天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

天津市耀华中学2019年高三年级第一学期一月考 数学试卷 一．选择题：在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，，，所以，因为 且，所以 ，，故选D.‎ ‎2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )‎ A. ，xR B. ，xR且x≠0‎ C. ,xR D. ，xR ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，‎ 对于先减后增，排除A，故选B.‎ 考点：函数的奇偶性、单调性.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)．‎ A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，，；且；.‎ 考点：对数函数的单调性.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 或，从而明确充分性与必要性.‎ ‎【详解】，‎ 由可得：或，‎ 即能推出，‎ 但推不出 ‎∴“”是“”的必要不充分条件 故选 ‎【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.‎ ‎5.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，且 ‎，则a=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化边为角可得,整理后可求得,则,再利用正弦定理求解即可 ‎【详解】由题,利用正弦定理可得,‎ 即,‎ 则,‎ 所以,即,‎ 因为在中,,所以,则,‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形 ‎6.已知是函数的一个零点，若，则（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化是函数的一个零点为是函数与 的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可 ‎【详解】因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,‎ 则当时,在下方,即；‎ 当时,在上方,即,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想 ‎7.已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可 ‎【详解】由题,因为最小正周期为,所以,‎ 则平移后的图像的解析式为,‎ 此时函数是奇函数,所以,‎ 则,‎ 因为,当时,,‎ 所以,‎ 令,则,即对称点为；‎ 令,则对称轴为,‎ 当时,，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性 ‎8.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵f（x）=ex（sinx+acosx）在上单调递增， ∴f′（x）=ex[（1-a）sinx+（1+a）cosx]≥0在上恒成立， ∵ex＞0在上恒成立， ∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在上恒成立， ∴a（sinx-cosx）≤sinx+cosx在上恒成立 ‎ ‎∴ ， 设g（x）= ∴g′（x）在上恒成立， ∴g（x）在上单调递减， ∴g（x）＞=1， ∴a≤1， 故选A．‎ 点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.‎ ‎9.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．‎ 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题 ‎10.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为______‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将整理为的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可 ‎【详解】由题,,‎ 因为是纯虚数,所以,‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用 ‎11.的展开式中的系数是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题得的展开式的通项公式为 令， 故，故的展开式中的系数是24, 故填24.‎ ‎12.如图，正方体的棱长为1，E为棱上的点，为AB的中点，则三棱锥的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：1.三棱锥的体积；2.等体积转化法.‎ ‎13.数列中，已知，则=______‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式可得数列具有周期性,,则,进而求得即可 ‎【详解】由题,,所以；‎ ‎,所以数列具有周期性,,‎ 因为,则,‎ 当时,,所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列的周期性的应用,考查赋值法的应用 ‎14.不等式对任意正数x、y恒成立，则正数的最小值是______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件转化为对任意正数x、y恒成立,利用均值定理求解即可 ‎【详解】由题,则对任意正数x、y恒成立,‎ 因为,‎ 所以,当且仅当时,等号成立,‎ 所以,即,‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想 ‎15.设是定义在R上的两个函数，满足， 满足 ‎，且当时，，.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得是周期为4的函数,是周期为2的函数,转化方程有8个不同的实数根为与在内有8个交点,利用函数图像求解即可 ‎【详解】由题,,所以的周期为；‎ 因为,则的周期为2；‎ 当时,,则的图像为以为圆心,半径为1的在轴上方的半圆；由,则当时,是以为圆心, 半径为1的在轴下方的半圆,‎ 由周期性画出部分图像,如图所示,即时与在内有2个交点,‎ 因为关于的方程有8个不同的实数根,则时与在内需有6个交点,则 ‎①令与圆相切,此时有一个交点,则,则 ‎（与上半圆相切）或（与下半圆相切）；‎ ‎②令过,此时有2个交点,则；令过,此时有2个交点,则；‎ 假设在时有2个交点,即与圆的上半圆有2个交点,则,由函数的周期性,则在内有6个交点；‎ 当时,图像为圆的下半圆向右平移2个单位得到,则当时,与圆的下半圆有2个交点,由的周期为2,则当时,与也有2个交点,同理,则在内有6个交点；‎ 综上,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查已知零点个数求参数范围问题,考查函数周期性的应用,考查数形结合思想 三、解答题：解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎16.某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分別为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题意知，可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．‎ 试题解析：（1）由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”, 可知互斥, 又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为．‎ 考点：古典概型；离散型随机变量的分布列．‎ ‎17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且 ‎．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，根据线面垂直的判定定理，即可证明.‎ ‎（2）由（1）可知，平面的法向量，确定平面的法向量，根据，求解即可.‎ ‎（3）设，确定，，根据直线与平面所成角的正弦值为，求解，即可.‎ ‎【详解】（1）因为平面，平面，平面 所以，‎ 因为 则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由已知可得，，，，，.‎ 所以，，.‎ 因为，.‎ 所以，‎ 又，平面，平面.‎ 所以平面．‎ ‎（2）设平面的法向量，由（1）可知，‎ 设平面的法向量 因为，.‎ 所以，即 不妨设，得．‎ 所以二面角余弦值为．‎ ‎（3）设，即.‎ 所以，即.‎ 因为直线与平面所成角的正弦值为 所以 即解得 即．‎ ‎【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.‎ ‎18.正项等比数列的前n项和记为，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）等差数列的各项为正，且，又成等比数列，设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求得,进而求得通项公式；‎ ‎（2）利用等比中项可得,设,代入可得,则,进而利用错位相减法求解即可 ‎【详解】（1）设公比,则,得或,‎ ‎,‎ ‎；‎ ‎（2）设公差为d,,可设,‎ 又由（1）,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得或,‎ 等差数列的各项为正,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用,考查错位相减法求数列的和 ‎19.设椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）过点A作斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接并延长交椭圆M于点C.若，求k的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得,解得,进而求得椭圆方程即可；‎ ‎（2）联立直线与椭圆,可得点,进而得到直线,联立直线与直线可得,将点坐标代入椭圆方程中,即可解得的值 详解】（1）设椭圆左焦点,依题意,,‎ 解得,,‎ 则椭圆方程为：；‎ ‎（2）由（1）得,,由题 ，则直线AB的方程为,‎ 联立,消去y,得,‎ 设,,即,‎ 由（1）得,,,,‎ 直线,直线,‎ 联立，解得,‎ 代入,得，解得,即 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力 ‎20.已知，函数.‎ ‎（1）若，证明：函数在区间上是单调增函数；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（3）若函数的图像过原点，且的导数，当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）当时,最大值为；当时,最大值为（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题,利用导函数求单调区间即可；‎ ‎（2）利用导数可以推导得到在区间上是减函数,在区间上是增函数,则当时,的最大值为和中的最大值,作差可得,设,再次利用导数推导的单调性,进而得到上的最大值；‎ ‎（3）由题可得,设切点为,则处的切线方程为：,将代入可得,则将原命题等价为关于的方程至少有2个不同的解,设,进而利用导函数判断的单调性,从而求解即可 ‎【详解】（1）证明：,则,‎ 当时,,‎ ‎,即此时函数在区间上是单调增函数.‎ ‎（2）由（1）知,当时,函数在区间上是单调增函数,‎ 当时,,则,,则在区间上是单调减函数；‎ 同理,当时,在区间上是单调增函数,在区间上是单调减函数；‎ 即当,且时,在区间上是减函数,在区间上是增函数,‎ 则当时,的最大值为和中的最大值，‎ ‎,‎ 令,‎ 则,‎ 在上为增函数,‎ ‎,‎ 当时,,即,此时最大值为；‎ 当时,,即,此时最大值为.‎ ‎（3）,‎ ‎,‎ 的图像过原点,‎ ‎,即,则,‎ 设切点为,则处的切线方程为：,‎ 将代入得,‎ 即（※）,‎ 则原命题等价为关于的方程（※）至少有2个不同的解,‎ 设,‎ 则,‎ 令,,‎ ‎,‎ 当和时,,此时函数为增函数；‎ 当时,,此时函数减函数,‎ 的极大值为,‎ 的极小值为,‎ 设,则,则原命题等价为,即对恒成立,‎ 由得,‎ 设,则,‎ 令,则,,当时,；当时,,‎ 即在上单调递增,在上单调递减,‎ 的最大值为,,‎ 故,‎ 综上所述,当时,函数过点的切线至少有2条,此时实数m的值为 ‎【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想