江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题

江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题

高三数学模拟试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.已知集合,,则集合中元素的个数为__________.‎ ‎2.复数，则__________.‎ ‎3.已知一组数据4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为__________.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为__________.‎ ‎ 5.的定义域为__________.‎ ‎6．从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于____________.‎ ‎7．若双曲线的一条渐近线方程为，则_______.‎ ‎8．已知是等差数列的前项和，若，，则______.‎ ‎9. 若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.‎ ‎10. 已知等边三角形的边长为，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎11. 若，是方程的两个根，则__________.‎ ‎12.设为正实数，则的最小值为__________.‎ ‎13. 已知点，，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为__________．‎ ‎14. 已知函数，若有两个零点，则 的取值范围__________.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15.(本题满分14分）‎ ‎ 设函数 ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.‎ ‎16. (本题满分14分）‎ ‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若∥平面，求证：为的中点．‎ ‎17. (本题满分14分）‎ ‎ 如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．‎ ‎（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?‎ ‎（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．‎ ‎18. (本题满分16分）‎ ‎ 如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.‎ ‎①求证：直线经过一定点；‎ ‎②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎19. (本题满分16分）‎ ‎ 已知函数（a，）.‎ ‎（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；‎ ‎（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，，试讨论是否存在，使得.‎ ‎20. (本题满分16分）‎ ‎ 设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.‎ 高三数学模拟试题附加题 ‎21A.已知矩阵，向量.‎ ‎（1）求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；‎ ‎（2）求.‎ ‎21B．已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.‎ 若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.‎ 设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎21C．已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.‎ ‎22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）若点是棱上一点，且，求的值．‎ ‎23．棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.‎ ‎（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求、的值.‎ 参考答案 ‎1.4； 2.1; 3.略 4.7; 5.； 6. ；7. ；8.； 9.或；‎ ‎10.；11. ；12.；13.；14.‎ ‎15. 解：（1）因为 所以 即，‎ ‎，，‎ 所以的值域为；‎ ‎（2）由，得，‎ 又，，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 把，代入得：，当且仅当时取等号，‎ 的面积，‎ 则面积的最大值为．‎ ‎16. （1）底面为矩形，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，，‎ 平面，‎ 又，‎ 平面平面；‎ ‎（2）连接，交于，连接，‎ 平面，‎ 平面平面，‎ ‎，‎ ‎，‎ 底面为矩形，‎ 是的中点，即，‎ ‎，‎ 为的中点.‎ ‎17. （1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），‎ ‎∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则，‎ 两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，‎ ‎∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上．‎ ‎（2）由（1）知a+b﹣10＝0，‎ 当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．‎ 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2），‎ 令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），‎ ‎∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．‎ ‎∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，‎ 当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．‎ ‎18. Ⅰ ）依题意，，则，‎ ‎∴，又，∴，则，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，‎ 由得或 ‎∴，‎ 用去代，得，‎ 方法1：，‎ ‎∴：，即，‎ ‎∴直线经过定点．‎ 方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，‎ 当时，，，此时直线经过轴上的点，‎ ‎∵‎ ‎∴，∴、、三点共线，即直线经过点，‎ 综上所述，直线经过定点．‎ ‎②由得或∴，‎ 则直线：，‎ 设，则，直线：，直线：，‎ 假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，‎ 则由（）得对恒成立，则，‎ 由（）得，对恒成立，‎ 当时，不合题意；当时，，得，即，‎ ‎∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．‎ 解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．‎ 考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．‎ ‎19. （1）若，则，，‎ 若，则在，则，则在上单调递增，‎ 又，故在上无零点，舍；‎ 若，令，得，，，‎ 在上，，在上单调递减，‎ 在上，，在上单调递增，‎ 故，‎ 若，则，在上无零点，舍；‎ 若，则，在上恰有一零点，此时；‎ 若，则，，，‎ 则在和上有各有一个零点，舍；‎ 故a的值为.‎ ‎（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设，‎ 故，则，故，，.‎ 此时，，，故存在三个不同的零点.‎ 故符合题意的a的值为.‎ ‎（3）若，，，‎ ‎∴若存在，使得，‎ 必须在上有解.‎ ‎，‎ 方程的两根为：，，‎ 只能是，‎ 依题意，即，‎ 即，‎ 又由，得，故欲使满足题意的存在，则，‎ ‎∴当时，存在唯一的满足，‎ 当时，不存在使.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.‎ ‎（1）数列是非零数列，.‎ 当时，，；‎ 当且时，，，‎ 是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎（2）设存在，满足题意，‎ 成等比数列，；‎ 成等差数列，，‎ 消去可得：，，‎ ‎，，，解得：，‎ ‎，，，，.‎ ‎（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，‎ 两边取自然对数化简可得：，显然，‎ 设，则，‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 在处取得极大值，‎ 当时，是递减数列，又，是的最大值，‎ ‎；‎ 设，则，‎ 是递减数列，当时，，当时，，‎ 当时，存在，使得恒成立；‎ 当时，不成立，‎ 至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.‎ ‎21A.（1）矩阵的特征多项式为，‎ 令，可求得特征值为，，‎ 设对应的一个特征向量为，‎ 则由，得，可令，则，‎ 所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为，‎ 同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为．‎ ‎（2）‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎21B． 解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.‎ 圆心到直线的距离（弦心距）,‎ 圆心到直线的距离为 ：,‎ 或.‎ 曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）‎ 为曲线上任意一点， ‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.‎ ‎22．试题解析：（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，故 ‎∵，‎ ‎∴与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）解：设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 即，∴，‎ 又，即，‎ ‎∴，故，‎ ‎，∴‎ ‎ ‎ 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.‎ ‎23.（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，随机变量的数学期望为；‎ ‎（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.‎ 等式两边同时减去得；‎ ‎（3）由（2）可得，，.‎ 由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，则，‎ 由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.‎