高考概率分布类型题归纳

高考概率分布类型题归纳

‎ 经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、 超几何分布类型 二、 二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）‎ 六、综合算法 高考真题 ‎2010年 22、 ‎（本小题满分10分）（相互独立事件）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ ‎（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）‎ 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力.‎ ‎【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，‎ ‎∴共有对相交棱， ∴==.‎ ‎(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故==,‎ ‎==.‎ ‎∴随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ P ‎ ∴.‎ ‎（2014•江苏）（古典概型）‎ 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．‎ ‎（2017年）23．（本小题满分10分）‎ ‎ 已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；‎ ‎ （2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．‎ 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．‎ ‎（2）随机变量X的概率分布为 X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量X的期望为．‎ 所以 ‎，‎ 即．‎ ‎【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 ‎【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ ‎（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ ‎（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ ‎（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ ‎（4）“求期望值”，‎ 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．‎ 一、超几何分布 ‎1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．‎ ‎【提示】　从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.[来源:学。科。网]‎ P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，‎ P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.‎ 故所求的分布列为 X ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎2.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．‎ 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：‎ PM2.5日均值(微克/立方米)‎ ‎[25,35]‎ ‎(35,45]‎ ‎(45,55]‎ ‎(55,65]‎ ‎(65,75]‎ ‎(75,85]‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎ （1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；‎ ‎ （2）从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列．‎ ‎ 【解析】（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎ （2）依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，‎ 所以P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 点评：超几何分布的上述模型中，“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件”. 如果是有放回地抽取，就变成了 重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 若产品总数 很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.‎ ‎3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．‎ ‎(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；‎ ‎(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；‎ ‎(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．‎ ‎【解】　(1)P＝1－＝.‎ ‎(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.‎ ‎(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，‎ 且P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3.‎ 故P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 二、二项分布 ‎1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.‎ ‎（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；‎ ‎（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；‎ ‎（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的概率分布和数学期望．‎ ‎2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为X，当这排装饰灯闪烁一次时：‎ ‎(1)求X＝2时的概率；‎ ‎(2)求X的数学期望．‎ 解　(1)依题意知：X＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，‎ 故X＝2时的概率P＝C22＝.‎ ‎(2)法一　X的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)．‎ ‎∴X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎3.羽毛球A 队与B队进行对抗比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是P. ‎ ‎（1）若比赛6局，且P =, 求A队至多获胜4局的概率是多少？‎ ‎（2）若比赛6局，求A队恰好获胜 3局的概率的最大值是多少？‎ ‎ (3) 若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数的分布列和数学期望.‎ 解析：（1）设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A ‎ 则==[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎ A队至多获胜4局的概率是 ‎ ‎ (2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B ,则 ‎ 当P=0或P=1时，显然有P(B)=0‎ ‎ 当0方案C的费用>方案B的费用 所以采用方案B。‎ 六、 综合算法 ‎1.2015年期末考试题 长时间用手机上网严重影响学生的健康，如果学生平均每周手机上网的时长超过5小时，则称为“过度用网”，某校为了解A,B两班学生手机上网的情况，分别从这两个班中随机抽取6名学生样本进行调查，由样本数据统计得到A,B两班学生“过度用网”的概率分别为 （1） 从A班的样本数据中抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率 （2） 从A班，B班的样本中随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出其分布列和数学期望。 ‎ ‎2.国家公务员考试，某单位已录用公务员5人，已安排到A,B,C三个科室工作，但甲必须安排在A科室，其余4人可以随机安排.‎ ‎（1）求每个科室安排至少1人至多2人的概率；‎ ‎（2）设安排在A科室的人数为随机变量X，求X的概率分布及数学期望和方差.‎