2020年四川省达州市中考数学试卷

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2020年四川省达州市中考数学试卷

2020 年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万.1002 万用科学记数法表示, 正确的是 ( ) A. 71.002 10 B. 61.002 10 C. 41002 10 D. 21.002 10 万 2.(3 分)下列各数中,比 3 大比 4 小的无理数是 ( ) A.3.14 B.10 3 C. 12 D. 17 3.(3 分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是 ( ) A. B. C. D. 4.(3 分)下列说法正确的是 ( ) A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查 B.确定事件一定会发生 C.某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96,那 么这组数据的众数为 98 D.数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 5.(3 分)图 2 是图 1 中长方体的三视图,用 S 表示面积, 2 3S x x 主 , 2S x x 左 ,则 (S 俯 ) A. 2 3 2x x  B. 2 2 1x x  C. 2 4 3x x  D. 22 4x x 6.(3 分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为 m ,下列 代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是 ( ) A.12( 1)m  B. 4 8(m  2)m  C.12( 2) 8m   D.12 16m  7.(3 分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳 计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满 5 进 1,用来记录孩子自出 生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是 ( ) A.10 B.89 C.165 D.294 8.(3 分)如图,在半径为 5 的 O 中,将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折,使折叠后的 AB 恰好与 OA 、 OB 相切,则劣弧 AB 的长为 ( ) A. 5 3  B. 5 2  C. 5 4  D. 5 6  9 .( 3 分 ) 如 图 , 直 线 1y kx 与 抛 物 线 2 2y ax bx c   交 于 A 、 B 两 点 , 则 2 ( )y ax b k x c    的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 10.(3 分)如图, 45BOD   ,BO DO ,点 A 在 OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC 、 BD 交于点 E ,连接 OE 交 AD 于点 F .下列 4 个判断:① OE 平分 BOD ;② OF BD ; ③ 2DF AF ;④若点 G 是线段OF 的中点,则 AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个 数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(3 分)2019 年是中华人民共和国成立 70 周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和 群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以 下是打乱了的统计步骤: ①绘制扇形统计图 ②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 . 12.(3 分)如图,点 ( 2,1)P  与点 ( , )Q a b 关于直线1( 1)y   对称,则 a b  . 13.(3 分)小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度,在树底部 B 所在的水平面内,将测角 仪 CD 竖直放在与 B 相距8m 的位置,在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 .若测角仪的高度是 1m ,则大树 AB 的高度约为 .(结果精确到1m .参考数据:sin52 0.78  ,cos52 0.61  , tan52 1.28)  14.(3 分)如图,点 A 、 B 在反比函数 12y x  的图象上, A 、 B 的纵坐标分别是 3 和 6, 连接 OA 、 OB ,则 OAB 的面积是 . 15.(3 分)已知 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 2| 3| 8 4 1 19b c a a b       ,则 ABC 的 内切圆半径  . 16.(3 分)已知 k 为正整数,无论 k 取何值,直线 11 : 1y kx k   与直线 21 : ( 1) 2y k x k    都交于一个固定的点,这个点的坐标是 ;记直线 11 和 21 与 x 轴围成的三角形面积为 kS , 则 1S  , 1 2 3 100S S S S   的值为 . 三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共 72 分) 17.(5 分)计算: 2 2 0 312 ( ) ( 5) 1253       . 18.(7 分)求代数式 2 2 1 2( 1)1 2 1 x xxx x x       的值,其中 2 1x   . 19.(7 分)如图,点 O 在 ABC 的边 BC 上,以OB 为半径作 O , ABC 的平分线 BM 交 O 于点 D ,过点 D 作 DE BA 于点 E . (1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形; (2)判断 O 与 DE 交点的个数,并说明理由. 20.(7 分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程, 为了解学生的学习情况,随机抽取了 20 名学生的测试成绩,分数如下: 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图: 等级 成绩 / 分 频数 A 95 100x„ „ a B 90 95x „ 8 C 85 90x „ 5 D 80 85x „ 4 根据以上信息,解答下列问题. (1)填空: a  , b  ; (2)若成绩不低于 90 分为优秀,估计该校 1200 名八年级学生中,达到优秀等级的人数; (3)已知 A 等级中有 2 名女生,现从 A 等级中随机抽取 2 名同学,试用列表或画树状图的 方法求出恰好抽到一男一女的概率. 21.(8 分)如图, ABC 中, 2BC AB , D 、 E 分别是边 BC 、 AC 的中点.将 CDE 绕 点 E 旋转 180 度,得 AFE . (1)判断四边形 ABDF 的形状,并证明; (2)已知 3AB  , 8AD BF  ,求四边形 ABDF 的面积 S . 22.(8 分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表: 原进价(元 / 张) 零售价(元 / 张) 成套售价(元 / 套) 餐桌 a 380 940 餐椅 140a  160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同. (1)求表中 a 的值; (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张,且餐桌和餐椅的总数量不超 过 200 张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以 零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少? 23.(8 分)如图,在梯形 ABCD 中, / /AB CD , 90B  , 6AB cm , 2CD cm . P 为 线段 BC 上的一动点,且和 B 、C 不重合,连接 PA ,过点 P 作 PE PA 交射线CD 于点 E .聪 聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究: (1)通过推理,他发现 ABP PCE ∽ ,请你帮他完成证明. (2)利用几何画板,他改变 BC 的长度,运动点 P ,得到不同位置时,CE 、 BP 的长度的 对应值: 当 6BC cm 时,得表1: /BP cm  1 2 3 4 5  /CE cm  0.83 1.33 1.50 1.33 0.83  当 8BC cm 时,得表 2: /BP cm  1 2 3 4 5 6 7  /CE cm  1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17  这说明,点 P 在线段 BC 上运动时,要保证点 E 总在线段 CD 上, BC 的长度应有一定的限 制. ①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在 BP 和 CE 的长度这两个变量中, 的长度 为自变量, 的长度为因变量; ②设 BC mcm ,当点 P 在线段 BC 上运动时,点 E 总在线段 CD上,求 m 的取值范围. 24.(10 分)(1)[ 阅读与证明 ] 如图 1,在正 ABC 的外角 CAH 内引射线 AM ,作点 C 关于 AM 的对称点 E (点 E 在 CAH 内),连接 BE , BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G . ①完成证明:点 E 是点 C 关于 AM 的对称点, 90AGE   , AE AC , 1 2   . 正 ABC 中, 60BAC  , AB AC , AE AB  ,得 3 4   . 在 ABE 中, 1 2 60 3 4 180           , 1 3     . 在 AEG 中, 3 1 90FEG      , FEG   . ②求证: 2BF AF FG  . (2)[ 类比与探究 ] 把(1)中的“正 ABC ”改为“正方形 ABDC ”,其余条件不变,如图 2.类比探究,可得: ① FEG   ; ②线段 BF 、 AF 、 FG 之间存在数量关系 . (3)[ 归纳与拓展 ] 如图 3,点 A 在射线 BH 上,AB AC , (0 180 )BAC        ,在 CAH 内引射线 AM , 作点 C 关于 AM 的对称点 E(点 E 在 CAH 内),连接 BE ,BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G .则线段 BF 、 AF 、 GF 之间的数量关系为 . 25.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B ,过 A 、 B 两点的抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于另一点 ( 1,0)C  . (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点 P ,使 PAB OABS S  ?若存在,请求出点 P 的坐标,若不存 在,请说明理由; (3)点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点,点 N 为 y 轴上一点,当 MAB 的面积最大时,求 1 2MN ON 的最小值. 2020 年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万.1002 万用科学记数法表示, 正确的是 ( ) A. 71.002 10 B. 61.002 10 C. 41002 10 D. 21.002 10 万 【解答】解:1002 万用科学记数法表示为 71.002 10 , 故选: A . 2.(3 分)下列各数中,比 3 大比 4 小的无理数是 ( ) A.3.14 B.10 3 C. 12 D. 17 【解答】解: 3 9 , 4 16 , A 、3.14 是有理数,故此选项不合题意; B 、 10 3 是有理数,故此选项不符合题意; C 、 12 是比 3 大比 4 小的无理数,故此选项符合题意; D 、 17 比 4 大的无理数,故此选项不合题意; 故选: C . 3.(3 分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解: A 、手的对面是勤,不符合题意; B 、手的对面是口,符合题意; C 、手的对面是罩,不符合题意; D 、手的对面是罩,不符合题意; 故选: B . 4.(3 分)下列说法正确的是 ( ) A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查 B.确定事件一定会发生 C.某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96,那 么这组数据的众数为 98 D.数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 【解答】解: A .为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用抽样调查,此选项错误; B .确定事件一定会发生,或一定不会发生,此选项错误; C .某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96,那么 这组数据的众数为 98 和 99,此选项错误; D .数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6,此选项正确; 故选: D . 5.(3 分)图 2 是图 1 中长方体的三视图,用 S 表示面积, 2 3S x x 主 , 2S x x 左 ,则 (S 俯 ) A. 2 3 2x x  B. 2 2 1x x  C. 2 4 3x x  D. 22 4x x 【解答】解:  2 3 3S x x x x    主 ,  2 1S x x x x   左 , 俯视图的长为 3x  ,宽为 1x  , 则俯视图的面积    23 1 4 3S x x x x     俯 , 故选: C . 6.(3 分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为 m ,下列 代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是 ( ) A.12( 1)m  B. 4 8(m  2)m  C.12( 2) 8m   D.12 16m  【解答】解:由题意得,当每条棱上的小球数为 m 时,正方体上的所有小球数为 12 8 2 12 16m m    . 而12( 1) 12 12 12 16m m m     , 4 8(m  2) 12 16m m   ,12( 2) 8 12 16m m    , 所以 A 选项表达错误,符合题意; B 、 C 、 D 选项表达正确,不符合题意; 故选: A . 7.(3 分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳 计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满 5 进 1,用来记录孩子自出 生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是 ( ) A.10 B.89 C.165 D.294 【解答】解: 3 2 1 02 5 1 5 3 5 4 5 294        , 故选: D . 8.(3 分)如图,在半径为 5 的 O 中,将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折,使折叠后的 AB 恰好与 OA 、 OB 相切,则劣弧 AB 的长为 ( ) A. 5 3  B. 5 2  C. 5 4  D. 5 6  【解答】解:如图,作 O 点关于 AB 的对称点 O ,连接 O A 、 O B , OA OB O A O B     , 四边形 OAO B 为菱形, 折叠后的 AB 与 OA 、 OB 相切, O A OA   , O B OB  , 四边形 OAO B 为正方形, 90AOB   , 劣弧 AB 的长 90 5 5 180 2     . 故选: B . 9 .( 3 分 ) 如 图 , 直 线 1y kx 与 抛 物 线 2 2y ax bx c   交 于 A 、 B 两 点 , 则 2 ( )y ax b k x c    的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:设 2 1y y y  , 1y kx , 2 2y ax bx c   , 2 ( )y ax b k x c     , 由图象可知,在点 A 和点 B 之间, 0y  ,在点 A 的左侧或点 B 的右侧, 0y  , 故选项 B 符合题意,选项 A 、 C 、 D 不符合题意; 故选: B . 10.(3 分)如图, 45BOD   ,BO DO ,点 A 在 OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC 、 BD 交于点 E ,连接 OE 交 AD 于点 F .下列 4 个判断:① OE 平分 BOD ;② OF BD ; ③ 2DF AF ;④若点 G 是线段OF 的中点,则 AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个 数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解答】解:①四边形 ABCD 是矩形, EB ED  , BO DO , OE 平分 BOD , 故①正确; ②四边形 ABCD 是矩形, 90OAD BAD     , 90ABD ADB     , OB OD , BE DE , OE BD  , 90BOE OBE     , BOE BDA   , 45BOD   , 90OAD  , 45ADO   , AO AD  , ( )AOF ABD ASA   , OF BD  , 故②正确; ③ AOF ABD   , AF AB  , 连接 BF ,如图 1, 2BF AF  , BE DE , OE BD , DF BF  , 2DF AF  , 故③正确; ④根据题意作出图形,如图 2, G 是 OF 的中点, 90OAF   , AG OG  , AOG OAG   , 45AOD   , OE 平分 AOD , 22.5AOG OAG     , 67.5FAG   , 22.5ADB AOF    , 四边形 ABCD 是矩形, EA ED  , 22.5EAD EDA    , 90EAG   , 45AGE AOG OAG       , 45AEG   , AE AG  , AEG 为等腰直角三角形, 故④正确; 故选: A . 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11.(3 分)2019 年是中华人民共和国成立 70 周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和 群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以 下是打乱了的统计步骤: ①绘制扇形统计图 ②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 ②③① . 【解答】解:正确的统计顺序是: ②收集三个部分本班学生喜欢的人数; ③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比; ①绘制扇形统计图; 故答案为:②③①. 12.(3 分)如图,点 ( 2,1)P  与点 ( , )Q a b 关于直线1( 1)y   对称,则 a b  5 . 【解答】解:点 ( 2,1)P  与点 ( , )Q a b 关于直线1( 1)y   对称, 2a   , 3b   , 2 3 5a b       , 故答案为 5 . 13.(3 分)小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度,在树底部 B 所在的水平面内,将测角 仪 CD 竖直放在与 B 相距8m 的位置,在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 .若测角仪的高度是 1m ,则大树 AB 的高度约为 11 .(结果精确到1m .参考数据:sin52 0.78  ,cos52 0.61  , tan52 1.28)  【解答】解:如图,过点 D 作 DE AB ,垂足为 E ,由题意得, 8BC DE  , 52ADE   , 1DE CD  在 Rt ADE 中, tan 8 tan52 10.24AD DE ADE      , 10.24 1 11AB AE BE      (米 ) 故答案为:11. 14.(3 分)如图,点 A 、 B 在反比函数 12y x  的图象上, A 、 B 的纵坐标分别是 3 和 6, 连接 OA 、 OB ,则 OAB 的面积是 9 . 【解答】解:点 A 、 B 在反比函数 12y x  的图象上, A 、 B 的纵坐标分别是 3 和 6, (4,3)A , (2,6)B , 作 AD y 轴于 D , BE y 轴于 E , 1 12 62AOD BOES S      , OAB AOD BOEABED ABEDS S S S S      梯形 梯形 , 1 (4 2) (6 3) 92AOBS      , 故答案为 9. 15.(3 分)已知 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 2| 3| 8 4 1 19b c a a b       ,则 ABC 的 内切圆半径  1 . 【解答】解: 2| 3| 8 4 1 19b c a a b       , 2 2| 3| ( 4) ( 1 2) 0c a b        , 3c  , 4a  , 5b  , 2 2 23 4 25 5   , 2 2 2c a b   , ABC 是直角三角形, 90ABC   , 设内切圆的半径为 r , 根据题意,得 1 1 1 13 4 3 4 52 2 2 2ABCS r r r             , 1r  , 故答案为:1. 16.(3 分)已知 k 为正整数,无论 k 取何值,直线 11 : 1y kx k   与直线 21 : ( 1) 2y k x k    都交于一个固定的点,这个点的坐标是 ( 1,1) ;记直线 11 和 21 与 x 轴围成的三角形面积 为 kS ,则 1S  , 1 2 3 100S S S S   的值为 . 【解答】解:直线 11 : 1 ( 1) 1y kx k k x      , 直线 21 : ( 1) 2y k x k    经过点 ( 1,1) ; 直线 21 : ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 ( 1)( 1) 1y k x k k x x k x             , 直线 21 : ( 1) 2y k x k    经过点 ( 1,1) . 无论 k 取何值,直线 1l 与 2l 的交点均为定点 ( 1,1) . 直线 11 : 1y kx k   与 x 轴的交点为 1( k k  , 0) , 直线 21 : ( 1) 2y k x k    与 x 轴的交点为 2( 1 k k   , 0) , 1 1 2 1| | 12 1 2 ( 1)K k kS k k k k          , 1 1 1 1 2 1 2 4S    ; 1 2 3 100 1 1 1 1[ ]2 1 2 2 3 100 101S S S S         1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )]2 2 2 3 100 101       1 1(1 )2 101    1 100 2 101   50 101  . 故答案为 ( 1,1) ; 1 4 ; 50 101 . 三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共 72 分) 17.(5 分)计算: 2 2 0 312 ( ) ( 5) 1253       . 【解答】解:原式 4 9 1 5     1 . 18.(7 分)求代数式 2 2 1 2( 1)1 2 1 x xxx x x       的值,其中 2 1x   . 【解答】解:原式 2 2 2 1 1 2( )1 1 ( 1) x x x x x x        2 2 2 2)1 ( 1) x x x x x      2( 2) ( 1) 1 2 x x x x x      ( 1)x x   当 2 1x   时, 原式 ( 2 1)( 2 1 1)     ( 2 1) 2    2 2   . 19.(7 分)如图,点 O 在 ABC 的边 BC 上,以OB 为半径作 O , ABC 的平分线 BM 交 O 于点 D ,过点 D 作 DE BA 于点 E . (1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形; (2)判断 O 与 DE 交点的个数,并说明理由. 【解答】解:(1)如图, O ,射线 BM ,直线 DE 即为所求. (2)直线 DE 与 O 相切,交点只有一个. 理由: OB OD , ODB OBD   , BD 平分 ABC , ABM CBM   , ODB ABD   , / /OD AB , DE AB , DE OD  , 直线 AE 是 O 的切线, O 与直线 DE 只有一个交点. 20.(7 分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程, 为了解学生的学习情况,随机抽取了 20 名学生的测试成绩,分数如下: 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图: 等级 成绩 / 分 频数 A 95 100x„ „ a B 90 95x „ 8 C 85 90x „ 5 D 80 85x „ 4 根据以上信息,解答下列问题. (1)填空: a  3 , b  ; (2)若成绩不低于 90 分为优秀,估计该校 1200 名八年级学生中,达到优秀等级的人数; (3)已知 A 等级中有 2 名女生,现从 A 等级中随机抽取 2 名同学,试用列表或画树状图的 方法求出恰好抽到一男一女的概率. 【解答】解:(1)由题意知 20 (8 5 4) 3a      , 8% 100% 40%20b    ,即 40b  ; 故答案为:3、40; (2)估计该校 1200 名八年级学生中,达到优秀等级的人数为 8 31200 66020   (人 ) ; (3)列表如下: 男 女 女 男 (男,女) (男,女) 女 (男,女) (女,女) 女 (男,女) (女,女) 所有等可能的结果有 6 种,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种, 恰好抽到一男一女的概率为 4 2 6 3  . 21.(8 分)如图, ABC 中, 2BC AB , D 、 E 分别是边 BC 、 AC 的中点.将 CDE 绕 点 E 旋转 180 度,得 AFE . (1)判断四边形 ABDF 的形状,并证明; (2)已知 3AB  , 8AD BF  ,求四边形 ABDF 的面积 S . 【解答】解:(1)结论:四边形 ABDF 是菱形. CD DB , CE EA , / /DE AB , 2AB DE , 由旋转的性质可知, DE EF , AB DF  , / /AB DF , 四边形 ABDF 是平行四边形, 2BC AB , BD DC , BA BD  , 四边形 ABDF 是菱形. (2)连接 BF , AD 交于点 O . 四边形 ABDF 是菱形, AD BF  , OB OF , AO OD ,设 OA x , OB y , 则有 2 2 2 2 2 8 3 x y x y      , 4x y   , 2 22 16x xy y    , 2 7xy  , 1 2 72ABDFS BF AD xy     菱形 . 22.(8 分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表: 原进价(元 / 张) 零售价(元 / 张) 成套售价(元 / 套) 餐桌 a 380 940 餐椅 140a  160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同. (1)求表中 a 的值; (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张,且餐桌和餐椅的总数量不超 过 200 张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以 零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少? 【解答】解:(1)根据题意得: 600 1300 140a a  , 解得 260a  , 经检验, 260a  是原分式方程的解. 答:表中 a 的值为 260. (2)设购进餐桌 x 张,则购进餐椅 (5 20)x  张, 根据题意得: 5 20 200x x  „ , 解得: 30x„ . 设销售利润为 y 元, 根 据 题 意 得 : 1 1 1[940 260 4 (260 140)] (380 260) [160 (260 140)] (5 20 4 ) 280 8002 2 2y x x x x x                  , 280 0k   , 当 30x  时, y 取最大值,最大值为: 280 30 800 9200   . 答:当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时,才能获得最大利润,最大利润是 9200 元. 23.(8 分)如图,在梯形 ABCD 中, / /AB CD , 90B  , 6AB cm , 2CD cm . P 为 线段 BC 上的一动点,且和 B 、C 不重合,连接 PA ,过点 P 作 PE PA 交射线CD 于点 E .聪 聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究: (1)通过推理,他发现 ABP PCE ∽ ,请你帮他完成证明. (2)利用几何画板,他改变 BC 的长度,运动点 P ,得到不同位置时,CE 、 BP 的长度的 对应值: 当 6BC cm 时,得表1: /BP cm  1 2 3 4 5  /CE cm  0.83 1.33 1.50 1.33 0.83  当 8BC cm 时,得表 2: /BP cm  1 2 3 4 5 6 7  /CE cm  1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17  这说明,点 P 在线段 BC 上运动时,要保证点 E 总在线段 CD 上, BC 的长度应有一定的限 制. ①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在 BP 和 CE 的长度这两个变量中, BP 的 长度为自变量, 的长度为因变量; ②设 BC mcm ,当点 P 在线段 BC 上运动时,点 E 总在线段 CD上,求 m 的取值范围. 【解答】(1)证明: / /AB CD , 90B C    , 90B   , 90B C     , AP PE , 90APE   , 90APB EPC     , 90EPC PEC     , APB PEC   , ABP PCE ∽ . (2)解:①根据函数的定义,我们可以确定,在 BP 和 CE 的长度这两个变量中, BP 的长 度为自变量, EC 的长度为因变量, 故答案为: BP , EC . ②设 BP xcm , CE ycm . ABP PCE  ∽ ,  AB BP PC CE  ,  6 x m x y  , 2 2 21 1 1 1( )6 6 6 2 24 my x mx x m        , 1 06   , 1 2x m  时, y 有最大值 2 24 m , 点 E 在线段 CD上, 2CD cm ,  2 224 m „ , 4 3m „ , 0 4 3m  „ . 24.(10 分)(1)[ 阅读与证明 ] 如图 1,在正 ABC 的外角 CAH 内引射线 AM ,作点 C 关于 AM 的对称点 E (点 E 在 CAH 内),连接 BE , BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G . ①完成证明:点 E 是点 C 关于 AM 的对称点, 90AGE   , AE AC , 1 2   . 正 ABC 中, 60BAC  , AB AC , AE AB  ,得 3 4   . 在 ABE 中, 1 2 60 3 4 180           , 1 3    60  . 在 AEG 中, 3 1 90FEG      , FEG   . ②求证: 2BF AF FG  . (2)[ 类比与探究 ] 把(1)中的“正 ABC ”改为“正方形 ABDC ”,其余条件不变,如图 2.类比探究,可得: ① FEG   ; ②线段 BF 、 AF 、 FG 之间存在数量关系 . (3)[ 归纳与拓展 ] 如图 3,点 A 在射线 BH 上,AB AC , (0 180 )BAC        ,在 CAH 内引射线 AM , 作点 C 关于 AM 的对称点 E(点 E 在 CAH 内),连接 BE ,BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G .则线段 BF 、 AF 、 GF 之间的数量关系为 . 【解答】(1)①解:如图 1 中,点 E 是点 C 关于 AM 的对称点, 90AGE   , AE AC , 1 2   . 正 ABC 中, 60BAC  , AB AC , AE AB  ,得 3 4   . 在 ABE 中, 1 2 60 3 4 180           , 1 3 60    . 在 AEG 中, 3 1 90FEG      , 30FEG   . 故答案为 60,30. ②证明:如图 1 中,连接 CF ,在 FB 上取一点T ,使得 FT CF ,连接 CT . C , E 关于 AM 对称, AM 垂直平分线段 EC , FE FC  , 30FEC FCE    , 2EF FG , 60CFT FEC FCE       , FC FT , CFT 是等边三角形, 60ACB FCT    , CF CT FT  , BCT ACF   , CB CA , ( )BCT ACF SAS   , BT AF  , 2BF BT FT AF EF AF FG       . (2)解:①如图 2 中, AB AC AE  , 点 A 是 ECB 的外接圆的圆心, 1 2BEC BAC   , 90BAC   , 45FEG   . 故答案为 45. ②结论: 2 2BF AF FG  . 理由:如图 2 中,连接 CF ,在 FB 上取一点T ,使得 FT CF ,连接 CT . AM EC , CG CE , FC EF  , 45FEC FCE     , 2EF FG , 90CFT FEC FCE       , CF CT , CFT 是等腰直角三角形, 2CT CF  , ABC 是等腰直角三角形, 2BC AC  ,  CT CB CF CA  , 45BCA TCF     , BCT ACF   , BCT ACF ∽ ,  2BT BC AF AC   , 2BT AF  , 2 2BF BT TF AF FG     .. (3)如图 3 中,连接 CF , BC ,在 BF 上取一点T ,使得 FT CF . AB AC , BAC   ,  1 12 sin 2 BC AC  ,  12 sin 2 BC AC   , AB AC AE  , 1 1 2 2BEC BAC     , 1sin 2 FGEF   , FC FE , 1 2FEC FCE     , CFT FEC FCE       , 同法可证, BCT ACF ∽ ,  12 sin 2 BT BC AF AC    , 12 sin 2BT AF    , 12 sin 2BF BT FT AF EF     .即 12 sin 12 sin 2 FGBF AF     . 故答案为: 12 sin 12 sin 2 FGBF AF     . 25.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B ,过 A 、 B 两点的抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于另一点 ( 1,0)C  . (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点 P ,使 PAB OABS S  ?若存在,请求出点 P 的坐标,若不存 在,请说明理由; (3)点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点,点 N 为 y 轴上一点,当 MAB 的面积最大时,求 1 2MN ON 的最小值. 【解答】解:(1)直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B , 点 (4,0)A ,点 (0, 2)B  , 设抛物线解析式为: ( 1)( 4)y a x x   , 2 4a   , 1 2a  , 抛物线解析式为: 21 1 3( 1)( 4) 22 2 2y x x x x      ; (2)如图,当点 P 在直线 AB 上方时,过点 O 作 / /OP AB ,交抛物线与点 P , / /OP AB , ABP 和 ABP 是等底等高的两个三角形, PAB ABOS S   , / /OP AB , 直线 PO 的解析式为 1 2y x , 联立方程组可得 2 1 2 1 3 22 2 y x y x x       , 解得: 2 2 2 1 2 x y      或 2 2 2 1 2 x y      , 点 (2 2 2P  ,1 2) 或 (2 2 2 ,1 2) ; 当点 P 在直线 AB 下方时,在OB 的延长线上截取 2BE OB  ,过点 E 作 / /EP AB ,交抛 物线于点 P , / / / /AB EP OP , OB BE , ABOABPS S   , / /EP AB ,且过点 (0, 4)E  , 直线 EP 解析式为 1 42y x  , 联立方程组可得 2 1 42 1 3 22 2 y x y x x        , 解得 2 3 x y     , 点 (2, 3)P  , 综上所述:点 P 坐标为 (2 2 2 ,1 2) 或 (2 2 2 ,1 2) 或 (2, 3) ; (3)如图 2,过点 M 作 MF AC ,交 AB 于 F , 设点 21 3( , 2)2 2M m m m  ,则点 1( , 2)2F m m  , 2 21 1 3 12 ( 2) ( 2) 22 2 2 2MF m m m m          , MAB 的面积 2 21 14 [ ( 2) 2] ( 2) 42 2 m m          , 当 2m  时, MAB 的面积有最大值, 点 (2, 3)M  , 如图 3,过点 O 作 30KOB   ,过点 N 作 KN OK 于 K 点,过点 M 作 MR OK 于 R , 延长 MF 交直线 KO 于 Q , 30KOB   , KN OK , 1 2KN ON  , 1 2MN ON MN KN    , 当点 M ,点 N ,点 K 三点共线,且垂直于 OK 时, 1 2MN ON 有最小值,即最小值为 MP , 30KOB   , 直线 OK 解析式为 3y x , 当 2x  时,点 (2Q , 2 3) , 2 3 3QM   , / /OB QM , 30PQM PON     , 1 332 2PM QM    , 1 2MN ON  的最小值为 33 2  .
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