河南省郑州外国语学校2021届高三第一学期调研测试数学文科试卷4

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郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 试卷 文科数学 （120 分钟 150 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的） 1. 已知复数 z 满足 (1 i) 2iz  ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合  2 4A x x ∣ ，  1B x y x  ∣ ，则 A B  （ ） A.  2,1 B.  2,1 C.  0,1 D.  ,2 3. 已知   4cos 5    ，且 为第三象限角，则 sin 2 的值等于（ ） A. 7 25 B. 7 25  C. 24 25 D. 24 25  4. 已知 m ， n 是空间中两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 / /m  ， n   ，则 / /m n B. 若 m  ， / /m  ，则  C. 若 n  ，  ，则 / /n  D. 若 m  ，n  ， l   ，且 m l ，n l ，则  5. 已知数列 na 为等差数列，且 2 2a  ， 6 6a  ，则 1 2 2 3 20 21 1 1 1 a a a a a a    （ ） A. 18 19 B. 19 20 C. 20 21 D. 21 22 6. 执行图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A. 452 B. 502 C. 552 D. 602 7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形 两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上， BDAC, 是其两条对角线， 8BD ，且 ACD 为正三角形，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A. 38 B. 316 C. 324 D. 332 8. 若函数 ( ) x xf x e e x   ，则不等式 (| | 1) (2 ) 0f x f x   的解集为（ ） A. [ 1, )  B. ( ,1] C. (0,1) D. ( 1,0) 9.已知向量 OBOA, 的夹角为 60 ， ，， 21  OBOA 点C 为 AOB 的平分线上的一点，且 ),( RnmOBnOAmOC  ,则  n m （ ） A. 3 1 B. 2 1 C. 2 D. 3 10.“ ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ） A. 0 ACAB B. CBACBA coscoscossinsinsin  C. 3,, CACBA 成等差数列，且 D. 222 ABBCAC  11. 已知函数 ( ) sin ( 0)f x x   在区间 2 ,3 3      上单调递增，且 ( ) 1f x  在区间[0,2 ] 上有唯一的 实数解，则 的取值范围是（ ） A. 30, 4      B. 3 3,4 2      C. 1 3,4 2      D. 1 3,4 4      12.已知函数 ,)( xexf  函数 )(xg 与 )(xf 的图象关于直线 xy  对称，令       0)( 0)( )( xxg xxf xh ， ， ，则方程 22 )( exxhe  解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设实数 x ， y 满足约束条件 0, 4 0, 5, y x y x y        则 2 5z x y   的最大值为__________． 14.已知向量 ,)2,(ln),,2( baxbya  ，且 那么 x y 的最大值为 15. 已知直线 : 4l y x  与曲线 2: 4C y x  ，在曲线C 上随机取一点 M ，则点 M 到直线 l 的距离不 大于 2 的概率为__________. 16. 已知三棱锥 P ABC 的所有棱长都是 2 ，四个顶点 P 、 A 、 B 、C 都在球O 的球面上，记球O 的表 面积是 1S ，过棱 AB 的平面被球O 截得的截面面积的最小值为 2S ，则 1 2 S S 的值为__________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（12 分） 已知 ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边为 a 、b 、 c ，且满足 2sin 2 3 sin 2 Aa B b . （1）求角 A 的大小； （2）若 ABC 的外接圆半径为 1，求b c 的最大值. 18.（12 分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管 委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各 类商贩所占比例如图. （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营店中随机抽取 100 个进行政策询问.如果按 照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？ （2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近 40 天的日收入进行了统计（单 位：元），所得频率分布直方图如下. （i）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表）； （ii）若从该果蔬经营点的日收入超过 200 元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超 过 250 元的概率. 19.（12 分）设数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 1a  ， 1 2 n n na Sn  （ *n N ）． （1）证明：数列 nS n     是等比数列； （2）求数列 nS 的前 n 项和 nT ． 20. （12 分）如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为菱形，且 π 3ABC  ， E 是 DP 中点． （1）证明： PB∥平面 ACE ； （2）若 2AP PB  ， 2AB PC  ，求三棱锥C PAE 的体积． 21.（本小题满分 12 分）已知函数 ).(ln)1()( Rae xxxf a  （1）若关于 x 的不等式 1ln)(  axxf 对任意的正数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围. （2）证明： ).(1 1 3 1 2 1)1ln(  Nnnn  请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做 的第一个题目计分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 1 cos 2 sin x t y t        （t 为参数， 为直线 l 的倾斜角），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin  . （1）写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 2 3   时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线 C 交于 A 、 B 两点，点 P 的直角坐标为  1,2 ，求 PA PB 的最大值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   1f x x x a    ，   2 1g x x   . （1）当 2a  时，解不等式   5f x  ； （2）若对任意 1x R ，都存在 2x R ，使得    2 1g x f x 成立，求实数 a 的取值范围. 郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 答案 文科数学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B C C B A C C D D 13. 14 ， 14. e 1 15. 1 2 16. 6 17.【详解】（1）因为 2sin 2 3 sin 2 Aa B b ，所以 2sin sin 2 3sin sin 2 AA B B ， 因为 (0, )B  ，所以sin 0B  ， 2sin 2 3sin 2 AA  ，即 22sin cos 2 3sin2 2 2 A A A ， 因为 (0, )A  ，所以sin 02 A  ， 则 2cos 2 3sin2 2 A A ， 3tan 2 3 A  ， 2 6 A  ， 3A  .………………6 分 （2）因为 ABC 的外接圆半径为 1，所以 32sin 2 32a A    ， 则 2 2 2 2 2 2 2 2 3( )2 cos ( ) 3 ( ) 4 b ca b c bc A b c bc b c bc b c             ， 即 2( )3 4 b c ，当且仅当 3 b c  时取等号， 故 2 3b c  ，b c 的最大值为 2 3 .…………………………………………12 分 18. 19.【解析】（1）由 1 2 n n na Sn  ，及 1 1n n na S S   ，得 1 2 n n n nS S Sn   ， 整理，得  1 2 1n nnS n S   ， 1 21 n nS S n n    ，又 1 11 S  ， nS n     是以1为首项， 2 为公比的等比列……………………………………6 分 （2）由（1），得 12nnS n  ， 12n nS n    （ *n N ）． 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2 n nT n           ，①  1 2 12 1 2 2 2 1 2 2n n nT n n          ，② 由②  ①，得    2 1 1 21 2 2 2 2 2 1 2 11 2 n n n n n nT n n n                 ……12 分 20.【解析】（1）连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF ∵四边形 ABCD 为菱形，∴F 为 AC 中点， 那么 EF∥PB 又∵ EF  平面 ACE， PB  平面 ACE ∴PB∥平面 ACE；………………………………6 分 （2）由勾股定理易知 AP⊥BP 且△ABC 为正三角形， ∵E 为 DP 中点，∴ 1 2C PAE P ACDV V  ， 取 AB 中点 M，连接 PM、CM，由几何性质可知 PM＝1， 3CM  ， 又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即 PM⊥MC，∵PM⊥AB， ∴PM⊥平面 ABCD， ∴ 1 1 31 2 33 2 3P ACDV        ， ∴ 1 3 2 6C PAE P ACDV V   ．…………………………12 分 22.【详解】 （1）由  sin2 ，得  sin22  ，∴曲线C 的直角坐标方程为 0222  yyx . 当 ＝ 2 3  时，直线 l 过定点（1，2），斜率 k＝﹣ 3 . ∴直线l 的普通方程为 )1(32  xy ，即 0233  yx ；（4 分） （2）把直线l 的参数方程为        sin2 cos1 ty tx 代入 0222  yyx , 得 01)cos(sin22  tt  .设 BA, 的参数分别为 21,tt 所以 1),cos(sin2 2121  tttt  ，则 1t 与 2t 同号且小于 0， 由 04)cos(sin4 2   ，得 1cossin1cossin   或 ∴|PA|+|PB|＝ )4sin(22)cos(sin2)( 21   tt ∴|PA|+|PB|的最大值为 22 .（10 分） 23.解：（1）当 2a  时， 2 1, 2, ( ) | 1| | 2 | 3, 2 1, 2 1, 1, x x f x x x x x x                ∴ ( ) 5f x  ，即 2 2 1 5 x x      或 2 1 3 5 x     或 1 2 1 5 x x     ， ∴ 2x  或 3x   ， ∴不等式 ( ) 5f x  的解集为 ( , 3] [2, )   .（4 分） （2）∵对任意 1x R ，都存在 2x R ，使得 2 1( ) ( )g x f x 成立， ∴   | ( ) | ( )y y f x y y g x   ， ( ) | 1| | | | ( 1) ( ) | | 1|f x x x a x x a a          ， （当且仅当 0))(1(  axx 时等号成立）， ( ) | 2 | 1 1g x x    ，所以| 1| 1a   ，∴ 1 1a   或 1 1a    ， ∴ 0a  或 2a   ，∴实数 a 的取值范围为 ( , 2] [0, )   .（10 分）