湖南湖北四校2020届高三下学期4月学情调研联考数学（文）试题

湖南湖北四校2020届高三下学期4月学情调研联考数学（文）试题

绝密★启用前 【考试时间：‎2020年4月24日下午15∶00~17∶00】‎ 湖南湖北四校2020届高三学情调研联考 文科数学试题卷 本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 祝考试顺利 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.，互为共轭复数，且则（ ）‎ A.2 B‎.1 ‎C. D.4‎ ‎3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）‎ A.20 B‎.27 ‎C.54 D.64‎ ‎4.如图，在中，点在线段上，且，若，则（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎5.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎7.已知双曲线的左，右焦点分别为，，又点.若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知的内角所对的边分别为，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.过双曲线右焦点的直线交两渐近线于、两点，若，为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.命题“，”的否定是 .‎ ‎14.观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面积（）‎ 顶点数（）‎ 棱数（）‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中所满足的等式是 .‎ ‎15.设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .‎ ‎16.某小商品生产厂家计划每天生产型、型、型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个型小商品需7分钟，生产一个型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个型小商品可获利润8元，生产一个型小商品可获利润9元，生产一个型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是 元.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.已知数列满足：，，.‎ ‎（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求实数为何值时恒成立.‎ ‎18.如图，是边长为2的菱形，，平面，平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求、的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；‎ ‎（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为，其中表示第个出场选手解密成功的概率，并且定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.‎ ‎①求该团队挑战成功的概率；‎ ‎②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数的可能值及其概率.‎ ‎20.如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆 的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.‎ ‎（1）当取最小值时，求和的方程；‎ ‎（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.‎ ‎21.已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值；‎ ‎（2）当时，若函数在上有两个零点.求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若直线与，轴的交点分别为，点在上，求的取值范围；‎ ‎（2）若直线与交于两点，点的直角坐标为，求的值.‎ ‎23.[选修4–5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，都有恒成立，求的取值范围.‎ 绝密★启用前【考试时间：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】‎ 湖南湖北四校2020届高三学情调研联考 文科数学试题卷参考答案及解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B A D C B B C B A D ‎1.B 【解析】由题意得，，，，故选B.‎ ‎2.C 【解析】设，，代入得，所以，，解得，，所以.‎ ‎3.B 解析：设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：.‎ ‎4.A 【解析】，‎ 所以，，从而求得.‎ ‎5.D 解析：函数是偶函数，在上恒成立，，当 时，易得为增函数，，，，，，‎ ‎6.C 由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，‎ 故，，，，，‎ ‎，，，‎ 该多面体的侧面最大面积为.故选C.‎ ‎7.B 解析：双曲线左支上的任意一点均满足，‎ 即，‎ 又 或 ‎，或 ‎8.B 详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.‎ ‎9.C 【解析】由正弦定理，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理，得，同除以，得 ，由此可得、是三角形内角，且与同号，、都是锐角，即，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即 时，的最大值为.‎ ‎10.B 解析：，.‎ 令可得，在区间上恰好取得一次最大值，解得.‎ 令，解得：，在区间上是增函数，‎ ‎，解得.综上，.故选：B.‎ ‎11.A 解析：因为，所以双曲线的渐近线如图所示，‎ 设内切圆圆心为，则在平分线上，‎ 过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，‎ ‎，所以，所以，得.故选A.‎ ‎12.D 解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生.‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又，‎ 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ 方法二：，为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，，平面，平面，，，为正方体一部分，‎ ‎，即 ，，故选D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.，‎ ‎14.‎ 解析：凸多面体的面数为.顶点数为和棱数为，‎ ‎①正方体：，，，得；‎ ‎②三棱柱：，，，得；‎ ‎③三棱锥：，，，得.‎ 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数.和棱数满足如下关系：‎ 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.‎ 因此归纳出一般结论：‎ 故答案为：‎ ‎15.解析：，，对于任意的，当时，，当时，，即在上为减函数，在上为增函数.为在上的极小值点，也是最小值点且最小值为，‎ 对于任意的，，而总存在，使得，‎ ‎.，①时，，不合题意，‎ ‎②时，，此时，不合题意，③时，，‎ ‎，，.‎ ‎16.850【解析】依题意，每天生产的玩具型商品个、商品个、商品的个数等于：，所以每天的利润.‎ 约束条件为：，整理得.目标函数为.如图所示，做出可行域.‎ 初始直线，平移初始直线经过点时，有最大值.由得.最优解为，此时（元）.即最大日利润是850元.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.（1），，.数列是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎∴ ， ∴. ‎ ‎（2）.‎ ‎.由条件可知恒成立即可满足条件，设，当时，恒成立，当时，由二次函数的性质知不可能成立.当 时，对称轴，在为单调递减函数. ‎ ‎，，时恒成立.综上知：时，恒成立.‎ ‎18.【解析】（1）连接，平面，平面，，，，，四点共面，，设，为菱形，.，平面，平面，.‎ ‎（2），，为直角梯形，在菱形中，，，，，梯形的面积，平面，.‎ ‎19.解析：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，‎ ‎，‎ 解得；‎ ‎，‎ 解得；‎ 甲在1分钟内解密成功的频率是 ‎（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为；‎ 第二个出场选手解密成功的概率为，‎ 第三个出场选手解密成功的概率为，‎ 所以该团队挑战成功的概率为 ‎（或令“该团队挑战成功”的事件为，“挑战不成功”的事件为，‎ ‎，‎ 该团队挑战成功的概率为 ‎ ‎②由①可知按从小到大的顺序的概率分别，，，‎ 根据题意知的取值为1，2，3；‎ 则，，‎ ‎.‎ ‎20.（1）因为，则，所以取最小值时，‎ 此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，‎ 由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，‎ 于是，，，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以.此时抛物线方程为，，则直线的方程为.联立，得或（舍去），于是.所以，‎ 设到直线的距离为，则，当 时， ，所以的面积最大值为.此时.‎ ‎21.（1）函数的定义域为，，曲线在点处的切线方程为.由题意得解得，.所以的值为1.‎ ‎（2）当时，，则，由，得，由，得，则有最小值为，即，所以，，由已知可得函数的图象与直线有两个交点，‎ 设，则，‎ 令，， ‎ 由，可知，所以在上为减函数，‎ 由，得时，，当时，，‎ 即当时，，当时，，‎ 则函数在上为增函数，在上为减函数，‎ 所以，函数在处取得极大值，‎ 又，，‎ 所以，当函数在上有两个零点时，的取值范围是，‎ 即.‎ ‎22.（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点P的坐标为，，‎ ‎（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为（为参数），代入得：设两点对应的参数分别为 故异号 ‎23.答案：（1）当时，‎ 当解得当恒成立.‎ 当解得，此不等式的解集为. ‎ ‎（2），‎ 当时，‎ 当时，，当单调递减，‎ 的最小值为 设 当，当且仅当时，取等号 即时，取得最大值.‎ 要使恒成立，只需，即. ‎