高考南通市数学学科基地密卷8

高考南通市数学学科基地密卷8

‎2018年高考模拟试卷（8）‎ ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1． 已知集合，，若，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎2． 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为 ▲ ． ‎ ‎3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为 ▲ ．‎ ‎4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 ‎ 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 ‎（第4题）‎ ‎ （第5题）‎ ‎ 方差的值为 ▲ ．‎ ‎5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．‎ ‎6．设实数满足则的最大值为 ▲ ．‎ ‎7． 若“ ,使得成立”是假命题，则 实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎8． 设等差数列的公差为（），其前n项和为．若，，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎9． 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为 ▲ ．‎ ‎10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．‎ ‎11．若函数是偶函数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎12．若曲线上存在某点处的切线斜率不大于，则正实数a 的最小值为 ▲ ．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎13．在平面凸四边形ABCD中，，，点E满足，且 ‎ ．若，则的值为 ▲ ．‎ ‎14．设函数（）．若存在，使，‎ 则的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知向量m＝(cosα，sinα)，n＝(－1，2)．‎ ‎（1）若m∥n，求的值； ‎ ‎（2）若|m－n|＝，α∈，求cos的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，‎ A B C D P M ‎（第16题）‎ ‎，，M为的中点．求证：‎ ‎（1）//平面； ‎ ‎（2）．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．点C是半径上一点，点D是圆弧上一点，且．现在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ O A B C D ‎（第17题）‎ ‎（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆心，且圆截轴所得弦长为4．‎ ‎（1）求椭圆与圆的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线，都只有一个公共点，记直线与圆的公共点为，求点的坐标．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设区间，定义在上的函数（），集合 ‎． ‎ ‎（1）若，求集合；‎ ‎（2）设常数．‎ ‎① 讨论的单调性；‎ ‎② 若，求证：．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列的各项均为正数，，前项和为，且，为 正常数．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）记，（）．‎ 求证：① ； ‎ ‎② ． ‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎2018年高考模拟试卷（8）‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．‎ A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ ‎（第21—A题）‎ 如图，已知，是圆的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，‎ CD=，求线段AC的长度．‎ B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）‎ 已知矩阵的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为．‎ 若，求，的值．‎ C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数）．若以O为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l被曲线截得的线段长．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ D．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 已知，且， ，求a的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ ‎（第22题）‎ ‎22．如图，在直三棱柱中，已知，，，.‎ 是线段的中点.‎ ‎ （1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的大小的余弦值.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．‎ ‎ 设空间内个平面最多可将空间分成个部分．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）用数学归纳法证明此结论．‎ ‎2018年高考模拟试卷（8）参考答案 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．【答案】8‎ ‎【解析】因为，所以，即．‎ ‎2．【答案】；‎ ‎ 【解析】本题考查了复数的运算和模的概念．‎ ‎ 因为，所以．．‎ ‎3．【答案】‎ ‎【解析】设向上的点数之差的绝对值是2为随机事件，将一颗质地均匀的骰子先后 抛掷2次共有36个基本事件，事件共包含，，，，，‎ ‎，，共8个基本事件 ，所以．‎ ‎4．【答案】‎ ‎【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值，所以 ‎．‎ ‎5．【答案】12‎ ‎【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为；第二次执行循环体计算两个 变量的结果为；第三次执行循环体计算两个变量的结果为；所以 输出的结果为12．‎ ‎6．【答案】3‎ ‎【解析】画出可性域如图所示，求出代入点，‎ 求出最大值为3．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】命题的否定是“ ,都有成立”，且是真命题，所以 对恒成立，所以．因为，当且仅当 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 时成立，所以，即．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】因为（），所以．‎ 又因为即，，‎ 所以解答．‎ ‎9．【答案】3 ‎ ‎【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．‎ 因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为．根据点到直线的距离有，化简有．‎ ‎10．【答案】；‎ ‎【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．‎ ‎ 因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为和．和，解得，．，‎ ‎ ．所以．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】，因为是偶函数，‎ 所以，即，解得．‎ ‎12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．‎ ‎【解析】因为，所以．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 存在某点处的切线斜率不大于，所以存在，．得到 ‎，当且仅当取“”，化简得，解得．‎ ‎13．【答案】2 ‎ ‎【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积．‎ ‎ 因为，点E满足，所以，．‎ ‎ ，，得到．‎ ‎ 又因为，所以，得到．‎ ‎ 又．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】① 若，‎ 当时，为递增函数，且，‎ 当时，的对称轴为，‎ 若存在，使得，‎ 则或，即或，‎ 解得．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎② 若，‎ 当时，为递增函数，且，‎ 当时，为递减函数，且，‎ 当时，的对称轴为，‎ 若存在，使得，‎ 则，即，‎ 解得，又，所以．‎ 综上可得，，即的取值范围为．‎ 二、解答题：‎ ‎15．【解】（1）因为 m∥n，所以sinα＝－2cosα． …… 4分 ‎ 所以原式＝4． …… 6分 ‎（2）因为 |m－n|＝，所以2sinα－cosα＝2． …… 9分 所以cosα＝4(sinα－1)，所以1－sinα＝4(sinα－1)，‎ 所以α∈，‎ 所以． …… 12分 A B C D P M ‎（第16题）‎ O 所以原式＝． …… 14分 ‎16．【解】（1）设AC与BD交于点O，连结OM，‎ ‎ 因为是平行四边形，所以O为AC中点，………2分 ‎ 因为M为的中点，所以∥OM，…………………4分 ‎ 又平面，OM平面，‎ ‎ 所以∥平面．…………………………7分 ‎ （2）平面平面，交线为，‎ ‎ 因为，故，‎ ‎ 因为平面，所以平面，……………9分 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎ 因为平面，所以． ……………11分 ‎ 因为，M为的中点，所以．……12分 ‎ 因为，平面，‎ ‎ 所以平面，……………………………………………………………14分 ‎17．【解】（1）因为∥，所以，‎ ‎ 在△中，，，km，‎ ‎ 由正弦定理得， …………………………4分 ‎ （注：正弦定理要呈现，否则扣2分）‎ ‎ 得 km， km．…………………………5分 ‎ 又圆弧长为 km．‎ ‎ 所以 ‎ ，．…………………………7分 ‎（2）记，‎ ‎ 则，………………8分 ‎ 令，得． ……………………………………………………9分 ‎ 当x变化时，，的变化如下表：‎ x ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 递增 极大值 递减 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值．‎ ‎ 即．………………………………………………………12分 ‎ 答：（1）y关于x的函数解析式为，其定义域为 ‎ ‎ ；‎ ‎ （2）广告位出租的总收入的最大值为元．………………………14分 ‎18．【解】（1）由题意知：解得 ‎ 又，‎ ‎ 所以椭圆的方程为． …………………………………………3分 ‎ 因为圆截轴所得弦长为4，所以，‎ ‎ 所以圆的方程为． …………………………………………6分 ‎ （2）设直线的方程为，则 ‎，‎ ‎ 即 ①…………………………………………………………8分 ‎ 由得，…………………………10分 ‎ 因为直线与曲线只有一个公共点，所以 ‎，‎ ‎ 化简，得 ②……………………………………………………12分 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎ ①②联立，解得或……………………………………………13分 ‎ 由解得， ………………………………………………14分 ‎ ‎ ‎ 由解得，………………………………………………15分 ‎ 故直线与圆的公共点的坐标为或．…………………………16分 ‎19．【解】（1）当时，，则． ‎ 由可知恒成立，故函数在上单调递增，…… 2分 所以，解得，‎ 所以集合． …… 4分 ‎（2）① 由得，‎ 因为，则由，得．‎ 在上列表如下：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎（ⅰ）当，即时，‎ 则，所以在上单调递减； …… 6分 ‎（ⅱ）当，即时，此时，‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 在和上单调递增；在上单调递减．‎ 综上，当时，在上单调递减； ‎ 当时，在，上单调递增；‎ 在上单调递减． …… 8分 ‎②（方法一）当时，由①可知，‎ ‎（ⅰ）当时，在上单调递减，‎ 所以，‎ 这与恒成立矛盾，故此时实数不存在； …… 10分 ‎（ⅱ）当时，在，上单调递增；‎ 在上单调递减，‎ 所以． …… 12分 若，这与恒成立矛盾，‎ 故此时实数不存在；‎ 若，此时，‎ 又，则，‎ ‎．‎ ‎…… 14分 下面证明，也即证：．‎ 因为，且，则，‎ 下证：．‎ 令，则，‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 所以在上单调递增，所以，即．‎ 这与恒成立矛盾，故此时实数不存在．‎ 综上所述，． …… 16分 ‎（方法二）（ⅰ）当时，成立；‎ ‎（ⅱ）当时，由题意可知恒成立，则，‎ 设，则，‎ 令，解得．‎ 因为，所以，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，所以； …… 12分 ‎（ⅲ）当时，由题意可知恒成立，则．‎ 设，则，‎ 因为，所以恒成立，所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以．‎ 若，则存在实数满足，‎ 则成立，即，‎ 也即成立，‎ 则，这与矛盾，所以． …… 16分 ‎20．【解】（1）由，得，‎ 两式相减得，也即．‎ 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 又，所以． …… 2分 当时，，则，‎ 所以（），‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以． …… 4分 ‎（2）① 由（1）知， ‎ 所以，…… 6分 则，‎ 所以得证． …… 8分 ‎② ‎ ‎ ‎ ‎， …… 12分 因为，所以，．‎ 由，所以，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 所以得证． …… 16分 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 数学Ⅱ（附加题）参考答案 ‎21-A．连接BC设相交于点，，‎ ‎ 因为AB是线段CD的垂直平分线，‎ ‎ 所以AB是圆的直径，∠ACB＝90° ……………………2分 ‎ 则，． ……………………………4分 ‎ 由射影定理得 ……………………………6分 ‎ 即有 ‎ 解得（舍）或 ………………………………8分 ‎ 所以 ，‎ ‎ ． ……………………………………………10分 ‎21-B．由条件知，，即，即，‎ 所以 解得 所以． …… 5分 则，所以 解得 所以，的值分别为，． …… 10分 ‎21-C．由得 ‎ 两式平方后相加得． ………………………………4分 ‎ 所以曲线是以为圆心，半径等于3的圆．‎ ‎ 直线l的直角坐标方程为， ……………… …………………………6分 ‎ 圆心到l的距离是，‎ ‎ 所以直线l被曲线截得的线段长为． ……………………………10分 ‎21-D．因为 ………………………………………………………………2分 ‎ ，………………………6分 ‎ 即，所以 ．……………………………………………10分 ‎22．解：因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ 为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 则．‎ 因为是的中点，所以， …… 2分 ‎（1）因为，设平面的法向量，‎ 则，即，取，‎ 所以平面的法向量，而，‎ 所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． …… 5分 ‎（2），，设平面的法向量，‎ 则，即，取，平面的法向量，‎ 所以，‎ 二面角的大小的余弦值． …… 10分 ‎23． (1)由，得 解得．3分 ‎ (2)用数学归纳法证明．‎ ‎ ①当时，显然成立． ……………………………………………4分 ‎ ②假设当时成立，即 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎ ‎ 那么当时，在个平面的基础上再添上第个平面，‎ ‎ 因为它和前个平面都相交，所以可得到条互不平行且不共点的交线，且其中任 ‎ 何3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划分成个部分．‎ ‎ 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了 ‎ 个，所以 ‎+……………………………………………7分 ‎+‎ ‎，‎ ‎ 即时，结论成立． ……………………………………………9分 ‎ 根据①②可知，．…………………………………10分 高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ‎