中考数学4月模拟试卷含解析

中考数学4月模拟试卷含解析

‎2016年江苏省苏州市常熟市中考数学模拟试卷 一、选择题本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.‎ ‎1．﹣5的绝对值是（　　）‎ A．5 B．﹣ C．﹣5 D．‎ ‎2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x B．x C．x D．x ‎3．下列计算正确的是（　　）‎ A．a4÷a3=1 B．a4+a3=a7 C．（2a3）4=8a12 D．a4•a3=a7‎ ‎4．在一个不透明的盒子里有3个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（　　）‎ A．9 B．4 C．6 D．8‎ ‎5．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎…‎ 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=﹣5的解为（　　）‎ A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=2，x2=﹣3 C．x1=2，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣5‎ ‎6．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）‎ A．105° B．110° C．115° D．120°‎ ‎7．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（　　）‎ A．80° B．75° C．70° D．65°‎ ‎8．若关于x的方程x2+2x+a=0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1‎ ‎9．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（　　）‎ A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20‎ ‎10．如图①，在▱ABCD中，∠B=120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止．设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为（　　）‎ A．11 B．14 C．8+ D．8+3‎ ‎　‎ 二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应位置上.‎ ‎11．据报道，2016年我市将进一步强化生态文明建设，计划完成330个自然村12000户生活污水处理．将12000用科学记数法表示应为　　　　　　．‎ ‎12．一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是　　　　　　边形．‎ ‎13．圆锥的底面圆半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的面积是　　　　　　．‎ ‎14．因式分解：4a2﹣8a+4=　　　　　　．‎ ‎15．某学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了如图所示的条形统计图，则30名学生参加活动的次数的中位数是　　　　　　次．‎ ‎16．二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），则代数式（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）的值为　　　　　　．‎ ‎17．如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E在AD上，F为AB延长线上一点，将△AEF沿EF翻折，点A恰好与点C重合，则∠AFE的余弦值为　　　　　　．‎ ‎18．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x﹣2上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1=﹣2，则a2016=　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.‎ ‎19．计算：（﹣）2﹣+（﹣1）0﹣cos60°．‎ ‎20．解不等式组：．‎ ‎21．先化简，再求值：（），其中x=．‎ ‎22．有大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨，求每辆大车和每辆小车一次分别可以运货多少吨？‎ ‎23．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取1或2名同学作为志愿者．初一（1）班的小凡、小娟和初一（2）班的小敏、小佳4名同学报名参加．‎ ‎（1）若从这4名同学中随机选取1名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（2）班同学的概率是　　　　　　；‎ ‎（2）若从这4名同学中随机选取2名志愿者，请用列举法（画树状图或列表）求这2名同学恰好都是初一（2）班同学的概率．‎ ‎24．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=30°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D，是点B旋转形成的弧．‎ ‎（1）求证：BE=CF；‎ ‎（2）当四边形ABDF为菱形时，求的长．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=10x与反比例函数y=交于点A，点A的横坐标为，反比例函数y=图象上有一点B，过点B作BC∥x轴，过点A作AC⊥BC，垂足为点C．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）已知点B在AC的右侧，若△ABC的面积为4，求直线AB的解析式．‎ ‎26．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE．‎ ‎（1）求证：BD=CD；‎ ‎（2）求证：△CAB∽△CDE；‎ ‎（3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，直径AB的长为x，若∠ABC=30°，S1、S2 满足S1+S2=，试求x的值．‎ ‎27．在Rt△AOB中，OA=3，sinB=，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．‎ ‎（1）线段AP的长度为　　　　　　（用含a、t的代数式表示）；‎ ‎（2）如图①，连结PO、PM，若a=1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；‎ ‎（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．‎ ‎28．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．‎ ‎（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为　　　　　　，点A的坐标为　　　　　　；‎ ‎（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省苏州市常熟市中考数学模拟试卷（4月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.‎ ‎1．﹣5的绝对值是（　　）‎ A．5 B．﹣ C．﹣5 D．‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】根据负数的绝对值是它的相反数是，可得答案．‎ ‎【解答】解：﹣5的绝对值是5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x B．x C．x D．x ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，2x+1≥0，‎ 解得，x≥﹣，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列计算正确的是（　　）‎ A．a4÷a3=1 B．a4+a3=a7 C．（2a3）4=8a12 D．a4•a3=a7‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、a4÷a3=a，故本选项错误；‎ B、a4+a3≠a7，不能合并；故本选项错误；‎ C、（2a3）4=16a12，故本选项错误；‎ D、a4•a3=a7，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．在一个不透明的盒子里有3个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（　　）‎ A．9 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．‎ ‎【解答】解：∵摸到红球的概率为，‎ ‎∴=，‎ 解得n=6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎…‎ 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=﹣5的解为（　　）‎ A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=2，x2=﹣3 C．x1=2，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣5‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程ax2+bx+c=﹣5中各项的系数已知，再解方程即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知点（﹣2，3），（0，3），（1，0）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，‎ 则，‎ 解得：，‎ 所以一元二次方程ax2+bx+c=﹣5可化为：﹣x2﹣2x+3=﹣5，‎ 解得：x1=2，x2=﹣4，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）‎ A．105° B．110° C．115° D．120°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，∵直线a∥b，‎ ‎∴∠AMO=∠2；‎ ‎∵∠ANM=∠1，而∠1=50°，‎ ‎∴∠ANM=50°，‎ ‎∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+50°=110°，‎ ‎∴∠2=∠AMO=110°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（　　）‎ A．80° B．75° C．70° D．65°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】由OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，根据圆周角定理，可求得∠AOB的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=20°，‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=40°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=70°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．若关于x的方程x2+2x+a=0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0有实数根，‎ ‎∴△=4﹣4a≥0，‎ ‎∴a≤1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（　　）‎ A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．‎ ‎【解答】解：根据题意得：AB=8米，DE=20米，∠A=30°，∠EBC=45°，‎ 在Rt△ADE中，AE=DE=20米，‎ ‎∴BE=AE﹣AB=20﹣8（米），‎ 在Rt△BCE中，CE=BE•tan45°=（20﹣8）×1=20﹣8（米），‎ ‎∴CD=CE﹣DE=20﹣8﹣20=20﹣28（米）；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图①，在▱ABCD中，∠B=120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止．设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为（　　）‎ A．11 B．14 C．8+ D．8+3‎ ‎【考点】平行四边形的性质；动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】作CM⊥AB于M，根据三角形面积公式可得当点P在CD上运动时，△PAB的面积不变，再联系函数图象可得BC=cm，则AB=3cm，然后根据三角函数求出CM，三角形面积公式求出AB，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：作CM⊥AB于M如图所示：‎ 当点P在CD上运动时，△PAB的面积不变，‎ 由图②得：BC=4cm，‎ ‎∵∠ABC=120°，‎ ‎∴∠CBM=60°，‎ ‎∴CM=BC•sin60°=4×=2，‎ ‎∵△ABC的面积=AB•CM=AB×2=6，‎ ‎∴AB=6cm，‎ ‎∴OH=4+6+4=14，‎ ‎∴点H的横坐标为14．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应位置上.‎ ‎11．据报道，2016年我市将进一步强化生态文明建设，计划完成330个自然村12000户生活污水处理．将12000用科学记数法表示应为　1.2×104　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：12000=1.2×104，‎ 故答案为：1.2×104．‎ ‎　‎ ‎12．一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是　5　边形．‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】由一个多边形的外角为360°和每一个外角都是72°，可求得其边数．‎ ‎【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，‎ ‎∴这个多边形的边数为：360÷72=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎13．圆锥的底面圆半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的面积是　4π　．‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，依此代入数据计算即可．‎ ‎【解答】解：底面圆半径是1，则底面周长=2π，‎ 侧面面积=×2π×4=4π．‎ 故答案为4π．‎ ‎　‎ ‎14．因式分解：4a2﹣8a+4=　4（n﹣1）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取4，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=4（a2﹣2a+1）=4（n﹣1）2，‎ 故答案为：4（n﹣1）2‎ ‎　‎ ‎15．某学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了如图所示的条形统计图，则30名学生参加活动的次数的中位数是　2　次．‎ ‎【考点】中位数；条形统计图．‎ ‎【分析】根据中位数的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：这组数据按顺序排列后中位数为：2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），则代数式（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）的值为　﹣16　．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】把点的坐标代入抛物线解析式求出（m+n），然后代入代数式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），‎ ‎∴1+m+n=﹣2，‎ ‎∴m+n=﹣3，‎ ‎∴（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）=（﹣3﹣1）（1+3）=﹣16．‎ 故答案为：﹣16．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E在AD上，F为AB延长线上一点，将△AEF沿EF翻折，点A恰好与点C重合，则∠AFE的余弦值为　　．‎ ‎【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】根据翻折变换的性质结合勾股定理首先求出AE的长，进而得出AF，EF的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．‎ ‎【解答】解：设AE=x，则EC=x，DE=8﹣x，‎ 故DE2+DC2=EC2，‎ 则（8﹣x）2+42=x2，‎ 解得：x=5，‎ 则EC=AE=5，DE=3，‎ 设BF=y，则AF=FC=4+y，‎ 故BC2+BF2=FC2，‎ 则82+y2=（4+y）2，‎ 解得：y=6，‎ 故AF=10，‎ 则EF==5，‎ 故cos∠AFE===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x﹣2上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1=﹣2，则a2016=　1　．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据点的分布特征，找出an的前几项，根据an的变化，可得出规律“a3n﹣2=﹣2，a3n﹣1=4，a3n=1，（n为正整数）”，结合该规律即可得出a2016的值．‎ ‎【解答】解：观察，发现规律：a1=﹣2，a2=4，a3=1，a4=﹣2，…，‎ ‎∴a3n﹣2=﹣2，a3n﹣1=4，a3n=1，（n为正整数）‎ ‎∵2016=672×3，‎ ‎∴a2016=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.‎ ‎19．计算：（﹣）2﹣+（﹣1）0﹣cos60°．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：（﹣）2﹣+（﹣1）0﹣cos60°‎ ‎=9﹣4+1﹣‎ ‎=5．‎ ‎　‎ ‎20．解不等式组：．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ ‎【解答】解：由①得，x＜2，由②得，x≥﹣2，‎ 故不等式组的解集为：﹣2≤x＜2．‎ ‎　‎ ‎21．先化简，再求值：（），其中x=．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先算括号里面的，再算除法，把x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=•‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当x=2+时，原式==﹣．‎ ‎　‎ ‎22．有大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨，求每辆大车和每辆小车一次分别可以运货多少吨？‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】设每辆大车一次可以运货x吨，每辆小车一次可以运货y吨，根据“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”列方程组求解可得．‎ ‎【解答】解：设每辆大车一次可以运货x吨，每辆小车一次可以运货y吨，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：每辆大车一次可以运货4吨，每辆小车一次可以运货2.5吨．‎ ‎　‎ ‎23．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取1或2名同学作为志愿者．初一（1）班的小凡、小娟和初一（2）班的小敏、小佳4名同学报名参加．‎ ‎（1）若从这4名同学中随机选取1名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（2）班同学的概率是　　；‎ ‎（2）若从这4名同学中随机选取2名志愿者，请用列举法（画树状图或列表）求这2名同学恰好都是初一（2）班同学的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）根据概率公式直接计算；‎ ‎（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出这2名同学恰好都是初一（2）班同学的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）被选中的这名同学恰好是初一（2）班同学的概率==；‎ 故答案为；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中这2名同学恰好都是初一（2）班同学的结果数为2，‎ 所以这2名同学恰好都是初一（2）班同学的概率==．‎ ‎　‎ ‎24．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=30°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D，是点B旋转形成的弧．‎ ‎（1）求证：BE=CF；‎ ‎（2）当四边形ABDF为菱形时，求的长．‎ ‎【考点】旋转的性质；菱形的性质；圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）由旋转的性质得到AE=AF=AB=AC，再判断出△ABE≌△ACF；‎ ‎（2）先由CF∥AB，得到∠ACF=30°，再求出∠BAC，然后用弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）由旋转得，AB=AE=AC=AF，∠BAC=∠EAF，‎ ‎∴∠BAC=∠CAF，‎ 在△ABE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACF；‎ ‎（2）由（1）有△ABE≌△ACF，‎ ‎∴∠ACF=∠ABE ‎∵四边形ABDF是菱形，‎ ‎∴CF∥AB，‎ ‎∴∠ACF=∠BAC=∠ABE=30°，‎ ‎∵AB=AE，‎ ‎∴∠ABE=∠AEB=30°，‎ ‎∴∠BAE=120°，‎ ‎∴的长为=π．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=10x与反比例函数y=交于点A，点A的横坐标为，反比例函数y=图象上有一点B，过点B作BC∥x轴，过点A作AC⊥BC，垂足为点C．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）已知点B在AC的右侧，若△ABC的面积为4，求直线AB的解析式．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）把x=时代入y=10x求得A（，5），把A（，5）代入y=即可得到结论；‎ ‎（2）根据反比例函数的解析式为y= 设B（a，），根据已知条件得到BC=a﹣，AC=5﹣，由△ABC的面积为4列方程得到B（，1），根据待定系数法即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）当x=时，y=10x=5，‎ ‎∴A（，5），‎ 把A（，5）代入y=得；k=；‎ ‎（2）∵k=，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=，‎ ‎∵反比例函数y=图象上有一点B，‎ ‎∴设B（a，），‎ ‎∵BC∥x轴，过点A作AC⊥BC，‎ ‎∴BC=a﹣，AC=5﹣，‎ ‎∵△ABC的面积为4，‎ ‎∴（a﹣）（5﹣）=4，‎ ‎∴a=，a=（不合题意，舍去），‎ ‎∴B（，1），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣2x+6．‎ ‎　‎ ‎26．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE．‎ ‎（1）求证：BD=CD；‎ ‎（2）求证：△CAB∽△CDE；‎ ‎（3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，直径AB的长为x，若∠ABC=30°，S1、S2 满足S1+S2=，试求x的值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）因为AB=AC，欲证明BD=DC，只要证明AD⊥BC即可．‎ ‎（2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．‎ ‎（3）分别用x表示S1、S2，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=CD．‎ ‎（2）∵AB∥CE，‎ ‎∴∠2=∠1，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵BE是⊙O切线，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ ‎∵AB∥CE，‎ ‎∴∠BEC+∠ABE=90°，‎ ‎∴∠BEC=90°，‎ ‎∵BD=DC，‎ ‎∴DE=DB=DC，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∴∠3=∠2，∠1=∠4，‎ ‎∴△CAB∽△CDE．‎ ‎（3）∵S1=x•x=x2．‎ ‎∵△CAB∽△CDE，‎ ‎∴=（）2=，‎ ‎∴S2=x2，‎ 由题意： x2+x2=28，‎ ‎∴x=±8，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x=8．‎ ‎　‎ ‎27．在Rt△AOB中，OA=3，sinB=，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．‎ ‎（1）线段AP的长度为　5﹣at　（用含a、t的代数式表示）；‎ ‎（2）如图①，连结PO、PM，若a=1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；‎ ‎（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据三角函数得出AB的长度解答即可；‎ ‎（2）过点P作PD⊥OB，根据三角形的面积公式和二次函数的最值解答即可；‎ ‎（3）根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵Rt△AOB中，OA=3，sinB=，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∵设运动的时间为t，点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动，‎ ‎∴AP=5﹣at，‎ 故答案为：5﹣at；‎ ‎（2）如图①：‎ 过点P作PD⊥OB，在Rt△PDB中，PB=t，sinB=，‎ ‎∴PD=，OM=4﹣t，‎ ‎∴，‎ ‎∵0≤t≤4，‎ ‎∴当t=2时，；‎ ‎（3）假设存在，‎ ‎①若∠PMB=90°，如图②：‎ ‎∵PA=PM，‎ 在Rt△PMB中，PB=at，sinB=，‎ ‎∴PM=at，MB=at，‎ 根据题意可得：，‎ 解得：，符合题意；‎ ‎②若∠MPB=90°，如图③，则∠APM=90°，‎ ‎∴PA=PM，‎ 在Rt△PMB中，PB=at，sinB=，‎ ‎∴，‎ 根据题意可得：，‎ 解得：，符合题意，‎ ‎∴存在某时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形，此时．‎ ‎　‎ ‎28．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．‎ ‎（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为　（，0）　，点A的坐标为　（﹣1，0）　；‎ ‎（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y=0，解方程即可求出点A坐标．‎ ‎（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC==，列出方程即可解决．‎ ‎（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．‎ ‎【解答】解：（1）∵对称轴x=﹣=，‎ ‎∴点E坐标（，0），‎ 令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，‎ ‎∴x=﹣1或4，‎ ‎∴点A坐标（﹣1，0）．‎ 故答案分别为（，0），（﹣1，0）．‎ ‎（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，‎ ‎∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，‎ ‎∴DB===2，‎ ‎∵tan∠OBC==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3．‎ ‎（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，‎ ‎∵MN∥OM′，‎ ‎∴∠M′CN=∠CNM，‎ ‎∴MN=CM，‎ ‎∵直线BC解析式为y=﹣x+3，‎ ‎∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，‎ ‎∵sin∠BCO==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CM=m，‎ ‎①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，‎ 解得：m=或0（舍弃），‎ ‎∴Q1（，0）．‎ ‎②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，‎ 解得m=或0（舍弃），‎ ‎∴Q2（，0），‎ 综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．‎