闽粤赣三省十二校2020届高三上学期联合调研考试数学（理）

闽粤赣三省十二校2020届高三上学期联合调研考试数学（理）

数学（理科）试题 （考试时间：150 分钟 总分：150 分） 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知 ,则复数 在复平面上所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. , , ，则( ) 4．如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高， 为线段 的中 点，则 （ ） A． B． C． D． 5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行 业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形 图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980—1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前 出生． A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20％ C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6.已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过右 焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7.函数 ，则不等式 的解集为（ ） { }2 2 0A x R x x= ∈ − − < { }1,0,1−=B A B = { }1,0,1− { }1,0− { }0,1 { }0 ( ) izi 43 =− ( )为虚数单位i z 4log 0.4m = 0.44n = 0.50.4p = .A m n p< < .B m p n< < .C p m n< < .D n p m< < , ,A B C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > AB O AC F BF AC⊥ 2 AF CF= 3 5 3 17 2 17 4 9 2 2( ) logf x x x= + 0)3()1( <−+ fxf ),4()1,.( +∞∪−−∞A ),1()4,.( +∞∪−−∞B )2,1()1,4.( −∪−−C )4,1()1,1.( ∪−D 8.已知函数 的两条相邻对称轴的距离为 ，把 的图象向右平移 个单位得函数 的图象，且 为偶函数，则 的单调增 区间为（ ） A. B. C. D. 9 ． 已 知 直 三 棱 柱 ， 的 各 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 且 ，若球 O 的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于 （ ） A． B． C． D． 10．在 中，内角 所对的边分别为 为 的面积， ，且 成等差数列，则 的大小为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 ， （ 是自然对数的底数），若关于 的方程 恰有两个不等实根 、 ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．.设 ， 是抛物线 上的两个不同的点， 是坐标原点，若直线 与 的 斜率之积为 ，则（ ） A． B．以 为直径的圆的面积大于 C.直线 过抛物线 的焦点 D． 到直线 的距离不大于 2 1 1 1ABC A B C− M N 2y x= O OM ON 1 2 − | | | | 4 2OM ON+ ≥ MN 4π MN 2y x= O MN ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > <   2 π ( )f x 6 π ( )g x ( )g x ( )f x 42 ,2 ,3 3k k k Z π ππ π + + ∈   4, ,3 3k k k Z π ππ π + + ∈   2 ,2 ,6 3k k k Z π ππ π − + ∈   , ,6 3k k k Z π ππ π − + ∈   32,2 === BCACAB π 3 5160 24 38 8 54 ABC∆ , ,A B C , , ,a b c S ABC∆ ( )sin A C+ = 2 2 2S b c− , ,A B C C 3 π 3 2π 6 π 6 5π 2 , 0( ) e , 0x x xf x x >=  ≤ ( ) exg x = e x ( ( )) 0g f x m− = 1x 2x 1 2x x< 2 1x x− 1 (1 ln 2)2 + 1 ln 22 + 1 ln 2− 1 (1 ln 2)2 − 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横 线上。 13．已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递 减，则 ____． 14. 函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为____． 15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设每 名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 _______ 16．如图，三棱锥 A－BCD 中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8， CD ＝12 ，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为 ， 则 PB 的最大值是________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。 17．已知公差不为 0 的等差数列 满足 ， 是 的等比中项. (1)求数列 的通项公式； (2)数列 满足 ,求数列 的前 项的 . 18．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， . （1）证明： 平面 ； （2）若 是 的中点， 是棱 上一点，且 平面 ，求二面角 1 12 1 1 2 32 2 α  ∈ − − −  ， ， ，，，， ( ) af x x= ( )0 + ∞， a = ( ) cosxf x e x= (0, (0))f 21 }{ na 93 =a 2a 71,aa }{ na }{ nb )7( 1 += n n anb }{ nb n nS P ABCD− ABCD 1= =PA AB 2PB PD= = BD ⊥ PAC E PC F PD / /BE ACF F AC D− − 的余弦值. 19. 已知椭圆 的一个焦点坐标为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知点 ，过点 的直线 （与 轴不重合）与椭圆 交于 两点，直 线 与直线 相交于点 ，试证明：直线 与 轴平行． 20．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一 块地的 个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒 种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种， 否则要补播种． （1）当 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当 时，用 表示要补播种的坑的个数，求 的分布列与数学期望． 21.（本小题 12 分） 已知函数 ， 是 的导函数. （1）证明：当 时， 在 上有唯一零点； （2）若存在 ，且 时， ，证明： . 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题 号。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数). （Ⅰ）若 ，求曲线 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; （Ⅱ）设点 ，曲线 与直线 l 交于 两点，求 的最小值. 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 2 2 2 2: 1( 0)5 x yC bb b + = > (2,0) C (3,0)E (1,0) l x C ,M N ME 5x = F FN x *( )n n N∈ 1 2 n 4n = X X 1( ) sin ln 12 2 mf x x x x= − − + ( )f x′ ( )f x 2m = ( )f x′ (0, )+∞ 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 2 1 2x x m< 6cosρ θ= 2 cos 1 sin x t y t α α = +  = − + 2 πα = C ( )1,2 −P C BA、 2 2PA PB+ 已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围． ( ) ( )1 3f x x a a= − ∈R 2a = ( )1 13x f x− + ≥ ( )1 3x f x x− + ≤ M 1 1,3 2 M  ⊆   a 数学（理科）答案 一、选择题： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B D B C D B C A D 二、填空题 13． 14. 15． 16． 三、解答题： 17．（1）设等差数列 的公差为 ，则 解得 或 （舍去）， . （2） , . 18．（1）证明：∵ ， . ∴ ， ， ∴ ， ， ， 平面 ∴ 平面 ，而 平面 ∴ ． 又∵ 为正方形， 1− 4 π 9 16 57 1PA AB AD= = = 2PB PD= = 2 2 2PA AB PB+ = 2 2 2PA AD PD+ = PA AB⊥ PA AD⊥ AB AD A∩ = ,AB AD ⊂ ABCD PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PA BD⊥ ABCD ∴ ， ， 平面 ∴ 平面 ． （2）解：如图，连接 ，取 的中点 ， 设 ，连接 ，则 ， 从而 平面 ，平面 与 的交点即为 ． 以 、 、 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， ， ， ， ， 平面 即平面 ，设其法向量为 ， 则 即 令 ，得 ， 易知平面 的一个法向量为 ， ∴ . 因为二面角 为锐二面角，故所求余弦值为 ． 19． （Ⅰ）由题意可知 所以 .所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）①当直线 的斜率不存在时，此时 轴.设 ，直线 与 轴相交于 点 ，易得点 是点 和点 的中点，又因为 ， AC BD⊥ PA AC A∩ = ,PA AC ⊂ .PAC BD ⊥ PAC ED ED M AC BD O∩ = OM BE OM BE  ACM ACM PD F OB OC OE , ,x y z O xyz− 20, ,02OC  =      10,0, 2OE  =     2 ,0,02OD  = −     2 1,0,2 4 4 OE ODOM  += = −      ACF ACM ( ), ,n x y z = 0, 0, n OC n OM  ⋅ =  ⋅ =   0, 2 0, y x z =− + = 1x = ( )1,0, 2n = ACD ( )0,0,1m = 2 6cos , 33 m nm n m n ⋅= = =      F AC D− − 6 3 2 2 2, 5 . c a b =  = 2 25, 1a b= = C 2 2 15 x y+ = l MN x⊥ ( )1,0D 5x = x G ( )3,0E ( )1,0D ( )5,0G MD DN= 所以 ，所以直线 轴. ②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 . 因为点 ，所以直线 的方程为 . 令 ，所以 . 由 消去 得 .显然 恒成立. 所以 因为 ， 所以 .所以直线 轴.综上所述，所以直线 轴. 20．（1）当 或 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 ； （2）见解 （1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值 时有 3 个坑要补播种的概率最大．（2）n＝4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4．分 别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． （1）对一个坑而言，要补播种的概率 ， 有 3 个坑要补播种的概率为 . FG DN= //FN x l l ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )3,0E ME ( )1 1 33 yy xx = −− 5x = ( )1 1 1 1 25 33 3F y yy x x = − =− − ( ) 2 2 1 , 5 5 y k x x y  = −  + = y ( ) ( )2 2 2 21 5 10 5 1 0k x k x k+ − + − = 0∆ > ( )22 1 2 1 22 2 5 110 , .5 1 5 1 kkx x x xk k − + = =+ + ( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 1 11 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 12 3 3 3F y x y k x x k xyy y y x x x − − − − − −− = − = =− − − ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 5 1 103 55 1 5 13 5 3 3 k kk k kk x x x x x x  −  − × ++ +  − + +   = =− − 2 2 2 2 1 5 1 6 5 1 05 1 3 k k k k k x − − + += ⋅ =+ − 2 Fy y= //FN x //FN x 5n = 6n = 5 16 3 3 0 1 3 3 1 1 1 2 2 2P C C   = + =       3 1 2 n nC      欲使 最大，只需 ， 解得 ，因为 ，所以 当 时， ；当 时， ； 所以当 或 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 . （2）由已知， 的可能取值为 0，1，2，3，4. ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望 . 21（1）证明：当 时， ， . 当 时， 为增函数，且 ， ，∴ 在 上有唯一零点； 当 时， ， ∴ 在 上没有零点. 综上知， 在 上有唯一零点. （2）证明：不妨设 ，由 得 ， ∴ . 设 ，则 ，故 在 为增函数， 3 1 2 n nC      1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n C C C C − − + +     ≥             ≥        5 6n≤ ≤ *n N∈ 5,6,n = 5n = 5 3 5 1 5 2 16C   =   6n = 6 3 6 1 5 2 16C   =   5n = 6n = 5 16 X 14, 2X B ∼    X X P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X 14 22EX = × = 2m = 1( ) sin ln 12f x x x x= − − + 1 1( ) 1 cos2f x x x ′ = − − (0, )x π∈ ( )f x′ 1 3 3 31 03 4 4f π π π  ′ = − − = − <   3 1( ) 02f π π ′ = − > ( )f x′ (0, )π [ , )x π∈ +∞ 1 1( ) 1 cos2f x x x ′ = − − 1 1 1 11 02 2x π− − − >  ( )f x′ [ , )π +∞ ( )f x′ (0, )+∞ 1 20 x x< < ( ) ( )1 2f x f x= 1 1 1 1 sin ln 12 2 mx x x− − + 2 2 2 1 sin ln 12 2 mx x x= − − + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1ln ln sin sin2 2 m x x x x x x− = − − − ( ) sing x x x= − ( ) 1 cos 0g x x′ = −  ( )g x (0, )+∞ ∴ ，从而 ， ∴ ，∴ ， 下面证明： . 令 ，则 ，即证明 ，只要证明 .（*） 设 ，则 ，∴ 在 单调递减. 当 时， ，从而（*）得证，即 . ∴ ，即 . 22.（1）曲线 C: ，将 .代入得 x2+y2-6x＝0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9. 直线 l: ，(t 为参数)，所以 x＝2，故直线 l 的极坐标方程为 ……5 分 （2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得 即 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 因为 当 时取等号，所以 的最小值为 14.-----------------10 分 22．解：（1） 依题意，直线 的直角坐标方程为 ， 的直角坐标方程为 ． ……………………………………………………………2 分 由 得 ， 因为 ，……………………………………………3 分 2 2 1 1sin sinx x x x− > − 2 1 2 1sin sinx x x x− > − ( )2 1ln ln2 m x x− ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 1sin sin2 2x x x x x x= − − − > − 2 1 2 1ln ln x xm x x −> − 2 1 1 2 2 1ln ln x x x xx x − >− 2 1 xt x = 1t > 1 ln t tt − > 1ln 0tt t −− < 1( ) ln th t t t −= − ( )2 1 ( ) 0 2 t h t t t − ′ = − < ( )h t (1, )+∞ 1t > ( ) (1) 0h t h< = 2 1 1 2 2 1ln ln x x x xx x − >− 1 2m x x> 2 1 2x x m< 2 6 cosρ ρ θ= cos , sinx yρ θ ρ ϑ= = 2 1 x y t =  = − + cos 2ρ θ = 2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t tα α α+ + − = 2 2 (cos sin ) 7 0t t α α− + − = 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t tα α+ = + = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t α α α+ = + = + − = + + = + ≥ sin 2 1α = − 2 2PA PB+ 1l 3 3y x= 2l 3y x= =2 3 cos 2sinρ θ θ+ 2 =2 3 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ+ 2 2 2, cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = 所以 ， ……………………………………………………………4 分 所以曲线 的参数方程为 （ 为参数）…………………………5 分 （2）联立 得 ，…………………………6 分 同理， ．……………………………………7 分 又 ，………………………………………………………………8 分 所以 ，………………9 分 即 的面积为 ． ………………………………………………………10 分 2 2( 3) ( 1) 4x y− + − = C 3 2cos 1 2sin x y α α  = + = + α 6 =2 3 cos 2sin πθ ρ θ θ  =  + 1 4OA ρ= = 2 2 3OB ρ= = 6AOB π∠ = 1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2AOBS OA OB AOB∆ = ∠ = × × × = AOB∆ 2 3