2020届二轮复习外接球学案（全国通用）

2020届二轮复习外接球学案（全国通用）

培优点十四 外接球 ‎1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心 例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，，故选C．‎ ‎2．补形法（补成长方体）‎ 例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，．‎ ‎3．依据垂直关系找球心 例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设 ‎，‎ 最大体积对应的高为，故，即，解之得，‎ 所以外接球的体积是，故答案为D．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B选项．‎ ‎2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A．12π B．28π C．44π D．60π ‎【答案】B ‎【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，‎ 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，‎ 外接球的表面积．本题选择B选项．‎ ‎3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接 球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，‎ 则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C．‎ ‎4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：‎ 该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积 ‎，故选C．‎ ‎5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，所以，，‎ 因此三角形外接圆半径为，‎ 设外接球半径为，则，，故选D．‎ ‎6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，‎ 易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D选项．‎ ‎7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由余弦定理得：，‎ 设三角外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，‎ 又，解得：，则球的表面积．本题选择D选项．‎ ‎8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，‎ 底面正方形的边长为，，‎ 正四棱锥的体积为，，‎ 则，，‎ 在中由勾股定理可得：，解得，，故选C．‎ ‎9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，‎ 则该球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，‎ 设三棱锥外接球的球心为，‎ 外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，‎ 由，，及，得，∴外接球半径为，‎ ‎∴该球的表面积．故选A．‎ ‎10．四面体中，，，‎ ‎，则此四面体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，中，，，可知是等边三角形，，‎ ‎∴的外接圆半径，，‎ ‎∵，可得，可得，∴，∴，‎ ‎∴四面体高为．‎ 设外接球，为球心，，可得：……①，‎ ‎……②‎ 由①②解得：．四面体外接球的表面积：．故选A．‎ ‎11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】中，，，，‎ 底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，‎ 见图示：‎ 是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径．‎ ‎∴球的半径．该球的表面积为；故选B．‎ ‎12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，，‎ 由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，‎ 平面，∴，同理，∴是与的公垂线，‎ 球心在上，推导出，可以证明为中点，‎ ‎，，，‎ ‎∴，球半径，∴外接球的表面积为．‎ 故选D．‎ 二、填空题 ‎13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，‎ 则外接球的半径，‎ 则外接球的表面积为．‎ ‎14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四棱锥的棱长为，则，解得．‎ 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，‎ 其中，．∴．‎ 设内切圆的半径为，由，得，即，‎ 解得，‎ ‎∴内切球的表面积为．‎ ‎15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 设外接圆的半径为，则，，‎ ‎∴外接球的半径为，∴球的表面积等于．故答案为．‎ ‎16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，‎ 设，那么，，所以．由题意，体积的最小值即为 最小，，所以当时，的最小值为，所以半径为，‎ 故体积的最小值为．‎