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文档介绍
2014年浙江省台州市中考数学试卷(含答案)
浙江省台州市 2014 年中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的正 确选项,不选,多选,错选,均不得分) 1.(4 分)(2014•台州)计算﹣4×(﹣2)的结果是( ) A.8 B.﹣8 C.6 D.﹣2 考点:有理数的乘法. 分析:根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解. 解答:解:﹣4×(﹣2), =4×2, =8. 故选 A. 点评:本题考查了有理数的乘法,是基础题,熟记运算法则是解题的关键. 2.(4 分)(2014•台州)如图,由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是( ) A. B. C. D. 考点:简单组合体的三视图. 分析:根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案. 解答:解;从正面看第一层是三个正方形,第二层是中间一个正方形, 故选:D. 点评:本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图. 3.(4 分)(2014•台州)如图,跷跷板 AB 的支柱 OD 经过它的中点 O,且垂直与地面 BC, 垂足为 D,OD=50cm,当它的一端 B 着地时,另一端 A 离地面的高度 AC 为( ) A.25cm B.50cm C.75cm D.100cm 考点:三角形中位线定理 专题:应用题. 分析:判断出 OD 是△ABC 的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边 的一半可得 AC=2OD. 解答:解:∵O 是 AB 的中点,OD 垂直于地面,AC 垂直于地面, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴AC=2OD=2×50=100cm. 故选 D. 点评:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记定理是解题的 关键. 4.(4 分)(2014•台州)下列整数中,与 最接近的是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 考点:估算无理数的大小 分析:根据 5 ,25 与 30 的距离小于 36 与 30 的距离,可得答案. 解答:解:与 最接近的是 5, 故选:B. 点评:本题考查了估算无理数的大小,两个被开方数的差小,算术平方根的差也小是解题关 键. 5.(4 分)(2014•台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是 ( ) A. B. C. D. 考点:圆周角定理. 分析:根据圆周角定理(直径所对的圆周角是直角)求解,即可求得答案. 解答:解:∵直径所对的圆周角等于直角, ∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是 B. 故选 B. 点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用. 6.(4 分)(2014•台州)某品牌电插座抽样检查的合格率为 99%,则下列说法总正确的是 ( ) A.购买 100 个该品牌的电插座,一定有 99 个合格 B.购买 1000 个该品牌的电插座,一定有 10 个不合格 C.购买 20 个该品牌的电插座,一定都合格 D.即使购买一个该品牌的电插座,也可能不合格 考点:概率的意义. 分析:根据概率的意义,可得答案. 解答:解;A、B、C、说法都非常绝对,故 A、B、C 错误; D、即使购买一个该品牌的电插座,也可能不合格,说法合理,故 D 正确; 故选:D. 点评:本题考查了概率的意义,本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念. 7.(4 分)(2014•台州)将分式方程 1﹣ = 去分母,得到正确的整式方程是( ) A.1﹣2x=3 B.x﹣1﹣2x=3 C.1+2x=3 D.x﹣1+2x=3 考点:解分式方程. 专题:计算题. 分析:分式方程两边乘以最简公分母 x﹣1,即可得到结果. 解答:解:分式方程去分母得:x﹣1﹣2x=3, 故选 B 点评:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整 式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 8.(4 分)(2014•台州)如图,把一个小球垂直向上抛出,则下列描述该小球的运动速度 v (单位:m/s)与运动时间(单位:s)关系的函数图象中,正确的是( ) A. B. C. D. 考点:动点问题的函数图象 分析:一个小球垂直向上抛出,小球的运动速度 v 越来越小,到达最高点是为 0,小球下落 时速度逐渐增加,据此选择即可. 解答:解:根据分析知,运动速度 v 先减小后增大, 故选:C. 点评:本题主要考查了动点问题的函数图象.分析小球的运动过程是解题的关键. 9.(4 分)(2014•台州)如图,F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点,BF 的垂直平分 线交对角线 AC 于点 E,连接 BE,FE,则∠EBF 的度数是( ) A.45° B.50° C.60° D.不确定 考点:全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析:证明 Rt△BHE≌Rt△EIF,可得∠IEF+∠HEB=90°,再根据 BE=EF 即可解题. 解答:解:如图所示,过 E 作 HI∥BC,分别交 AB、CD 于点 H、I,则∠BHE=∠EIF=90°, ∵E 是 BF 的垂直平分线 EM 上的点, ∴EF=EB, ∵E 是∠BCD 角平分线上一点, ∴E 到 BC 和 CD 的距离相等,即 BH=EI, Rt△BHE 和 Rt△EIF 中, , ∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL), ∴∠HBE=∠IEF, ∵∠HBE+∠HEB=90°, ∴∠IEF+∠HEB=90°, ∴∠BEF=90°, ∵BE=EF, ∴∠EBF=∠EFB=45°, 故选 A. 点评:本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定,考 查了全等三角形对应角相等的性质. 10.(4 分)(2014•台州)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm,把它沿着对角线 AC 方向 平移 1cm 得到菱形 EFGH,则图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:2 C.14:9 D.17:9 考点:菱形的性质;平移的性质 分析: 首先得出△MEC∽△DAC,则 = ,进而得出 = ,即可得出答案. 解答:解:∵ME∥AD, ∴△MEC∽△DAC, ∴ = , ∵菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm,把它沿着对角线 AC 方向平移 1cm 得到菱形 EFGH, ∴AE=1cm,EC=3cm, ∴ =, ∴ = , ∴图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为: = . 故选:C. 点评:此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质,得出 =是解题关键. 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.(5 分)(2014•台州)计算 x•2x2 的结果是 2x3 . 考点:单项式乘单项式. 分析:根据单项式与单项式相乘,把他们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字 母连同他的指数不变,作为积的因式,计算即可. 解答:解:x•2x2=2x3. 故答案是:2x3. 点评:本题考查了单项式与单项式相乘,熟练掌握运算法则是解题的关键. 12.(5 分)(2014•台州)如图折叠一张矩形纸片,已知∠1=70°,则∠2 的度数是 55° . 考点:平行线的性质;翻折变换(折叠问题). 分析:根据折叠性质得出∠2=∠EFG,求出∠BEF,根据平行线性质求出∠CFE,即可求出答 案. 解答: 解: 根据折叠得出∠EFG=∠2, ∵∠1=70°, ∴∠BEF=∠1=70°, ∵AB∥DC, ∴∠EFC=180°﹣∠BEF=110°, ∴∠2=∠EFG=∠EFC=55°, 故答案为:55°. 点评:本题考查了平行线的性质,折叠的性质,对顶角相等的应用,解此题的关键是能根据 平行线性质求出∠CFE 的度数.! 13.(5 分)(2014•台州)因式分解 a3﹣4a 的结果是 a(a+2)(a﹣2) . 考点:提公因式法与公式法的综合运用 专题:计算题. 分析:原式提取 a 后,利用平方差公式分解即可. 解答:解:原式=a(a2﹣4) =a(a+2)(a﹣2). 故答案为:a(a+2)(a﹣2). 点评:此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键. 14.(5 分)(2014•台州)抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各 1 双(除颜色外其余都相同), 在看不见的情况下随机摸出两只袜子,它们恰好同色的概率是 . 考点:列表法与树状图法 分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情 况,再利用概率公式即可求得答案. 解答:解:画树状图得: ∵共有 12 种等可能的结果,它们恰好同色的有 4 种情况, ∴它们恰好同色的概率是: =. 故答案为:. 点评:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 15.(5 分)(2014•台州)如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上 的两点 A、B,并使 AB 与车轮内圆相切于点 D,做 CD⊥AB 交外圆于点 C.测得 CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为 50 cm. 考点:垂径定理的应用;勾股定理 分析:设点 O 为外圆的圆心,连接 OA 和 OC,根据 CD=10cm,AB=60cm,设设半径为 r, 则 OD=r﹣10,根据垂径定理得:r2=(r﹣10)2+302,求得 r 的值即可. 解答:解:如图,设点 O 为外圆的圆心,连接 OA 和 OC, ∵CD=10cm,AB=60cm, ∴设半径为 r,则 OD=r﹣10, 根据题意得:r2=(r﹣10)2+302, 解得:r=50, 故答案为 50. 点评:本题考查了垂径定理的应用,解题的关键是正确构造直角三角形. 16.(5 分)(2014•台州)有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以 2,再除以它与 1 的和,多次重复进行这种运算的过程如下: 则第 n 次运算的结果 yn= (用含字母 x 和 n 的代数式表示). 考点:分式的混合运算. 专题:图表型;规律型. 分析:将 y1 代入 y2 计算表示出 y2,将 y2 代入 y3 计算表示出 y3,归纳总结得到一般性规律 即可得到结果. 解答: 解:将 y1= 代入得:y2= = ; 将 y2= 代入得:y3= = , 依此类推,第 n 次运算的结果 yn= . 故答案为: 点评:此题考查了分式的混合运算,找出题中的规律是解本题的关键. 三、解答题(本题共 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23 题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17.(8 分)(2014•台州)计算:|2 ﹣1|+( ﹣1)0﹣( )﹣1. 考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 分析:分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数,再根据实 数混合运算的法则进行计算即可; 解答:解:原式=2 ﹣1+1﹣ = . 点评:本题考查的是实数的运算,熟知 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质 是解答此题的关键. 18.(8 分)(2014•台州)解不等式组: ,并把解集在如图数轴上表示出 来. 考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 分析:先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后在数轴上表示出来即可. 解答: 解: ∵解不等式①得:x>2, 解不等式②得:x<3, ∴不等式组的解集为 2<x<3, 在数轴上表示为: . 点评:本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集 的应用,解此题的关键是求出不等式组的解集. 19.(8 分)(2014•台州)已知反比函数 y= ,当 x=2 时,y=3. (1)求 m 的值; (2)当 3≤x≤6 时,求函数值 y 的取值范围. 考点:待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的性质 分析:(1)把 x、y 的值代入反比例函数解析式,通过方程来求 m 的值; (2)根据反比例函数图象的性质进行解答. 解答:解:(1)把 x=2 时,y=3 代入 y= ,得 3= , 解得:m=﹣1; (2)由 m=﹣1 知,该反比例函数的解析式为:y=. 当 x=3 时,y=2; 当 x=6 时,y=1. ∴当 3≤x≤6 时,函数值 y 的取值范围是:1≤y≤2. 点评:本题考查了反比例函数的性质,待定系数法求反比例函数解析式.(1)题,实际上是 把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到待定系数的方程 20.(8 分)(2014•台州)如图 1 是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器,其工作原理如图 2.雨刷 EF⊥AD,垂足为 A,AB=CD 且 AD=BC,这样能使雨刷 EF 在运动时,始终垂直于玻璃窗 下沿 BC,请证明这一结论. 考点:平行四边形的判定与性质.21 世纪教育网 专题:应用题. 分析:首先证明四边形 ABCD 是平行四边形,然后根据平行四边形的性质即可判断. 解答:证明:∵AB=CD、AD=BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, 又∵EF⊥AD, ∴EF⊥BC. 点评:本题考查了平行四边形的判定与性质,正确理解平行四边形的判定方法是关键. 21.(10 分)(2014•台州)如图,某翼装飞行员从离水平地面高 AC=500m 的 A 处出发,沿 这俯角为 15°的方向,直线滑行 1600 米到达 D 点,然后打开降落伞以 75°的俯角降落到地面 上的 B 点.求他飞行的水平距离 BC(结果精确到 1m). 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 分析:首先过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,进而里锐角三角函数关系 得出 DE、AE 的长,即可得出 DF 的长,求出 BC 即可. 解答:解:过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 由题意可得:∠ADE=15°,∠BDF=15°,AD=1600m,AC=500m, ∴cos∠ADE=cos15°= ≈0.97, ∴ ≈0.97, 解得:DE=1552(m), sin15°= ≈0.26, ∴ ≈0.26, 解得;AE=416(m), ∴DF=500﹣416=84(m), ∴tan∠BDF=tan15°= ≈0.27, ∴ ≈0.27, 解得:BF=22.68(m), ∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575(m), 答:他飞行的水平距离为 1575m. 点评:此题主要考查了解直角三角形的应用,正确构造直角三角形得出 CF,BF 的长是解题 关键. 22.(12 分)(2014•台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在 0.5kg 及以上,下同)的总 质量,先从鱼塘中捕捞 50 条成品鱼,称得它们的质量如表: 质量/kg 0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9 数量/条 1 8 15 18 5 1 2 然后做上记号再放回水库中,过几天又捕捞了 100 条成品鱼,发现其中 2 条带有记号. (1)请根据表中数据补全如图的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点). (2)根据图中数据分组,估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼,其质量落在哪一组的可能性最 大? (3)根据图中数据分组,估计鱼塘里质量中等的成品鱼,其质量落在哪一组内? (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到 1kg). 考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体. 分析:(1)由函数图象可以得出 1.1﹣1.4 的有 5 条,就可以补全直方图; (2)分别求出各组的频率,就可以得出结论; (3)由这组数据的个数为 50,就可以得出第 25 个和第 26 个数的平均数就可以得出 结论; (4)设鱼塘中成品鱼的总质量为 x,根据作记号的鱼 50:x=2:100 建立方程求出其 解即可. 解答:解:(1)由函数图象可以得出 1.1﹣1.4 的有 5 条,补全图形,得: (2)由题意,得 0.5﹣0.8 的频率为:24÷50=0.48, 0.8﹣1.1 的频率为:18÷50=0.36, 1.1﹣1.4 的频率为:5÷50=0.1, 1.4﹣1.7 的频率为:1÷50=0.02, 1.7﹣2.0 的频率为:2÷50=0.04. ∵0.48>0.36>0.1>0.04>0.02. ∴估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼,其质量落在 0.5﹣0.8 的可能性最大; (3)这组数据的个数为 50,就可以得出第 25 个和第 26 个数分别是 1.0,1.0, ∴(1.0+1.0)÷2=1.0 鱼塘里质量中等的成品鱼,其质量落在 0.8﹣1.1 内; (4)设鱼塘中成品鱼的总质量为 x,由题意,得 50:x=2:100, 解得:x=2500. 2500× =2260kg. 点评:本题考查了频数分布直方图的运用,比较频率大小的运用,中位数的运用,平均数的 运用,由样本数据估计总体数据的运用,解答时认真分析统计表和统计图的数据是关 键. 23.(12 分)(2014•台州)某公司经营杨梅业务,以 3 万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分 拣成 A、B 两类,A 类杨梅包装后直接销售;B 类杨梅深加工后再销售.A 类杨梅的包装成 本为 1 万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格 y(单位:万元/吨)与销售数量 x (x≥2)之间的函数关系如图;B 类杨梅深加工总费用 s(单位:万元)与加工数量 t(单位: 吨)之间的函数关系是 s=12+3t,平均销售价格为 9 万元/吨. (1)直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式; (2)第一次,该公司收购了 20 吨杨梅,其中 A 类杨梅有 x 吨,经营这批杨梅所获得的毛 利润为 w 万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本). ①求 w 关于 x 的函数关系式; ②若该公司获得了 30 万元毛利润,问:用于直销的 A 类杨梅有多少吨? (3)第二次,该公司准备投入 132 万元,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润, 并求出最大毛利润. 考点:二次函数的应用 分析:(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式; (2)①当 2≤x<8 时及当 x≥8 时,分别求出 w 关于 x 的表达式.注意 w=销售总收入 ﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20; ②若该公司获得了 30 万元毛利润,将 30 万元代入①中求得的表达式,求出 A 类杨 梅的数量; (3)本问是方案设计问题,总投入为 132 万元,这笔 132 万元包括购买杨梅的费用 +A 类杨梅加工成本+B 类杨梅加工成本.共购买了 m 吨杨梅,其中 A 类杨梅为 x 吨,B 类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当 2≤x<8 时及当 x≥8 时 w 关于 x 的表达式,并分别 求出其最大值. 解答:解:(1)①当 2≤x<8 时,如图, 设直线 AB 解析式为:y=kx+b,将 A(2,12)、B(8,6)代入得: ,解得 , ∴y=﹣x+14; ②当 x≥8 时,y=6. ∴A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式为: y= . (2)设销售 A 类杨梅 x 吨,则销售 B 类杨梅(20﹣x)吨. ①当 2≤x<8 时, wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x; wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20 =(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60 =﹣x2+7x+48; 当 x≥8 时, wA=6x﹣x=5x; wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20 =(5x)+(108﹣6x)﹣60 =﹣x+48. ∴w 关于 x 的函数关系式为: w= . ②当 2≤x<8 时,﹣x2+7x+48=30,解得 x1=9,x2=﹣2,均不合题意; 当 x≥8 时,﹣x+48=30,解得 x=18. ∴当毛利润达到 30 万元时,直接销售的 A 类杨梅有 18 吨. (3)设该公司用 132 万元共购买了 m 吨杨梅,其中 A 类杨梅为 x 吨,B 类杨梅为 (m﹣x)吨, 则购买费用为 3m 万元,A 类杨梅加工成本为 x 万元,B 类杨梅加工成本为[12+3 (m﹣x)]万元, ∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60. ①当 2≤x<8 时, wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x; wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m =﹣x2+7x+3m﹣12. 将 3m=x+60 代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64 ∴当 x=4 时,有最大毛利润 64 万元, 此时 m= ,m﹣x= ; ②当 x>8 时, wA=6x﹣x=5x; wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m =﹣x+3m﹣12. 将 3m=x+60 代入得:w=48 ∴当 x>8 时,有最大毛利润 48 万元. 综上所述,购买杨梅共 吨,其中 A 类杨梅 4 吨,B 类 吨,公司能够获得最大毛 利润,最大毛利润为 64 万元. 点评:本问是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、 利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论. 24.(14 分)(2014•台州)研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性 质和判定. 定义:六个内角相等的六边形叫等角六边形. (1)研究性质 ①如图 1,等角六边形 ABCDEF 中,三组正对边 AB 与 DE,BC 与 EF,CD 与 AF 分别有 什么位置关系?证明你的结论 ②如图 2,等角六边形 ABCDEF 中,如果有 AB=DE,则其余两组正对边 BC 与 EF,CD 与 AF 相等吗?证明你的结论 ③如图 3,等角六边形 ABCDEF 中,如果三条正对角线 AD,BE,CF 相交于一点 O,那么 三组正对边 AB 与 DE,BC 与 EF,CD 与 AF 分别有什么数量关系?证明你的结论. (2)探索判定 三组正对边分别平行的六边形,至少需要几个内角为 120°,才能保证六边形一定是等角六 边形? 考点:四边形综合题;全等三角形的判定与性质;多边形内角与外角;平行四边形的判定与 性质;相似三角形的判定与性质 专题:证明题;新定义;探究型. 分析:(1)通过验证容易得到猜想:三组正对边分别平行.要证明两条线段平行,只需证 明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,要证 AB∥DE,只需连接 AD,证明 ∠ADE=∠DAB 即可,其它两组同理可得. (2)要证 BC=EF,CD=AF,只需连接 AE、BD,证明△AFE≌△DCB 即可. (3)由条件“三条正对角线 AD,BE,CF 相交于一点 O“及(1)中的结论可证到 = ,将等角六边形 ABCDEF 补成等边三角形后,可以证到 AB+AF=DE+DC,从而得到三组正对边分别相等. (4)若只有 1 个内角为 120°或有 2 个内角为 120°,可以通过举反例说明该六边形不 一定是等角六边形;若有 3 个内角为 120°,可以通过分类讨论证明该六边形一定是等 角六边形. 解答:解:(1)①结论:AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF. 证明:连接 AD,如图 1, ∵六边形 ABCDEF 是等角六边形,∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B= =120°. ∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°,∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°. ∵∠DAF+∠DAB=120°,∴∠DAB=∠EDA.∴AB∥DE. 同理 BC∥EF,CD∥AF. ②结论:EF=BC,AF=DC. 证明:连接 AE、DB,如图 2, ∵AB∥DE,AB=DE,∴四边形 ABDE 是平行四边形. ∴AE=DB,∠EAB=∠BDE. ∵∠BAF=∠EDC.∴∠FAE=∠CDB. 在△AFE 和△DCB 中, . ∴△AFE≌△DCB. ∴EF=BC,AF=DC. ③结论:AB=DE,AF=DC,EF=BC. 延长 FE、CD 相交于点 P,延长 EF、BA 相交于点 Q,延长 DC、AB 相交于点 S,如 图 3. ∵六边形 ABCDEF 是等角六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°.∴∠QAF=∠QFA=60°. ∴△QAF 是等边三角形.∴∠Q=60°,QA=QF=AF. 同理:∠S=60°,SB=SC=BC;∠P=60°,PE=PD=ED. ∵∠S=∠P=60°,∴△PSQ 是等边三角形.∴PQ=QS=SP. ∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC.∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC. ∵AB∥ED,∴△AOB~△DOE.∴ . 同理: , . ∴ . ∴ = =1. ∴AB=ED,AF=DC,EF=BC. (2)连接 BF,如图 4, ∵BC∥EF,∴∠CBF+∠EFB=180°. ∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°,∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°. 同理:∠A+∠ABC+∠C=360°. ∴∠AFE=∠C. 同理:∠A=∠D,∠ABC=∠E. Ⅰ.若只有 1 个内角等于 120°,不能保证该六边形一定是等角六边形. 反例:当∠A=120°,∠ABC=150°时,∠D=∠A∠=120°,∠E=∠ABC=150°. ∵六边形的内角和为 720°,∴∠AFE=∠C=(720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°)=90°. 此时该六边形不是等角六边形. Ⅱ.若有 2 个内角等于 120°,也不能保证该六边形一定是等角六边形. 反例:当∠A=∠D=120°,∠ABC=150°时,∠E=∠ABC=150°. ∵六边形的内角和为 720°,∴∠AFE=∠C=(720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°)=90°. 此时该六边形不是等角六边形. Ⅲ.若有 3 个内角等于 120°,能保证该六边形一定是等角六边形. 设∠A=∠D=α,∠ABC=∠E=β,∠AFE=∠C=γ.则 2α+2β+2γ=720°.∴α+β+γ=360°. ∵有 3 个内角等于 120°,∴α、β、γ 中至少有两个为 120°. 若 α、β、γ 都等于 120°,则六个内角都等于 120°; 若 α、β、γ 中有两个为 120°,根据 α+β+γ=360°可得第三个也等于 120°,则六个内角 都等于 120°. 综上所述:至少有 3 个内角等于 120°,能保证该六边形一定是等角六边形. 点评:本题引导学生对几何图形进行科学探究(从定义到性质到判定),考查了相似三角形、 全等三角形以及平行四边形的性质与判定、多边形的内角和定理等知识,考查了分类 讨论的思想,培养了学生的批判意识(举反例说明一个命题是假命题),是一道非常 难得的好题.查看更多