高考数学复习 17-18版 第6章 第29课 平面向量的基本概念及其线性运算

高考数学复习 17-18版 第6章 第29课 平面向量的基本概念及其线性运算

第六章　平面向量与复数 第29课平面向量的基本概念及其线性运算 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 平面向量的概念 ‎√‎ 平面向量的加法、减法及数乘运算 ‎√‎ ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ 平行四边形法则 ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0，当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝λμa；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)‎ ‎(4)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)‎ b－a　－a－b　[如图，＝＝－＝b－a，‎ ＝－＝－－＝－a－b.]‎ ‎3．设点P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________.‎ ‎0　[因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0.]‎ ‎4．(2017·苏州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则可用，表示为________．‎ ＝－＋　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.]‎ ‎5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－‎3a)共线，则λ＝________.‎ ‎－　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，‎ ‎∴得]‎ 平面向量的有关概念 ‎　给出下列六个命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎②若＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；‎ ‎⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中假命题的序号为________．‎ ‎①②③④⑤⑥　[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；‎ ‎②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；‎ ‎③不正确．两向量不能比较大小；‎ ‎④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线；‎ ‎⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0；‎ ‎⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．]‎ ‎[规律方法]　1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. ‎ ‎2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．‎ ‎3．若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．‎ ‎[变式训练1]　设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的是________．(填序号)‎ ‎①②③　[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．]‎ 平面向量的线性运算 ‎　(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝________.‎ ‎(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC ‎＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝________. 【导学号：62172156】‎ ‎(1)　(2)－3　[(1)如图，＋＝＋＋＋ ‎＝＋＝(＋)‎ ‎＝·2＝.‎ ‎(2)如图，过D作DE∥AB，＝m＋n＝＋＝－＋，‎ 所以n＝－，m＝1，所以＝－3.]‎ ‎[规律方法]　向量的线性运算的求解方法 ‎(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．‎ ‎(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝λ，则λ＝________.‎ ‎(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．‎ ‎(1)4　(2)－2　[(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得＋‎ eq o(OC,sup8(→))＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.‎ ‎(2)因为D是BC的中点，则＋＝2.‎ 由＋＋＝0，得＝.‎ 又＝λ，‎ 所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝＋＝2＝－2，所以λ＝－2.]‎ 共线向量定理的应用 ‎　设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 【导学号：62172157】‎ ‎[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)‎ ‎＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，又∵它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)∵ka＋b和a＋kb共线，‎ ‎∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是两个不共线的非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.‎ ‎[规律方法]　共线向量定理的应用 ‎(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．‎ ‎[变式训练3]　(1)已知向量＝a＋3b，＝‎5a＋3b，＝－‎3a＋3b，则下列说法正确的是________．(填序号)‎ ‎①A，B，C三点共线；‎ ‎②A，B，D三点共线；‎ ‎③A，C，D三点共线；‎ ‎④B，C，D三点共线．‎ ‎(2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.‎ ‎(1)②　(2)　[(1)∵＝＋＝‎2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，‎ ‎∴，共线，又有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．故选②.‎ ‎(2)∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，‎ 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．‎ ‎2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．‎ ‎2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．‎ ‎3．在向量共线的条件中易忽视“a≠‎0”‎，否则λ可能不存在，也可能有无数个．‎ 课时分层训练(二十九)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)‎ a－b　[＝＋＝－＋＝－b＋a.]‎ ‎2．已知＝a＋2b，＝－‎5a＋6b，＝‎7a－2b，则一定共线的三点是________. 【导学号：62172158】‎ A，B，D　[因为＝＋＋＝‎3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，‎ 所以A，B，D三点共线．]‎ ‎3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于________．‎ 　[∵＝2，即－＝2(－)，‎ ‎∴＝＋，∴λ＝.]‎ ‎4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是________．(填序号)‎ ‎①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.‎ ‎③　[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.②④中a和b可能反向．①中λ<0，不符合λ>0.]‎ ‎5．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________. ‎ ‎【导学号：62172159】‎ 平行四边形　[由＋＝＋得－＝－，‎ 所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．]‎ ‎6．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)‎ e1＋e2　[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．]‎ ‎7．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________．‎ ‎60°　[∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，‎ 又O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴A＝60°.]‎ ‎8．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则有关点P与△ABC的位置关系判断正确的是________．(填序号) 【导学号：62172160】‎ ‎①点P在线段AB上；②点P在线段BC上；③点P在线段AC上；④点P在△ABC外部．‎ ‎③　[∵＋＋＝＝－，‎ ‎∴2＋＝0.‎ 即A，P，C三点共线．]‎ ‎9．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.‎ ‎2　[由|＋|＝|－|可知⊥.‎ ‎∴△ABC为直角三角形．又M为BC的中点，∴||＝||＝×4＝2.]‎ ‎10．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ 　－　[∵＝2，∴＝.‎ ‎∵＝，∴＝(＋)，‎ ‎∴＝－＝(＋)－ ‎＝－.‎ 又＝x＋y，∴x＝，y＝－.]‎ ‎11．如图291，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．‎ 图291‎ a＋b　[∵C，D为半圆弧的三等分点，‎ 连结CD，OD，易知∠ADO＝∠DAO＝30°，且四边形ACDO为平行四边形．‎ ‎∴＝＋＝＋＝a＋b.]‎ ‎12．如图292，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 图292‎ 　[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.‎ 因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．‎ ‎4　[因为D为AB的中点，‎ 则＝(＋)，‎ 又＋＋2＝0，‎ 所以＝－，所以O为CD的中点．‎ 又因为D为AB的中点，‎ 所以S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，‎ 则＝4.]‎ ‎2．(2017·南京模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．‎ 　[设＝y，‎ ‎∵＝＋ ‎＝＋y＝＋y(－)‎ ‎＝－y＋(1＋y).‎ ‎∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，‎ ‎∵＝x＋(1－x)，‎ ‎∴x＝－y，∴x∈.]‎ ‎3．如图293，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．‎ 图293‎ ‎3　[连结OG，设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，‎ 从而消去λ得＋＝3.]‎ ‎4．设G为△ABC的重心，且sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，则B的大小为________．‎ 　[∵G是△ABC的重心，‎ ‎∴＋＋＝0.‎ ‎∴＝－－，‎ 由sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，‎ 得sin A·(－－)＋sin B·＋sin C·＝0，‎ 即(sin B－sin A)·＋(sin C－sin A)·＝0.‎ 又与不共线，‎ 故 所以sin A＝sin B＝sin C，∴A＝B＝C，‎ 又A＋B＋C＝π，‎ ‎∴A＝B＝C＝.]‎