辽宁省丹东市中考数学试卷含答案解析

辽宁省丹东市中考数学试卷含答案解析

‎2017年辽宁省丹东市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）﹣5的相反数是（　　）‎ A． B．5 C．﹣ D．﹣5‎ ‎2．（3分）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“静”字相对的汉字是（　　）‎ A．细 B．心 C．规 D．范 ‎3．（3分）据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（　　）亿．‎ A．2.37×103 B．2.37×104 C．2.37×105 D．0.237×106‎ ‎4．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）‎ A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B．任意买一张电影票，座位号是2的整数倍 C．在地球上，上抛出去的篮球会下落 D．打开电视机，任选一个频道，正在播放世乒赛 ‎5．（3分）如图，直线l1∥l2，则α=（　　）‎ A．160° B．150° C．140° D．130°‎ ‎6．（3分）下列计算结果正确的是（　　）‎ A．m3+m4=m7 B．（m3）4=m81 C．m4÷m3=m D．m4•m3=m12‎ ‎7．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=，则HC的长为（　　）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎8．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点A（2，0）、B（0，4），点C在第一象限内，双曲线y=（x＞0）经过点C．将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度，使点A恰好落在双曲线上，则m的值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎9．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay4=　 　．‎ ‎10．（3分）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AD是△ABC的角平分线，若CD=，则△ABD的面积为　 　．‎ ‎12．（3分）不等式组的解集为　 　．‎ ‎13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN=1，BD=，则菱形的周长为　 　．‎ ‎14．（3分）某班共有学生45人，其中男生的2倍比女生的3倍少10人．设该班的男生有x人，女生有y人，请列出满足题意的方程组　 　．‎ ‎15．（3分）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动．当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，过点P的一条直线与BC交于点D．设运动时间为t秒，当t为　 　秒时，将△PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题8分，共16分）‎ ‎17．（8分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°‎ ‎18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并直接写出此过程中线段BA扫过图形的面积（结果保留π）‎ ‎　‎ 四、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎19．（10分）某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机调查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次一共调查了多少名学生？‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数；‎ ‎（4）若已知该校有500名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？‎ ‎20．（10分）小明到离家2.8千米的学校参加文艺汇演，骑自行车到学校比他步行到学校用时少30分钟，且骑自行车的速度是步行速度的4倍，求小明步行的速度（单位：米/分）是多少？‎ ‎　‎ 五、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎21．（10分）在一个不透明的盒子中，装有一个红球和两个白球，它们除了颜色外其余都相同，现任意拿出一个球，记下球的颜色，然后放回盒中，搅匀后再任意拿出一个球，记下球的颜色．‎ ‎（1）若随机地从盒子中拿出一个球，则拿出“白球”的概率是　 　；‎ ‎（2）请你用列表法或画树状图的方法，求恰好拿到“一红、一白”球的概率．‎ ‎22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC=90°．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DF=2，DC=6，求BE的长．‎ ‎　‎ 六、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎23．（10分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．‎ ‎24．（10分）某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：‎ x ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ y ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为 多少？这时每月应购进台灯多少个？‎ ‎（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？‎ ‎　‎ 七、解答题（本题12分）‎ ‎25．（12分）已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE=90°．‎ ‎（1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；‎ ‎（2）如图②，当BA=BC=2AC，DA=DE=2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；‎ ‎（3）如图③，当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．‎ ‎　‎ 八、解答题（本题14分）‎ ‎26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．‎ ‎（1）请直接写出抛物线的表达式；‎ ‎（2）求ED的长；‎ ‎（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；‎ ‎（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）﹣5的相反数是（　　）‎ A． B．5 C．﹣ D．﹣5‎ ‎【解答】解：﹣5的相反数是5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“静”字相对的汉字是（　　）‎ A．细 B．心 C．规 D．范 ‎【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，‎ ‎∴“细”与“心”是相对面，“冷”与“规”是相对面，“静”与“范”是相对面．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（　　）亿．‎ A．2.37×103 B．2.37×104 C．2.37×105 D．0.237×106‎ ‎【解答】解：由题可得：2.37万亿=23700亿=2.37×104．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）‎ A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B．任意买一张电影票，座位号是2的整数倍 C．在地球上，上抛出去的篮球会下落 D．打开电视机，任选一个频道，正在播放世乒赛 ‎【解答】解：A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件；B．任意买一张电影票，座位号是2的整数倍，是随机事件；‎ C．在地球上，上抛出去的篮球会下落，是必然事件； ‎ D．打开电视机，任选一个频道，正在播放世乒赛，是随机事件；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，直线l1∥l2，则α=（　　）‎ A．160° B．150° C．140° D．130°‎ ‎【解答】解：如图，∵∠β=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴∠ACB=60°+70°=130°，‎ ‎∵直线l1∥l2，‎ ‎∴∠α=∠ACB=130°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）下列计算结果正确的是（　　）‎ A．m3+m4=m7 B．（m3）4=m81 C．m4÷m3=m D．m4•m3=m12‎ ‎【解答】解：A．m3+m4≠m7，错误；‎ B．（m3）4≠m81，错误；‎ C．m4÷m3=m，正确；‎ D．m4•m3≠m12，错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=，则HC的长为（　　）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎【解答】解：由旋转的性质可知：AC=AF，‎ ‎∵D为AF的中点，‎ ‎∴AD=AC，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD⊥CD，‎ ‎∴∠ACD=30°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠CAB=30°，‎ ‎∴∠EAF=∠CAB=30°，‎ ‎∴∠EAC=30°，‎ ‎∴AH=CH，‎ ‎∴DH=AH=CH，‎ ‎∴CH=2DH，‎ ‎∵CD=AD=BC=6，‎ ‎∴HC=CD=4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点A（2，0）、B（0，4），点C在第一象限内，双曲线y=（x＞0）经过点C．将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度，使点A恰好落在双曲线上，则m的值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【解答】解：作CH⊥x轴于H．‎ ‎∵A（2，0）、B（0，4），‎ ‎∴OA=2，OB=4，‎ ‎∵∠ABO+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAH=90°，‎ ‎∴∠ABO=∠CAH，∵∠AOB=∠AHC，‎ ‎∴△ABO∽△CAH，‎ ‎∴===2，‎ ‎∴CH=1，AH=2，‎ ‎∴C（4，1），‎ ‎∵C（4，1）在y=上，‎ ‎∴k=4，‎ ‎∴y=，‎ 当x=2时，y=2，‎ ‎∵将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度，使点A恰好落在双曲线上，‎ ‎∴m=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎9．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay4=　3a（x+y2）（x﹣y2）　．‎ ‎【解答】解：原式=3a（x2﹣y4）=3a（x+y2）（x﹣y2），‎ 故答案为：3a（x+y2）（x﹣y2）‎ ‎　‎ ‎10．（3分）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是　3　．‎ ‎【解答】解：∵数据2，x，4，3，3的平均数是3，‎ ‎∴（2+x+4+3+3）÷5=3，‎ ‎∴x=3，‎ 把这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4，‎ 则这组数据的中位数为3；‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AD是△ABC的角平分线，若CD=，则△ABD的面积为　　．‎ ‎【解答】解：作DE⊥AB于E．‎ ‎∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，‎ ‎∴DE=CD=3．‎ ‎∴△ABD的面积为×5×=．‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）不等式组的解集为　x＞　．‎ ‎【解答】解：‎ 由①得，x＞，‎ 由②得，x＞，‎ 故不等式组的解集为：x＞，‎ 故答案为x＞．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN=1，BD=，则菱形的周长为　8　．‎ ‎【解答】解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，‎ ‎∴AC=2MN=2，‎ ‎∴OA=1，OB=，‎ 在Rt△ABO中，AB=，‎ 所以菱形的周长为8，‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎14．（3分）某班共有学生45人，其中男生的2倍比女生的3倍少10人．设该班的男生有x人，女生有y人，请列出满足题意的方程组　　．‎ ‎【解答】解：根据题意可得，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为　100　．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 第一个图形的小圆点的个数为：3×3=9，‎ 第二个图形的小圆点的个数为：4×4=15，‎ 第三个图形的小圆点的个数为：5×5=25，‎ ‎……‎ 第十个图形的小圆点的个数为：10×10=100，‎ 故答案为：100．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动．当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，过点P的一条直线与BC交于点D．设运动时间为t秒，当t为　或2或　秒时，将△PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合．‎ ‎【解答】解：∵∠A=90°，AC=3，AB=4，‎ ‎∴BC=5，‎ 分两种情况：‎ ‎①当Q在BC上时，如图1，由题意得：PA=t，BQ=4t，‎ 由B与Q对称可知：PD⊥BQ，BD=DQ=2t，‎ ‎∴PB=PQ=4﹣t ‎∵∠PDB=∠A=90°，∠B=∠B，‎ ‎∴△PDB∽△CAB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=；‎ ‎②当Q在AC上时，如图2，CQ=4t﹣5，‎ ‎∴AQ=AC﹣CQ=3﹣（4t﹣5）=8﹣4t，‎ 连接BQ，‎ ‎∵B、Q对称，‎ ‎∴PD是BQ的垂直平分线，‎ ‎∴PB=PQ=4﹣t，‎ Rt△PQA中，由勾股定理得：PQ2=PA2+AQ2，‎ ‎（4﹣t）2=t2+（8﹣4t）2，‎ ‎2t2﹣7t+6=0，‎ ‎（t﹣2）（2t﹣3）=0，‎ t1=2，t2=，‎ ‎∵Q在AC上，‎ ‎∴＜t≤2，‎ t=2时，Q与A重合，如图3，‎ 综上所述，当t为秒或2秒或秒时，将△PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合．‎ 故答案为：或2或．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题8分，共16分）‎ ‎17．（8分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°‎ ‎【解答】解：原式=1﹣3+2﹣2+=3﹣4．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并直接写出此过程中线段BA扫过图形的面积（结果保留π）‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；‎ ‎（2）如图所示，△A2BC2即为所求，‎ ‎∵AB==、∠ABA2=90°，‎ ‎∴此过程中线段BA扫过图形的面积为=π．‎ ‎　‎ 四、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎19．（10分）某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机调查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次一共调查了多少名学生？‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数；‎ ‎（4）若已知该校有500名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？‎ ‎【解答】解：（1）调查的学生总数=20÷20%=100（名）；‎ ‎（2）其它：10%×100=10（名），‎ 足球：100﹣30﹣20﹣10=40（名），‎ 补全条形统计图如下：‎ ‎（3）“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数=×100%×360°=144°；‎ ‎（4）爱好“足球”和“排球”的学生共有×100%×500=350（名）．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）小明到离家2.8千米的学校参加文艺汇演，骑自行车到学校比他步行到学校用时少30分钟，且骑自行车的速度是步行速度的4倍，求小明步行的速度（单位：米/分）是多少？‎ ‎【解答】解：设小明步行的速度为x米/分，则骑自行车的速度4x米/分．‎ 由题意：﹣=30，‎ 解得x=70，‎ 经检验：x=70是分式方程的解．‎ 答：小明步行的速度为70米/分．‎ ‎　‎ 五、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎21．（10分）在一个不透明的盒子中，装有一个红球和两个白球，它们除了颜色外其余都相同，现任意拿出一个球，记下球的颜色，然后放回盒中，搅匀后再任意拿出一个球，记下球的颜色．‎ ‎（1）若随机地从盒子中拿出一个球，则拿出“白球”的概率是　　；‎ ‎（2）请你用列表法或画树状图的方法，求恰好拿到“一红、一白”球的概率．‎ ‎【解答】解：（1）P白球=‎ 故答案为：‎ ‎（2）列表法：‎ ‎ ‎ 白1‎ 白2‎ 红 白1‎ 白1白1‎ 白1白2‎ 白1红 白2‎ 白2白1‎ 白2白2‎ 白2红 红 红白1‎ 红白2‎ 红红 从表中可以看出，可能出现的结果有9种．‎ 其中出现一红一白的结果有4种 所以：P（一红一白）=‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D， E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC=90°．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DF=2，DC=6，求BE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴CD=DB，又CO=OE，‎ ‎∴OD∥BE，‎ ‎∴∠CEB=∠DOC=90°，‎ ‎∴CE⊥AB，‎ ‎∴AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接EF、ED，‎ ‎∵BD=CD=6，‎ ‎∴BF=BD﹣DE=4，‎ ‎∵CO=OE，∠DOC=90°，‎ ‎∴DE=DC=6，‎ ‎∵CE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠EFC=90°，‎ ‎∴EF==4，‎ ‎∴BE==4．‎ ‎　‎ 六、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎23．（10分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．‎ ‎【解答】 解：过A作AD⊥BC，‎ 在Rt△ACD中，tan∠ACD=，即CD==AD，‎ 在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即BD==AD，‎ 由题意得：AD﹣AD=75，‎ 解得：AD=300m，‎ 则热气球离底面的高度是300m．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：‎ x ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ y ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？‎ ‎（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？‎ ‎【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，‎ ‎，得，‎ 即y与x之间的函数关系式是y=﹣5x+200；‎ ‎（2）由题意可得，‎ ‎（x﹣20）（﹣5x+200）=375，‎ 解得，x1=25，x2=35（舍去），‎ y=﹣5×25+200=75，‎ 答：这种台灯的售价应定25元，这时每月应购进台灯75个；‎ ‎（3）由题意可得，‎ ω=（x﹣20）（﹣5x+200）=﹣5（x﹣30）2+500，‎ ‎∵20≤x≤32，‎ ‎∴当x=30时，ω取得最大值，最大值是500．‎ ‎　‎ 七、解答题（本题12分）‎ ‎25．（12分）已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE=90°．‎ ‎（1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；‎ ‎（2）如图②，当BA=BC=2AC，DA=DE=2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；‎ ‎（3）如图③，当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．‎ ‎【解答】解：（1）CD2+BD2=AD2，‎ 理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AD=AE=DE，∠BAC=∠DAE=60°，‎ ‎∴∠BAD=∠CAE，‎ 在△ABD和△ACE中，，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴BD=CE，‎ 在Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，‎ ‎∴CD2+BD2=AD2，‎ ‎（2）CD2+BD2=AD2，‎ 理由：∵BA=BC=2AC，DA=DE=2AE，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ ‎∴∠BAC=∠DAE，‎ ‎∴∠BAD=∠CAE，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BAD∽△CAE，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴BD=2CE，‎ 在Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，‎ ‎∴CD2+BD2=AD2，‎ ‎（3）（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2，‎ 理由：∵AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p，‎ ‎∴DE=AD，△ABC∽△ADE，‎ ‎∴∠BAC=∠DAE，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABD∽△ACE，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=BD，‎ 在Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，‎ ‎∴CD2+BD2=AD2，‎ ‎∴（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2‎ ‎　‎ 八、解答题（本题14分）‎ ‎26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．‎ ‎（1）请直接写出抛物线的表达式；‎ ‎（2）求ED的长；‎ ‎（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；‎ ‎（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），‎ ‎∴B（4，0），‎ 把B（4，0），C（0，﹣6）代入y=+bx+c得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x﹣6；‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=px+q，‎ 把A（﹣2，0），C（4，8）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+，‎ 当x=0时，y=x+=，则E（0，），‎ ‎∴DE=+6=；‎ ‎（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，‎ 设P（m， m2﹣x﹣6），则Q（m， m+），‎ ‎∴PQ=m+﹣（m2﹣x﹣6）=﹣m2+m+，‎ ‎∴S=S△PAQ+S△PCQ=•6•PQ=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；‎ ‎（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，则FH=FB，‎ 易得AH=AB=6，‎ ‎∵AC===10，‎ ‎∴CH=10﹣6=4，‎ ‎∵cos∠ACB==，‎ ‎∴CF==5，‎ ‎∴F（4，3），‎ 易得直线AF的解析式为y=x+1，‎ 解方程组得或，‎ ‎∴N点坐标为（，）；‎ 当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，‎ ‎∵∠CAN′=∠M′AN′，‎ ‎∴∠KAM′=∠CAK，‎ 而∠CAN=∠MAN，‎ ‎∴∠KAC+∠CAN=90°，‎ 而∠MAN+∠AFB=90°，‎ ‎∴∠KAC=∠AFB，‎ 而∠KAM′=∠GAO，‎ ‎∴∠GAO=∠AFB，‎ ‎∴Rt△OAG∽Rt△BFA，‎ ‎∴=，即=，解得OG=4，‎ ‎∴G（0，﹣4），‎ 易得直线AG的解析式为y=﹣2x﹣4，‎ 解方程组得或，‎ ‎∴N′的坐标为（，﹣），‎ 综上所述，满足条件的N点坐标为（，）；（，﹣）．‎ ‎　‎