高考理科数学试卷及答案湖北卷

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高考理科数学试卷及答案湖北卷

绝密★启用前 ‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数 学(理工类)‎ 本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知全集为,集合,,则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.∨ B.∨ C.∧ D.∨‎ ‎4.将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎5.已知,则双曲线:与:的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 ‎6.已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A. B. C. D.‎ ‎7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 A. B. C. D. ‎ ‎8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A. B. C. D.‎ 第9题图 第8题图 ‎9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为,则的均值 A. B. C. D.‎ ‎10.已知为常数,函数有两个极值点,,则 A., B.,‎ C., D.,‎ 二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ‎ ‎(一)必考题(11—14题)‎ 否 开始 是 结束 是奇数 是 否 输出 ‎11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图示. ‎ ‎ ‎ ‎ 第11题图 第12题图 ‎(Ⅰ)直方图中的值为_________;‎ ‎ (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_________. ‎ ‎12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果_________.‎ ‎13.设,且满足:,,则_________.‎ ‎14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10,,‎ 第个三角形数为. 记第个边形数为,以下列出 了部分k边形数中第个数的表达式:‎ 三角形数 ,‎ 正方形数 ,‎ 五边形数 ,‎ 六边形数 , ‎ ‎………………………………………‎ 可以推测的表达式,由此计算_________. ‎ ‎(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)‎ ‎15.(选修4-1:几何证明选讲)‎ 第15题图 ‎ 如图,圆上一点在直径上的射影为,点在半径上的射影为.若,则的值为_________.‎ ‎16.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标系中,椭圆的参数方程为(为参数,). 在 极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴 为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为(m为非零常数)‎ 与. 若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为_________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△的面积,,求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知等比数列满足:,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,‎ 分别是,的中点. ‎ ‎(Ⅰ)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;‎ 第19题图 ‎(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆的另一个交点为,且点Q满足. 记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:. ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为. ‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(参考数据:若~,有,,.)‎ ‎(Ⅱ)某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. 、两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆. 若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备型车、型车各多少辆? ‎ ‎21.(本小题满分13分)‎ 如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别 为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.‎ ‎(Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.‎ 第21题图 ‎22.(本小题满分14分)‎ 设是正整数,为正有理数. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小值;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,记为不小于的最小整数,例如,,.‎ 令,求的值. ‎ ‎ (参考数据:,,,)‎ 绝密★启用前 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数学(理工类)试题参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B 10.D 二、填空题 ‎11.(Ⅰ)0.0044 (Ⅱ)70 12.5 13.‎ ‎14.1000 15.8 16.‎ 三、解答题 ‎17. ‎ ‎(Ⅰ)由,得, ‎ ‎ 即,解得 或(舍去).‎ ‎ 因为,所以. ‎ ‎(Ⅱ)由得. 又,知. ‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎18. ‎ ‎(Ⅰ)设等比数列的公比为q,则由已知可得 ‎ 解得 或 ‎ 故,或. ‎ ‎(Ⅱ)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,‎ 从而. ‎ 若,则,故是首项为,公比为的等比数列,‎ 从而 故. ‎ 综上,对任何正整数,总有.‎ 故不存在正整数,使得成立. ‎ ‎19. ‎ ‎(Ⅰ)直线∥平面,证明如下:‎ 连接,因为,分别是,的中点,所以∥. ‎ 又平面,且平面,所以∥平面.‎ 而平面,且平面平面,所以∥. ‎ 因为平面,平面,所以直线∥平面. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第19题解答图1‎ 第19题解答图2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)(综合法)如图1,连接,由(Ⅰ)可知交线即为直线,且∥.‎ ‎ 因为是的直径,所以,于是.‎ 已知平面,而平面,所以.‎ 而,所以平面.‎ 连接,,因为平面,所以.‎ 故就是二面角的平面角,即. ‎ 由,作∥,且. ‎ 连接,,因为是的中点,,所以,‎ 从而四边形是平行四边形,∥.‎ 连接,因为平面,所以是在平面内的射影,‎ 故就是直线与平面所成的角,即. ‎ 又平面,有,知为锐角,‎ 故为异面直线与所成的角,即, ‎ 于是在△,△,△中,分别可得 ‎,,,‎ 从而,即. ‎ ‎(Ⅱ)(向量法)如图2,由,作∥,且.‎ 连接,,,,,由(Ⅰ)可知交线即为直线.‎ 以点为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则有 ‎,. ‎ 于是,,,‎ 所以,从而. ‎ 又取平面的一个法向量为,可得,‎ 设平面的一个法向量为, ‎ 所以由 可得 取.‎ 于是,从而. ‎ 故,即. ‎ ‎20. ‎ ‎(Ⅰ)由于随机变量服从正态分布,故有,‎ ‎. ‎ 由正态分布的对称性,可得 第20题解答图 ‎. ‎ ‎(Ⅱ)设型、型车辆的数量分别为辆,则相应的营运成本为.‎ 依题意, 还需满足:. ‎ 由(Ⅰ)知,,故等价于. ‎ 于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数达到最小的. ‎ 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为.‎ 由图可知,当直线经过可行域的点P时,直线在y轴上截距最小,即z取得最小值. ‎ 故应配备型车5辆、型车12辆. ‎ ‎21. ‎ 依题意可设椭圆和的方程分别为 ‎:,:. 其中,‎ ‎(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则 ‎,,所以. ‎ 在C1和C2的方程中分别令,可得,,,‎ 于是.‎ 若,则,化简得. 由,可解得.‎ 故当直线与轴重合时,若,则. ‎ 解法2:如图1,若直线与轴重合,则 ‎,;‎ ‎,.‎ 所以. ‎ 若,则,化简得. 由,可解得.‎ 故当直线与轴重合时,若,则. ‎ 第21题解答图1‎ 第21题解答图2‎ ‎(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,‎ 不妨设直线:,‎ 点,到直线的距离分别为,,则 因为,,所以. ‎ 又,,所以,即. ‎ 由对称性可知,所以,‎ ‎,于是 ‎. ①‎ 将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得 ‎,.‎ 根据对称性可知,,于是 ‎. ② ‎ 从而由①和②式可得 ‎. ③‎ 令,则由,可得,于是由③可解得.‎ 因为,所以. 于是③式关于有解,当且仅当,‎ 等价于. 由,可解得,‎ 即,由,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;‎ 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. ‎ 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,‎ 不妨设直线:,‎ 点,到直线的距离分别为,,则 因为,,所以. ‎ 又,,所以.‎ 因为,所以.‎ 由点,分别在C1,C2上,可得 ‎,,两式相减可得,‎ 依题意,所以. 所以由上式解得. ‎ 因为,所以由,可解得.‎ 从而,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;‎ 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. ‎ ‎22. ‎ ‎(Ⅰ)因为,令,解得.‎ 当时,,所以在内是减函数;‎ 当时,,所以在内是增函数.‎ 故函数在处取得最小值. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),当时,有,即 ‎,且等号当且仅当时成立,‎ 故当且时,有 ‎. ①‎ 在①中,令(这时且),得.‎ 上式两边同乘,得,即 ‎ ②‎ 当时,在①中令(这时且),类似可得 ‎ ③‎ 且当时,③也成立.‎ 综合②,③得 ‎ ④ ‎ ‎(Ⅲ)在④中,令,分别取值81,82,83,…,125,得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ………‎ ‎.‎ 将以上各式相加,并整理得 ‎.‎ 代入数据计算,可得,.‎ 由的定义,得. ‎
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