2020-2021学年高二数学上册单元提升卷：解三角形

2020-2021学年高二数学上册单元提升卷：解三角形

2020-2021 学年高二数学上册单元提升卷：解三角形 一、单项选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.在△ABC 中，若 ，BC＝3，∠C＝60°，则 AC＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由已知利用余弦定理可得 AC2﹣3AC﹣4＝0，即可解得 AC 的值． 【解答】解：∵ ，BC＝3，∠C＝60°， ∴由余弦定理 AB2＝BC2+AC2﹣2AC•BC•cosC，可得：13＝9+AC2﹣2×3×AC× ，即：AC2 ﹣3AC﹣4＝0， ∴解得 AC＝4，或﹣1（舍去）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 【知识点】余弦定理 2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A＝45°，B＝60°，a＝10，则 b＝（ ） A． B． C． D． 【分析】利用正弦定理求出即可． 【解答】解：根据正弦定理， ， ，b＝5 ， 故选：C． 【点评】考查正弦定理的应用，基础题． 【知识点】正弦定理 3.在△ABC 中 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，其面积 ，则角 C 的大小是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，由三角形面积公式可得 absinC＝ ，变形可得 sinC＝ ＝cosC， 即有 tanC＝1，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，△ABC 中， ， 则有 absinC＝ ， 变形可得：sinC＝ ＝cosC，即有 tanC＝1， 则 C＝ ； 故选：C． 【点评】本题考查余弦定理的应用，注意余弦定理的形式，属于基础题． 【知识点】余弦定理 4.在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， 且满足 sinA+sinC＝2sinB，则 的值为（ ） A． B． C． D．2 【分析】根据向量数量积公式求出 ac＝4，结合正弦定理，余弦定理求出 b＝2，然后进行计算即可． 【解答】解：∵ ， ∴ • ＝2，即 accosB＝ ac＝2，得 ac＝4， ∵sinA+sinC＝2sinB， ∴a+c＝2b， 又 b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣ac＝4b2﹣3ac， ∴3b2＝3ac＝12，得 b2＝4，b＝2， 则 ＝ ＝2R＝ ＝ ＝ ＝ ， 故选：A． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及向量数量积进行转化是解决本题的 关键．考查学生的计算能力，难度中等． 【知识点】正弦定理 5.已知△ABC 的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【分析】设△ABC 的三边为 a， ，2a，由三角形中大边对大角的规律可知，2a 所对的角必定是最大的， 设为角 α，由余弦定理即可求出结果． 【解答】解：设△ABC 的三边为 a， ，2a， 由三角形中大边对大角的规律可知，2a 所对的角必定是最大的，设为角 α， 因此由余弦定理可得：cosα＝ ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦定理，是基础题． 【知识点】余弦定理 6.已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosC＝ccosB，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【分析】因为 2bcosC＝ccosB，由正弦定理得 2tanB＝tanC，又因为 A+B+C＝π，所以 tanA＝tan[π﹣（ B+C）] ＝﹣tan（B+C）＝﹣ ＝ ，所以 ＝ + + ，化简得 由基本不等式即可得出答案． 【解答】解：因为 2bcosC＝ccosB， 所以 2sinBcosC＝sinccosB， 即 2tanB＝tanC， 又因为 A+B+C＝π， 所以 tanA＝tan[π﹣（B+C）]＝﹣tan（B+C）＝﹣ ＝ ， 所以 ＝ + + ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ≥2 ＝ （当且仅当 ，即 tanB＝ ， 取“＝”）． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理，基本不等式，属于中档题． 【知识点】正弦定理 7.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边．已知 abcos（A﹣B）＝a2+b2﹣c2，tanA＝2， ， 则 b＝（ ） A． B． C． 或 D． 【分析】利用余弦定理，求出 tanAtanB＝3，再求出 sinA，sinB，利用正弦定理求出 b． 【解答】解：由于 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边． 由 abcos（A﹣B）＝a2+b2﹣c2＝2abcosC． 则：cos（A﹣B）＝﹣2cos（A+B），整理得 3cosAcosB＝sinAsinB， 所以 tanAtanB＝3， tanA＝2，sinA＝ 所以 tanB＝ ，sinB＝ ， 由正弦定理： ，b＝ ， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力． 【知识点】余弦定理 8.在弧度数为 的∠ABC 内取一点 P，使 PB＝2，则点 P 到角的两边距离之和的最大值为（ ） A． B． C．2 D．3 【分析】画出图形，利用解三角形，求出距离的和的表达式，通过角的关系，求解最大值即可． 【解答】解：如图所示，过点 P 分别作角的两边所在直线 BA，BC 的垂线 PM，PN，垂足分别是 M，N， 则 PM，PN 分别为点 P 到角的两边的距离． 设∠PBA＝a（0＜a＜ ），则 PM＝PBsinα＝2sinα，PN＝PB（ ， 所以 PM+PN＝2sinα+2sin（ ﹣α）＝sinα+ cosα＝2sin ， 因为 α∈（0， ），所以 α+ ∈（ ， 从而有 sin（a+ ）∈（ ，1]， 即 2sin（α+ ）∈（ ，2]， 于是，当 α+ ＝ ， 即 α＝ 时，PM+PN 取得最大值 2． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的解法，转化思想以及数形结合思想的应用，是基本知识的考查． 【知识点】解三角形的实际应用 9.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，△ABC 的面积为 ，且 2bcosA＝2c﹣a，a+c＝4，则△ ABC 的周长为（ ） A．4+ B．6 C．4+ D．8 【分析】根据 2bcosA＝2c﹣a，利用余弦定理求出 B，再由△ABC 的面积为 ，求出 ac，然后结合 a+c ＝4，求出△ABC 的周长． 【解答】解：∵2bcosA＝2c﹣a，∴ ， ∴b2+c2﹣a2＝2c2﹣ac，∴a2+c2﹣b2＝ac， ∴ ， ∵ ，∴ ． ∵ ， ∴ac＝4，∵a+c＝4，∴a＝c＝2，又 ， ∴△ABC 是边长为 2 的等边三角形，∴△ABC 的周长为 6． 故选：B． 【点评】本题考查了余弦定理和面积公式，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 【知识点】正弦定理 10.2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一 个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°，且第一 排和最后一排的距离为 10 米，则旗杆的高度为（ ）米． A．20 B．30 C．30 D．35 【分析】先求得∠AEC 和∠ACE，则∠EAC 可求，再利用正弦定理求得 AC，最后在 Rt△ABC 中利用 AB ＝AC•sin∠ACB 求得 AB 的长． 【解答】解：如图所示，依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105° ∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30° 由正弦定理可知 ＝ ∴CEsin∠EAC＝ACsin∠CEA， ∴AC＝ ＝20 米 ∴在 Rt△ABC 中， AB＝AC•sin∠ACB＝20 × ＝30 米 所以旗杆的高度为 30 米 故选：B． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成 数学问题，利用所学知识解决 【知识点】解三角形的实际应用 11.在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 c﹣a＝2acosB，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．（ 0，1） 【分析】由正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得 sin（B﹣A）＝sinA，结合 A，B 是锐 角，可得 B＝2A，由三角形内角和定理可求范围 A∈（ ， ），利用正弦定理，二倍角的正弦 函数公式，余弦函数的性质即可求解其范围． 【解答】解：∵c﹣a＝2acosB， ∴由正弦定理可得：sinC﹣sinA＝2sinAcosB， 又 sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， ∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinA＝2sinAcosB，可得：cosAsinB﹣sinA＝sinAcosB， ∴sin（B﹣A）＝sinA， ∵A，B 是锐角， ∴B﹣A＝A，即 B＝2A， ∵C＝π﹣A﹣B＝π﹣3A∈（0， ）， ∴可得：A∈（ ， ）， cosA∈（ ， ）， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝2cosA∈（ ， ）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的应用，考 查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【知识点】正弦定理 12.如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，若 AB＝1，AD＝2， BDcos∠DBC+CDsin∠BCD，则 S△BCD 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【分析】由题意利用正弦、余弦定理，结合图形求出△BCD 的面积表达式，再求面积的最大值． 【解答】解：在△BCD 中，由正弦定理得 sin∠BDC＝ sin∠BCDcos∠DBC+sin∠DBC•sin∠BCD， 又∠BDC＝π﹣（∠DBC+∠BCD），所以 sin（∠DBC+∠BCD）＝ sin∠BCDcos∠DBC+sin ∠DBCsin∠BCD， 展开整理得 sin∠DBCcos∠BCD＝sin∠DBCsin∠BCD， 因为 sin∠DBC≠0，所以 tan∠BCD＝ ， 故∠BCD＝ ； 又四边形 ABCD 内接于圆，所以∠A＝π﹣ ＝ ； 在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcosA＝1+4﹣2×1×2×cos ＝7， 因此 BD＝ ； 在△BCD 中，由余弦定理得 BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos ＝BC2+CD2﹣BC•CD， ∴7＝BC2+CD2﹣BC•CD≥2BC•CD﹣BC•CD＝BC•CD， ∴BC•CD≤7，当且仅当 BC＝CD＝ 时“＝”成立； 所以 S△BCD＝ BC•CD•sin∠BCD＝ BC•CD•sin ＝ BC•CD≤ ， 所以 S△BCD 的最大值为 ． 故选：C． 【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角形面积计算问题，是中档题． 【知识点】三角形中的几何计算 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.在△ABC 中，已知 AB＝3，A＝120°，且△ABC 的面积是 ，则 AC 的边长为 ． 【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将 c，sinA 及已知面积代入求出 b 的值，再利用余弦定理列出 关系式，把 b，c，cosA 的值代入计算即可求出 a 的值． 【解答】解：在△ABC 中，∵AB＝c＝3，A＝120°，△ABC 的面积为 ， ∴S△ABC＝ bcsinA＝ b＝ ， 即 b＝5， 则 AC 的边长为：5． 故答案为：5． 【点评】本题考查三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 【知识点】三角形中的几何计算 14.在△ABC 中，已知（4 ﹣ ）⊥ ，则 sinA 的最大值等于 ． 【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出 cosA 的最小值，即得 sinA 的最大值． 【解答】解：在△ABC 中， ∵（4 ﹣ ）⊥ ， ∴（4 ﹣ ）• ＝0； ∴（4 ﹣ ）•（ ﹣ ）＝0； 如图所示， ∴4 2﹣5 • + 2＝0，即 5 • ＝4 2+ 2； ∴cosA＝ ≥ ＝ ， 当且仅当 2| |＝| |时，“＝”成立； 此时 sinA 的最大值为 ＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积的运算问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础 题． 【知识点】三角形中的几何计算 15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45°，与观测站 A 距离 20 海里的 B 处有一 货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 东偏北 θ（0°＜θ＜45°）的 C 处，且 cosθ＝ ，已知 A、C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为 海里/小时． 【分析】根据余弦定理求出 BC 的长度即可得到结论． 【解答】解：∵cosθ＝ ，∴sin＝ ， 由题意得∠BAC＝45°﹣θ，即 cos∠BAC＝cos（45°﹣θ）＝ ， ∵AB＝20 ，AC＝10， ∴由余弦定理得 BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC， 即 BC2＝（20 ）2+102﹣2×20 ×10× ＝800+100﹣560＝340， 即 BC＝ ， 设船速为 x，则 ＝2 ， ∴x＝4 （海里/小时）， 故答案为：4 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出 cos∠BAC，以及利用余弦定理求出 BC 的长度是解 决本题的关键． 【知识点】解三角形的实际应用 16.在△ABC 中，若 cosB＝ ，b＝2，则 + 的最小值为 ，△ABC 面积的最大值 为 ． 【分析】根据余弦定理可得 ac≤ ，将 + 化为 可得，面积化为 ac 可得． 【解答】解：因为 cosB＝ ，∴sinB＝ ，∴sinA＝ ＝ ，sinC＝ 由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2ac× ，∴4+ ac＝a2+c2≥2ac， ∴ac≤ （当且仅当 a＝c 时取等） ∴ + ＝ + ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ≥ ＝ ＝ ， △ABC 的面积为 ＝ ac≤ × ＝ ． 故答案为： ， ． 【点评】本题考查了正余弦定理，属中档题． 【知识点】正弦定理 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝ ，AD：AB＝2：3，BD＝ ，AB⊥BC． （1）求 sin∠ABD 的值； （2）若∠BCD＝ ，求 CD 的长． 【分析】（1）设 AD＝2x，AB＝3x，由余弦定理求出 AD＝2，AB＝3，再由正弦定理能求出 sin∠ABD． （2）由 sin（∠ABD+∠CBD）＝sin ，得 sin∠CBD＝cos∠ABD，求出 sin ， 由此利用正弦定理能求出 CD． 【解答】解：（1）设 AD＝2x，AB＝3x， 由余弦定理得：cos ＝ ＝ ， 解得 x＝1，∴AD＝2，AB＝3， ∴由正弦定理得： ， 解得 sin∠ABD＝ ． （2）sin（∠ABD+∠CBD）＝sin ，∴sin∠CBD＝cos∠ABD， cos ＝ ，∴sin ， 由正弦定理得 ，解得 CD＝ ． 【点评】本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角 三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与 方程思想，是中档题． 【知识点】三角形中的几何计算 18.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝1，且（1+b）（ sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC． （1）求 A； （2）求 △ABC 面积的最大值． 【分析】（1）由题目条件 a＝1，可以将（1+b）（ sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC 中的 1 换成 a，达到齐次化 的目的，再用正余弦定理解决； （2）已知∠A，要求△ABC 的面积，可用公式 S＝ bc•sin A，因此把问题转化为求 bc 的最大 值． 【解答】解：（1）因为（1+b）（ sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（ a﹣b）＝（c﹣b） c⇔（a+b）（ a﹣b）＝（c﹣b）c⇔b2+c2﹣a2＝bc 由余弦定理得：cos A＝ ＝ ，所以 A＝ ． （2）因为 b2+c2﹣a2＝bc，所以 bc＝b2+c2﹣1≥2bc﹣1⇔bc≤1； 所以 S△ABC＝ bc•sin A＝ bc≤ ， 当且仅当 b＝c＝1 时，取等号． 【点评】本题考察正余弦定理、基本不等式，需要用到简单的代数变换，属于基础题． 【知识点】正弦定理 19.在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acosC＝ csinA． （1）求 C； （2）若△ABC 的面积为 8，a＝4，求 b 的值． 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，即得结果； （2）先根据三角形面积公式得 ab，即得 b． 【解答】解：（1）∵acosC＝ csinA，∴sinAcosC＝ sinCsinA． ∵sinA＞0，∴cosC＝ sinC，即 tanC＝ ． ∵0＜C＜ ，∴C＝ ． （2）由（1）可得 sinC＝ ，则 △ABC 的面积为 S＝ ab． ∵△ABC 的面积为 S＝8， ∴ ab＝8，即 ab＝32． ∵a＝4，∴b＝8． 【点评】本题考查正弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题． 【知识点】正弦定理 20.在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26°，30°] 范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为 20 米，屏幕底部距离地面 11.5 米．站在大屏 幕正前方，距离屏幕所在平面 x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为 1.5 米，观察屏常的视角为 θ（情 景示意图如图所示）． （1）为探究视觉效果，请从 sinθ，cosθ，tanθ 中选择一个作为 y，并求 y＝f（x）的表达式； （2）根据（1）的选择探究 θ 是否有达到最佳视角效果的可能． 【分析】（1）过点 A 作 AF⊥CE 于 F，则 EF＝AB＝1.5，DF＝DE﹣EF＝10，CF＝30，设∠CAF＝α，∠ DAF＝β，sinθ＝sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，化简即可得出答案． （2）由基本不等式可得 sinθ＝ ≤ ＝ ，即可得出答案． 【解答】解：过点 A 作 AF⊥CE 于 F，则 EF＝AB＝1.5， DF＝DE﹣EF＝10，CF＝30， 设∠CAF＝α，∠DAF＝β， （1）sinθ＝sin（α﹣β）， ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ， ＝ • ﹣ • ， ＝ ， （2）sinθ＝ ≤ ＝ ， 当且仅当 x2＝ ，即 x＝10 时，sinθ 取到最大值 ， 因为 sinθ 在（0，90°）上单调递增，所以观察屏幕视角最大值为 30°∈[26°，30°]， 即此时视角达到最佳． 【点评】本题为开放性探究题，考查解三角形问题，属于中档题． 【知识点】解三角形的实际应用 21.如图，已知扇形 OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为 10 米，∠MON＝ ，为了便于游 客观光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图 1，拟在观光区内规划一条三角形 ABO 形状的道路，道路的一个顶点 B 在弧 MN 上，另一顶 点 A 在半径 OM 上，且 AB∥ON，求△ABO 周长的最大值； （2）如图 2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃 ABC 的一个顶点 B 在弧 MN 上， 另两个顶点 A、C 在半径 OM、ON 上，且 AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC 面积的最大值． 【分析】（1）由已知可得 ，又 OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0， ），利用正弦定理求得 AB ＝ ，OA＝ ，作和后利用三角函数求最值； （2）由已知结合余弦定理求解 OA•AB 的最大值，代入三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）∵AB∥ON， ，∴ ， 又 OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0， ）， 在△AOB 中，由正弦定理可知， ， ∴AB＝ ，OA＝ ， ∴△AOB 的周长 f（θ）＝ ，θ∈（0， ）． 化简得 f（θ）＝ ． ∴ 时，△AOB 的周长有最大值为 米． 答：△ABO 周长的最大值为 米； （2）∵图 2 中△ABC 与图 1 中△ABO 面积相等， 而在△ABO 中，∵OB＝r＝10，AB∥ON， ， ∴ ． 由余弦定理知，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos∠OAB， ∴100＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB， ∴OA ，当且仅当 OA＝AB＝ 时取“＝”． ∴ 平方米． 答：花圃△ABC 面积的最大值为 平方米，此时 OA＝OB＝ 米． 【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中 档题． 【知识点】解三角形的实际应用 22.如图，直线 l 为经过市中心 O 的一条道路，B、C 是位于道路 l 上的两个市场，在市中心 O 正西方向的 道路较远处分布着一些村庄，为方便村民生活，市政府决定从村庄附近的点 A 处修建两条道路 AB、AC， l 与 OA 的夹角为 （OA＞3km，∠OAC 为锐角）．已知以 的速度从 O 点到达 B、C 的时间 分别为 t， （单位：h） （1）当 t＝1 时：①设计 AB 的长为 ，求此时 OA 的长；②修建道路 AB，AC 的费用均为 a 元/km， 现需要使工程耗费最少，直接写出所需总费用的最小值． （2）若点 A 与市中心 O 相距 ，铺设时测量出道路 AC，AB 的夹角为 ，求时间 t 的值． 【分析】（1）①当 t＝1 时，由余弦定理解得 OA，AC，推出修建道路 AB，AC 的费用的最小值． （2）∠BAO＝θ，在△ABO 中，由正弦定理可得： ＝ ＝ ．同理在△ ABC 中， ＝ ，且 BC＝ BO，∠ACO＝ ﹣θ．化为：sinθcosθ＝ ，θ∈ ，tanθ∈（0， ）， sinθ，cosθ≠0．解得 tanθ．在△ABO 中，BO＝ ＝ ，化简求解即可． 【解答】解：（1）①当 t＝1 时，OB＝2 ，∵AB＝3 ，∠AOC＝ ，OC＝2 （1+ ）＝2 +6， 由余弦定理可得 AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos ，即 27＝OA2+12﹣2OA•2 × ， 解得 OA＝3 + ；， AC2＝OA2+OC2﹣2OA•OCcos ＝（3 + ）2+（2 +6）2﹣2（3 + ）（ 2 +6）• ＝ 63+18 ﹣18 AC＝ ∴修建道路 AB，AC 的费用的最小值为（ +3 ）a 元． （2）设∠BAO＝θ，在△ABO 中，由正弦定理可得： ＝ ＝ ． 同理在△ABC 中， ＝ ，且 BC＝ BO，∠ACO＝ ﹣θ．∴ ＝ ， ∴ ＝ ，化为：sinθcosθ＝ ，θ∈ ，tanθ∈（0， ）， sinθ，cosθ≠ 0． ∴ ＝ ＝ ，解得 tanθ＝2﹣ ． 在△ABO 中，BO＝ ＝ ＝ ＝2 ． ∴t＝ ＝1h． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于 难题． 【知识点】解三角形的实际应用