北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学统练（五）

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人大附中2020届高三上学期数学统练五 一、选择题 ‎1.设集合，集合，若，则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，且，即且，从而，选B.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎2.已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=‎ A. B. ‎7 ‎C. 6 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由等比数列的性质知，a‎1a2a3，a‎4a5a6，a‎7a8a9成等比数列，所以a‎4a5a6＝‎ 故答案为 考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为和，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】因为，并且，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和函数值的计算，忽略掉一个答案是容易犯的错误.‎ ‎4.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为 A. － B. ‎0 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数是上以5为周期的可导偶函数，所以因为是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0‎ 考点：导数定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R上的偶函数的性质 ‎5.函数在的图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．‎ ‎【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．‎ ‎【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎6.已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由的图象经过点求出；再由的图象经过点求出，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】函数的图象经过点（，1）时，有，所以，，‎ 因为所以，函数为：，‎ 当时，，所以，充分性成立；‎ 当函数的图象经过点（）时，，所以，，即 ‎,，，‎ 当时，不一定等于1，所以，必要性不成立．‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎7.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④．则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 由等比数列性质可得：，‎ ‎①，，所以正确；‎ ‎②，，所以错误；‎ ‎③，，所以正确；‎ ‎④．所以错误；故选择C 考点：等比数列性质 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组实数：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b成等比数列，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中一定成立的是（　　）‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，求得，结合差比较法，判断①②的真假性.根据等比数列的性质求得，结合基本不等式，判断③④的真假性.‎ ‎【详解】依题意成等差数列，令，则，两式相加，利用等差数列的性质化简得，所以.所以①正确.所以，而，由于是不相等的正数，所以，所以成立，所以②正确.‎ 依题意成等比数列，设其公比为，则.当为负数时，则必为奇数，此时，所以③不正确. ‎ 由③的分析可知，当为负数时，则必为奇数，且，所以；当为正数时，，由于是不相等的正数，所以由基本不等式可知.所以④正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查基本不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎9.函数f（x）的定义域为_____.‎ ‎【答案】（1，2）（2，3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数定义域的求法，结合对数型函数的定义域，求得的定义域.‎ ‎【详解】依题意，所以函数的定义域为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎10.如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，得到，利用平面向量的线性运算表示出，由此求得.‎ ‎【详解】连接，依题意可知，由于，是线段的三等分点，所以.，，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.‎ ‎11.等差数列{an}中，a1>0，Sm=Sn（m≠n），若前n项和中最大值仅S7，则‎2m+n最大值为_____.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求得的关系式，进而可求得的最大值.‎ ‎【详解】由于在等差数列中，，且前项和中的最大值为，所以.因为，所以，所以，即 ‎，‎ ‎.‎ 所以，，由于，所以，.即.所以，又，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线与两个曲线相切时的切点坐标，利用导数得到关于切点横坐标的方程，解出它们后可得切线方程，从而得到的值．‎ ‎【详解】设直线与曲线相切时的切点坐标为，‎ 与直线相切时切点坐标为，‎ 所以 ，整理得到，所以．‎ 故切线即为，故，‎ 填．‎ ‎【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公切线问题也应转化为切点横坐标的方程组，解这个方程组就可以得到切点的横坐标，从而可求公切线的方程．‎ ‎13.已知二次函数f（x）=x2-mx+6（m∈R），若f（x）在区间（1，3）内恰有一个零点，则实数m的取值范围是_____.‎ ‎【答案】{2}[5，7）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】令，当时，有.令，，所以在上递减，在上递增，在时有最小值为.，.‎ 因为在区间内恰有一个零点，所以或 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据零点的分布求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎14.若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am0，可得01，‎ ‎∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；‎ ‎（2）由（1），f（0）=1，f（1），‎ ‎∵曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，‎ ‎∴10，可得m或m>0，g′（m）<0，可得m<0，‎ ‎∴函数g（m）的单调递减区间是（，0），单调递增区间是（﹣∞，），（0，+∞）；‎ ‎∵g（）>0，g（0）>0，‎ ‎∴g（m）=0有唯一解，‎ ‎∴过点P（﹣1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的切线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎