辽宁省辽阳市2020届高三一模考试数学(文)试题

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文档介绍

辽宁省辽阳市2020届高三一模考试数学(文)试题

高三考试数学试卷(文科)‎ 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上。‎ ‎3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若,则( )‎ A.的实部大于的实部 B.的实部等于的实部 C.的虚部大于的虚部 D.的虚部小于的虚部 ‎2.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若函数,则( )‎ A.的最大值为1‎ B.‎ C.的最小正周期为2‎ D.‎ ‎5.设非零向量,满足,,,则( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎6.设双曲线,,的离心率分别为,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.将60个个体按照01,02,03,…,60进行编号,然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数(下表为随机数表的第8行和第9行)‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ 则抽取的第11个个体的编号是( )‎ A.38 B‎.13 ‎C.42 D.02‎ ‎8.若,则的最小值为( )‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎9.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数的图象关于点对称,当时,,且在上单调递增,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11如图,在正四棱柱中,,,分别为,的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则( )‎ A.直线与直线异面,且 B.直线与直线共面,且 C.直线与直线异面,且 D.直线与直线共面,且 ‎12.已知直线与抛物线:交于,两点,直线与抛物线:交于,两点,设,则( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.,,,分别为内角, ,的对边.已知,则________.‎ ‎14.四面体的每个顶点都在球的球面上,, ,两两垂直,且,,,则四面体的体积为________,球的表面积为________ .(本题第一空2分,第二空3分)‎ ‎15.小林手中有六颗糖果,其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗,现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人,则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为________.‎ ‎16.函数的最小值为________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.如图,四棱锥的底面是正方形,为的中点,,,,.‎ ‎(1)证明:平面.‎ ‎(2)求三棱锥的侧面积.‎ ‎18. 某公司产品生产的投入成本(单位:万元)与产品销售收入(单位:十万元)存在较好的线性关系,下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据,且根据这8组数据计算得到关于的线性回归方程为.‎ ‎(万元)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎21‎ ‎(十万元)‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.7‎ ‎2‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ ‎2.9‎ ‎(1)求的值(结果精确到0.0001),并估计公司产品投入成本30万元后产品的销售收入(单位:元).‎ ‎(2)该公司产品生产的投入成本(单位:万元)与产品销售收入 (单位:十万元)也存在较好的线性关系,且关于的线性回归方程为.‎ ‎(ⅰ)估计该公司产品投入成本30万元后的毛利率(毛利率=);‎ ‎(ⅱ)判断该公司,两个产品都投入成本30万元后,哪个产品的毛利率更大.‎ ‎19. 设为数列的前项和,,且.‎ ‎(1)证明:数列为等比数列,并求.‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎(1)讨论在上的单调性;‎ ‎(2)若,求不等式的解集.‎ ‎21.已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.‎ ‎(1)证明:当取得最小值时,椭圆的短轴长为.‎ ‎(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中,已知点,的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设的最小值为,正数,满足,证明:.‎ 高三考试数学试卷 参考答案(文科)‎ ‎1.C 因为,所以的实部小于的实部,的虚部大于的虚部.‎ ‎2.A 因为,所以.‎ ‎3.A 水费开支占总开支的百分比为.‎ ‎4.B 的最大值为2,的最小正周期为1,‎ ‎. ‎ ‎5.A ,,,.‎ ‎6.D 因为双曲线的离心率为,且,所以.‎ ‎7.D 随机数表第9行第9列为2,抽取的个体分别为29,56,07,52,42,44,38,15,51,13,02,第11个个体为02.‎ ‎8.C 因为,所以,‎ 则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为4.‎ ‎9.D 因为,所以,所以.‎ ‎10.C 依题意可得f(x)在(2,+∞)上单调递增,则‎ ‎11.B连接,,,,易证,所以直线与直线共面.易证,所以异面直线与所成角为.设,则,则,,,由余弦定理,得.‎ ‎12.D设,联立得,则 ‎.因为直线经过的焦点,所以.同理可得,.‎ ‎13. 因为,所以,又,所以.‎ ‎14.1; 因为, ,两两垂直,且,,,所以四面体 的体积,球的表面积为.‎ ‎15. 记牛奶薄荷味的两颗糖为,,巧克力味的两颗糖为,,草莓味的两颗糖为,,则的儿子分到的糖的所有情况为,‎ ‎,‎ ‎,共20种,其中都含,,,的有8种,故所求概率为.‎ ‎16. 令,,.‎ 当时,;当时,.‎ 故.‎ ‎17.(1)证明:因为为的中点,,‎ 所以,‎ 所以,从而.‎ 又,,‎ 所以底面,所以.‎ 因为四边形是正方形,所以.‎ 又,所以平面.‎ ‎(2)解:由(1)知平面,因为,所以平面,‎ 因为平面,所以,‎ 所以的面积为.‎ 易证,‎ 所以的面积为.‎ 故三棱锥的侧面积为. 18.解:(1),,‎ ‎,‎ 解得.‎ 当时,,‎ 故公司产品投入成本30万元后产品的销售收入约为元.‎ ‎(2)(i)当时, ,产品对应的毛利率为.‎ ‎(ii)当时,,产品对应的毛利率为,‎ 故产品的毛利率更大.‎ ‎19.(1)证明:,,‎ 又,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 则,,‎ 当时,,‎ 故.‎ ‎(2)解:当时,,‎ 则 ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ ‎20.解:(1).‎ 当时,,则在上单调递增.‎ 当时,令,得.‎ ‎(i)当时,,‎ 令,得;令,得.‎ 所以得单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎(ii)当时,,‎ 令,得;令,得或.‎ 所以得单调减区间为,单调递增区间为,.‎ ‎(iii)当时,,‎ 令,得;令,得.‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎(2)因为,所以,当时,,‎ 所以在上单调递增,‎ 因为,,‎ 所以,‎ 解得,故所求不等式的解集为.‎ ‎21.(1)证明:∵椭圆经过点,,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,等号成立,‎ 又,,的短轴长为.‎ ‎(2)解:椭圆的焦距为2,,又,‎ ‎,.‎ 当直线的斜率不存在时,由对称性,设,,‎ 在椭圆上,,,‎ 到直线的距离.‎ 当直线的斜率存在时,设的方程为,‎ 由,得,‎ 设,,则,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,即,‎ 到直线的距离.‎ 综上,到直线的距离为定值,且定值为存在定圆,使得圆 与直线总相切.‎ ‎22.解:(1)由的参数方程(为参数),消去参数可得.‎ 由曲线的极坐标方程为,得,‎ 所以的直角坐标方程为,即.‎ ‎(2)因为在曲线上,‎ 故可设曲线的参数方程为(为参数),‎ 代入化简可得.‎ 设对应的参数分别为,则,,‎ 所以.‎ ‎23.(1)解:,‎ 不等式,即或或,‎ 即或或,‎ 所以所求不等式的解集为.‎ ‎(2)证明:,.‎ 因为,,‎ 所以要证,只需证,‎ 即证,‎ 因为,所以只要证,‎ 即证,‎ 即证,因为,所以只需证,‎ 因为,所以成立,‎ 所以.‎
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