2020届二轮复习外接球学案(全国通用)

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2020届二轮复习外接球学案(全国通用)

培优点十四 外接球 ‎1.正棱柱,长方体的外接球球心是其中心 例1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,,,故选C.‎ ‎2.补形法(补成长方体)‎ 例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,.‎ ‎3.依据垂直关系找球心 例3:已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为是等腰直角三角形,所以外接球的半径是,设外接球的半径是,球心到该底面的距离,如图,则,,由题设 ‎,‎ 最大体积对应的高为,故,即,解之得,‎ 所以外接球的体积是,故答案为D.‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1.棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设长方体的外接球半径为,由题意可知:,则:,该长方体的外接球的表面积为.本题选择B选项.‎ ‎2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )‎ A.12π B.28π C.44π D.60π ‎【答案】B ‎【解析】设底面三角形的外接圆半径为,由正弦定理可得:,则,‎ 设外接球半径为,结合三棱柱的特征可知外接球半径,‎ 外接球的表面积.本题选择B选项.‎ ‎3.把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面,则三棱锥的外接 球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面,‎ 则三棱锥的外接球直径为,外接球的表面积为,故选C.‎ ‎4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知,该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为的正三角形,一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为的正三棱锥,另一个是棱长为的正四面体,如图所示:‎ 该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,因此外接球的直径即为正方体的体对角线,所以,所以该几何体外接球面积 ‎,故选C.‎ ‎5.三棱锥的所有顶点都在球的表面上,平面,,,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,,所以,,‎ 因此三角形外接圆半径为,‎ 设外接球半径为,则,,故选D.‎ ‎6.如图是边长为1的正方体,是高为1的正四棱锥,若点,,,,在同一个球面上,则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示,连结,,交点为,连结,‎ 易知球心在直线上,设球的半径,在中,由勾股定理有:,即:,解得:,则该球的表面积.本题选择D选项.‎ ‎7.已知球的半径为,,,三点在球的球面上,球心到平面的距离为,,,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由余弦定理得:,‎ 设三角外接圆半径为,由正弦定理可得:,则,‎ 又,解得:,则球的表面积.本题选择D选项.‎ ‎8.已知正四棱锥(底面四边形是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为,若该正四棱锥的体积为,则此球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图,设正方形的中点为,正四棱锥的外接球心为,‎ 底面正方形的边长为,,‎ 正四棱锥的体积为,,‎ 则,,‎ 在中由勾股定理可得:,解得,,故选C.‎ ‎9.如图,在中,,,点为的中点,将沿折起到的位置,使,连接,得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,‎ 则该球的表面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形,且平面,‎ 设三棱锥外接球的球心为,‎ 外接圆的圆心为,则面,∴四边形为直角梯形,‎ 由,,及,得,∴外接球半径为,‎ ‎∴该球的表面积.故选A.‎ ‎10.四面体中,,,‎ ‎,则此四面体外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意,中,,,可知是等边三角形,,‎ ‎∴的外接圆半径,,‎ ‎∵,可得,可得,∴,∴,‎ ‎∴四面体高为.‎ 设外接球,为球心,,可得:……①,‎ ‎……②‎ 由①②解得:.四面体外接球的表面积:.故选A.‎ ‎11.将边长为2的正沿着高折起,使,若折起后四点都在球的表面上,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】中,,,,‎ 底面三角形的底面外接圆圆心为,半径为,由余弦定理得到,再由正弦定理得到,‎ 见图示:‎ 是球的弦,,将底面的圆心平行于竖直向上提起,提起到的高度的一半,即为球心的位置,∴,在直角三角形中,应用勾股定理得到,即为球的半径.‎ ‎∴球的半径.该球的表面积为;故选B.‎ ‎12.在三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别取,的中点,,连接相应的线段,,,‎ 由条件,,,可知,与,都是等腰三角形,‎ 平面,∴,同理,∴是与的公垂线,‎ 球心在上,推导出,可以证明为中点,‎ ‎,,,‎ ‎∴,球半径,∴外接球的表面积为.‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎13.棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为,‎ 则外接球的半径,‎ 则外接球的表面积为.‎ ‎14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为,则该正四棱锥内切球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四棱锥的棱长为,则,解得.‎ 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆,‎ 其中,.∴.‎ 设内切圆的半径为,由,得,即,‎ 解得,‎ ‎∴内切球的表面积为.‎ ‎15.已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,,,,则此球的表面积等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为,,,‎ ‎,,,‎ ‎,,‎ 设外接圆的半径为,则,,‎ ‎∴外接球的半径为,∴球的表面积等于.故答案为.‎ ‎16.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示,三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆,外接圆的直径为长方体的体对角线,‎ 设,那么,,所以.由题意,体积的最小值即为 最小,,所以当时,的最小值为,所以半径为,‎ 故体积的最小值为.‎
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