高考卷 17届 全国统一高考数学卷（理科）（新课标ⅲ）

高考卷 17届 全国统一高考数学卷（理科）（新课标ⅲ）

2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则 A∩B 中元素 的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ） A． B． C． D．2 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理 了 2014年 1 月至 2016年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制 了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比 较平稳 4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的 x3y3系数为 （ ） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 5．（5 分）已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y= x， 且与椭圆 + =1 有公共焦点，则 C的方程为（ ） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 6．（5 分）设函数 f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线 x= 对称 C．f（x+π）的一个零点为 x= D．f（x）在（ ，π）单调递减 7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B． C． D． 9．（5 分）等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6成等比数列，则 {an}前 6项的和为（ ） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 10．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且 以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=（ ） A．﹣ B． C． D．1 12．（5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P在以点 C 为圆心且与 BD 相切 的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣4y 的最小值为 ． 14．（5 分）设等比数列{an}满足 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则 a4= ． 15．（5 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的取 值范围是 ． 16．（5分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求 作答。（一）必考题：60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ cosA=0， a=2 ，b=2． （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD的面积． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温 不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统 计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一 天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19．（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD是直角三角形， ∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两 部分，求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值． 20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 与 A，B 两点， 圆 M是以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M上； （2）设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M的方程． 21．（12分）已知函数 f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求 a 的值； （2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求 m 的最小值． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 ，（t 为参数）， 直线 l2的参数方程为 ，（m 为参数）．设 l1与 l2的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C． （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） ﹣ =0，M为 l3与 C 的交点，求 M 的极径． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求 m 的取值范围． 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知集合 A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}， 则 A∩B 中元素的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J ：集合． 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：由 ，解得： 或 ， ∴A∩B 的元素的个数是 2 个， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题． 2．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）设复数 z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ） A． B． C． D．2 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则|z|= ． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 3．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务 质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016年 12 月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比 较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 【专题】27 ：图表型；2A ：探究型；5I ：概率与统计． 【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016年 12 月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中 2014年 1 月至 2016年 12月期间月接待游客量（单位： 万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故 A错误； 年接待游客量逐年增加，故 B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确； 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平 稳，故 D正确； 故选：A 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大， 属于基础题． 4．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的 x3y3系数为 （ ） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【考点】DB：二项式系数的性质．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；5P ：二项式定理． 【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1） r x5﹣ryr．令 5﹣r=2，r=3，解得 r=3．令 5﹣r=3，r=2，解得 r=2．即可得出． 【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣ 1）r x5﹣ryr． 令 5﹣r=2，r=3，解得 r=3． 令 5﹣r=3，r=2，解得 r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的 x3y3系数=22×（﹣1）3 +23× =40． 故选：C． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 5．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线 C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条 渐近线方程为 y= x，且与椭圆 + =1 有公共焦点，则 C 的方程为（ ） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方 程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆 + =1 的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得 c=3， 双曲线 C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y= x， 可得 ，即 ，可得 = ，解得 a=2，b= ， 所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计 算能力． 6．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）设函数 f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是 （ ） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线 x= 对称 C．f（x+π）的一个零点为 x= D．f（x）在（ ，π）单调递减 【考点】H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有 【专题】33 ：函数思想；4O：定义法；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．函数的周期为 2kπ，当 k=﹣1 时，周期 T=﹣2π，故 A正确， B．当 x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1 为最小值， 此时 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，故 B 正确， C当 x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则 f（x+π）的一个零点 为 x= ，故 C正确， D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D错 误， 故选：D 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象 和性质是解决本题的关键． 7．（5分）（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则 输入的正整数 N的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；39 ：运动思想；49 ：综合法；5K ：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到 S 的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0， 要使输出 S 的值小于 91，应满足“t≤N”， 则进入循环体，从而 S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而 S=90，M=1，t=3， 要使输出 S 的值小于 91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时 N的最小值为 2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注 意解题方法的积累，属于中档题． 8．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B． C． D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5Q ：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r= = ，由此能求出该圆柱的体 积． 【解答】解：∵圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球 面上， ∴该圆柱底面圆周半径 r= = ， ∴该圆柱的体积：V=Sh= = ． 故选：B． 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 9．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3， a6成等比数列，则{an}前 6 项的和为（ ） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【考点】85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求 出{an}前 6项的和． 【解答】解：∵等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．a2，a3，a6成等比数列， ∴ ， ∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且 a1=1，d≠0， 解得 d=﹣2， ∴{an}前 6项的和为 = =﹣24． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列前 6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 10．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点 分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离 心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的简单性质．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；5B ：直线与圆；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，可得原点到直线的 距离 =a，化简即可得出． 【解答】解：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2． ∴椭圆 C的离心率 e= = = ． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线 的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零 点，则 a=（ ） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2的图象与 y=a（ex﹣1+ ） 的图象只有一个交点求 a 的值．分 a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调 性分析可得结论． 【解答】解：因为 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ） =0， 所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2的图象与 y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点． ①当 a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当 a＜0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递 减， 且 y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数 y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为 A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图 象的最高点为 B（1，2a）， 由于 2a＜0＜1，此时函数 y=1﹣（x﹣1）2的图象与 y=a（ex﹣1+ ）的图象有 两个交点，矛盾； ③当 a＞0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递 减， 且 y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数 y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为 A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图 象的最低点为 B（1，2a）， 由题可知点 A与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a= ，符合条件； 综上所述，a= ， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力， 考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法 的积累，属于难题． 12．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【考点】9V：向量在几何中的应用．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与 性质；5A ：平面向量及应用；5B ：直线与圆． 【分析】如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的 坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2）， 根据 =λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答】解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所 示的坐标系， 则 A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点 P在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 设圆的半径为 r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD= = ∴ BC•CD= BD•r， ∴r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ， 设点 P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2）， ∵ =λ +μ ， ∴（ cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中 tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为 3， 故选：A 【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设 点 P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣4y的 最小值为 ﹣1 ． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5T ：不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z=3x﹣4y 的最小值． 【解答】解：由 z=3x﹣4y，得 y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线 y= x﹣ ，由平移可知当直线 y= x﹣ ， 经过点 B（1，1）时，直线 y= x﹣ 的截距最大，此时 z 取得最小值， 将 B 的坐标代入 z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数 z=3x﹣4y 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 14．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则 a4= ﹣8 ． 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列{an}的公比为 q，由 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q） =﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为 q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3， 解得 a1=1，q=﹣2． 则 a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 15．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x ﹣ ）＞1 的 x的取值范围是 （ ，+∞） ． 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若 x≤0，则 x﹣ ≤﹣ ， 则 f（x）+f（x﹣ ）＞1 等价为 x+1+x﹣ +1＞1，即 2x＞﹣ ，则 x＞ ， 此时 ＜x≤0， 当 x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ， 当 x﹣ ＞0 即 x＞ 时，满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立， 当 0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0 时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ， 此时 f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立， 综上 x＞ ， 故答案为：（ ，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的 数学思想进行求解是解决本题的关键． 16．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三 角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋 转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是 ②③ ．（填写所有正确结论的编号） 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距 离． 【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为 1 的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴， CB 为 y 轴，CA 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为 1， 故|AC|=1，|AB|= ， 斜边 AB 以直线 AC为旋转轴，则 A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以 C为圆心，1 为半径的圆， 以 C坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（1，0，0），A（0，0，1），直线 a 的方向单位向量 =（0，1，0），| |=1， 直线 b的方向单位向量 =（1，0，0），| |=1， 设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为 B′C与 CD的夹角，θ∈[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量， =（cosθ，sinθ，﹣1），| |= ， 设 与 所成夹角为α∈[0， ]， 则 cosα= = |sinθ|∈[0， ]， ∴α∈[ ， ]，∴③正确，④错误． 设 与 所成夹角为β∈[0， ]， cosβ= = = |cosθ|， 当 与 夹角为 60°时，即α= ， |sinθ|= = = ， ∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ， ∵β∈[0， ]，∴β= ，此时 与 的夹角为 60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想，是中档题． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求 作答。（一）必考题：60 分。 17．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD的面积． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；58 ：解三角形． 【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出 A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出 cosC，求出 CD 的长，得到 S△ABD= S△ABC． 【解答】解：（1）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA， 即 28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ）， 即 c2+2c﹣24=0， 解得 c=﹣6（舍去）或 c=4， 故 c=4． （2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ， ∴CD= = = ∴CD= BC ∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAC= ×4×2× =2 ， ∴S△ABD= S△ABC= 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于 中档题 18．（12分）（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同， 进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格 当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃） 有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20， 25），需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶．为了确定六月 份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一 天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．菁 优网版权所有 【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，分别求出相应的概率， 由此能求出 X 的分布列． （2）当 n≤200 时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当 200＜n≤300 时，EY ≤1.2×300+160=520；当 300＜n≤500 时，n=300 时，（EY）max=640﹣0.4×300=520； 当 n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当 n=300 时，EY 最大值为 520 元． 【解答】解：（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500， P（X=200）= =0.2， P（X=300）= ， P（X=500）= =0.4， ∴X 的分布列为： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 （2）当 n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400， 当 200＜n≤300时， 若 x=200，则 Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n， 若 x≥300，则 Y=n（6﹣4）=2n， ∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160， ∴EY≤1.2×300+160=520， 当 300＜n≤500时，若 x=200，则 Y=800﹣2n， 若 x=300，则 Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n， ∴当 n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520， 若 x=500，则 Y=2n， ∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n， 当 n≥500 时，Y= ， EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n， ∴EY≤1440﹣2×500=440． 综上，当 n=300时，EY 最大值为 520元． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求 法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能 力、运算求解能力、空间想象能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是 中档题． 19．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两 部分，求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有 【专题】31 ：数形结合；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离；5G ： 空间角． 【分析】（1）如图所示，取 AC的中点 O，连接 BO，OD．△ABC 是等边三角形， 可得 OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD 是直角三角形，可 得 AC 是斜边，∠ADC=90°．可得 DO= AC．利用 DO2+BO2=AB2=BD2．可得 OB⊥ OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE．则 = ．根据平面 AEC 把 四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点 E 是 BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2．利用法向量的夹角 公式即可得出． 【解答】（1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD． ∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又 DO∩AC=O，∴OB⊥平面 ACD． 又 OB⊂平面 ABC， ∴平面 ACD⊥平面 ABC． （2）解：设点 D，B到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE．则 = ． ∵平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， ∴ = = =1． ∴点 E 是 BD 的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2． 则 O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0）， E ． =（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）． 设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ． 同理可得：平面 ACE的法向量为 =（0，1， ）． ∴cos = = =﹣ ． ∴二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值为 ． 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角 公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）（2017•新课标Ⅲ）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C与 A，B两点，圆 M 是以线段 AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M上； （2）设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；41 ：向量法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得 A 和 B 的坐标， 由 • =0，则坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 斜率存在，代入抛物线方程，利 用韦达定理及向量数量积的可得 • =0，则坐标原点 O 在圆 M 上； 方法二：设直线 l 的方程 x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积 的坐标运算，即可求得 • =0，则坐标原点 O 在圆 M 上； （2）由题意可知： • =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 k 的值， 求得 M点坐标，则半径 r=丨 MP丨，即可求得圆的方程． 【解答】解：方法一：证明：（1）当直线 l 的斜率不存在时，则 A（2，2），B（2， ﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 • =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点 O 在圆 M 上； 当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+1）x+4k2=0， 则 x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由 y1y2＜0， 则 y1y2=﹣4， 由 • =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点 O 在圆 M 上， 综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上； 方法二：设直线 l 的方程 x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2，则 x1x2=4，则 • =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点 O 在圆 M 上， ∴坐标原点 O 在圆 M 上； （2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆 M过点 P（4，﹣2），则 =（4﹣x1，﹣2﹣y1）， =（4﹣x2，﹣2﹣y2）， 由 • =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当 k=﹣2 时，直线 l 的方程为 y=﹣2x+4， 则 x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则 M（ ，﹣ ），半径为 r=丨 MP 丨= = ， ∴圆 M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率 k=1 时，直线 l 的方程为 y=x﹣2， 同理求得 M（3，1），则半径为 r=丨 MP丨= ， ∴圆 M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线 l 的方程为 y=﹣2x+4，圆 M 的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线 l 的方程为 y=x﹣2，圆 M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标 运算，考查计算能力，属于中档题． 21．（12分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求 a 的值； （2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求 m 的最小值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．菁 优网版权所有 【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）通过对函数 f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分 a≤0、a＞0 两种 情况考虑导函数 f′（x）与 0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知 lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知 ln（1+ ）＜ ，k∈N*．一 方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e，另一 方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，从而当 n≥3 时，（1+ ）（1+ ）… （1+ ）∈（2，e），比较可得结论． 【解答】解：（1）因为函数 f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以 f′（x）=1﹣ = ，且 f（1）=0． 所以当 a≤0 时 f′（x）＞0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这 与 f（x）≥0矛盾； 当 a＞0 时令 f′（x）=0，解得 x=a， 所以 y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即 f（x）min=f （a）， 又因为 f（x）min=f（a）≥0， 所以 a=1； （2）由（1）可知当 a=1 时 f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即 lnx≤x﹣1， 所以 ln（x+1）≤x当且仅当 x=0 时取等号， 所以 ln（1+ ）＜ ，k∈N*． 一方面，ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）＜ + +…+ =1﹣ ＜1， 即（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e； 另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2； 从而当 n≥3 时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）， 因为 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m 成立， 所以 m 的最小值为 3． 【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转 化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注 意解题方法的积累，属于难题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 ， （t为参数），直线 l2的参数方程为 ，（m 为参数）．设 l1与 l2的交点为 P， 当 k变化时，P 的轨迹为曲线 C． （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） ﹣ =0，M为 l3与 C 的交点，求 M 的极径． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1与直线 l2的普通方程为 y=k（x ﹣2）①与 x=﹣2+ky②；联立①②，消去 k可得 C 的普通方程为 x2﹣y2=4； （2）将 l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0 化为普通方程：x+y﹣ =0， 再与曲线 C的方程联立，可得 ，即可求得 l3与 C的交点M的极径为ρ= ． 【解答】解：（1）∵直线 l1的参数方程为 ，（t为参数）， ∴消掉参数 t得：直线 l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线 l2的参数方程为 ，（m 为参数）， 同理可得，直线 l2的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去 k得：x2﹣y2=4，即 C的普通方程为 x2﹣y2=4（x≠±2）； （2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0， 联立 得： ， ∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3与 C的交点 M的极径为ρ= ． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等 价转化思想的运用，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求 m 的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ： 函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）由于 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式 f（x）≥ 1可分﹣1≤x≤2与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集； （2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1 ＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max= ，从而可得 m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）= ， 当 x≤﹣1 时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x= ∈（﹣1， 2）， ∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ； 当 x≥2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1； 综上，g（x）max= ， ∴m 的取值范围为（﹣∞， ]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突 出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；沂蒙松；豫汝王世崇；qiss；maths； cst；zlzhan；whgcn；铭灏 2016；wfy814（排名不分先后） 菁优网 2017年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x∈A，且 x∈B}． A∩B 实际理解为：x是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥ A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）=∅．⑧∁U（A∩B）=（∁UA）∪ （∁UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确 p、q 及非 p的真 假，然后由真值表判断复合命题的真假． 注意：“非 p”的正确写法，本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1=0 的两根都不是 实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． 【解题方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中 简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若 p 则 q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方 法：若“p q”，则“若 p 则 q”为真；而要确定“若 p 则 q”为假，只需举出一个反 例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真 同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断． 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知 识点多而且全，多以小题形式出现． 3．函数的值 【知识点的认识】 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值 域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因 变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当 x＞0 时，求 2x+ 的最小值，有 2x+ ≥2 =8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距离之和，易知最小值为 2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行 比较 例题：求 f（x）=lnx﹣x 在（0，+∞）的值域 解：f′（x）= ﹣1= ∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减 ∴最大值为：ln1﹣1=﹣1，无最小值； 故值域为（﹣∞，﹣1） 【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题 难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒 成立的问题为主． 4．函数零点的判定定理 【知识点的知识】 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f（a）•f（b）＜0，那么函数 y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c∈（a，b），使得 f（c）=O，这个 c 也就是 f（x）=0的根． 特别提醒： （1）根据该定理，能确定 f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件， 并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数 f（x）=x2﹣3x+2 有 f（0） •f（3）＞0，但函数 f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若 f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b） ＜0，则 f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 2、函数零点个数的判断方法： （1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y=f（x）的图象联 系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒： ①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程 x2﹣ 2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数 f（x）=x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零 点； ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． （2）代数法：求方程 f（x）=0 的实数根． 5．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x∈R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x∈R，f′（x）＞2， ∴对任意 x∈R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t∈[1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0时，f（x）不是单调函数（4分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立， 所以有： ，∴ （10分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x∈（1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n∈N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 6．利用导数求闭区间上函数的最值 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数 f（x）在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f （x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数的一个极大值，记作 y 极大值=f（x0），是极大值 点． 2、极小值 一般地，设函数 f（x）在 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f（x） ＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值=f（x0），是极小 值点． 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数 值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极 小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而 f（x4）＞f（x1）． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别 f（x0）式极大值、极小值的方法： 若 x0满足 f′（x0）=0，且在 x0的两侧 f（x）的导数异号，则 x0是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0两侧满足“左正右负”，则 x0是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0两侧满足“左负右正”，则 x0是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 5、求可导函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格．检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号，那么 f（x）在这个根处无极值． 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数 f（x）的图象．图中 f（x1）与 f（x3） 是极小值，f（x2）是极大值．函数 f（x）在[a，b]上的最大值是 f（b），最小值 是 f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如 函数 f（x）= 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值 点附近函数值得出的． （3）函数 f（x）在闭区间[a，b]上连续，是 f（x）在闭区间[a，b]上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数 f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点 的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求 f（x）在[a，b]上的最 大值与最小值的步骤如下： （1）求 f（x）在（a，b）内的极值； （2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b）比较得出函数 f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数 f （x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 7．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z得截距最大， 此时 z最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 8．等差数列的前 n 项和 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的 公差，公差常用字母 d表示．其求和公式为 Sn=na1+ n（n﹣1）d或者 Sn= 【例题解析】 eg1：设等差数列的前 n 项和为 Sn，若公差 d=1，S5=15，则 S10= 解：∵d=1，S5=15， ∴5a1+ d=5a1+10=15，即 a1=1， 则 S10=10a1+ d=10+45=55． 故答案为：55 点评：此题考查了等差数列的前 n 项和公式，解题的关键是根据题意求出首项 a1的值，然后套用公式即可． eg2：等差数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣25n．求数列{|an|}的前 n项的和 Tn． 解：∵等差数列{an}的前 n项和 Sn=4n2﹣25n． ∴an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]=8n﹣29， 该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前 3 项为负，其和为 S3=﹣39． ∴n≤3 时，Tn=﹣Sn=25n﹣4n2， n≥4，Tn=Sn﹣2S3=4n2﹣25n+78， ∴ ． 点评：本题考查等差数列的前 n 项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认 真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和 公差，要么求出首项和第 n项的值． 【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以 小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相 减法的运用． 9．等比数列的通项公式 【知识点的认识】 1．等比数列的定义 如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q ≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q也是非零常 数． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an=a1•qn﹣1 3．等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b的等比中项． G2=a•b （ab≠0） 4．等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m∈N*）． （2）若{an}为等比数列，且 k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}， 仍是等比数列． （4）单调性： 或 ⇔{an}是递增数列； 或⇔ {an} 是递减数列；q=1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列． 10．向量在几何中的应用 【知识点的知识】 向量在几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何 问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 1．向量方法在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a ∥b（b≠0）⇔a=λb⇔x1y2﹣x2y1=0． （2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条 件：非零向量 a，b，a⊥b⇔a•b=0⇔x1x2+y1y2=0． （ 3 ） 求 夹 角 问 题 ， 往 往 利 用 向 量 的 夹 角 公 式 cos θ= = ． （4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a|= ． 2．直线的方向向量和法向量 （1）直线 y=kx+b的方向向量为（1，k），法向量为（k，﹣1）． （2）直线 Ax+By+C=0的方向向量为（B，﹣A），法向量为（A，B）． 探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角 （1）直线 y=kx+b 的方向向量：如果向量 v 与直线 l 共线，则称向量 v 为直线 l 的方向向量． 对于任意一条直线 l：y=kx+b，在它上面任取两点 A（x0，y0），B（x，y），则向 量=（x﹣x0，y﹣y0）与直线 l 共线，即为直线 l 的方向向量．由于（x﹣x0，y﹣y0） =（1，）=（1，k），所以向量（x﹣x0，y﹣y0）与向量（1，k）共线，从而向量（1， k）是直线 y=kx+b的一个方向向量． （2）直线 Ax+By+C=0的方向向量 当 B≠0时，k=﹣，所以向量（B，﹣A）与（1，k）共线，所以向量（B，﹣A） 是直线 Ax+By+C=0 的一个方向向量；当 B=0 时，A≠0，直线 x=﹣的一个方向向 量为（0，﹣A），即（B，﹣A）． 综上所述，直线 Ax+By+C=0的一个方向向量为 v=（B，﹣A）． （3）应用直线的方向向量求两直线的夹角 已知直线 l1：y=k1x+b1与直线 l2：y=k2x+b2，它们的方向向量依次为 v1=（1，k1）， v2=（1，k2）． 当 v1⊥v2，即 v1•v2=1+k1k2=0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当 k1k2≠﹣1时，v1•v2≠0， 直线 l1与 l2的夹角为θ（0°＜θ＜90°）．不难推导利用 k1、k2表示 cos θ的夹角公式： cos θ= = ． 探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系 （1）直线 Ax+By+C=0的法向量：如果向量 n与直线 l 垂直，则称向量 n 为直线 l 的法向量．因此若直线的方向向量为 v，则 n•v=0．从而对于直线 Ax+By+C=0 而 言，其方向向量为 v=（B，﹣A），则由于 n•v=0，于是可取 n=（A，B），这时因 为（B，﹣A）•（A，B）=AB﹣AB=0．直线的法向量也有无数个． （2）直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于 直线 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，它们的法向量分别为 n1=（A1，B1）， n2=（A2，B2）． 当 n1∥n2时，l1∥l2或 l1与 l2重合．即 A1B2﹣A2B1=0⇔l1∥l2或 l1与 l2重合； 当 n1⊥n2时，l1⊥l2．即 A1A2+B1B2=0⇔l1⊥l2． 探究点三 平面向量在几何中的应用 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题 时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是： （1）要证明线段 AB=CD，可转化为证明| |=| |． （2）要证明 AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数λ，使得=λ，且 A、B、C、D 不共线即可． （3）要证明 A、B、C 三点共线，只需证明 ∥ 或 ∥ ． （4）要证明 AB⊥CD，只需证明 • =0，或若 =（x1，y1）， =（x2，y2），则 用坐标证明 x1x2+y1y2=0即可． （5）常用|a|= 和 cos θ= 处理有关长度与角度的问题． 11．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 12．频率分布折线图、密度曲线 【知识点的认识】 1．频率分布折线图： 如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得 到频率分布折线图，简称频率折线图． 2．总体分布的密度曲线： 如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率分布折 线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线． 13．离散型随机变量及其分布列 【考点归纳】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量 叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中 a、b是常 数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值， 这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续 型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按 一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示， 并且 X 是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量 X叫做一个随机变量．随机 变量常用大写字母 X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来， 则称 X 为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量 X 的所有可能值为 x1，x2，…，xn；X 取 每一个对应值的概率分别为 p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量 X 的概率分布，或称为离散型随机变量 X 的分布列． （2）性质：①pi≥0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=1． 14．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 15．二项式系数的性质 【知识点的知识】 1、二项式定理 一般地，对于任意正整数 n，都有 这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各 项的系数 叫做二项式系数． 注意： （1）二项展开式有 n+1 项； （2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念； （3）每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂排列，b 的升幂排 列展开； （4）二项式定理通常有如下变形： ① ； ② ； （5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题． 2、二项展开式的通项公式 二项展开式的第 n+1 项 叫做二项展开式的 通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理 的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用． 注意： （1）通项公式表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 Cn r； （2）字母 b 的次数和组合数的上标相同； （3）a 与 b 的次数之和为 n． 3、二项式系数的性质． （ 1 ） 对 称 性 ： 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 ， 即 ； （2）增减性与最大值：当 k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知， 它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当 n 为偶数时，则中间一项 的二项式系数最大；当 n 为奇数时，则中间的两项 ， 相等，且同时取 得最大值． 16．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 17．余弦函数的图象 【知识点的知识】 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z） 最 值 x=2kπ+（k∈Z）时，ymax=1； x=2kπ﹣（k∈Z）时， ymin=﹣1 x=2kπ（k∈Z）时， ymax=1； x=2kπ+π（k∈Z） 时， ymin=﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈ Z） 对称轴：x=kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x=kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 18．三角形中的几何计算 【知识点的知识】 1、几何中的长度计算： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和 角）． （2）利用余弦定理可以求解： ①解三角形； ②判断三角形的形状； ③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角， 求第三边和其他两角． 2、与面积有关的问题： （1）三角形常用面积公式 ①S= a•ha（ha表示边 a 上的高）； ②S= absinC= acsinB= bcsinA． ③S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． （2）面积问题的解法： ①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． ②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形 把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求 解． 3、几何计算最值问题： （1）常见的求函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 y 来表示 x，再由 x 的取值范围，通过解不等 式，得出 y 的取值范围； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域． ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域． （2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况： ①当角度在 0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大，且 0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且 0≤cosα≤1； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0． ②当角度在 90°～180°间变化时， 正弦值随着角度的增大而减小，且 0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0． 19．椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段 A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a和 2b， a和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用 e表示，即：e= ， 且 0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e 越大越接近 1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近 0，椭圆越圆．当且仅当 a=b 时，c=0，椭圆变为圆，方程为 x2+y2=a2． 5．椭圆中的关系：a2=b2+c2． 20．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于 x轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 21．直线与抛物线的位置关系 v． 22．棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱=sh，V 锥= Sh． 23．球内接多面体 【知识点的知识】 1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都 是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球． 球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都 是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球 2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题： （1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系； （3）球自身的对称性与多面体的对称性； （4）能否做出轴截面． 3、球与多面体的接、切中有关量的分析： （1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为 r， 正方体的棱长为 a，则： ①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处； ②正方体的四个顶点都在球面上； ③轴截面就是正方体的对角面； ④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造 一个直角三角形； ⑤球半径和正方体棱长的关系：r= a． 24．平面与平面垂直的判定 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 25．直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影 所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为 90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为 0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜 线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体 的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影 所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各 线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合 的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线 就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有 无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交 直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯 一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定 义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角． 26．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等． 27．参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除） 消元法、三角代换法等．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x=f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y=g（t），那么就是曲 线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持 一致． 28．绝对值三角不等式 【知识点的认识】 绝对值三角不等式 1．定理 1：如果 a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当 ab≥0时，等号成 立． 2．定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c|，当且仅当（a ﹣b）（b﹣c）≥0 时，等号成立． 29．绝对值不等式的解法 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a 的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅ ∅ |x|＞a {x|x＞a，或 x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或 ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1、解绝对值不等式的基本方法： （1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； （2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值 符号的普通不等式； （3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元 二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段 法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利 用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到 A（a），B（b）两点的距离之和 不小于 c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就 可以得出不等式的解． 4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=” 成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=” 成立的条件是 ab≤0，左侧“=”成立的条件是 ab≥0且|a|≥|b|．