河南省开封市2019-2020学年高二下学期期末调研考试数学(理)试题答案

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河南省开封市2019-2020学年高二下学期期末调研考试数学(理)试题答案

(理)1 开封市 2019—2020 学年度第二学期期末调研考试 高二数学(理科)试题参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A B C A C B A B C D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 1=0x y  14. 3 15. 960 16. 2 2 2x y  三、解答题(共 70 分) 17.(12 分) 解:(1)由 cos = cosa C c A可得sin cos sin cosA C C A ,……………2 分 所以  sin 0A C  ,所以 A C , a c .………4 分 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 4 4 7cos = = =2 8 8 a c b b b bB ac b     .……………6 分 (2)由已知,可得 =3sin b B ,所以 2 2sin = 3B ,锐角 ABC ,所以 1cos = 3B .………8 分 由余弦定理及 a c ,可得  2 2 2 2= 2 cos =2 1 cosb a c ac B a B   ,所以 2 =6a .…………10 分 所以 21 1sin = sin =2 22 2ABCS ac B a B  .……………12 分 18.(12 分) (1)证明:由题意直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ,所以 1AA ABCD 平面 , AD ABCD 平面 , 1AD AA所以 .……………2 分 1 1BE AB C D又 平面 , 1 1AD AB C D 平面 , AD BE所以 .……………2 分 直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧面为矩形, 1E AB是 的中点,所以 1 1=BE AA A . 1 1AD ABB A所以 平面 .……………5 分 1 1AB ABB A又 平面 , AB AD所以 .…………6 分 (2)以 A 为坐标原点, AB  方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 因为 1 1BE AB C D 平面 , 1 1 1AB AB C D 平面 , 1BE AB所以 , 1 1ABB A所以 是正方形, 1= =3AB AA .……………8 分          1 1 3 3 3 33,0,0 , 0,4,0 , ,0, , 0,4,3 , 3,4,0 , ,0, , 0,0,3 ,2 2 2 2B D E D BD BE DD                 (理)2 设平面 BDE 的法向量为  , ,x y zm , 3 4 00 3 3 00 2 2 x y = ,BD = , x+ z = ,BE = ,          即m m 令 x=1,所以 31, ,14      m ,……………9 分 设平面 BDD1 的法向量为  , ,x y zn , 1 0 3 4 0 3 00 BD = , x y = , z = ,DD = ,         即n n , 令 x=1,所以 31, ,04      n ,……………10 分 5 41cos , 41   m nm n m n ,所以二面角 1E BD D  的余弦值为 5 41 41 .……………12 分 19.(12 分) 解:(1)由题意得,圆心 C 到直线 x= -1 的距离与到点 F(1,0)的距离相等, 由抛物线的定义知动圆 C 的圆心所在的轨迹为以 F(1,0)为焦点的抛物线, 所以,所求轨迹方程为 2 4 .y x ………………4 分 (2)由已知,可得 t=1,M(1,-2).………………5 分 = ,AB x my n设直线 的方程为    1 1 2 2, , , ,A x y B x y 2 2 2 = , 4 4 0, 16 16 0, 4 , x my n y my n m n y x          由 得 ………………6 分 1 2 1 2+ =4 , = 4 ,y y m y y n ………………7 分     1 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 14 4 4 164 4 2 2 2 4 AM BM y y y yk k y yx x y y y y y y y y                     16 1 4 ,4 8 4 3 m n m      ………………9 分 2,n m 解得 ………………10 分    +2= 1 , 2 1 .AB x m y   所以直线 的方程为 恒过定点 , ………………12 分 20.(12 分) 解:(1)记样本中的老年人,中年人,青年人中任取一人,这个人恰好偏胖的事件分别为 A,B, C,则   9 1 27 3P A   ,   15 1 30 2P B   ,   6 2 33 11P C   ,………………2 分 则至少有 1 人偏胖的概率为       2 1 9 81 1 .3 2 11 11P A P B P C      ………………4 分 (2)根据题意, X 可取 0,1,2,3. (理)3 在该社区成年人中,随机取 1 人,偏胖的概率为 9+15+6 1 .27+30+33 3  ………………5 分   3 0 3 2 80 C 3 27P X       ,   2 1 3 1 2 41 3 3 9P X C         ,   2 2 3 1 2 22 3 3 9P X C         ,   3 3 3 1 13 =3 27P X C        , X 的分布列为:   8 4 2 10 1 2 3 127 9 9 27E X          .……………………8 分 (3)由表可知,因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比约为 30%,因缺乏体育锻炼导致人偏胖的人 次占比约为 40%,所以为减少肥胖,防止心血管安全隐患的发生,可采取如下 2 种措施:…10 分 ①加强体育锻炼;②改善饮食习惯.(根据数据说明,考生答出合理理由均可得分)…………12 分 21.(12 分) 解:(1) 1a  时, 2( ) e + 1xf x x x   , ( ) +2 +1 ( )xf x e x f x  , 在 上单调增,R …………2 分 1( 1) 1 0 (0) 2 0f e f      , ,   0 0 0 0 0 01 0 ( )= +2 +1=0 = 2 1x xx f x e x e x   所以存在 , ,使得 ,所以 ,        0 0x x f x x x f x    当 , , 单调递减,当 , , 单调递增,………………4 分    0f x f x所以 的极小值为 ,    0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0= + + 1= 2 1 + + 1= 2xf x e x x x x x x x      ,      2 2 10 0 2,h x x x h     在区间 , 上单调递减,且 ( ) 2.f x 所以 的极小值大于 ………6 分 (2) 2 2 +1( ) e + 1=0 =x x x xf x a x x a e     , , 令   2 +1 x x xg x e   ,则 2 2( ) x x xg' x e   .………………8 分 当 1 2x x  , 时, ( ) 0g x  , ( )g x 单调递增;当 1 2x   时, ( ) 0g x  , ( )g x 单调递减,  1g e  ,   2 52g e   ,………………10 分 又因为   2 2 52g e e      ,  2 0x g x 时, , 所以 2 2 5| .a a e a a ee          或 ………………12 分 22.(10 分) 解:(1)消参,曲线 C 的普通方程为   2 21 2 5x y    ,……………2 分 将 = cos , sinx y    带入可得,曲线 C 的极坐标方程为 2cos +4sin   ,………4 分 X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 ………7 分 (理)4 直线 l1 的直角坐标方程为 3y x .……………5 分 (2)将 = 3  和 = 6  分别带入圆 C 的极坐标方程 2cos +4sin   中, 可得 1 21+2 3, 2+ 3   ,……………7 分 由题意可知,圆 C 与 l1 和 l2 有共同交点 O, 3 6 6MON       ,……………8 分 所以   1 2 1 1 1 5 3= sin sin 1 2 3 2 3 22 2 6 4 4MONS OM ON MON          .…10 分 23.(10 分) 解:(1)当 =0, 1a b  时,由   +1f x x ,得 2 1 1x   .……………2 分 解得 0 1x  ,所以原不等式的解集为 0 1 .x x  ……………5 分 (2)因为 0, 0,a b  所以   3 , 2 = , 2 3 , 2 x a b x a bf x x a x b x a b a x bx a b x                      ,……………7 分 所以函数  f x 在 , 2 b    上单调递减,在 ,+2 b    上单调递增,……………8 分 所以当 = 2 bx 时,函数  f x 取得最小值为 = =12 2 b bf a     ,所以 2 =2.a b ……………10 分
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