以在 ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 时单调递增。‎ 综上：当时，在上单调递增。‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减。‎ （2） 由（1）得在内单调递增。且 ‎，。由零点存在性定理得存在唯一使得 ‎①。‎ 所以在上单调递减，上单调递增。‎ 所以满足在区间内有唯一解只需满足即可。‎ ‎，将①带入化简得：‎ 当时，此时①变形为，在上有解。令 所以在上单调递减。不满足。‎ 当时，此时①变形为在上有解。‎ ‎ 20 / 20‎ ‎ ‎ 不妨设 所以在上单调递增。。所以在上有解。‎ 所以结论得证。‎ ‎【点评】此题延续2014年风格，不设置纯送分小问，但考生无需慌张。第一小问，目测阅卷时，考生只要能得到及其导数的话，就会得到不低于两分，而接下来分类讨论则极为常规，稍加练习便能得到满分；第二小问的话思主题思路极为常规，可参考09全国卷、12全国卷、15绵阳二诊试题，但是在处理②时需要利用到主元转换（因式分解功底强大的则无需），后续操作则只需注意变量的取值范围即可，此题需要考生强大的计算和心理承受能力，能明确自身目的所在，不至于在多重带换后迷失目标而功亏一篑。‎ ‎ 20 / 20‎