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文档介绍
高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷·理科)(附答案,完全word版)
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 理科数学(必修+选修Ⅱ) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分). 1.复数 (2 ) 1 2 i i i 等于( ) A.i B. i C.1 D. 1 2.已知全集 {1 2 3 4 5}U ,,,, ,集合 2{ | 3 2 0}A x x x , { | 2 }B x x a a A , ,则 集合 ( )U A Bð 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. ABC△ 的内角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , ,若 2 6 120c b B , , ,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 4.已知{ }na 是等差数列, 1 2 4a a , 7 8 28a a ,则该数列前 10 项和 10S 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 5.直线 3 0x y m 与圆 2 2 2 2 0x y x 相切,则实数 m 等于( ) A. 3 或 3 B. 3 或3 3 C. 3 3 或 3 D. 3 3 或3 3 6.“ 1 8a ”是“对任意的正数 x , 2 1ax x ≥ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知函数 3( ) 2xf x , 1( )f x 是 ( )f x 的反函数,若 16mn ( m n +R, ),则 1 1( ) ( )f m f n 的值为( ) A. 2 B.1 C.4 D.10 8.双曲线 2 2 2 2 1x y a b ( 0a , 0b )的左、右焦点分别是 1 2F F, ,过 1F 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点,若 2MF 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 3 3 9.如图, l A B A B , , , , , 到l 的距离分别是 a 和b ,AB 与 , 所成的角分别是 和 , AB 在 , 内的射影分别是 m 和 n ,若 a b ,则( ) A. m n , B. m n , C. m n , D. m n , 10.已知实数 x y, 满足 1 2 1 y y x x y m ≥ , ≤ , ≤ . 如果目标函数 z x y 的最小值为 1 ,则实数 m 等 于( ) A.7 B.5 C.4 D.3 11.定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy ( x y R, ), (1) 2f , 则 ( 3)f 等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 . 设 定 原 信 息 为 0 1 2 ia a a a, {01} , ( 01 2i ,, ), 传 输 信 息 为 0 0 1 2 1h a a a h , 其 中 0 0 1 1 0 2h a a h h a , , 运算规则为:0 0 0 ,0 1 1 ,1 0 1 ,1 1 0 , 例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). 13. (1 ) 1lim 2n a n n a → ,则 a . 14 . 长 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 各 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 其 中 1: : 1:1: 2AB AD AA .A B, 两点的球面距离记为 m , 1A D, 两点的球面距离记为 n , 则 m n 的值为 . 15.关于平面向量 , ,a b c .有下列三个命题: ①若 a b = a c ,则 b c .②若 (1 ) ( 2 6)k , , ,a b , ∥a b ,则 3k . ③非零向量 a 和 b 满足| | | | | | a b a b ,则 a 与 a b 的夹角为 60 . 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号) 16.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火 A Ba bl 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传 递方案共有 种.(用数字作答). 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 2( ) 2sin cos 2 3sin 34 4 4 x x xf x . (Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 π( ) 3g x f x ,判断函数 ( )g x 的奇偶性,并说明理由. 18.(本小题满分 12 分) 某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得 1~ i ( 1 2 3)i ,, 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各 次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ,求随机变量 的分布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 1 1 1A B C , 90BAC , 1A A 平面 ABC , 1 3A A , 2AB , 2AC , 1 1 1AC , 1 2 BD DC . (Ⅰ)证明:平面 1A AD 平面 1 1BCC B ; (Ⅱ)求二面角 1A CC B 的大小. 20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线C : 22y x ,直线 2y kx 交C 于 A B, 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 0NA NB ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. A1 A C1 B1 B D C 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 1( ) kxf x x c ( 0c 且 1c , k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其 中一个是 x c . (Ⅰ)求函数 ( )f x 的另一个极值点; (Ⅱ)求函数 ( )f x 的极大值 M 和极小值 m ,并求 1M m ≥ 时 k 的取值范围. 22.(本小题满分 14 分) 已知数列{ }na 的首项 1 3 5a , 1 3 2 1 n n n aa a , 1 2n ,, . (Ⅰ)求{ }na 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 0x , 2 1 1 2 1 (1 ) 3n na xx x ≥ , 1 2n ,, ; (Ⅲ)证明: 2 1 2 1n na a a n . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案 一、1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.D 10.B 11.C 12.C 二、13.1 14. 1 2 15.② 16.96 三、17.解:(Ⅰ) 2( ) sin 3(1 2sin )2 4 x xf x sin 3 cos2 2 x x π2sin 2 3 x . ( )f x 的最小正周期 2π 4π1 2 T . 当 πsin 12 3 x 时, ( )f x 取得最小值 2 ;当 πsin 12 3 x 时, ( )f x 取得最大值 2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 π( ) 2sin 2 3 xf x .又 π( ) 3g x f x . 1 π π( ) 2sin 2 3 3g x x π2sin 2 2 x 2cos 2 x . ( ) 2cos 2cos ( )2 2 x xg x g x . 函数 ( )g x 是偶函数. 18.(Ⅰ)设该射手第i 次击中目标的事件为 ( 1 2 3)iA i ,, ,则 ( ) 0.8 ( ) 0.2i iP A P A , , ( ) ( ) ( ) 0.2 0.8 0.16i i i iP A A P A P A . (Ⅱ) 可能取的值为 0,1,2,3. 的分布列为 0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 2.752E . 19.解法一:(Ⅰ) 1A A 平面 ABC BC , 平面 ABC , 1A A BC .在 Rt ABC△ 中, 2 2 6AB AC BC , , , 0 1 2 3 P 0.008 0.032 0.16 0.8 : 1: 2BD DC , 6 3BD ,又 3 3 BD AB AB BC , DBA ABC△ ∽△ , 90ADB BAC ,即 AD BC . 又 1A A AD A , BC 平面 1A AD , BC 平面 1 1BCC B ,平面 1A AD 平面 1 1BCC B . (Ⅱ)如图,作 1AE C C 交 1C C 于 E 点,连接 BE , 由已知得 AB 平面 1 1ACC A . AE 是 BE 在面 1 1ACC A 内的射影. 由三垂线定理知 1BE CC , AEB 为二面角 1A CC B 的平面角. 过 1C 作 1C F AC 交 AC 于 F 点, 则 1CF AC AF , 1 1 3C F A A , 1 60C CF . 在 Rt AEC△ 中, 3sin 60 2 32AE AC . 在 Rt BAE△ 中, 2 6tan 33 ABAEB AE . 6arctan 3AEB , 即二面角 1A CC B 为 6arctan 3 . 解法二:(Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系, 则 1 1(0 0 0) ( 2 0 0) (0 2 0) (0 0 3) (01 3)A B C A C,,, ,,, ,,, ,, , ,, , : 1: 2BD DC , 1 3BD BC . A1 A C1 B1 B D CF E (第 19 题,解法一) A1 A C1 B1 B D C z y x (第 19 题,解法二) D 点坐标为 2 2 2 03 3 ,, . 2 2 2 03 3AD ,, , 1( 2 2 0) (0 0 3)BC AA ,,, ,, . 1 0BC AA , 0BC AD , 1BC AA , BC AD ,又 1A A AD A , BC 平面 1A AD ,又 BC 平面 1 1BCC B ,平面 1A AD 平面 1 1BCC B . (Ⅱ) BA 平面 1 1ACC A ,取 ( 2 0 0)AB ,,m 为平面 1 1ACC A 的法向量, 设平面 1 1BCC B 的法向量为 ( )l m n , ,n ,则 10 0BC CC ,n n . 2 2 0 3 0 l m m n , , 32 3l m n m , , 如图,可取 1m ,则 321 3 ,,n , 2 2 2 2 2 2 32 2 0 1 0 153cos 53( 2) 0 0 ( 2) 1 3 ,m n , 即二面角 1A CC B 为 15arccos 5 . 20.解法一:(Ⅰ)如图,设 2 1 1( 2 )A x x, , 2 2 2( 2 )B x x, ,把 2y kx 代入 22y x 得 22 2 0x kx , 由韦达定理得 1 2 2 kx x , 1 2 1x x , 1 2 2 4N M x x kx x , N 点的坐标为 2 4 8 k k , . 设抛物线在点 N 处的切线l 的方程为 2 8 4 k ky m x , 将 22y x 代入上式得 2 22 04 8 mk kx mx , 直线l 与抛物线C 相切, x A y 1 1 2 M N B O 2 2 2 2 28 2 ( ) 04 8 mk km m mk k m k , m k . 即l AB∥ . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 0NA NB ,则 NA NB ,又 M 是 AB 的中点, 1| | | |2MN AB . 由(Ⅰ)知 1 2 1 2 1 2 1 1 1( ) ( 2 2) [ ( ) 4]2 2 2My y y kx kx k x x 2 21 4 22 2 4 k k . MN x 轴, 2 2 2 16| | | | 24 8 8M N k k kMN y y . 又 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x 2 2 2 211 4 ( 1) 1 162 2 kk k k . 2 2 216 1 1 168 4 k k k ,解得 2k . 即存在 2k ,使 0NA NB . 解法二:(Ⅰ)如图,设 2 2 1 1 2 2( 2 ) ( 2 )A x x B x x, , , ,把 2y kx 代入 22y x 得 22 2 0x kx .由韦达定理得 1 2 1 2 12 kx x x x , . 1 2 2 4N M x x kx x , N 点的坐标为 2 4 8 k k , . 22y x , 4y x , 抛物线在点 N 处的切线l 的斜率为 4 4 k k , l AB ∥ . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 0NA NB . 由(Ⅰ)知 2 2 2 2 1 1 2 22 24 8 4 8 k k k kNA x x NB x x , , , ,则 2 2 2 2 1 2 1 22 24 4 8 8 k k k kNA NB x x x x 2 2 2 2 1 2 1 244 4 16 16 k k k kx x x x 1 2 1 21 44 4 4 4 k k k kx x x x 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 16 4 k k kx x x x x x k x x 2 2 1 1 4 ( 1)4 2 16 2 4 k k k k kk 2 231 316 4 k k 0 , 2 1 016 k , 233 04 k ,解得 2k . 即存在 2k ,使 0NA NB . 21.解:(Ⅰ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( 1) 2( ) ( ) ( ) k x c x kx kx x ckf x x c x c ,由题意知 ( ) 0f c , 即得 2 2 0c k c ck ,(*) 0c , 0k . 由 ( ) 0f x 得 2 2 0kx x ck , 由韦达定理知另一个极值点为 1x (或 2x c k ). (Ⅱ)由(*)式得 2 1k c ,即 21c k . 当 1c 时, 0k ;当 0 1c 时, 2k . (i)当 0k 时, ( )f x 在 ( )c , 和 (1 ) , 内是减函数,在 ( 1)c , 内是增函数. 1(1) 01 2 k kM f c , 2 2 1( ) 02( 2) kc km f c c c k , 由 2 12 2( 2) k kM m k ≥ 及 0k ,解得 2k ≥ . (ii)当 2k 时, ( )f x 在 ( )c , 和 (1 ) , 内是增函数,在 ( 1)c , 内是减函数. 2 ( ) 02( 2) kM f c k , (1) 02 km f 2 2( 1) 11 12( 2) 2 2 k k kM m k k ≥ 恒成立. 综上可知,所求 k 的取值范围为 ( 2) [ 2 ) , , . 22.解法一:(Ⅰ) 1 3 2 1 n n n aa a , 1 1 2 1 3 3n na a , 1 1 1 11 13n na a , 又 1 21 3na , 1 1 na 是以 2 3 为首项, 1 3 为公比的等比数列. 1 1 2 1 21 3 3 3n n na , 3 3 2 n n na . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 3 03 2 n n na , 2 1 1 2 1 (1 ) 3n xx x 2 1 1 2 1 11 (1 ) 3n xx x 2 1 1 1 (1 )1 (1 ) n xx x a 2 1 1 2 (1 ) 1na x x 21 1 1 n n n a aa x na≤ ,原不等式成立. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 0x ,有 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 ) 3 1 (1 ) 3na a a x xx x x x ≥ 2 1 1 2 1 (1 ) 3n xx x 2 2 1 2 2 2 1 (1 ) 3 3 3 n n nxx x . 取 2 2 111 2 2 2 1 13 3 113 3 3 31 3 n n nx n nn , 则 2 2 1 2 11 1 111 1 33 n nn n n na a a nn n ≥ . 原不等式成立. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 2 1 1 2( ) 1 (1 ) 3nf x xx x , 则 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 21 3 3( ) (1 ) (1 ) (1 ) n nx x x x f x x x x 0x , 当 2 3nx 时, ( ) 0f x ;当 2 3nx 时, ( ) 0f x , 当 2 3nx 时, ( )f x 取得最大值 2 1 23 1 3 nn n f a . 原不等式成立. (Ⅲ)同解法一. B 卷选择题答案: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.C 10.B 11.B 12.D查看更多