2020年上海市中考数学试卷

2020年上海市中考数学试卷

2020 年上海市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是 ( ) A． 6 B． 9 C． 12 D． 18 2．（4分）用换元法解方程 2 2 1 2 1 x x x x     时，若设 2 1x y x   ，则原方程可化为关于 y的方 程是 ( ) A． 2 2 1 0y y   B． 2 2 1 0y y   C． 2 2 0y y   D． 2 2 0y y   3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中， 能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是 ( ) A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 4．（4分）已知反比例函数的图象经过点 (2, 4) ，那么这个反比例函数的解析式是 ( ) A． 2y x  B． 2y x   C． 8y x  D． 8y x   5．（4分）下列命题中，真命题是 ( ) A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后 能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形 是 ( ) A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应 位置上】 7．（4分）计算： 2 3a ab  ． 8．（4分）已知 2( ) 1 f x x   ，那么 f （3）的值是 ． 9．（4分）已知正比例函数 (y kx k 是常数， 0)k  的图象经过第二、四象限，那么 y的值 随着 x的值增大而 ．（填“增大”或“减小” ) 10．（4分）如果关于 x的方程 2 4 0x x m   有两个相等的实数根，那么m的值是 ． 11．（4分）如果从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这 10个数中任意选取一个数，那么取 到的数恰好是 5的倍数的概率是 ． 12．（4分）如果将抛物线 2y x 向上平移 3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 13．（4分）为了解某区六年级 8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中 400名学 生，结果有 150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 B 处立一根垂直 于井口的木杆 BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径 AB交于点 E ， 如果测得 1.6AB  米， 1BD  米， 0.2BE  米，那么井深 AC为 米． 15．（4分）如图， AC、 BD是平行四边形 ABCD的对角线，设 BC a   ，CA b   ，那么向 量 BD  用向量 a、 b  表示为 ． 16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为 1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步 行到学校所走的路程 s（米 )与时间 t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明 从家出发去学校步行 15分钟时，到学校还需步行 米． 17．（4分）如图，在 ABC 中， 4AB  ， 7BC  ， 60B  ，点 D在边 BC上， 3CD  ， 联结 AD．如果将 ACD 沿直线 AD翻折后，点C的对应点为点 E ，那么点 E 到直线 BD的 距离为 ． 18．（4分）在矩形 ABCD中， 6AB  ， 8BC  ，点O在对角线 AC上，圆O的半径为 2， 如果圆O与矩形 ABCD的各边都没有公共点，那么线段 AO长的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10分）计算： 1 23 1 127 ( ) | 3 5 | 25 2      ． 20．（10分）解不等式组： 10 7 6, 71 3 x x xx        21．（10分）如图，在直角梯形 ABCD中， / /AB DC， 90DAB  ， 8AB  ， 5CD  ， 3 5BC  ． （1）求梯形 ABCD的面积； （2）联结 BD，求 DBC 的正切值． 22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450万元， 第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店 7月份的营业额为 350万元，8、9 月份营业额的月增长率相同，“十一 黄金周”这七天的总营业额与 9月份的营业额相等．求该商店去年 8、9月份营业额的月增 长率． 23．（12分）已知：如图，在菱形 ABCD中，点 E 、 F 分别在边 AB、 AD上， BE DF ， CE的延长线交 DA的延长线于点G，CF的延长线交 BA的延长线于点 H ． （1）求证： BEC BCH ∽ ； （2）如果 2BE AB AE  ，求证： AG DF ． 24．（12分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 5 2 y x   与 x轴、y轴分别交于点 A、B（如 图）．抛物线 2 ( 0)y ax bx a   经过点 A． （1）求线段 AB的长； （2）如果抛物线 2y ax bx  经过线段 AB上的另一点C，且 5BC  ，求这条抛物线的表 达式； （3）如果抛物线 2y ax bx  的顶点D位于 AOB 内，求 a的取值范围． 25．（14分）如图， ABC 中，AB AC ， O 是 ABC 的外接圆，BO的延长线交边 AC于 点D． （1）求证： 2BAC ABD   ； （2）当 BCD 是等腰三角形时，求 BCD 的大小； （3）当 2AD  ， 3CD  时，求边 BC的长． 2020 年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是 ( ) A． 6 B． 9 C． 12 D． 18 【解答】解： . 6A 与 3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； . 9 3B  ，与 3不是同类二次根式； . 12 2 3C  ，与 3被开方数相同，故是同类二次根式； . 18 3 2D  ，与 3被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 2．（4分）用换元法解方程 2 2 1 2 1 x x x x     时，若设 2 1x y x   ，则原方程可化为关于 y的方 程是 ( ) A． 2 2 1 0y y   B． 2 2 1 0y y   C． 2 2 0y y   D． 2 2 0y y   【解答】解：把 2 1x y x   代入原方程得： 1 2y y   ，转化为整式方程为 2 2 1 0y y   ． 故选： A． 3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中， 能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是 ( ) A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选： B ． 4．（4分）已知反比例函数的图象经过点 (2, 4) ，那么这个反比例函数的解析式是 ( ) A． 2y x  B． 2y x   C． 8y x  D． 8y x   【解答】解：设反比例函数解析式为 ky x  ， 将 (2, 4) 代入，得： 4 2 k   ， 解得 8k   ， 所以这个反比例函数解析式为 8y x   ， 故选： D． 5．（4分）下列命题中，真命题是 ( ) A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 【解答】解： A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； C、正确； D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误； 故选：C． 6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后 能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形 是 ( ) A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 【解答】解：如图，平行四边形 ABCD中，取 BC， AD的中点 E ， F ，连接 EF ． 四边形 ABEF向右平移可以与四边形 EFCD重合， 平行四边形 ABCD是平移重合图形， 故选： A． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应 位置上】 7．（4分）计算： 2 3a ab  26a b ． 【解答】解： 22 3 6a ab a b ． 故答案为： 26a b． 8．（4分）已知 2( ) 1 f x x   ，那么 f （3）的值是 1 ． 【解答】解： 2( ) 1 f x x    ， f （3） 2 1 3 1    ， 故答案为：1． 9．（4分）已知正比例函数 (y kx k 是常数， 0)k  的图象经过第二、四象限，那么 y的值 随着 x的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” ) 【解答】解：函数 ( 0)y kx k  的图象经过第二、四象限，那么 y的值随 x的值增大而减小， 故答案为：减小． 10．（4分）如果关于 x的方程 2 4 0x x m   有两个相等的实数根，那么m的值是 4 ． 【解答】解：依题意， 方程 2 4 0x x m   有两个相等的实数根， △ 2 24 ( 4) 4 0b ac m      ，解得 4m  ， 故答案为：4． 11．（4分）如果从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这 10个数中任意选取一个数，那么取 到的数恰好是 5的倍数的概率是 1 5 ． 【解答】解：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这 10个数中任意选取一个数，是 5的 倍数的有：5，10， 取到的数恰好是 5的倍数的概率是 2 1 10 5  ． 故答案为： 1 5 ． 12．（4 分）如果将抛物线 2y x 向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是 2 3y x  ． 【解答】解：抛物线 2y x 向上平移 3个单位得到 2 3y x  ． 故答案为： 2 3y x  ． 13．（4分）为了解某区六年级 8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中 400名学 生，结果有 150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 【解答】解： 1508400 3150 400   （名 )． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名． 故答案为：3150名． 14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 B 处立一根垂直 于井口的木杆 BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径 AB交于点 E ， 如果测得 1.6AB  米， 1BD  米， 0.2BE  米，那么井深 AC为 7 米． 【解答】解： BD AB ， AC AB ， / /BD AC ， ACE BDE ∽ ，  AC AE BD BE  ，  1.4 1 0.2 AC  ， 7AC  （米 )， 答：井深 AC为 7米． 15．（4分）如图， AC、 BD是平行四边形 ABCD的对角线，设 BC a   ，CA b   ，那么向 量 BD  用向量 a、 b  表示为 2a b  ． 【解答】解：四边形 ABCD是平行四边形， AD BC  ， / /AD BC， AB CD ， / /AB CD，  AD BC a     ，  CD CA AD b a         ，  BA CD b a       ，  BD BA AD     ，  2BD b a a a b          ， 故答案为： 2a b  ． 16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为 1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步 行到学校所走的路程 s（米 )与时间 t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明 从家出发去学校步行 15分钟时，到学校还需步行 350 米． 【解答】解：当8 20t„„ 时，设 s kt b  ， 将 (8,960)、 (20,1800)代入，得： 8 960 20 1800 k b k b      ， 解得： 70 400 k b    ， 70 400s t   ； 当 15t  时， 1450s  ， 1800 1450 350  ， 当小明从家出发去学校步行 15分钟时，到学校还需步行 350米， 故答案为：350． 17．（4分）如图，在 ABC 中， 4AB  ， 7BC  ， 60B  ，点 D在边 BC上， 3CD  ， 联结 AD．如果将 ACD 沿直线 AD翻折后，点C的对应点为点 E ，那么点 E 到直线 BD的 距离为 3 3 2 ． 【解答】解：如图，过点 E 作 EH BC 于 H ． 7BC  ， 3CD  ， 4BD BC CD    ， 4AB BD  ， 60B  ， ABD 是等边三角形， 60ADB  ， 120ADC ADE   ， 60EDH  ， EH BC ， 90EHD  ， 3DE DC  ， 3 3sin 60 2 EH DE    ， E 到直线 BD的距离为 3 3 2 ， 故答案为 3 3 2 ． 18．（4分）在矩形 ABCD中， 6AB  ， 8BC  ，点O在对角线 AC上，圆O的半径为 2， 如果圆 O 与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，那么线段 AO 长的取值范围是 10 20 3 3 AO  ． 【解答】解：在矩形 ABCD中， 90D   ， 6AB  ， 8BC  ， 10AC  ， 如图 1，设 O 与 AD边相切于 E ，连接OE， 则OE AD ， / /OE CD ， AOE ACD ∽ ，  OE AO CD AC  ，  2 10 6 AO  ， 10 3 AO  ， 如图 2，设 O 与 BC边相切于 F ，连接OF ， 则OF BC ， / /OF AB ， COF CAB ∽ ，  OC OF AC AB  ，  2 10 6 OC  ， 10 3 OC  ， 20 3 AO  ， 如果圆 O 与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，那么线段 AO 长的取值范围是 10 20 3 3 AO  ， 故答案为： 10 20 3 3 AO  ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10分）计算： 1 23 1 127 ( ) | 3 5 | 25 2      ． 【解答】解：原式 1 3 3(3 ) 5 2 4 3 5      3 5 2 4 3 5      0 ． 20．（10分）解不等式组： 10 7 6, 71 3 x x xx        【解答】解： 10 7 6 71 3 x x xx        ① ② ， 解不等式①得 2x  ， 解不等式②得 5x  ． 故原不等式组的解集是 2 5x  ． 21．（10分）如图，在直角梯形 ABCD中， / /AB DC， 90DAB  ， 8AB  ， 5CD  ， 3 5BC  ． （1）求梯形 ABCD的面积； （2）联结 BD，求 DBC 的正切值． 【解答】解：（1）过C作CE AB 于 E ， / /AB DC ， 90DAB  ， 90D  ， 90A D AEC    ， 四边形 ADCE是矩形， AD CE  ， 5AE CD  ， 3BE AB AE    ， 3 5BC  ， 2 2 6CE BC BE    ， 梯形 ABCD的面积 1 (5 8) 6 39 2      ； （2）过C作CH BD 于 H ， / /CD AB ， CDB ABD  ， 90CHD A    ， CDH DBA ∽ ，  CH CD AD BD  ， 2 2 2 28 6 10BD AB AD     ，  5 6 10 CH  ， 3CH  ， 2 2 2 2(3 5) 3 6BH BC CH      ， DBC 的正切值 3 1 6 2 CH BH    ． 22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450万元， 第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店 7月份的营业额为 350万元，8、9 月份营业额的月增长率相同，“十一 黄金周”这七天的总营业额与 9月份的营业额相等．求该商店去年 8、9月份营业额的月增 长率． 【解答】解：（1） 450 450 12% 504   （万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504万元． （2）设该商店去年 8、9月份营业额的月增长率为 x， 依题意，得： 2350(1 ) 504x  ， 解得： 1 0.2 20%x   ， 2 2.2x   （不合题意，舍去）． 答：该商店去年 8、9月份营业额的月增长率为 20%． 23．（12分）已知：如图，在菱形 ABCD中，点 E 、 F 分别在边 AB、 AD上， BE DF ， CE的延长线交 DA的延长线于点G，CF的延长线交 BA的延长线于点 H ． （1）求证： BEC BCH ∽ ； （2）如果 2BE AB AE  ，求证： AG DF ． 【解答】（1）证明：四边形 ABCD是菱形， CD CB  ， D B   ， / /CD AB， DF BE ， ( )CDF CBE SAS  ， DCF BCE  ， / /CD BH ， H DCF  ， BCE H  ， B B   ， BEC BCH ∽ ． （2）证明： 2BE AB AE  ，  BE AE AB EB  ， / /AG BC ，  AE AG BE BC  ，  BE AG AB BC  ， DF BE ， BC AB ， BE AG DF   ， 即 AG DF ． 24．（12分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 5 2 y x   与 x轴、y轴分别交于点 A、B（如 图）．抛物线 2 ( 0)y ax bx a   经过点 A． （1）求线段 AB的长； （2）如果抛物线 2y ax bx  经过线段 AB上的另一点C，且 5BC  ，求这条抛物线的表 达式； （3）如果抛物线 2y ax bx  的顶点D位于 AOB 内，求 a的取值范围． 【解答】解：（1）针对于直线 1 5 2 y x   ， 令 0x  ， 5y  ， (0,5)B ， 令 0y  ，则 1 5 0 2 x   ， 10x  ， (10,0)A ， 2 25 10 5 5AB    ； （2）设点 1( , 5) 2 C m m  ， (0,5)B ， 2 21 5( 5 5) | | 2 2 BC m m m       ， 5BC  ，  5 | | 5 2 m  ， 2m   ， 点C在线段 AB上， 2m  ， (2, 4)C ， 将点 (10,0)A ， (2,4)C 代入抛物线 2 ( 0)y ax bx a   中，得 100 10 0 4 2 4 a b a b      ，  1 4 5 2 a b        ， 抛物线 21 5 4 2 y x x   ； （3）点 (10,0)A 在抛物线 2y ax bx  中，得100 10 0a b  ， 10b a   ， 抛物线的解析式为 2 210 ( 5) 25y ax ax a x a     ， 抛物线的顶点 D坐标为 (5, 25 )a ， 将 5x  代入 1 5 2 y x   中，得 1 55 5 2 2 y      ， 顶点 D位于 AOB 内， 50 25 2 a    ， 1 0 10 a   ； 25．（14分）如图， ABC 中，AB AC ， O 是 ABC 的外接圆，BO的延长线交边 AC于 点D． （1）求证： 2BAC ABD   ； （2）当 BCD 是等腰三角形时，求 BCD 的大小； （3）当 2AD  ， 3CD  时，求边 BC的长． 【解答】（1）证明：连接OA． AB AC ，  AB AC ， OA BC  ， BAO CAO  ， OA OB ， ABD BAO  ， 2BAC BAD   ． （2）解：如图 2中，延长 AO交 BC于 H ． ①若 BD CB ，则 3C BDC ABD BAC ABD      ， AB AC ， ABC C  ， 2DBC ABD   ， 180DBC C BDC     ， 8 180ABD   ， 3 67.5C ABD    ． ②若CD CB ，则 3CBD CDB ABD    ， 4C ABD   ， 180DBC C CDB     ， 10 180ABD   ， 4 72BCD ABD    ． ③若DB DC ，则 D与 A重合，这种情形不存在． 综上所述， C 的值为 67.5或 72． （3）如图 3中，作 / /AE BC交 BD的延长线于 E ． 则 2 3 AE AD BC DC   ，  4 3 AO E OH BH   ，设 4OB OA a  ， 3OH a ， 2 2 2 2 2BH AB AH OB OH    ， 2 2 225 49 16 9a a a    ， 2 25 56 a  ， 5 2 4 BH  ， 5 22 2 BC BH   ．