2016中考数学平面直角坐标系习题

2016中考数学平面直角坐标系习题

‎2016年中考数学 平面直角坐标系与点的坐标 一、选择题 ‎1. （2016 湖北咸宁） 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）‎ A. （0，0） B.（1，） C.（，） D.（，）‎ ‎【考点】菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题．‎ ‎【分析】点C关于OB的对称点是点A，连接AD，交OB于点P，P即为所求的使CP+DP最短的点；连接CP，解答即可.‎ ‎【解答】解：如图，连接AD，交OB于点P，P即为所求的使CP+DP最短的点；连接CP，AC，AC交OB于点E，过E作EF⊥OA，垂足为F.‎ ‎2.（2016 四川成都 ）平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　）‎ A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）‎ ‎【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．‎ ‎【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．‎ 故选：A．‎ ‎3. （2016 湖北孝感）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）‎ A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（，﹣） D．（﹣，）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转． ‎ ‎【分析】先根据题意画出点A′的位置，然后过点A′作A′C⊥OB，接下来依据旋转的定义和性质可得到OA′的长和∠COA′的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可．‎ ‎【解答】解：如图所示：过点A′作A′C⊥OB．‎ ‎∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，‎ ‎∴∠AOA′=75°，OA′=OA．‎ ‎∴∠COA′=45°．‎ ‎∴OC=2×=，CA′=2×=．‎ ‎∴A′的坐标为（，﹣）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到∠COA′=45°是解题的关键．‎ ‎4．(2016 大连 )在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】点的坐标．‎ ‎【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．‎ ‎【解答】解：点（1，5）所在的象限是第一象限．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．‎ 二、填空题 ‎1.（2016·广东茂名）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y=x上，再将△A1BO1绕点A1‎ 顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是　　．6+6．‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】先求出点A2，A4，A6…的横坐标，探究规律即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意点A2的横坐标（+1），‎ 点A4的横坐标3（+1），‎ 点A6的横坐标（+1），‎ 点A8的横坐标6（+1）．‎ 故答案为6+6．‎ ‎【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎2．（2016山东省聊城市，3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是　（21008，0）　．‎ ‎【考点】正方形的性质；规律型：点的坐标．‎ ‎【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2016的坐标．‎ ‎【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，‎ ‎∴OB1=，‎ ‎∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，‎ ‎∴OB2=2，‎ ‎∴B2点坐标为（0，2），‎ 同理可知OB3=2，‎ ‎∴B3点坐标为（﹣2，2），‎ 同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），‎ B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），‎ B7（8，﹣8），B8（16，0）‎ B9（16，16），B10（0，32），‎ 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，‎ ‎∵2016÷8=252‎ ‎∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，‎ ‎∴B2016的坐标为（21008，0）．‎ 故答案为：（21008，0）．‎ ‎【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．‎ ‎3．（2016.山东省泰安市，3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1‎ ‎，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为　2n+1﹣2　． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． ‎ ‎【解答】解：由题意得OA=OA1=2， ‎ ‎∴OB1=OA1=2， ‎ B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8， ‎ ‎∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…， ‎ ‎2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，… ‎ ‎∴Bn的横坐标为2n+1﹣2． ‎ 故答案为 2n+1﹣2． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎7．（2016.山东省威海市，3分）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A‎1A2O=30°，过点A2作A‎2A3⊥A‎1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A‎3A4⊥A‎2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A‎4A5⊥A‎3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A‎5A6⊥A‎4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　﹣（）2015　．‎ ‎【考点】坐标与图形性质．‎ ‎【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．‎ ‎【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，‎ ‎∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，‎ ‎∵2016÷4=504，‎ ‎∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．‎ 故答案为﹣（）2015．‎ 三、解答题 ‎（2016·湖北咸宁）（本题满分12分） 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.‎ ‎（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！‎ ‎①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；‎ ‎②设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的范围. 当d1+d2=8时，求点P的坐标；‎ ‎③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题.‎ ‎【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母；‎ ‎（2）①分x＞0和x≤0两种情况讨论：当x＞0时，如图2，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E，可得出PA=PB=y；再在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1，由勾股定理，可求出y与x之间的关系式；当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=x2+，曲线L就是二次函数y=x2+的图像，也就是说 曲线L是一条抛物线.‎ ‎ ②首先用代数式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=｜x｜，得出d1+d2=x2++｜x｜，可知当x=0时，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范围是d1+d2≥；当d1+d2=8时，则x2++｜x｜=8. 将x从绝对值中开出来，故需分x≥0和x＜0两种情况讨论：当x≥0时，将原方程化为x2++x=8， 解出x1，x2即可；当x＜0时，将原方程化为x2+－x=8，解出x1，x2即可；最后将x=±3代入y=x2+，求得P的纵坐标，从而得出点P的坐标.‎ ‎ ③直接写出k的取值范围即可.‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各1分）.‎ ‎ ……………………………………………………………..3分 ‎ E ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（2）①当x＞0时，如图2，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E.‎ ‎ ∵l1垂直平分AB ‎∴PA=PB=y.‎ 在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1.‎ 由勾股定理，得 (y-1)2+x2=y2. ………………………………………5分 整理得，y=x2+.‎ 当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=x2+. ……………………….6分 ‎∴曲线L就是二次函数y=x2+的图像.‎ 即曲线L是一条抛物线. …………………………………………………………7分 ‎ ②由题意可知，d1=x2+，d2=｜x｜.‎ ‎ ∴d1+d2=x2++｜x｜.‎ ‎ 当x=0时，d1+d2有最小值.‎ ‎ ∴d1+d2的范围是d1+d2≥. ………………………………………………8分 ‎ 当d1+d2=8时，则x2++｜x｜=8.‎ ‎ （Ⅰ）当x≥0时，原方程化为x2++x=8.‎ ‎ 解得 x1=3，x2= -5（舍去）.‎ ‎（Ⅱ）当x＜0时，原方程化为x2+－x=8.‎ ‎ 解得 x1= -3，x2= 5（舍去）.‎ ‎ 将x=±3代入y=x2+，得 y=5. …………………………………….9分 ‎ ∴点P的坐标为（3，5）或（-3，5）. …………………………….10分 ‎ ③k的取值范围是：－＜k＜. …………………………………………….12分 ‎ 解答过程如下（过程不需写）：‎ 把y=2代入y=x2+，得x1=－，x2=.‎ ‎ ∴直线y=2与抛物线y=x2+两个交点的坐标为（－，2）和（，2）.‎ ‎ 当直线y=kx+3过点（－，2）时，可求得 k=；‎ ‎ 当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得 k=－.‎ ‎ 故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－＜k＜. ……………………………………………………………….12分 ‎【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，‎ 平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键. 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点，如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等. 压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力。‎