重庆中考数学题专题及答案

重庆中考数学题专题及答案

重庆中考25题专题训练（及答案）‎ ‎1、（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1-------------------2分 ‎∴二次函数的解析式为 --------3分 ‎（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， --------------4分 ‎∴‎ ‎∴DE=-----------------------------------5分 ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 ‎（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）---10分 ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎（2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中 ‎(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) ------------------------12分 ‎2、（本题满分12分）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D． ‎ ‎（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．‎ 求证：四边形ODBE是等腰梯形；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2、（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ‎ ‎(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）‎ 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE ‎∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），‎ ‎∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD ‎∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在和中，‎ OD= ，BE=‎ ‎∴OD= BE ‎∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分 ‎(3) 存在， ………………8分 由题意得： ………………9分 设点Q坐标为（x，y），‎ 由题意得：=‎ ‎∴‎ 当y=1时，即，∴ ， ，‎ ‎∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分 当y=-1时，即， ∴x=2，‎ ‎∴Q点坐标为（2，-1）‎ 综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）‎ 使得=． ………………12分 E F Q1‎ Q3‎ Q2‎ ‎3、（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ P D C M y ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ 解：（1）抛物线经过点，‎ ‎ 1分 二次函数的解析式为： 3分 ‎（2）为抛物线的顶点过作于，则，‎ ‎ 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时，四边形是平行四边形 ‎ 5分 当时，四边形是直角梯形 过作于，则 ‎（如果没求出可由求）‎ ‎ 6分 当时，四边形是等腰梯形 综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 ‎（3）由（2）及已知，是等边三角形 则 过作于，则 8分 ‎= 9分 当时，的面积最小值为 10分 此时 ‎ 11分 ‎4．（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ 解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）存在． （4分）‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ D P M E 如图，设点的横坐标为，‎ 则点的纵坐标为，‎ 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），． （6分）‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，． （7分）‎ 类似地可求出当时，． （8分）‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或． （9分）‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．‎ 由题意可求得直线的解析式为． （10分）‎ 点的坐标为．‎ ‎． （11分）‎ ‎．‎ 当时，面积最大．‎ ‎． ‎ ‎5.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式；‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6‎ ‎∴A(1，0)，B(7，0)‎ ‎∴0=‎9a+k ………………②‎ 由①②解得a=，k=‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ‎∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO ‎∴ ∴‎ ‎∴点P的坐标为(4，)‎ ‎⑶由⑴知点C(4，)，‎ 又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，‎ ‎∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ‎∴QN=3，BN=3，ON=10，‎ 此时点Q(10，)，‎ 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)‎ ‎②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，‎ 此时点Q的坐标是(4，)，‎ 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．‎ ‎6、(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设该抛物线的解析式为，‎ 由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. ‎ 即抛物线的解析式为． ………………………1分 把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 ‎ 解得.‎ ‎∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ……………………………………………3分 ‎∴ 顶点D的坐标为. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－‎3”‎不扣分.‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：‎ 过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.‎ 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ . …………………………6分 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ . …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ . …………………………8分 ‎∴ ， 故△BCD为直角三角形. …………………………9分 ‎（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ………10分 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为． …………………………………………11分 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为P2（9，0）． …………………………………………12分 ‎∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.‎ ‎7、如图，抛物线与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与轴交于点C．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；‎ ‎(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）解：（1）把A B代入得：‎ ‎　　　解得：‎ ‎………………………………………………………………………3分 ‎（2）令，得 ∴ ……………………………………………4分 ‎ ‎∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=ABC =‎ ‎∵BD∥CA， ∴ABD=BAC ‎ ‎ 过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形 令 ，则 ∴‎ ‎∵点D在抛物线上 ∴ ‎ 解得，（不合题意，舍去）‎ ‎ ∴DE=‎ ‎(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可) ‎ ‎∴四边形ACBD的面积=AB•OC +AB•DE ‎………………………………7分 ‎（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4） ‎ ‎(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分 ‎∵ABC=ABD= ∴DBC=‎ ‎∵MN轴于点N， ∴ANM=DBC =‎ 在Rt△BOC中，OB=OC= 有BC=‎ 在Rt△DBE中，BE=DE= 有BD= ‎ 设M点的横坐标为，则M ‎ ‎①点M在轴左侧时，则 ‎(ⅰ) 当AMN CDB时，有 ‎∵‎ 即 　解得：（舍去） ‎ 则 ‎(ⅱ) 当AMN DCB时，有 即 解得（舍去） （舍去）…………10分 ‎ ‎ ‎② 点M在轴右侧时，则 ‎ ‎(ⅰ) 当AMN DCB时，有 ‎∵ ‎ ‎ ∴ ‎ 解得（舍去） ‎ ‎ ∴‎ ‎(ⅱ) 当AMN CDB时，有 ‎ 即 　　解得：（舍去） ‎ ‎∴‎ ‎∴M点的坐标为…………………………12分 ‎8、在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二 次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。‎ ‎（1）是否存在这样的抛物线F，‎ ‎？请你作出判断，并说明理由；‎ ‎（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。‎ ‎【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。‎ ‎（1）∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为,‎ ‎∴ 抛物线对应的解析式为:. ‎ ‎ ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴. ‎ ‎ 令, 得，, ‎ ‎∴ )( )| ,‎ 即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分 ‎(2) ∵, ∴ , 得: ,‎ 解得. ‎ 在中,‎ ‎1) 当时,由 , 得, ‎ 当时, 由, 解得, ‎ 此时, 二次函数解析式为; ‎ 当时, 由, 解得, ‎ 此时，二次函数解析式为 + +. ‎ ‎2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,‎ ‎（也可由代，代得到）‎ 所以二次函数解析式为 + –或. ‎ ‎9、如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.‎ ‎（1）求点A的坐标;‎ ‎（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;‎ ‎（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,‎ 点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. ‎ ‎【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x<0、 ②当点P在第四象限是，x>0这二种情况。‎ ‎（1）∵‎ ‎∴A(-2,-4)‎ ‎（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)‎ 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()‎ 四边形ABP3O为直角梯形时，P1()‎ 四边形ABOP4为直角梯形时，P1()‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x ‎①当点P在第二象限时，x<0,‎ ‎△POB的面积 ‎∵△AOB的面积，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 即 ∴‎ ‎∴x的取值范围是 ‎②当点P在第四象限是，x>0,‎ 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′‎ 则四边形POA′A的面积 ‎∵△AA′B的面积 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴ 即 ∴‎ ‎∴x的取值范围是 B O A P M ‎10、如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．‎ ‎（1）求线段所在直线的函数解析式；‎ ‎（2）设抛物线顶点的横坐标为,‎ ‎①用的代数式表示点的坐标；‎ ‎②当为何值时，线段最短；‎ ‎（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。‎ ‎（1）设所在直线的函数解析式为，‎ ‎∵（2，4），‎ ‎∴, ,‎ ‎∴所在直线的函数解析式为 ‎（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，‎ ‎ ∴（0≤≤2）.‎ ‎∴顶点的坐标为(,).‎ ‎∴抛物线函数解析式为.‎ ‎∴当时，‎ ‎（0≤≤2）.‎ ‎∴点的坐标是（2，）.‎ ‎② ∵==， 又∵0≤≤2，‎ ‎∴当时，PB最短 ‎（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.‎ 假设在抛物线上存在点，使.‎ ‎ 设点的坐标为（，）.‎ ‎①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，‎ ‎∵，，‎ D O A B P M C E ‎∴，∴，∴点的坐标是（0，）.‎ ‎∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.‎ ‎∵，∴点落在直线上.‎ ‎∴=.‎ 解得，即点（2，3）.‎ ‎∴点与点重合.‎ ‎∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.‎ ‎②当点落在直线的上方时，‎ 作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，‎ ‎∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），‎ ‎∴直线函数解析式为.‎ ‎∵，∴点落在直线上.‎ ‎∴=.‎ 解得：，.‎ 代入，得，.‎ ‎∴此时抛物线上存在点，‎ 使△与△的面积相等. ‎ 综上所述，抛物线上存在点，‎ ‎ 使△与△的面积相等.‎ ‎11、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，‎ 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．‎ ‎（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ ‎【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。‎ ‎（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ‎ 将A、B、C三点的坐标代入得 ‎ 解得： ‎ 所以这个二次函数的表达式为： ‎ ‎（2）存在，F点的坐标为（2，－3） ‎ 易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为： ‎ ‎∴E点的坐标为（－3，0） ‎ ‎∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） ‎ 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ‎∴存在点F，坐标为（2，－3） ‎ ‎（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），‎ 代入抛物线的表达式，解得 ‎ ‎②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），‎ 则N（r+1，－r），‎ 代入抛物线的表达式，解得 ‎∴圆的半径为或． ‎ ‎（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，‎ 易得G（2，－3），直线AG为．‎ 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．‎ ‎ ‎ 当时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为，． ‎ A O x y B F C ‎12、如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．‎ ‎，‎ 点都在抛物线上，‎ ‎ ‎ 抛物线的解析式为顶点 ‎（2）存在 A O x y B F C 图9‎ H B M ‎（3）存在 理由：‎ 解法一：‎ 延长到点，使，连接交直线于 点，则点就是所求的点．‎ ‎ ‎ 过点作于点．‎ 点在抛物线上，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ 设直线的解析式为 ‎ 解得 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点，使得的周长最小，此时．‎ y x O D E C F A B ‎13、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的 负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线 过点．‎ ‎（1）判断点是否在轴上，并说明理由；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）点在轴上 理由如下：‎ 连接，如图所示，在中，，，‎ ‎，‎ 由题意可知：‎ 点在轴上，点在轴上．‎ ‎（2）过点作轴于点 ‎，‎ 在中，，‎ 点在第一象限，‎ 点的坐标为 由（1）知，点在轴的正半轴上 点的坐标为 点的坐标为 抛物线经过点，‎ 由题意，将，代入中得 ‎ 解得 所求抛物线表达式为：（3）存在符合条件的点，点． 10分 理由如下：矩形的面积 以为顶点的平行四边形面积为．‎ 由题意可知为此平行四边形一边，‎ 又 边上的高为2‎ 依题意设点的坐标为 点在抛物线上 解得，，‎ ‎，‎ 以为顶点的四边形是平行四边形，‎ y x O D E C F A B M ‎，，‎ 当点的坐标为时，‎ 点的坐标分别为，；‎ 当点的坐标为时，‎ 点的坐标分别为，．‎ ‎14、如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b 与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．‎ ‎(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；‎ ‎(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶 点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．‎ A H C B y ‎-2‎ M O D N x P ‎ ‎ ‎(1)OH＝1；k＝，b＝；‎ ‎(2)设存在实数a，是抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似 ‎∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．‎ ‎①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．‎ 由抛物线y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)‎ ‎∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是(2，3)．‎ 把E(2，3)代入抛物线解析式，得a＝‎ ‎∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)‎ 即y＝x2＋x＋‎ ‎②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．‎ ‎∴E的坐标为(3.5，1.5)‎ 把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a＝．‎ ‎∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x2＋x＋‎ 当a＝时，在抛物线y＝x2＋x＋上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．显然E’不在抛物线y＝x2＋x＋上，因此抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．‎ 当a＝时，同理可得抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．‎ 当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时．‎ ‎∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．‎ 又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．‎ ‎∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．‎ 当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时，‎ 同理可证得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．‎