山东省威海市2020届高三一模数学试题

山东省威海市2020届高三一模数学试题

高三数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．‎ 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据描述法可知集合A中元素，利用交集计算即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以A中元素为被5除余1的自然数，‎ 所以，元素有2个，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了集合描述法，集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于容易题.‎ ‎3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭 B. 随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高 C. 1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%‎ D. 随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象，结合选项，判断正误.‎ ‎【详解】从图中可知城镇居民家庭恩格尔系数不高于农村居民家庭的恩格尔系数，所以A选项正确；‎ 从图中可知城镇居民家庭和农村居民家庭的恩格尔系数都在降低，所以B选项正确；‎ 从图中可知农村居民家庭的恩格尔系数从2001年开始低于50%，所以C选项错误；‎ 从图中可知随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭的恩格尔系数越来越接近，所以D选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了根据图象提取信息的能力，属于容易题.‎ ‎4.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出抛物线的焦点即为圆心，焦点到准线的距离即为圆的半径，可求得圆的方程.‎ ‎【详解】由知，‎ 焦点为，‎ 由圆与准线相切知：‎ 所以圆心为，半径为，‎ 所以圆的方程，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，圆的标准方程，属于中档题.‎ ‎5.已知，为第三象限角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角差的正弦公式化简可得，利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 由为第三象限角知，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.‎ ‎6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．‎2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与‎2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（ ）‎ A. B. ‎1.5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，能量，代入震级M，计算即可.‎ ‎【详解】因为地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，‎ 所以，‎ 当震级分别为里氏9.0级，里氏8.0级时，释放出来的能量的比值为：‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算性质、指数的运算性质，考查了实际问题中数学知识的应用，属于中档题.‎ ‎7.已知函数（，）的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 已知函数的最小正周期为，所以，所以，那么图象向右平移个单位后得到函数的图象，则，因为，所以，故选D．‎ ‎8.已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.‎ ‎【详解】设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：‎ 根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.‎ 设 因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ ‎,‎ 在和中，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ 由②化简可得，③‎ 把③代入①可得：，‎ 所以，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.若，为正实数，则的充要条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.‎ ‎【详解】因为，故A选项错误；‎ 因为，为正实数，所以，故B选项正确；‎ 取，则，，即不成立，故C选项错误；‎ 因为，当时，，所以在上单调递增，‎ 即，故D正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.‎ ‎10.等差数列的前项和记为，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. 当且仅当时 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质及可分析出结果.‎ ‎【详解】因为等差数列中，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以，，故ABC正确； 因为，故D错误,‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.‎ ‎11.如图直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则（ ）‎ A. 平面平面 B. ‎ C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A中利用折前折后不变可知,根据可证,可得线面垂直，进而证明面面垂直；B选项中不是直角可知不垂直，故错误；‎ C中二面角的平面角为,故正确；D中与平面所成角为,计算其正切值即可.‎ ‎【详解】A中, ,在三角形中，，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；‎ B中，若，又，可得平面,则,而 ‎,‎ 显然矛盾，故B选项错误；‎ C中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故C选项正确；‎ D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.‎ 故选：AC ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题.‎ ‎12.设函数，则（ ）‎ A. 在单调递增 B. 的值域为 C. 的一个周期为 D. 的图像关于点对称 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.‎ ‎【详解】令，则，显然函数为增函数，‎ 当时，为减函数，‎ 根据复合函数单调性可知，在单调递减，‎ 因为，‎ 所以增函数在时，，‎ 即的值域为；‎ 因为，‎ 所以的一个周期为，‎ 因为，令，‎ 设为上任意一点，‎ 则为关于对称的点，‎ 而，‎ 知点不在函数图象上，‎ 故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.‎ 故选：BC ‎【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知，为单位向量，，且，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 又，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题.‎ ‎14.若展开式中的系数为12，则_________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 展开式中含的项分别由展开式中含的项与乘以展开式中含项的积构成，分别求出，合并同类项即可求出的系数，得解.‎ ‎【详解】因为展开式中含的项的系数为，含项的系数为，‎ 故展开式中含的项为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理，利用组合知识求指定项系数，属于中档题.‎ ‎15.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑中，平面，且，，则该鳖臑外接球的表面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据鳖臑的体积可求出,由勾股定理可求出,确定外接球球心为中点，即可得到球半径，求出球的表面积.‎ ‎【详解】如图， ‎ 鳖臑四个面都直角三角形，且平面，所以，‎ 故,‎ 所以,‎ 由知,‎ 即，‎ 在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等,‎ 所以鳖臑外接球的球心为,半径，‎ 球的表面积,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的半径，球的表面积，棱锥的体积，属于中档题.‎ ‎16.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．‎ ‎【答案】 (1). 16 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；‎ ‎（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.‎ ‎【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,‎ ‎（1）由题意知，，‎ 化简得：，‎ 又，‎ 所以，‎ 解得：，‎ 共种；‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即的最大值为1万元，‎ 故答案为：16；1‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在中，角的对边分别是，已知，且为锐角．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据余弦的二倍角公式化为的一元二次方程求解即可；‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式可得，利用正弦定理可化为，解得，根据余弦定理求即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因，所以，‎ 解得或（舍），‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为的面积为，‎ 所以，得．‎ 已知由，由正弦定理可得，‎ 所以．‎ 由余弦定理得 得，‎ 所以，的周长为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.‎ ‎18.记数列的前项和为，已知，．设．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1994‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据与的关系，得，即可证明；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，去绝对值号可化为分段函数，根据等比数列求和公式求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得 两式相减得，∴‎ ‎，‎ 又由，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了与的关系，等比数列的证明，等比数列求和公式、通项公式，属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，，，，．过点做四棱锥截面，分别交，，于点，已知，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）在上取点，且满足，连接，，可证是平行四边形，即可证明结论；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角公式计算即可求解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：在上取点，且满足，‎ 连接，，则，且，‎ 因为，‎ 所以，且 所以是平行四边形，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（Ⅱ）过点作与平行的射线，易证两两垂直，‎ 所以以为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ 则有，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，令，解得 所以是平面的一个法向量 因为点在上，所以 因为平面，所以，‎ 解得，所以 或如下证法：因平面且平面平面，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为为中点，所以为中点，所以，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，令，解得 所以是平面的一个法向量，，‎ 所以与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，线面角的向量求法，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，是和的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点的另一直线与椭圆交于、两点，且，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据是和的等差中项可得，再利用在椭圆上可解得，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）分直线斜率存在不存在两种情况，直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，，由可得，即可求出斜率，求出直线方程.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为是和的等差中项，所以，得．‎ 又在椭圆上，所以，所以，‎ ‎，，‎ 可得椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）计算可知 当直线与轴垂直时，不合题意．‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为 联立直线与椭圆的方程，可得，‎ 由于在椭圆内，∴恒成立，‎ 设，，由韦达定理可得 ①，‎ 由，可得，又，‎ 所以，得，‎ 代入①，可得 所以，解得 所以直线的方程为 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，试判断零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）有且只有一个零点；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及即可确定函数的零点；‎ ‎（Ⅱ）分和两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值，由求解即可．‎ 详解】（Ⅰ）当时，，‎ ‎．‎ 所以，在上单调递减，‎ 又，‎ ‎∴有且只有一个零点．‎ ‎（Ⅱ）∵，．‎ ‎（1）当时，在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，不符合题意．‎ ‎（2）当时，设，‎ 当即时，恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，符合题意，‎ ‎∴．‎ 当即时，有两不等实根，设为 因为，可知，‎ 所以时，时 即在区间上单调递增，单调递减 所以，不符合题意．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎22.新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为．‎ ‎（Ⅰ）若，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）该阶段经费使用不会超出预算，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据互斥事件的概率，求一次检验成功和经过两次检验才成功的概率之和即可求解；（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为元，由题意可知的可能值为900，1500，求随机变量的期望，利用导数求出期望的最大值，即可求总费用的最大值，得出结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，一次检验就取得“实验成功”的概率为；‎ 经过两次检验才取得“实验成功”的概率为；‎ 在一次实验方案中“实验成功”的概率为．‎ ‎（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为元，则的可能值为900，1500．‎ ‎；．‎ 所以，‎ 设，则，‎ 当时，，所以在上单增；‎ 当时，，所以在上单减．‎ 所以的最大值为，‎ 因此实施一次此方案最高费用为元 所以动物实验阶段估计最高试验费用为万元，‎ 因为，‎ 所以该阶段经费使用不会超出预算．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件的概率，离散型随机变量的期望的最大值，实际问题中的概率问题，属于难题.‎