内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

集宁一中西校区2019—2020年第一学期期中考试 高三年级理科数学试卷 第Ⅰ卷客观题（共60分）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合相等的要求，对四个选项进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】A选项中，，，集合、都是点集，但集合里的元素是点，集合里的元素是点，所以集合、不是同一集合；‎ B选项中，集合、都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；‎ C选项中，集合是点集、集合是数集，所以集合、不是同一集合；‎ D选项中，集合数集、集合是点集，集合、不是同一集合.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查相同集合的判断，属于简单题.‎ ‎2.已知复数 （其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 复数 的共轭复数是.‎ 故选A.‎ ‎3.下列命题错误的是 A. 命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题 B. 命题“R, ”否定是“,”‎ C. 且，都有 D. “若，则”的逆命题为真 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对给出的四个选项分别进行判断可得结果．‎ ‎【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确．‎ 对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R, ”的否定是“,”，所以B正确．‎ 对于选项C，当且时，由基本不等式可得．所以C正确．‎ 对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．‎ ‎4.已知，，，则实数，，的大小关系为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选．‎ ‎5.设向量，，则“”是“”的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充要条件的判断方法进行判断即可.‎ ‎【详解】若，则，，则；但当时， ‎ 故“”是“”的充分但不必要条件.‎ 选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.‎ ‎6.要得到的图象，只需将的图象 ( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.‎ ‎【详解】将的图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.‎ ‎7.函数的图象如图所示，则y的表达式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像最大值和最小值可得，根据最大值和最小值的所对应的的值，可得周期，然后由，得到，代入点，结合的范围，得到答案.‎ ‎【详解】根据图像可得，，即，‎ 根据，得，‎ 所以，‎ 代入，得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 又因，所以得，‎ 所以得到，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.‎ ‎8.函数在R上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据奇函数，可得，再由单调性，求得的范围，解得的范围.‎ ‎【详解】因为为奇函数，且，‎ 所以，‎ 因为函数在R上单调递减，‎ 所以，‎ 可得，‎ 所以，‎ 故满足要求的的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题.‎ ‎9.若，则=（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求的关系式的分母“‎1”‎化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．‎ ‎【详解】tanα，‎ ‎∴cos2α+2sin2α ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．‎ ‎10.已知等比数列的公比，且，，则数列的前n项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的下标公式，得到，结合，解得和的值，然后得到公比和首项，从而得到其前项和.‎ ‎【详解】等比数列中，有，‎ 而，‎ 可得或者 根据公比可知｛｝是递增数列，‎ 所以，‎ 可得，，‎ 所以前n项和，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列下标公式，等比数列通项基本量计算，等比数列求和公式，属于简单题.‎ ‎11.函数的极值点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，且函数单调递增．‎ 又，‎ ‎∴函数在区间内存在唯一的零点，‎ 即函数的极值点在区间内．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．‎ ‎12.定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）‎ A. 9 B. ‎10 ‎C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。‎ ‎【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，‎ 由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，‎ 由图象可知，，当时，，‎ 则函数与函数在上没有交点，‎ 结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。‎ 第Ⅱ卷主观题（共90分）‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13.已知数列满足，，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 待定系数得到，得到 ‎【详解】因为满足，‎ 所以，‎ 即，得到，‎ 所以，‎ 而，‎ 故是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ 点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.‎ ‎14.已知，则=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元法:令,解出,再将代入,得,从而可得.‎ ‎【详解】令,则,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.‎ ‎15.若函数的定义域是R, 则的取值范围是.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的定义域是R，则在R上恒成立，‎ 当时满足题意；‎ 当时，，解得.‎ 综上：的取值范围是.‎ ‎16.函数在上单调递增，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据单调性及最值可得，分为和两种情形，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可.‎ ‎【详解】由题意得，，‎ ‎①时，，‎ 即，，‎ 因此；‎ ‎②时，，‎ 即，‎ 因此，‎ 综上可得，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题．‎ 三、简答题：（共70分）‎ ‎17.已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大最小值及相应的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)当时，；当时，。‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化简即可求函数的最小正周期； （II）结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最大最小值及相应的值．‎ 详解：‎ ‎（1）‎ 所以的最小正周期是 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以 当时，‎ 当时，‎ 点睛：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）记，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由基本量法，得到，解得，所以；（2），利用裂项相消法，求得。‎ 试题解析：‎ ‎（1），解得，所以；‎ ‎（2），‎ 所以。‎ 点睛：本题考查等差数列的基本性质与裂项相消求和。等差数列的基本题型中，熟悉掌握基本量法的应用，求得基本量，得到相关求解答案。裂项相消求和主要掌握其基本结构，知道哪些求和可以利用裂项来处理的。‎ ‎19.已知、、分别为的三边、、所对的角，向量，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，成等差数列，且，求边的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得，再由已知可得从而求得C的值；（2）由，，成等差数列，得，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长．‎ 试题解析：（1）,‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由成等差数列，得，由正弦定理得．‎ ‎，‎ 由余弦定理，‎ ‎．‎ 考点：等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎20.已知函数， ，曲线的图象在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求证： ；‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.‎ ‎(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.‎ 试题解析：（1）根据题意，得，则.‎ 由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，‎ 故.‎ ‎（2）令.‎ 由，得，‎ 当， ， 单调递减；‎ 当， ， 单调递增.‎ 所以，所以.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小值为，最大值为；‎ ‎（2）见解析；‎ ‎（3）（﹣1，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∴当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为．‎ 又，，‎ ‎∴．‎ 所以函数在区间上的最小值为，最大值为．‎ ‎（2）由题意得，．‎ ‎①当，即时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递减．‎ ‎②当时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎③当时，，‎ 由得，或（舍去），‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上可得，当，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在单调递增；‎ 当时，在上单调递减．‎ ‎（3）由（2）可得，当时，，‎ 若不等式恒成立，则只需，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．‎ ‎（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数．‎ ‎22.已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.‎ 由，得，即.由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.‎ 解得.‎ ‎【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.‎ ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎