高考总复习数学导数大题练习详细答案

高考总复习数学导数大题练习详细答案

‎1．已知函数的图象如图所示．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．‎ ‎2．已知函数．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．‎ ‎3．已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；‎ ‎（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．‎ ‎4．已知常数，为自然对数的底数，函数，．‎ ‎（I）写出的单调递增区间，并证明；‎ ‎（II）讨论函数在区间上零点的个数．‎ ‎5．已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数的最大值；‎ ‎（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；‎ ‎6．已知是函数的一个极值点（）．‎ ‎（I）求实数的值；‎ ‎（II）求函数在的最大值和最小值．‎ ‎7．已知函数 ‎ （I）当a=18时，求函数的单调区间；‎ ‎ （II）求函数在区间上的最小值．‎ ‎8．已知函数在上不具有单调性．‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．‎ ‎9．已知函数 ‎ （I）讨论函数的单调性；‎ ‎ （II）证明：若 ‎10．已知函数．‎ ‎（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若，设，求证：当时，不等式成立．‎ ‎11．设曲线：（），表示导函数．‎ ‎（I）求函数的极值；‎ ‎（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．‎ ‎12．定义，‎ ‎（I）令函数，写出函数的定义域；‎ ‎（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；‎ III）当且时，求证．‎ 答案 ‎1．解：函数的导函数为 …………（2分）‎ ‎（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且 得 …………（4分）‎ ‎（II）依题意 且 ‎ ‎ 解得 所以 …………（8分）‎ ‎（III）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点； ‎ ‎，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎． …………（10分）‎ 当且仅当时，有三个交点，‎ 故而，为所求． …………（12分）‎ ‎2．解：（I） （2分）‎ 当 当 当a=1时，不是单调函数 （5分）‎ ‎ （II）‎ ‎（6分）‎ ‎ （8分）（10分） （12分）‎ 3． 解 ‎（I）‎ ‎ 由，因为当时取得极大值，‎ ‎ 所以，所以；‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎（II）由下表：‎ ‎ 依题意得：，解得：‎ ‎ 所以函数的解析式是： ‎ ‎（III）对任意的实数都有 ‎ 在区间[-2，2]有： ‎ 函数上的最大值与最小值的差等于81，‎ ‎ 所以．‎ ‎4．解：（I），得的单调递增区间是， …………（2分）‎ ‎∵，∴，∴，即． …………（4分）‎ ‎（II），由，得，列表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 当时，函数取极小值，无极大值．‎ 由（I），∵，∴，∴‎ ‎， …………（8分）‎ ‎（i）当，即时，函数在区间不存在零点 ‎（ii）当，即时 ‎ 若，即时，函数在区间不存在零点 ‎ 若，即时，函数在区间存在一个零点；‎ ‎ 若，即时，函数在区间存在两个零点；‎ 综上所述，在上，我们有结论：‎ 当时，函数无零点；‎ 当 时，函数有一个零点；‎ 当时，函数有两个零点．‎ ‎ ‎ ‎5．解：（I）当时，‎ 定义域为（1，+），令， ∵当，当，‎ ‎∴内是增函数，上是减函数 ‎∴当时，取最大值 ‎ ‎（II）①当，函数图象与函数图象有公共点，‎ ‎∴函数有零点，不合要求； ‎ ‎②当， ‎ ‎ ………………（6分）‎ 令，∵，‎ ‎∴内是增函数，上是减函数，‎ ‎∴的最大值是， ‎ ‎∵函数没有零点，∴，，‎ 因此，若函数没有零点，则实数的取值范围 ‎6． 解：（I）由可得 ‎……（4分）‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴‎ ‎∴，解得 ‎ ‎（II）由，得在递增，在递增，‎ 由，得在在递减 ‎∴是在的最小值； ……………（8分）‎ ‎， ∵‎ ‎∴在的最大值是． ‎ ‎7．解：（Ⅰ），‎ ‎ 2分 ‎ 由得，解得或 ‎ 注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+∞）‎ ‎ 由得，解得-2＜＜4，‎ ‎ 注意到，所以函数的单调递减区间是.‎ ‎ 综上所述，函数的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是 6分 ‎ （Ⅱ）在时，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 设 ‎ 当时，有△=16+4×2，‎ ‎ 此时，所以，在上单调递增，‎ ‎ 所以 8分 ‎ 当时，△=，‎ ‎ 令，即，解得或；‎ ‎ 令，即， 解得.‎ ‎ ①若≥，即≥时，‎ ‎ 在区间单调递减，所以.‎ ‎ ②若，即时间，‎ ‎ 在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎ 所以.‎ ‎ ③若≤，即≤2时，在区间单调递增，‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述，当≥2时，；‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当≤时， 14分 ‎8．解：（I）， ‎ ‎∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，‎ 即二次函数在上有零点 ………………（4分）‎ ‎∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴‎ 的实数的取值范围 ‎ ‎（II）由（I），‎ 方法1：，‎ ‎∵，∴，…………（8分）‎ 设，‎ 在是减函数，在增函数，当时，取最小值 ‎∴从而，∴，函数是增函数，‎ 是两个不相等正数，不妨设，则 ‎∴，∵，∴ ‎ ‎∴，即 ………………（12分）‎ 方法2： 、是曲线上任意两相异点，‎ ‎，，‎ ‎ ………（8分）‎ 设，令，，‎ 由，得由得 在上是减函数，在上是增函数，‎ 在处取极小值，，∴所以 即 ‎ ‎9． （1）的定义域为，‎ ‎（i）若，则 故在单调增加．‎ ‎（ii）若 ‎ 单调减少，在（0，a-1），‎ ‎ 单调增加．‎ ‎（iii）若单调增加．‎ ‎（II）考虑函数 ‎ ‎ 由 ‎ ‎ 由于，从而当时有 ‎ ‎ ‎ 故，当时，有 ‎ ‎10．解：（I）， ‎ ‎∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，‎ ‎∴当时，恒成立， 即恒成立， ‎ ‎∴在时恒成立，或在时恒成立，‎ ‎∵，∴或 ‎ ‎（II），‎ ‎∵定义域是，，即 ‎∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数 ‎∴当时，取极大值，‎ 当时，取极小值， ‎ ‎ ∵，∴ ‎ 设，则，‎ ‎∴，∵，∴‎ ‎∴在是增函数，∴‎ ‎∴在也是增函数 ‎ ‎∴，即，‎ 而，∴‎ ‎∴当时，不等式成立． ‎ ‎11．解：（I），得 当变化时，与变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴当时，取得极大值，没有极小值； ‎ ‎（II）（方法1）∵，∴，∴‎ 即，设 ‎，，是的增函数，‎ ‎∵，∴；‎ ‎，，是的增函数，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴函数在内有零点， ‎ 又∵，函数在是增函数，‎ ‎∴函数在内有唯一零点，命题成立 ‎（方法2）∵，∴，‎ 即，，且唯一 设，则，‎ 再设，，∴‎ ‎∴在是增函数 ‎∴，同理 ‎∴方程在有解 ‎ ‎∵一次函数在是增函数 ‎∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）‎ 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．‎ ‎12．解：（I），即 ‎ 得函数的定义域是， ‎ ‎（II）‎ 设曲线处有斜率为－8的切线，‎ 又由题设 ‎①②③‎ ‎∴存在实数b使得 有解， 由①得代入③得， ‎ 有解， ……………………（8分）‎ 方法1：，因为，所以，‎ 当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为－8的切线 ‎………………（10分）‎ 方法2：得，‎ ‎ ‎ 方法3：是的补集，即 ‎ ‎（III）令 又令 ，‎ 单调递减. ……………………（12）分 单调递减， ‎ ‎，‎ ‎ ‎