广东省东莞市中考数学真题试卷解析版

广东省东莞市中考数学真题试卷解析版

‎2011年广东省东莞市中考数学真题试卷 ‎（解析版）‎ 考试用时100分钟，满分为120分 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．‎ ‎1．－2的倒数是（ ）‎ A．2 　 B．－‎2　 ‎ C． 　 D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】倒数。‎ ‎【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，直接得出结果。‎ ‎2．据中新社北京‎2010年12月8日电，2010年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（　　）‎ A．5.464×107吨　 B．5.464×108吨 C．5.464×109吨 D．5.464×1010吨 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】科学记数法。‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。故选B。‎ A．‎ B．‎ D．‎ C．‎ 题3图 ‎3．将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（　　）‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】相似。‎ ‎【分析】根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似的定义，A符合将图中的箭头缩小 到原来的的条件；B与原图相同；C将图中的箭头扩大到原来的2倍；D只将图中的箭头 长度缩小到原来的，宽度没有改变。故选A。‎ ‎4．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 一个球，摸到红球的概率为（　　）‎ A．　 B． 　 C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】概率。‎ ‎【分析】根据概率的计算方法，直接得出结果。‎ ‎5．正八边形的每个内角为（　　）‎ A．120º B．135º　 C．140º　 D．144º ‎【答案】B。‎ ‎【考点】多边形内角和定理。‎ ‎【分析】根据多边形内角和定理，求出正八边形的内角和为（8-2）×1800=10800，再平均 ‎10800÷8=1350。‎ 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎6．已知反比例函数的图象经过(1，－2)，则____________．‎ ‎【答案】－2。‎ ‎【考点】点的坐标与函数的关系。‎ ‎【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，只要将(1，－2)代入，即可求出值。‎ ‎7．使在实数范围内有意义的的取值范围是______ _____．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件。‎ ‎【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：。‎ ‎8．按下面程序计算：输入，则输出的答案是_______________．‎ 输入x 立方 ‎－x ‎÷2‎ 答案 ‎【答案】12。‎ ‎【考点】求代数式的值。‎ ‎【分析】按所给程序，代数式为，将代入，得12。‎ ‎9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C．若∠A=40º，则∠C=_____．‎ ‎【答案】250。‎ ‎【考点】圆切线的性质，三角形内角和定理，圆周角与圆心角的关系。‎ ‎【分析】连接OB。∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=900。‎ 又∵∠A=40º，∴∠BOA=500。∴∠C=250。‎ ‎10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取 ‎△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B‎1C1‎ 和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，‎ 则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________． ‎ 题10图（1）‎ A1‎ B C D A F E B C D A F E B C D A F E B1‎ C1‎ F1‎ D1‎ E1‎ A1‎ B1‎ C1‎ F1‎ D1‎ E1‎ A2‎ B2‎ C2‎ F2‎ D2‎ E2‎ 题10图（2）‎ 题10图（3）‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】相似形面积比是对应边的比的平方，类比归纳。‎ ‎【分析】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，‎ ‎ ∴正六角星形A‎2F2B2D‎2C2E2面积是正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E面积的。‎ 同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，‎ ‎ ∴正六角星形A‎4F4B4D‎4C4E4面积是正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E面积的。‎ 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎11．计算：．‎ ‎【答案】解：原式 ‎ ‎【考点】0次幂，二次根式，特殊角三角函数值。‎ ‎【分析】根据0次幂，二次根式化简，特殊角三角函数值，直接得出结果。‎ ‎①②‎ ‎12．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【答案】解：由①得，。由②得，。‎ ‎ ∴原不等式组的解为。解集在数轴上表示如下：‎ ‎ ‎ ‎【考点】无理数。‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。解集在数轴上表示时注意圆点的空心和实心的区别。‎ 题13图 B C D A F E ‎13．已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B．‎ 求证：AE=CF．‎ ‎【答案】证：∵AD//CB，∴∠A=∠C。‎ ‎ 又∵AD=CB，∠D=∠B．‎ ‎ ∴△ADF≌△CBE（ASA）。 ∴AF =CE 。‎ ‎ ∴ AF+FE =CE+FE，即AE=CF。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等量变换。‎ y x ‎－3‎ O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－4‎ ‎－5‎ ‎－6‎ 题14图 ‎【分析】要证AE=CF，只要AF =CE经过等量变换即可得。而要证AF =CE，只要证△ADF≌△CBE即可，△ADF≌△CBE由已知条件易证。‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．‎ ‎（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；‎ ‎（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．‎ ‎【答案】解：（1）画出⊙P1如下：‎ ‎ ⊙P与⊙P1外切。‎ ‎ （2）劣弧AB与弦AB围成的图形的面积为：‎ ‎ ‎ ‎【考点】图形的平移，圆与圆的位置关系，圆和三角形的面积。‎ ‎【分析】（1）将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1后，两圆圆心距与两圆半径之和相等，故⊙P与⊙P1外切。‎ ‎ （2）劣弧AB与弦AB围成的图形的面积实际等于圆的四分之一面积减去∆OAB的面积，这样根据已知条件即易求出。‎ ‎15．已知抛物线与x轴没有交点．‎ ‎（1）求c的取值范围；‎ ‎（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线与x轴没有交点，‎ ‎ ∴对应的一元二次方程没有实数根。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）顺次经过三、二、一象限。因为对于直线，所以根据一次函数的图象特征，知道直线顺次经过三、二、一象限。‎ ‎【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。‎ ‎【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c的取值范围。‎ ‎ （2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线经过的象限。‎ 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）‎ ‎16．某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整 箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？‎ ‎【答案】解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得 ‎ 化简，得。‎ ‎ ‎ ‎ 答：该品牌饮料一箱有10瓶。‎ ‎【考点】分式方程的应用。‎ ‎【分析】解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：‎ ‎ 每瓶原价—促销每瓶单价=促销每瓶比原价便宜的金额 第17题图 B C l D A ‎ ‎ 最后注意分式方程的检验和实际应用的取舍。‎ ‎17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=‎50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到‎0.1m；参考数据：，）.‎ ‎【答案】解：∵∠ABD=45º，∴AD=BD。∴DC=AD+50。‎ ‎ ∴在Rt∆ACD中，‎ ‎ ‎ ‎ 解之，得AD=25(+1)≈‎‎68.3m ‎【考点】解直角三角形，450角直角三角形的性质，特殊角三角函数，根式化简。‎ ‎【分析】根据450角直角三角形的性质得到AD=BD，从而在Rt∆ACD中应用特殊角三角函数即可求解。‎ ‎18．李老师为了解班里学生的作息时间表，调查了班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分（每组数据含最小值不含最大值）．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：‎ ‎（1）此次调查的总体是什么？‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）该班学生上学路上花费时间在30分钟以上（含30分钟）的人数占全班人数的百分比是多少？‎ ‎【答案】解：（1）“班里学生的作息时间”是总体。‎ ‎ （2）补全频数分布直方图如右：‎ ‎ （3）该班学生上学路上花费时间在30分钟以上（含30分钟）的人数为4+1=5人，占全班人数的百分比是5÷50=10%。‎ ‎【考点】总体，频数分布直方图，频数、频率与总体的关系。‎ ‎【分析】（1）总体表示考察对象的全体，所以班里学生的作息时间”是总体。‎ ‎ （2）该班学生上学路上花费时间在30分钟到40分钟（含30分钟）的人数为：‎ ‎50—8—24—13—1=4。据此补全频数分布直方图。‎ ‎ （3）根据频数、频率与总体的关系，直接求出。‎ ‎19．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．‎ ‎（1）求∠BDF的度数；‎ ‎（2）求AB的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵BF=CF，∠C=30º，∴∠CBF=∠C=30º。‎ ‎ 又∵∆BEF是∆BCF经折叠后得到的，‎ ‎ ∴∆BEF≌∆BCF。∴∠EBF=∠CBF=30º。‎ ‎ 又∵∠DFB=∠CBF+∠C=60º，∴∠BDF=1800—∠DFB—∠EBF=90º。‎ ‎ ∴∠BDF的度数是 90º。 ‎ ‎ （2）在Rt∆BDF中，∠DBF=30º，BF=8，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 在Rt∆ABD中，∠ABD=900—∠EBF—∠CBF=30º，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴AB的长是6。‎ ‎【考点】折叠对称，三角形外角定理，三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角三角函数。‎ ‎【分析】（1）要求∠BDF的度数，由三角形内角和定理只要求出∠DFB和∠DBF即可，而∠DFB和∠DBF都可以由已知的∠C和折叠对称以及三角形外角定理求得。‎ ‎ （2）由（1）的结论，解Rt∆BDF和Rt∆BD即可求得。‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16‎ ‎17 18 19 20 21 22 23 24 25‎ ‎26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36‎ ‎ …………………………‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是 ‎________________，第n行共有_______________个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【答案】解：(1)64，8，15。‎ ‎ （2）n2-2n+2，n2，2n-1。‎ ‎ （3）第n行各数之和：。‎ ‎【考点】分类归纳。‎ ‎【分析】（1）（2）由表的构成可以看出：①每一行的最后一个数是：行数的平方。所以第8行的最后一个数是82=64；第n行的最后一个数是n2。②每一行的第一个数是：前一行最后一个数加1。所以第n行的第一个数是（n-1）2+1=n2-2n+2。③每一行的个数是：最后一个数减去的第一个数加1。所以第n行个数是n2-（n2-2n+2）=2n-1。‎ ‎ （3）每一行各数之和是：这一行的第一个数与最后一个数的平均数剩以这一行的个数。所以第n行各数之和为。‎ ‎21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)‎ 题21图(1)‎ B H F A（D）‎ G C E C（E）‎ B F A（D）‎ 题21图(2)‎ ‎（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；‎ ‎（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）‎ ‎（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.‎ ‎【答案】解：（1）△HAB ，△HGA。‎ ‎ （2）∵△AGC∽△HAB，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 又∵BC=。‎ ‎ ∴y关于x的函数关系式为。‎ ‎ （3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1， ‎ ‎ 可知。‎ ‎ ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，‎ ‎ 在△HGA和△AGC中 ‎ ∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，‎ ‎ ∴△HGA∽△AGC。‎ ‎ ∵AG=AH，∴‎ ‎ ∴当或时，△AGH是等腰三角形。‎ ‎【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）在△AGC和△HAB中，‎ ‎ ∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，‎ ‎ ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，‎ ‎ ∴∠AGC=∠BAH。‎ ‎ 又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。‎ ‎ 在△AGC和△HGA中，‎ ‎ ∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，‎ ‎ ∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF，‎ ‎ ∴∠CAG=∠H。‎ ‎ 又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。‎ ‎ （2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。‎ ‎ （3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。‎ ‎22．如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).‎ ‎（1）求直线AB的函数关系式；‎ ‎（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）∵A、B在抛物线上，‎ ‎ ∴当，当。 即A、B两点坐标分别为（0，1），（3，）。‎ ‎ 设直线AB的函数关系式为， ∴ 得方程组：‎ ‎ ，解之，得 。‎ ‎ 直线AB的解析式为。‎ ‎ （2）依题意有P、M、N 的坐标分别为 ‎ P（t，0），M（t，），N（t，）‎ ‎ ‎ ‎ （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有 ‎ ，解得，‎ ‎ 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。‎ ‎ 当t=1时，，，故。‎ ‎ 又在Rt△MPC中，，故MN=MC，‎ ‎ 此时四边形BCMN为菱形。‎ ‎ 当t=2时，，，故。‎ ‎ 又在Rt△MPC中，，故MN≠MC。‎ ‎ 此时四边形BCMN不是菱形。‎ ‎【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。‎ ‎ （2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式。‎ ‎ （3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t。再讨论邻边是否相等。‎